Tài liệu Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH --------------------- Phạm Lương Quý NGHIÊN CỨU SINH THÁI CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Phép tính tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Giải tích lớp 12 và luôn xuất hiện trong đề thi tú tài cũng như đề thi đại học. Những chướng ngại mà học sinh gặp phải khi tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tích phân hay từ việc xây dựng những khái niệm có liên quan? Câu hỏi này khiến chúng tôi chọn đề tài Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông. 2. Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi nói trên. Để làm việc này, chúng tôi đặt mình trong lý thuyết nhân chủng học didactic và sử dụng cách tiếp cận sinh thái. Với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu lại câu hỏi ban đầu như sau: Những điều kiện sinh thái của phép tính tích phân được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học phổ thông? Trong thực hành giải toán, những điều kiện trên vận hành như thế nào? Điều này đem đến những hệ quả gì? 2.1. Lý thuyết nhân chủng học Lý thuyết nhân chủng học với tư tưởng chủ đạo là xem một đối tượng tri thức toán học như là một sinh vật sống nghĩa là có nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi, có những mối quan hệ ràng buộc với các đối tượng khác. Quá trình lý thuyết hoá nhân chủng học toán học gắn liền với việc “đặt vấn đề sinh thái học” (Problématique écologique). Theo Chevallard (1989), trong một thể chế đã cho, một tri thức O không tồn tại một cách tách rời mà trong tác động qua lại với các đối tượng thể chế khác. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại và hoạt động của tri thức O trong thể chế. Nói cách khác chúng hình thành nên môi trường sinh thái của O. Theo Boch và Chevallard (1999) thì “cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những đòi hỏi được tạo ra giữa các đối tượng tri thức khác nhau cần dạy. Sự mô tả tri thức toán học do đó không phải bao giờ cũng đòi hỏi một cấu trúc làm sẵn mà luôn được diễn đạt nhờ những đối tượng hình thành nên nó. Nhưng những đối tượng này, bây giờ duy trì những mối quan hệ qua lại theo thứ bậc cho phép nhận ra những cấu trúc sinh thái khách thể. 2.2. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân Theo Chevallard (1989), “một tri thức không thể tồn tại trong một xã hội trống rỗng, bất kỳ một tri thức nào cũng xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định và được gắn với ít nhất một thể chế nhất định nào đó”. Nói một cách khác, mỗi tri thức là một tri thức của một thể chế. Ngoài ra, cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau, và để một tri thức có thể tồn tại trong một thể chế thì nó cần phải tuân thủ một số đòi hỏi nhất định của thể chế. Điều này kéo theo rằng nó phải tự thay đổi, nếu không nó không thể duy trì trong thể chế bởi vì thể chế là một cộng đồng, thực hiện một công việc nào đó. Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức, chủ yếu dựa vào 3 thuật ngữ : đối tượng, cá thể và thể chế trong đó khái niệm cơ bản là thể chế vì nó chỉ rõ hệ thống thực tiển xã hội. Trong phạm vi của sự lý thuyết hoá này, một đối tượng tri thức O được coi là tồn tại ngay khi mà một cá nhân hay một thể chế nhận biết nó như đã tồn tại. Chính xác hơn, người ta nói rằng đối tượng O tồn tại đối với một thể chế I nếu như có một mối quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O là tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I có với O nghĩa là : nói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụng O … Quan hệ thể chế R(I,O) từ I đến O, nói chung phản ảnh những gì diễn ra trong I liên quan đến số phận của O, cho biết O xuất hiện ở đâu trong I, O hoạt động như thế nào và giữ vai trò gì trong I. Cũng như thế, đối tượng O tồn tại với một cá nhân X nếu như có một quan hệ cá nhân từ X đến O mà ta gọi là quan hệ R(X,O), như vậy quan hệ cá nhân R(X,O) là toàn bộ những tác động qua lại mà X có thể thực hiện với O, thể hiện cách mà X biết O, như vậy có thể nói rằng việc học của cá nhân X đối với tri thức O nếu như quan hệ R(X,O) thay đổi : hoặc là nó bắt đầu được thiết lập (nếu chưa tồn tại) hoặc là nó được thay đổi (nếu đã tồn tại). Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, người ta phải xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi người thầy phải thực hiện và quan hệ thể chế đối với học sinh xác định cái mà thể chế đòi hỏi người học sinh phải thực hiện. Số phận của một đối tượng tri thức được đặt dưới sự vận động nhất thời của thể chế. Khi một đối tượng tri thức cần dạy O được đưa vào thì mối quan hệ thể chế với đối tượng này sẽ được thiết lập. Quan hệ đó sẽ tồn tại suốt thời gian mà đối tượng O còn là mục đích được thua của việc dạy học. Quan hệ thể chế này được gọi là quan hệ thể chế chính thức với đối tượng O. Như vậy, việc nghiên cứu mối quan hệ của một thể chế I đối với đối tượng tri thức O cho phép hiểu O xuất hiện ở đâu và bằng cách nào trong thể chế I, O tồn tại ra sao và được sử dụng như thế nào trong I. Nó cũng cho phép chúng ta nắm bắt tốt hơn những quan hệ thể chế của thầy giáo và của học sinh đối với O, bởi vì quan hệ cá nhân của thầy giáo và của học sinh với tri thức O không hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế. Trong một thể chế dạy học, cái được thua của việc dạy học là một tri thức được tiếp nhận như thế nào với cá nhân X. Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nó trở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kỳ một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tượng thực sự là cái được thua của việc dạy học với những đối tượng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay những đối tượng không hề là cái được thua của việc dạy học nhưng vẫn có sự hiện diện của nó ở đó). Theo quan niệm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể chế dạy học.Về mặt này,Chevallard cũng đã chỉ rõ : “vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hệ quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học” (1989). Với lý thuyết nhân chủng học, chúng ta có những công cụ làm việc để nghiên cứu các ràng buộc thể chế có ảnh hưởng đồng thời đến cuộc sống của tri thức cũng như đến quan hệ của các chủ thể của thể chế đối với tri thức này. 2.3. Hợp đồng Didactic Hợp đồng didactic : quy tắc địa phương và nghĩa của tri thức. Theo quan điểm didactic, sự được thua chung của giáo viên và học sinh trong lớp là tri thức, nhưng kế hoạch của mỗi bên đối với tri thức này là rất khác nhau Điều đó trước hết là vị trí không đối xứng của họ trong quan hệ didactic : giáo viên khác với học sinh ở chỗ giáo viên được “giả định là biết”, và cũng còn ở chỗ được “giả định là có khả năng” đoán trước những gì học sinh sắp phải học. Trách nhiệm của mỗi bên đối tác của tình huống giảng dạy không giống nhau : giáo viên phải giảng dạy cái gì đó, bằng cách nào đó; học sinh phải học để biết cái gì đó và biết như thế nào. Những gì mỗi bên có quyền làm hay không làm đối với một tri thức được chi phối bởi một tập hợp các qui tắc có khi tường minh nhưng chủ yếu là ngầm ẩn. Ta đã thấy một thí dụ về kết quả các phép tính căn số học, có lời giải chấp nhận được hay không chấp nhận được tuỳ từng trường hợp và tuỳ từng nước. Hợp đồng didactic là một sự mô hình hoá các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Sự mô hình hoá này do nhà nghiên cứu lập ra. G. Brousseau (1980) đã trình bày khái niệm này như sau : “Trong một buổi học có mục đích là dạy cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh hiểu tình huống được giới thiệu, những câu được hỏi đặt ra, những thông tin được cung cấp, những ràng buộc áp đặt, tuỳ theo những gì giáo viên thực hiện, có ý thức hay không, một cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình. Trong các thói quen này, ta quan tâm đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy : ta gọi hợp đồng didactic là tập hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy trông đợi” Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán được giảng dạy. Những điều khoản của hợp đồng – không bao giờ được công bố hoặc nếu có thì cũng không phải dưới dạng toàn văn, vì thực tế chúng không thuộc loại công bố được – tổ chức nên các mối quan hệ mà Thầy và trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức. Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. Phải làm gì đây? Nhìn vào đâu để biết mình đã thành công? Phải làm gì nếu ta không thành công? Đã cần phải biết cái gì để thành công ? Phải nói cái gì đây? Vừa qua đáng ra phải làm gì khác? ... Có biết bao nhiêu câu hỏi mà câu trả lời phụ thuộc vào hợp đồng didactic. Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của giáo viên và học sinh, rất cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện được quan sát vào trong khuôn khổ hợp đồng didactic để giải thích. Chẳng hạn, ta có thể gắn sự kiện “học sinh không mấy khi kiểm tra lại mình phát biểu những gì” với sự tồn tại của một hợp đồng didactic, theo đó “giáo viên luôn luôn có nhiệm vụ kiểm tra và hợp thức hoá những câu trả lời của học sinh”. Như vậy, học sinh có thể đưa ra một câu trả lời sai, một phép chứng minh sai, dĩ nhiên là có nguy cơ bị thầy cho điểm kém. Hợp đồng didactic ngầm ẩn nói trên cho phép học sinh không quan tâm kiểm tra mình đã trả lời thế nào cho các câu hỏi đặt ra mà khoán việc đó cho giáo viên. (Theo Comiti – 2000 – Hợp đồng Didactic – bài giảng cho lớp Thạc sỹ - ĐHSP Tp HCM và Đại học Joseph Foutier) Vấn đề là làm sao để thấy được hiệu ứng của hợp đồng didactic? trong một tình huống nhất định? tại một thời điểm nhất định? Người ta có thể làm theo một trong những cách tiến hành như sau : D1: tạo một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (ta sẽ gọi tình huống đó là tình huống phá vỡ hợp đồng). D2: phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy trong thực tế. Làm sao để đặt những thành viên chủ chốt vào một tình huống không quen thuộc? Người ta có thể tiến hành theo nhiều cách: 1. Thay đổi những điều kiện sử dụng tri thức. Việc sử dụng tri thức toán nổi bật nhất khi giải các bài toán, do đó người ta có thể biến đổi các đặc trưng của bài toán. 2. Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đó. Có nhiều trường hợp: i) trong quá trình học, nhằm lúc học sinh chưa nắm được một số cách vận dụng tri thức. ii) lợi dụng những thay đổi về thể chế (như chương trình học, trình độ học sinh), làm thay đổi cách vận dụng tri thức. 3. Đặt mình ra ngoài phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đó không giải quyết được. Đó là trường hợp những vấn đề đòi hỏi một sự mô hình hoá bằng từ ngữ toán học (những vấn đề được gọi là cụ thể). Các tiêu chí cho phép chọn một cách mô hình hoá và phán xét giá trị của cách mô hình hoá đã chọn nằm ngoài phạm vi toán học và do đó đã không được phát biểu trong việc dạy tri thức. 4. Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh không phù hợp với những điều giáo viên mong đợi. Chẳng hạn đó là những câu trả lời khác lạ cho một bài toán. Thông qua việc phân tích những thành phần của hệ giáo dục thực tế, chúng ta sẽ xác định những quy tắc của hợo đồng didactic. Có nhiều cách để xác định các qui tắc của hợp đồng didactic và ta có thể phối hợp chúng với nhau. Sau đây là một vài ví dụ :  Nghiên cứu các câu trả lời của học sinh trong một lớp học.  Phân tích những ước định. Nhờ vậy ta sẽ thấy rõ hơn trách nhiệm của học sinh trong việc sử dụng tri thức. Phân tích những bài tập được giải hoặc được giảng dạy ưu tiên trong sách giáo khoa và sách bài tập qua đó ta sẽ thấy rõ hơn những quy tắc ngầm ẩn mà học sinh sử dụng. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chọn ra 3 điều kiện sinh thái của phép tính tích phân là phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính đạo hàm. Với mỗi điều kiện sinh thái, chúng tôi thực hiện các điều tra khoa học luận và đối chiếu với việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để rút ra đặc trưng của mỗi điều kiện trong thể chế Việt Nam. Từ đó, chúng tôi hình thành giả thuyết nghiên cứu và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết. 4. Tổ chức luận văn Ngoại trừ phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương nghiên cứu lần lượt về phép tính diện tích, khái niệm hàm số hợp và phép tính nguyên hàm. Cấu trúc của các chương giống nhau: điều tra khoa học luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa, đặc điểm của khái niệm, thực nghiệm. Sau đây là một số tổ chức toán học mà chúng tôi sẽ đề cập đến trong luận văn 4.1. Tổ chức toán học Hoạt động toán học là trường hợp đặc biệt của hoạt động xã hội. Vấn đề đặt ra là làm sao mô tả, giải thích được thực tế của xã hội này ? Cái gì cho phép mô hình hoá các thực tế này. Một trong những cách mô tả, giải thích là dựa vào khái niệm “tổ chức toán học” (Organismes mathématiques hay praxéologies mathematiques) mà chúng ta sẽ xem xét đưới đây 4.1.1. Praxéologie Theo Chevallard, quá trình lý thuyết hoá bao gồm các định đề về nhân chủng học được phát biểu như sau : Định đề 1 : Toàn bộ thực tiễn của chủ thể được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn được tách ra từ những dòng chảy của thực tiễn. Định đề 2 : Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kỹ thuật. Định đề 3 : Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kỹ thuật phải xuất hiện sao cho có thể hiểu được, có thể thấy được và phải lý giải được. Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm praxéologie. Đó là một bộ gồm 4 thành phần như sau : 1- T : kiểu nhiệm vụ, gồm ít nhất một nhiệm vụ t 2- τ: kỹ thuật để hoàn thành nhiệm vụ t 3-  : Công nghệ để lý giải cho kỹ thuật τ 4-  : lý thuyết để giải thích  còn gọi là công nghệ của công nghệ  Khi T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì tổ chức [ T, τ, ,] được gọi là một tổ chức toán học. Sự xuất hiện của một praxéologies sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan hệ thể chế. Cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các praxéologies toán học sẽ cho phép ta thấy được và có thể giải thích được mối liên hệ giữa phần lý thuyết và phần bài tập, đồng thời sẽ giúp chúng ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem xét, cụ thể O xuất hiện như thế nào, giữ vai trò gì trong I. Thực vậy, khi phân tích, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau : * Về kiểu nhiệm vụ T : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? ở đâu ? các lý do đưa T vào có được làm rõ không ? Hay là T chỉ xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T có mối liên hệ nào với các phần toán học khác Giả sử T là một kiểu nhiệm vụ nào đó, ta được đặt trước câu hỏi Q : làm thế nào để thực hiện nhiệm vụ t thuộc kiểu nhiệm vụ T ? Vấn đề là tìm một câu trả lời R cho câu hỏi Q này. Như vậy để tìm câu trả lời cho Q trước hết là tìm một cách làm, nghĩa là tìm cái mà ta gọi là một kỹ thuật  (technique) * Về kỹ thuật τ : có được nêu lên một cách rõ ràng không ? hay chỉ mới được phát thảo ?  