ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN TRUNG DŨNG
LIMIT AND SHAKEDOWN ANALYSIS OF
STRUCTURES USING ADVANCED
DISCRETISATION METHODS AND SECOND
ORDER CONE PROGRAMMING
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số chuyên ngành: 62 44 21 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2018
Công trình được hoàn thành tại :
Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Người hướng dẫn khoa học
1. PGS.TSKH. Phạm Đức Chính
2. PGS.TS. Lê Văn Cảnh
Phản biện 1: GS.TS. Phạm Chí Vĩnh
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Trung Kiên
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Văn Hiếu
Phản biện độc lập 1: GS.TS. Phạm Chí Vĩnh
Phản biện độc lập 2: TS. Châu Đình Thành
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên.
Vào lúc………..giờ………..ngày……tháng……năm……….
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện :
-
Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM
-
Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
TÓM TẮT
Phân tích giới hạn và thích nghi đóng vai trò quan trọng trong tính toán
kết cấu. Trong đề tài nghiên cứu này, các phương pháp phần tử hữu hạn
(PTHH) và phần tử hữu hạn trơn, cùng với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, quả
cầu nhỏ nhất, đã được phát triển cho đường lối tiếp cận thích nghi động học
giản yếu và giải quyết thành công các bài toán ứng suất phẳng cho các kết
cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng và cả rộng hơn là vật liệu đàn dẻo tái bền
động học giới hạn. Các kỹ thuật riêng đã được phát triển để giải quyết các
dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay
lặp lại. Lần đầu tiên cho được ví dụ cụ thể kết cấu có thể hỏng do biến dạng
dẻo quay lặp lại trước khi nó có thể bị hỏng do biến dạng dẻo đổi chiều lặp
lại – là dạng hỏng đã được biết đến rộng rãi. Các tiếp cận thích nghi động
học từ trên và tĩnh học từ dưới đều được áp dụng và cho các kết quả hội tụ
phù hợp. Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) đã
được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, trong đó
đóng góp nổi bật là xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc ở
trạng thái giới hạn.
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
Giới thiệu
Phân tích giới hạn và thích nghi là xác định hệ số tải trọng giới hạn để
tránh cho kết cấu không bị phá hủy khi tăng dần tải trọng đến trạng thái
giới hạn hoặc hư hỏng biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp
lại khi chịu tải trọng lặp thay đổi. Việc phân tích các kết cấu đến trạng thái
giới hạn dẻo là một quá trình phức tạp do phải tiến hành từng bước với
những gia tăng nhỏ của tải trọng (step-by-step method). Một hướng tính
toán khác dựa trên lý thuyết phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn (limit and
shakedown analysis), tải trọng giới hạn (phá hoại) của kết cấu có thể xác
định một cách trực tiếp, không cần thông qua các giai đoạn phân tích trung
gian như trong phương pháp từng bước (step-by-step method). Trong
hướng tính toán này, dựa trên các tiêu chuẩn chảy dẻo của vật liệu (tiêu
chuẩn von Mises, Mohr-Coulomb…) kết hợp với các định lý cơ bản về cận
trên hoặc cận dưới và các phương pháp số (như phần tử hữu hạn, không
lưới, đẳng hình học…), việc xác định tải trọng giới hạn có thể được thiết
lập với dạng tối ưu toán học.
Tình hình nghiên cứu
Phân tích giới hạn và thích nghi đã được nhiều tác giả trong và ngoài
nước nghiên cứu, mục đích chủ yếu là để tăng tính hiệu quả về độ chính
1
xác và giảm chi phí tính toán. Các hướng nghiên cứu tập trung nhiều vào
các lý thuyết chảy dẻo, kỹ thuật tối ưu toán học và ứng dụng các phương
pháp số.
Đối với bài toán phân tích thích nghi của kết cấu, công thức thích nghi
động học hợp nhất của König (1987) được phát triển dựa trên các định lý
của Koiter (1953, 1960) thường được sử dụng rộng rãi. Tuy nhiên công
thức này không xác định được dạng phá hoại của kết cấu để có hướng xử lý
phù hợp. Gần đây, Pham (2003b) đề xuất công thức thích nghi động học
giản yếu có thể xác định được hai dạng phá hoại của kết cấu (phá hủy do
biến dạng dẻo tăng dần, và phá hủy do biến dạng dẻo giới hạn lặp lại – gồm
biến dạng dẻo đổi chiều hay biến dạng dẻo quay lặp lại). Một vài nghiên
cứu ứng dụng công thức này đã được công bố tuy nhiên chỉ dùng lại ở các
kết cấu cơ bản đặc thù.