có dễ sử dụng không ? phạm vi sử dụng của  như thế nào, tương lai của  ra sao ? T và  tạo thành “khối” [T , ] mà ta gọi là khối thực hành kỹ thuật (pratico-technique), và thường đồng nhất nó với cách làm, kỹ năng (savoir – faire). Ở đây cần lưu ý ba điểm : Thứ nhất : một kỹ thuật  - một cách làm chỉ cho phép thành công trên một phần của T. Ta ký hiệu phần đó là P() và gọi đây là tầm ảnh hưởng của kỹ thuật, nó dẫn đến thất bại trên phần T \ P(), như thế, sẽ có một kỹ thuật vượt lên một kỹ thuật khác. Thứ hai : một kỹ thuật  không nhất thiết là một algorit hay gần như một algorit, thậm chí rất hiếm khi như vậy. Nhưng đúng là dường như tồn tại khuynh hướng algorit hoá các kỹ thuật, và quá trình hoàn thiện các kỹ thuật này đôi khi khó mà dừng lại trong một thể chế nào đó, về một kiểu nhiệm vụ nào đó. Thứ ba : trong cùng một thể chế I, đối với một kiểu nhiệm vụ T xác định, nói chung chỉ tồn tại một kỹ thuật duy nhất, hay cùng lắm là một số ít kỹ thuật, được thể chế thừa nhận, dù thực ra có thể tồn tại những kỹ thuật khác, nhưng ở trong những thể chế khác. Cần phải phân biệt rõ thuật toán chỉ là trường hợp đặc biệt của kỹ thuật. * Về yếu tố công nghệ - lý thuyết : Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật  có được đặt ra không ? hay kỹ thuật  tự nó đã rõ ràng, tự nhiên ? Hình thức giải thích có gần với hình thức chuẩn của toán học không ? Khi quan sát hoạt động của con người trong những thể chế khác nhau, ta thấy thường xuất hiện một “bài giảng” về kỹ thuật cho phép thực hiện T. “bài giảng” đó có mục đích hợp thức hoá, giải thích, biện minh cho cách làm . Đó là thành phần thứ ba của praxéologie, mà ta gọi là công nghệ .Công nghệ cũng có thể khác nhau tùy theo thể chế và cũng có thể chẳng quan hệ với một yếu tố lý thuyết nào cả. Công nghệ có 3 chức năng : biện minh, giải thích, và tạo ra kỹ thuật.  biện minh : nhằm mục đích bảo đảm rằng kỹ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng  giải thích : làm cho người ta hiểu được vì sao lại làm như vậy.  tạo ra kỹ thuật. Đến lượt mình, trong công nghệ chứa đựng những khẳng định mà người ta có thể yêu cầu giải thích. đó là lý thuyết  để giải thích cho công nghệ  mà ta gọi là công nghệ của công nghệ, thành phần thứ tư của một praxéologie. Như vậy  và  tạo thành khối công nghệ- lý thuyết [,]. Khối này thường được xác định như một tri thức (savoir), còn khối [T , ] tạo thành một kỹ năng (savoir – faire). Với cách hiểu khái niệm praxéologie đã trình bày ở trên thì : - Kiểu nhiệm vụ T là có trước khối công nghệ- lý thuyết [,]. Như vậy một tổ chức toán học là một câu trả lời cho một câu hỏi Q, đó là : làm thế nào để thực hiện một nhiệm vụ t  T ? 4.1.2. – Tổ chức toán học tham chiếu Trong luận văn, chúng tôi khảo sát 3 vấn đề liên quan đến điều kiện sinh thái của tích phân, đó là : Phép tính diện tích - đạo hàm, hàm số hợp – phép tính nguyên hàm. Để làm sáng tỏ các vấn đề này, chúng tôi đưa ra các tổ chức toán học cần phân tích và được trình bày dưới đây : cụ thể là làm rõ và đánh giá các thành phần của nó. OM1 : Đạo hàm Trong Chương Đạo hàm, của sách giáo khoa lớp 11–Đại số và Giải tích Nâng Cao (NXBGD – tháng 06 năm 2007) chúng tôi thấy có những kiểu nhiệm vụ sau đây : T1: Đạo hàm của hàm số tại một điểm (định nghĩa và đưa ra quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa, ý nghĩa hình học của đạo hàm là bài toán tiếp tuyến, ý nghĩa cơ học của đạo hàm là bài toán vận tốc tức thời) T2 : Đạo hàm của hàm số trên một khoảng J (định nghĩa và ví dụ) T3 : Tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Các hàm số thường gặp là : y = C (hằng số) ; y = x ; y = xn ; y = x kỹ thuật 1 : Dùng định nghĩa đạo hàm tại một điểm để chứng minh định nghĩa được phát biểu như sau : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số : f(x) - f(x 0 ) khi x dần tới x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc x  x0 y’(x0), nghĩa là f’(x0) = lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 công nghệ 1 : định nghĩa đạo hàm trên một khoảng. Nghĩa là hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J T4 : Các quy tắc tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số có đạo hàm trên khoảng J). T5 : Đạo hàm của hàm số hàm hợp (khái niệm về hàm số hợp và định lý tính đạo hàm của hàm số hợp) Trong kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ sau : T51 : khái niệm về hàm số hợp  51 : nhận biết và tìm được hàm số hợp là hợp của hai hay ba hàm số khác đã cho công nghệ 51: Định lý về hàm số hợp được trình bày như sau : Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d) ; y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên . khi đó, ta lập một hàm số xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên  theo quy tắc sau : x → f(g(x)). Ta gọi y = f(g(x)) là hàm hợp của hàm y = f(u) với u = g(x) T52 : Đạo hàm của hàm số hợp  52 : tính được đạo hàm của hàm số hợp  công nghệ 52: Định lý về đạo hàm của hàm số hợp “Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm là u’(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo biến x là y’x thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y’x = y’u. u’x ” T6 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác (y = sinx , y = cosx ; y = tanx ; y = cotx) T7 : khái niệm vi phân tại một điểm T8 : Đạo hàm cấp cao (đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n) Chương đạo hàm ở lớp 11 nâng cao được dạy đến kiểu nhiệm vụ T8 thì tạm ngưng. Lên lớp 12, học sinh được học tiếp. Sách Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên trình bày thêm các kiểu nhiệm vụ sau : T9 : Đạo hàm của hàm số lũy thừa được nêu ra trong bài hàm số lũy thừa (số mũ hữu tỷ y = n x , n   , n 2 và hàm số vô tỷ y = x ,   ) T10 : Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít được nêu ra trong bài hàm số mũ. hàm số lôgarít. Trong vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chỉ quan tâm đến điều kiện sinh thái của phép tính tích phân do đó chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T3 và T5 OM2 : Điều kiện khả tích. Kiểu nhiệm vụ T : khảo sát sự khả tích của một hàm số f(x) trên đoạn [a;b] kỹ thuật  : xét tính liên tục của một hàm số đã cho trên đoạn [a;b] công nghệ  : thừa nhận định lý : “ Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó” (Sgk do Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn. Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000). Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao cũng phát biểu tương tự, chỉ có khác là thay đoạn [a;b] bằng khoảng K. OM3 : Tính nguyên hàm  f ( x)dx Kiểu nhiệm vụ T : Tính nguyên hàm của một số hàm số Để tính nguyên hàm của một hàm số, người ta đưa ra các kỹ thuật sau 1-kỹ thuật 1 : Dùng bảng các nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm công nghệ 1 : Áp dụng định nghĩa nguyên hàm (Sgk 2000) “Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x  (a;b), ta có F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải có thêm F’(a+ ) = f(a) và F’(b-) = f(b)”. Với sách gk 2007 thì định nghĩa ngắn gọn như sau : “Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K” Tuy nhiên có kèm theo chú ý là khi K = [a;b] thì các tác giả ghi là các đẳng thức F’(a) = f(a) , F’(b) = f(b) được hiểu là : lim xa F ( x)  F (a )  f (a ) xa Sách gk 2007 cũng dùng ký hiệu  f ( x)dx và lim x b  F ( x)  F (b)  f (b) xb để chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm f, vậy (  f ( x)dx) '  f ( x) x3  Ví dụ : Hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [a;b] tùy ý vì 3 F’(x) = x2 , x  (a;b) 2-kỹ thuật 2 : Dùng đạo hàm của hàm số hợp công nghệ 2 : Bảng các nguyên hàm Ví dụ 3- trg 139  a/  4 x 4 dx  4 5 x C 5  b/  1 1 2 1 x2 2 3 xdx   x dx  C  x C 1 3 1 2 x  c/  cos dx  2 x 2  2sin x  C 1 2 2 sin Phần nguyên hàm, các tác giả trình bày đơn giản, dễ tiếp thu. 3-kỹ thuật 3 : Dùng phương pháp đổi biến số - chỉ có trong sgk 2007 công nghệ 3 : Dùng định lý sau đây : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là  f (u)du = F(u) + C thì  f [u( x)]u '( x)dx  F[u( x)]  C Công thức đổi biến số này là cách giải tổng quát của kỹ thuật 2 Ví dụ 1 – trg 142 : tính  (2 x  1) dx 4 Giải : Ta có (2x + 1)4 dx = 1 1 (2x + 1)4(2x + 1)’dx = (2x + 1)4d(2x+1) 2 2 Đặt u = u(x) = 2x+1. áp dụng công thức, ta có :  (2 x  1) 4 dx = = 1  2 (2 x  1) 4 1 1 d (2 x  1)   u 4 du   u 4 du 2 2 1 1 5 1 . u  C  (2 x  1)5  C 2 5 10 Chúng tôi nhận thấy hàm số hợp xuất hiện trong ví dụ như là một biến, do cách gọi tên là đổi biến số. Các ví dụ kế tiếp bám sát với định lý, cùng có dạng  f (u)u ' dx , học sinh dễ dàng nhận ra. Không yêu cầu cao 4-kỹ thuật 4 : Dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần công nghệ 4 : Dùng định lý sau đây (Sgk 2000) Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó  u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   u '( x)v( x)dx hay  udv  uv   vdu Với Sgk 2007 thì viết gọn hơn là : “Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ….” Ví dụ : tính  xe dx x Đặt u(x) = x và v’(x) = ex , ta được u’(x) = 1 và v(x) = ex. Do đó  xe dx  ( xe )   e dx  xe x x x x  ex  C b OM4 : Tính tích phân  f ( x)dx a Kiểu nhiệm vụ T1 : Dùng phương pháp đổi biến số kỹ thuật 1 : Đặt biến số phù hợp với đề bài, kỹ năng tính đạo hàm 1-công nghệ 11 : Định lý (về đổi biến số dạng 1) Sgk-ncao – trg 158 Nếu hàm số u = u(x) và có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a,b là hai số thuộc K thì b u (b ) a u (a)  f ( x)dx   g (u )du 2  Ví dụ 1 – trg 158 : Tính xe x 2 bằng cách đặt u =x2 1 Chỉ có 1 ví dụ, khá dễ hiểu. 2-công nghệ 12 : Định lý (về đổi biến số dạng 2)  Giả sử cần tính  f ( x)dx .  