Về kỹ thuật tối ưu toán học, các thuật toán tối ưu tuyến tính
(Anderheggen & Knopfel, 1972; Nguyen-Dang, 1984; Sloan, 1988) hoặc
phi tuyến (Gaudrat, 1991; Andersen, 1996) có thể được sử dụng để giải bài
toán tối ưu toán học trên. Tuy nhiên, các hạn chế tồn tại là: (i) Để dùng
thuật toán tuyến tính thì tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, do đó số
ẩn số và điều ràng buộc sẽ rất lớn dẫn đến chi phí tính toán rất lớn; (ii)
Thuật toán tối ưu phi tuyến có thể dùng để giải bài toán tối ưu phi tuyến –
liên quan đến hàm dẻo phi tuyến. Tuy nhiên, hàm mục tiêu (tiêu tán chảy
dẻo) không tồn tại đạo hàm tại những điểm không có biến dạng dẻo (nondifferential), trong khi các thuật toán tối ưu phi tuyến mạnh đều đòi hỏi
hàm mục tiêu phải tồn tại đạo hàm mọi nơi. Gần đây, thuật toán tối ưu nón
bậc hai Andersen et al. (2001, 2003) đã được phát triển để khắc phục các
vấn đề trên. Hơn nữa, phần lớn các tiêu chuẩn chảy dẻo đều có thể chuyển
về dạng hình nón bậc hai. Do đó, hiện nay thuật toán tối ưu nón bậc hai
thường được áp dụng để giải bài toán phân tích giới hạn (Le et al., 2010c;
Bisbos et al., 2005; Makrodimopoulos, 2006; Weichert and Simon, 2012).
Bên cạnh đó, nhiều phương pháp số mới hiện nay như phần tử hữu hạn
trơn (Tran et al., 2009; Nguyen-Xuan et al. (2012), không lưới (Le et al.,
2009; Le et al., 2012), đẳng hình học (Nguyen-Xuan et al., 2014) đã được
ứng dụng và giải quyết khá tốt nhiều lớp bài toán liên quan đến vấn đề xác
định tải trọng giới hạn. Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)
với phần tử bậc thấp vẫn được xem là phương pháp tính toán và mô phỏng
số hiệu quả và rộng rãi nhất trong Khoa học – Kỹ thuật. Tuy nhiên, phần tử
này vẫn còn tồn tại những hạn chế liên quan đến kỹ thuật phần tử khi giải
quyết các bài phân tích giới hạn. Điều đó đã ảnh hưởng đáng kể đến độ
chính xác của phương pháp số thông dụng này.
2
Mục tiêu nghiên cứu
Ta có thể thấy các hướng nghiên cứu về phân tích giới hạn và thích nghi
tuy đã được quan tâm nhiều trên thế giới, tuy nhiên vẫn còn những khía
cạnh mà các nghiên cứu trước đây chưa thật sự giải quyết triệt để và hiệu
quả. Vì vậy, trong luận án này sẽ tập trung giải quyết các nội dung sau
nhằm nâng cao kiến thức học thuật và giải quyết hiệu quả, chính xác các
bài toán phân tích giới hạn và thích nghi với mức độ phức tạp ngày càng
cao để đáp ứng nhu cầu thực tế.
- Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) và phần tử hữu hạn trơn,
cùng với các kỹ thuật tối ưu nón bậc 2, sẽ được phát triển cho đường
lối tiếp cận thích nghi động học giản yếu để giải quyết các bài toán
phẳng cho các kết cấu từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng và cả rộng hơn là
vật liệu đàn dẻo tái bền động học giới hạn. Ngoài ra, các kỹ thuật
riêng sẽ được phát triển để giải quyết các dạng hỏng dẻo phân tách:
biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo quay lặp lại.
- Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho bài
toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt, trong đó chủ yếu là so
sánh để xây dựng hàm làm giàu phù hợp với trường vận tốc ở trạng
thái giới hạn.
Cấu trúc của luận án
Luận án gồm 7 chương. Nội dung chủ yếu của các chương được tóm tắt
như sau:
- Chương 1: giới thiệu tổng quan về đề tài, nội dung và mục tiêu
nghiên cứu.
- Chương 2: trình bày các kiến thức nền tảng về lý thuyết chảy dẻo,
các định lý của phương pháp phân tích giới hạn.
- Chương 3: trình bày công thức thích nghi động học giản yếu dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn và tối ưu nón bậc 2. Các ví dụ số
để minh họa tính chính xác và hiệu quả của phương pháp.
- Chương 4: trình bày công thức phân tích giới hạn cho kết cấu có vết
nứt dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng và tối ưu nón
bậc 2. Các ví dụ số để minh họa tính chính xác và hiệu quả của
phương pháp.
- Chương 5: phát triển thuật toán phân tích thích nghi tách mode cận
trên và cận dưới cho các kết cấu tái bền, đề xuất kỹ thuật riêng để
giải quyết dạng hỏng dẻo biến dạng dẻo quay lặp lại.
- Chương 6: phát triển công thức thích nghi động học giản yếu dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn và tối ưu nón bậc 2. Các ví
dụ số để minh họa tính chính xác và hiệu quả của phương pháp.
3
-
Chương 7: thảo luận một số vấn đề lần đầu tiên được phát hiện. Sau
cùng là các kết luận và kiến nghị để nêu bật những đóng góp khoa
học và các vấn đề cần được nghiên cứu phát triển của đề tài.
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ KHOA HỌC TỔNG QUAN
Tổng quát về lý thuyết dẻo
Đối với vật liệu đẳng hướng, tiêu chuẩn chảy dẻo có thể biểu diễn theo
các ứng suất chính
f (σ) = f (J 1, J 2 , J 3 ) = 0,
(2.1)
trong đó J 1, J 2 , J 3 là các bất biến của tenxơ ứng suất. Theo tiêu chuẩn chảy
dẻo von Mises, sự chảy dẻo xảy ra khi ứng suất tiếp bát diện đạt tới giá trị
ứng suất cắt giới hạn kv bằng 1
3 của ứng suất giới hạn chịu kéo.
J2 − kv = 0,
(2.2)
Ngoài ra, theo luật chảy dẻo kết hợp, tốc độ biến dạng dẻo vuông góc với
mặt tải và hướng ra ngoài mặt này
∂f
(2.3)
,
e p = µ
∂σ
từ đó ta xác định được hàm tiêu tán dẻo theo tiêu chuẩn von Mises như sau:
( )
D ep =
(
2k v e p : e p
)
1
2
(2.7)
.
Các lý thuyết cơ bản của thích nghi
Xét hệ kết cấu chịu n tải trọng độc lập theo thời gian Pk0 (t ) và mỗi tải
trọng có giá trị thay đổi trong khoảng sau
Pk0 (t ) = Pk−, Pk+ = µk−, µk+ Pk0
k = 1, n.
Công thức thích nghi động học của Koiter, định lý 2.2 :
Thích nghi sẽ xảy ra nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn
T
∫
0
T
dt ∫ f ⋅ u dV + ∫ g ⋅ u dΓ ≤ ∫ dt ∫ D ep dV .
V
Γt
0
V
( )
(2.16)
(2.24)
Thích nghi sẽ không xảy ra nếu thỏa bất đẳng thức sau
∫
T
0
T
dt ∫ f ⋅ u dV + ∫ g ⋅ u dΓ > ∫ dt ∫ D ep dV .