Đặt x =x(t) (t  K) và a,b  K thoả  = x(a),  = x(b) thì  b  a  f ( x)dx   f [ x(t )]x '(t )dt  Ví dụ 2 – trg 159 : Tính 2  1  x 2 dx , sau đây là lời giải của sgk 0 Đặt x = sint. ta có dx = d(sint) = costdt , 0 = sin0 và 1 = sin  Vậy 2  0  2  1  x dx = 2 2  1  sin 2 tdt costdt, vì t [0; 0  2  0   2 ] nên 1  sin 2 t  cos t , do đó :  12 1 s in2t 1  x dx =  cos tdt =  (1  cos 2t )dt  (t  ) 20 2 2 0 2 2 2   2 4 0 Cách đặt này có thể dẫn đến câu hỏi, đó là tại sao lại đặt như vậy, có cách đặt nào khác không?. Ở đây hàm hợp không còn xuất hiện như dạng đổi biến số 1. Tuy nhiên nó vẫn được hiểu là một biến. Như vậy, hàm số hợp có ảnh hưởng đến kỹ thuật tính tích phân của học sinh. Vai trò đạo hàm xuất hiện ngầm ẩn nhưng vô cùng quan trọng. Kiểu nhiệm vụ T2 : Dùng phương pháp tích phân từng phần kỹ thuật 2 : Kỹ năng về đạo hàm và nguyên hàm công nghệ 2: Định lý về tích phân từng phần Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K và a,b  K thì : b b  u( x)v '( x)dx  (u( x)v( x))   u '( x)v( x)dx b a a a b hay b  udv  uv   vdu b a a a 1  xe dx x Ví dụ 3 – trg 160 : tính 0 Chọn u(x) = x và v’(x) = ex. Khi đó u’(x) = 1, v(x) = ex. Do đó 1  1 1 0 xe x dx = ( xe x )   e x dx = e – (e – 1) = 1 0 0 OM5 : Tính diện tích Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính diện tích hình phẳng 1-kỹ thuật 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. công nghệ 1 : Dùng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là : b S=  f ( x) dx a Với công thức này, học sinh cần dựa vào đồ thị của hàm số f(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành sau đó xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn tính tích phân. 2-kỹ thuật 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong công nghệ 2 : Dùng công thức b S  f ( x )  g ( x ) dx a Trong đó f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Với kỹ thuật này, học sinh cần tìm giao điểm của hai đường cong trên đoạn [a;b] hoặc để xác định hai cận tích phân nếu đề bài chưa cho hai cận này sau đó hoặc là xét dấu biểu thức hoặc dựa vào vị trí đồ thị của hai hàm f(x), g(x) để gở bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Nhận xét : Việc tính đạo hàm của một hàm số thông thường là dễ thực hiện hơn tính tích phân, bởi vì trong định nghĩa đạo hàm ta dùng phép lấy giới hạn từ đó thiết lập nhiều công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, hàm lượng giác, mũ và lôgarít, với hệ thống công thức này, giúp học sinh tính đạo hàm của hàm số được dễ dàng. Trái lại định nghĩa nguyên hàm của một hàm số không cho ta một công cụ như vậy vì theo định nghĩa, phải tìm hàm F sao cho F’(x) = f(x). Công cụ chủ yếu là dựa vào hai phương pháp đổi biến số và từng phần, mà đổi biến số thì liên quan đến hàm hợp, kiến thức này được học hết sức đơn giản, vì vậy đối với học sinh, việc tính tích phân thì khó hơn tính đạo hàm. OM6 : Tính thể tích Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính thể tích vật thể kỹ thuật 1 : Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng song song. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng song song (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. b công nghệ 1 : Dùng công thức V =  S ( x)dx a nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể thích của lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đã dùng ở môn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Kiểu nhiệm vụ T2 : Tính thể tích vật thể tròn xoay : kỹ thuật 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b) quay quanh trục Ox. b công nghệ 1 : Dùng công thức V =   f 2 ( x)dx a nhờ công thức này, học sinh chứng minh được thể tích hình cầu, hình nón, hình nón cụt đã dùng ở môn hình học lớp 12 mà chưa được chứng minh. Dưới đây là phần phân tích các tổ chức toán học trong sách bài tập OM Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Sách bài tập CT Phân ban 2007 OM1 T5 xuất hiện ở các bài tập 1.12 a,c,e – trg T5 xuất hiện ở các bài tập 2.68 7,8 ; 1.14 e,h,i,k,l,m,n – trg 8. hợp của 3 b,c,d – trg 81; 2.75 a,d – trg 82 ; hàm. Ví dụ y = sin2(cos3x) 2.83 c,d –trg 83. Các hàm số hợp cho theo dạng hợp của ba hàm số. ví dụ y = 3 ln 2 2x OM2 OM3 Không có bài tập về điều kiện khả tích. a- Xuất hiện dạng tìm nguyên hàm Tương tự như chương trình của hàm f mà không trình bày bằng kí hợp nhất hiệu - kĩ thuật 1 , 2 , thường xuất hiện b- Các bài tập tính f(x)dx , kĩ thuật 3, 4 Tìm hàm f(x) biết f’(x) OM4 Các kỹ thuật về đổi biến số và từng phần xuất hiện OM OM5 Sách bài tập CT hợp nhất năm 2000 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Sách bài tập CT Phân ban 2007 Tương tự - đường cong và trục hoành - đường cong, trục hoành và đường thẳng - đường cong, trục hoàng, trục tung và đường thẳng - đường cong, trục hoành và 2 đường thẳng - đường cong, và 2 đường thẳng - hai đường cong cắt nhau Ngoài ra còn tính thể tích vật giới hạn bởi đường cong, trục hoành. đường cong, trục hoành và hai đường thẳng Tương tự Chương 1. Phép tính diện tích hình phẳng với tư cách là một điều kiện sinh thái của phép tính tích phân Chương này gồm bốn phần chính. Trong phần đầu, chúng tôi thực hiện một nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng bằng cách đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ của nó với phép tính tích phân trong lịch sử toán học. Trong phần hai, sau khi lướt qua quá trình đưa phép tính diện tích vào chương trình từ tiểu học đến trung học phổ thông, chúng tôi tập trung vào mối quan hệ thể chế đối với phép tính diện tích trong chương trình hiện hành (áp dụng chính thức cho lớp 12 từ năm học 20082009). Hai phần đầu này cho phép chúng tôi hình thành trong phần ba đặc trưng về kênh dinh dưỡng “diện tích – tích phân” mà chúng tôi sẽ kiểm chứng trong phần bốn. 1.1. Nghiên cứu khoa học luận về phép