Γt
0
V
V
( )
(2.25)
4
+
Dựa vào định lý trên, cận trên của hệ số tải trọng thích nghi ks có thể được
xác định dưới dạng bài toán tối ưu toán học
( )
T
ks+ = min ∫ dt ∫ D e p dV
0
V
T
e p
∫0 dt ∫V σ e dV = 1,
T
1
(2.26)
∆ε p = ∫ e pdt = (∆ui , j + ∆u j ,i ) in V ,
0
s.t
2
T
∆ui = ∫ u idt
in V ,
0
∆u = 0
on Γu .
i
Từ đó, König (1987) đã xây dựng lại công thức thích nghi động học của
Koiter dựa trên lý thuyết hai vòng lồi (two convex-cycle theorem) như sau:
M
( )
ks+ = min ∑ ∫ D ekp dV
V
k =1
M
σe e pdV = 1,
∑
k =1 ∫V k k
(2.28)
M
p
p
s.t
∆
=
V
ε
e
in
,
∑ k
k =1
∆
=
0
u
on Γu ,
Công thức (2.28) không còn tích phân theo thời gian và M = 2n là số đỉnh
tải của miền tải trọng.
Trong khi đó, công thức thích nghi động học giản yếu được xác định
như sau:
{ }
ks ≤ min I , R ,
(2.33)
trong đó
I =
e
infp
∫
V
σ ∈L,ε ∈
∫
( )
D ε p dV
max σe (x, t ) : ε p (x)dV
,
(2.34)
V 0≤t ≤T
R=
infp 0
σe ∈L, ε ∈ A0
T
∫
0
T
∫
0
( )
dt ∫ D ep 0 dV
V
dt ∫ σ : e dV
e
p0
,
(2.35)
V
5
với I là giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy do biến dạng dẻo tăng dần
và R là giá trị tải trọng xác định dạng phá hủy do biến dạng dẻo giới hạn
lặp lại.
Các biểu thức tương ứng đối với lý thuyết thích nghi cho vật liệu đàn
dẻo tái bền động học (Pham, 2017) sẽ được trình bày ở chương 5.
Lý thuyết phân tích giới hạn
Định lý cận trên:
Hệ số tải trọng giới hạn λexact là nhỏ nhất trong số các hệ số tải
+
trọng λ tương ứng với các trường vận tốc chuyển vị u khả dĩ động
λexact ≤ λ + ,
(2.42)
Dựa vào định lý cận trên ta có thể đưa bài toán về dạng tối ưu toán học
như sau:
λexact = minWint
ep = ∇s ⋅ u
in V ,
(2.43)
s.t u = 0
on Γu ,
W = 1.
ext
Tối ưu nón bậc hai
Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng đa số các tiêu chuẩn chảy dẻo truyền
thống đều có thể biểu diễn dưới dạng ràng buộc nón bậc hai như sau:
di
di
2
Ki =
x
∈
x
≥
x
(2.54)
i
∑ i,j .
i ,1
j =2
Trong luận án này bài toán tối ưu đã được rời rạc sẽ được đưa về dạng bài
toán tối ưu nón bậc hai, và sau đó bài toán sẽ được giải quyết bằng phần
mềm thương mại Mosek (Mosek, 2010).
CHƯƠNG 3. CÔNG THỨC THÍCH NGHI ĐỘNG HỌC GIẢN YẾU
Giới thiệu
Trong chương này, lý thuyết thích nghi động học giản yếu (Pham, 1992,
2000a,b, 2003a,b, 2008, 2010, 2013; Pham and Stumpf, 1994;...) sẽ được
kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cùng với kỹ thuật tối
ưu nón bậc 2 để giải quyết các bài toán ứng suất phẳng.
6
Công thức thích nghi động học giản yếu
Từ lý thuyết thích nghi động học của Koiter, Pham (1992) và Pham và
Stumpf (1994) đã đề xuất công thức thích nghi động học giản yếu đơn giản
hơn
{ }
ks ≤ ksr = min I , A ,
(3.11)
trong đó
I =
A=
∫
infp
( )
D ε p dV
V
maxt σe (x, tx ) : ε p (x) dV
x
V
∫
σe ∈L; ε ∈C
,
(3.12)
( )
2D ˆε p
,
(3.13)
σe (x, t ) − σe (x, t ) : ˆε p (x)
1
2
với I , A lần lượt là dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần và dạng phá hoại
biến đổi chiều lặp lại. Trong dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần, trường
biến dạng dẻo động học ε p phải tương thích trên toàn miền V, trong khi đối
với dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại thì không cần điều kiện này. Pham
inf p
e
x∈V ; σ ∈ L; ˆε ; t1 ,t2
và Stumpf (1994) đã chứng minh rằng trong hầu hết trường hợp ks = ksr ,
chưa có trường hợp nào cho thấy ks < ksr .