tính diện tích hình phẳng Các ý tưởng giúp hình thành môn vi tích phân phát triển qua một thời gian dài. Các nhà toán học Hi Lạp là những người đã đi những bước tiên phong. Leucippe (thế kỷ V trước công nguyên), Démocrite (460-370 trước công nguyên) và Antiphon (480-411 trước công nguyên) đã có những đóng góp vào phương pháp "vét cạn" của Hi Lạp, và sau này được Euxode (408-355 trước công nguyên) nâng lên thành lí luận khoa học. Ý tưởng của c A b H G phương pháp “vét cạn” là dựng hai hình phẳng U, V chặn dưới và chặn trên cả hình phẳng có diện tích A cần tính lẫn hình phẳng S cho trước sao K cho hiệu V – U bé tùy ý. Sau đó, ta chứng minh A = S bằng phản chứng. Đặc biệt, Archimède (287-212 trước công B E M F C nguyên) đã áp dụng phương pháp vét cạn để giải các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích. Trong tác phẩm Về phép cầu phương parabole, ông chứng minh chặt chẽ rằng “một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabole có diện tích bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân”. Giả sử BAC là viên phân parabole đã cho, A là điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến BC ; Bb, Cc là hai đường thẳng song song với AM (M là trung điểm BC). Archimède chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc và lớn hơn một nửa diện tích viên phân. Ông tiếp tục dựng một tam giác nằm trong viên phân giới hạn bởi cát tuyến AC và parabole. Dễ dàng chứng minh rằng diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích tam giác ABC. Hơn nữa, mỗi một tam giác trong hai tam giác này phủ kín hơn một nửa diện tích viên phân ngoại tiếp nó. Archimède có thể lập lại tiến trình này và dựng một đa giác có diện tích xấp xỉ viên phân parabole với sai số bé tùy ý. Tuy nhiên, phương pháp vét cạn không giúp ta phát hiện kết quả mới. Nó chỉ cho phép chứng minh một cách chặt chẽ bằng một cách khác những kết quả cảm nhận được. Bức thư của Archimède gửi Eratosthène (chỉ mới được phát hiện vào đầu thế kỷ 20) cho phép hiểu được tốt hơn phương pháp khám phá của Archimède. Dựa trên ý tưởng hình phẳng được tạo từ các “đường”, phương pháp của Archimède cho phép so sánh diện tích của viên phân với diện tích của tam giác nhờ các xem xét cơ học, chẳng hạn “cân” các đoạn thẳng tạo thành viên phân và tam giác. Phương pháp này sử dụng nguyên lý đòn bẩy: khối lượng tỷ lệ nghịch với cánh tay đòn. Các cánh tay đòn này cho phép thiết lập tỷ số của các diện tích mà người ta chứng minh một cách hình học bằng phương pháp vét cạn. Johannes Kepler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều vô hạn cạnh nội tiếp đường tròn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn diện tích các tam giác vô cùng bé có đáy là cạnh đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn. Theo cách viết hiện đại, ông thu được kết quả sau: S(hình tròn) =   ( tam giac) = R2 1 Năm 1635, Cavalieri (1598 – 1647) đề xuất phương pháp những cái không thể phân chia được. Theo ông, bề mặt được tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đường” song song. “Đường” ở đây được hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm. Mỗi “đường” được gọi là một cái không thể phân chia được của bề mặt cần tính diện tích. Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đường” cùng độ dài thì có diện tích bằng nhau. Nguyên lý tương tự cho thể tích phát biểu rằng thể tích của hai vật thể bằng nhau nếu các thiết diện thẳng tương đương của chúng luôn bằng nhau (Hai thiết diện thẳng gọi là tương đương nếu chúng cùng là giao của vật thể với một mặt phẳng cách đều mặt phẳng đáy cho trước). Tính diện tích hình tròn bán kính R theo Cavalieri Hình tròn được phủ kín bởi những đường tròn đồng tâm có độ dài 2r với r biến thiên từ 0 đến R. Các đường tròn này là những cái không thể phân chia được của hình tròn. Tam giác có đáy 2πR và chiều cao R được phủ kín bởi các đoạn thẳng có độ dài 2πr với r biến thiên từ 0 đến R. Các đoạn thẳng này là những cái không thể phân chia được của tam giác. Hai hình phẳng đang xét được tạo thành từ những cái không thể phân chia được có cùng độ dài nên có cùng diện tích. Diện tích của chúng là 2πR.R/2 = πR². Độc lập với Cavalieri, trong khi xác định diện tích giới hạn bởi một cung cycloïde, Roberval (1602-1775) phát triển một phương pháp những cái không thể phân chia được, dựa trên quan điểm gần như số học với các cấp số cộng vô hạn thay cho cách tiếp cận hình học của Cavalieri. Trái với Cavalieri xem hình phẳng được tạo từ các đường, Roberval cho rằng nó được tạo từ các mặt. Khi thiết lập một phương thức chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân, Fermat (1601-1665) tìm cách phát biểu bài toán diện tích dưới dạng đại số. Điều này khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé. Pascal (1623-1662) thay thế các lập luận trực giác của Cavalieri bằng những lập luận số học về chuỗi. Khi tính diện tích hình phẳng nằm dưới parabol y = x2, tại các điểm trên trục hoành có hoành độ lập thành cấp số cộng công sai d, ông dựng các hình chữ nhật có hai kích thước là d và (id)2 (i = 1, 2, ..., n), tính diện tích và xác định tổng S của chúng: S = d.d2 + d.(2d)2 + ... + d.(nd)2 = d3 + 4d3 + ... + n2d3 = d3(1 + 22 + ... + n2) = d3[n(n + 1)(2n +  n3 n 2 n  1)/6] = d  3  2  6  3 Nếu số hình chữ nhật tăng lên vô hạn, Pascal loại các số hạng n2/2 và n/6, giữ lại số hạng n3/6. Khi đó, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3. Trong tác phẩm Philosophiae naturalis principia mathematica của Newton (1642-1727) xuất bản năm 1687, ta tìm thấy ba quan niệm khác nhau về phép tính vi tích phân: quan niệm về vô cùng bé chịu ảnh hưởng của Barrow và Wallis, phương pháp dòng chảy, phương pháp tỷ số đầu và tỷ số cuối. Newton cũng thu được kết quả về mối liên hệ giữa diện tích và hàm số được phát biểu bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: S’(x) = f(x). Độc lập với Newton, Leibniz (1646-1716) cho rằng việc tìm tiếp tuyến với đường cong phụ thuộc vào tỷ số giữa hiệu tung độ và hiệu hoành độ khi các hiệu này trở thành vô cùng bé. Ông cũng cho rằng việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng các hình chữ nhật vô cùng bé dựng trên các khoảng vô cùng bé của trục hoành. Sau năm 1673, Leibniz đồng nhất bài toán ngược của tiếp tuyến với bài toán diện tích. Ông xây dựng phương pháp tính của mình dựa trên khái niệm vi phân (không hoàn toàn giống khái niệm vi phân hiện đại). Phép tính hiệu là phép toán cơ bản của Leibniz. Việc lấy tổng là phép toán ngược. Trái với Newton luôn xét tích phân bất định và tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên, Leibniz đưa vào tích phân xác định. Năm 1673, ông tìm được định lý về biến hình cho phép thực hiện phép cầu phương một đường cong thông qua một đường cong phụ. Dưới đây là ví dụ minh họa mối liên hệ giữa việc đổi tung độ z = x2 và phép biến hình do Leibniz thực hiện trong một phép cầu phương đặc biệt. z = x2 biến hàm số 2 4x thành . Các điểm x và x + Δx được biến thành z = x2 và z + Δz = x2 + 2xΔx + 2 1 z 1 x 1, 5 2 Δx . Khi Δx tiến đến 0, các hình chữ nhật màu đen có cùng diện tích và do đó, hai tích phân 4x 1 x 2 0 2 , 25  2 dx , 2 dz có cùng giá trị. 1 z 1.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế về phép tính diện tích trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu phép tính diện tích hình phẳng được dạy từ tiểu học đến trung học phổ thông. 1.2.1. Trong chương trình và sách giáo khoa tiểu học Từ lớp 3, diện tích một hình (phẳng) được trình bày nhờ các ví dụ về so sánh diện tích nhưng không định nghĩa. Thông qua các ví dụ này, khái niệm diện tích lấy một cách ngầm ẩn các ý nghĩa khác nhau: - Diện tích là chỗ bị chiếm bởi một bề mặt; - Diện tích là số ô vuông cần thiết để lát một bề mặt; - Diện tích là số nhận được khi áp dụng một công thức. Ở lớp 3, thông qua hình vẽ và phép đếm các hình vuông đơn vị, sách Toán 3 trình bày các ví dụ sau: - Diện tích của hình này nhỏ hơn diện tích hình kia. - Hai hình khác nhau nhưng có diện tích bằng nhau. - Diện tích của một hình bằng tổng diện tích của hai hình khác. - Công thức tính diện tích hình chữ nhật. - Công thức tính diện tích hình vuông. Như vậy, ở lớp 3, học sinh học công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, so sánh diện tích của hai hình và tính chất cộng tính của diện tích. Ở lớp 5, học sinh học công thức diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình tròn. Trong phần bài tập, xuất hiện các kiểu nhiệm vụ sau: T1. Tính diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. T2. Tính diện tích một đa giác ghép bởi tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông có hình vẽ và kích thước cho trước. T3. Tính một kích thước của hình chữ nhật biết diện tích và kích thước kia 1.2.2. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học cơ sở : Ở các lớp 6 và 7, việc tính diện tích không được nhắc đến. Ở lớp 8, các công thức tính diện tích đã học ở tiểu học được phát biểu lại dưới dạng định lý và thừa nhận, không chứng minh. 1.2.3. Trong chương trình và sách giáo khoa trung học phổ thông : Sách Hình học 10 (ban cơ bản) trình bày thêm 4 công thức diện tích tam giác: S 1 1 1 ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 2 2 S abc 4R S = pr S p ( p  a )( p  b)( p  c) với BC = a, CA = b; AB = c; R và r lần lựợt là bán kính đường tròn ngọai tiếp, nội tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác. Diện tích của hình tròn không được nhắc đến trong sách này vì chương trình chỉ quan tâm đến phương trình của đường tròn. Sách Hình học 11 (ban cơ bản) viết về hình học không gian, trong đó thừa nhận, không chứng minh các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối tròn xoay. Sách Giải tích 12 (ban cơ bản) phát biểu bài tóan diện tích hình thang cong và đưa vào khái niệm tích phân. Trong phần lý thuyết, tích phân được dùng để chứng minh một số công thức diện tích như diện tích hình tròn, hình elíp. Như vậy, việc tính diện tích được dạy cho học sinh từ lớp 3 nhưng mãi đến lớp 12 thì công cụ tích phân mới cho phép tính diện tích của những “đa giác cong” và do đó hoàn chỉnh việc tính diện tích một hình phẳng bất kỳ.