Công thức thích nghi động học giản yếu rời rạc
Dạng phá hoại biến dạng dẻo tăng dần I ở công thức (3.12) có thể được
viết lại dưới dạng chuẩn hóa sau
I =
inf
∫ D (ε )dV
∫ max σ (x, t ) : ε (x)dV = 1.
σe ∈L; εp ∈C
s.t
p
V
e
p
(3.15)
V 0≤t ≤T
Sử dụng phương pháp rời rạc phần tử hữu hạn và tích phân Gauss ta
được
NG
I = min ∑ σY ξi
i =1
(B d )
T
i
i
Θ Bi di
NG
ξ max σe B d = 1,
∑
s.t i =1 i k =1,...,M ik i i
d =0
i
{
(3.16)
}
on ∂Vu ,
7
trong đó, ξi là trọng số tại điểm tích phân thứ i và NG là tổng số điểm lấy
tích phân. Bài toán (3.16) là vấn đề khó khi liên quan đến việc xác định
điều kiện công ngoại cực đại tại mỗi điểm trên toàn miền tải trọng với M
đỉnh tải khi biến di chưa biết. Để giải quyết vấn đề này, trong luận án này
đề xuất thay vì giải trực tiếp (3.16), các trường tốc độ chuyển vị ảo dik (k =
1,…, M) được xác định từ bài toán phân tích giới hạn dẻo (plastic limit) sẽ
được sử dụng. Trong đó dik được xác định như sau :
NG
kpk = inf ∑ σY ξi
(B d )
T
i
ik
Θ Bi dik
(3.17)
e
∑ ξi σik Bi dik = 1,
s.t
i =1
on ∂Vu ,
di = 0
và sau đó ta có thể tìm được giá trị trên gần đúng I ′ theo công thức sau
i =1
NG
NG
I ≤ I = min
'
∑σ
ξ
(B d )
T
i
ik
∑ ξi max
{
i =1
NG
k =1,...,M
i =1
Y i
m =1,...,M
Θ B i d ik
σeim Bi d ik
}
.
(3.18)
Trong đó, vấn đề (3.17) ở trên có thể được biến đổi về dạng nón bậc 2 như
sau
NG
kpk = min ∑ σY ξiti
i =1
trong đó
NG
ξ σe B d = 1,
∑
i =1 i ik i ik
s.t
on ∂Vu ,
di = 0
ρ (dik ) ≤ ti , i = 1, 2,..., NG,
(3.19)
ρ
1
ρ (d i ) = ρ2 = CT B i d ik ,
(3.20)
ρ 3
Vấn đề (3.19) là dạng tối ưu nón bậc 2 chuẩn với các điều kiện nón,
phương trình và bất phương trình có thể được giải quyết một cách hiệu quả
bằng phần mềm thương mại Mosek theo thuật toán tối ưu điểm trong
8
(Andersen et al., 2001, 2003). Ngoài ra bậc tự do trong bài toán (3.19) nhỏ
hơn M (là số đỉnh tải) lần so với bài toán (2.28).
Ví dụ số
Trong nội dung này, mô hình tính toán theo thích nghi động học giản
yếu sẽ được thực hiện trên các bài toán biến dạng phẳng và so sánh với các
kết quả đã được công bố trước đây. Với tiêu chuẩn von Mises được sử
dụng, công thức biểu diễn dạng phá hoại biến đổi chiều lặp lại (3.13) có thể
được giải quyết bằng công thức sau
2
σ
3 Y
σe (x, t ) − σe (x, t ') : σe (x, t ) − σe (x, t ')
2σY
2
A=
=
min
σe ∈L, x∈V , t , t '
min
σe ∈L, x∈V , t , t '
σe x, t − σe (x, t ') + σe (x, t ) − σe (x, t ') − ...
11
22
11 ( )
22
2
2
σe (x, t ) − σe (x, t ') σe (x, t ) − σe (x, t ') + 3 σe (x, t ) − σe (x, t ')
11
22
12
11
22
12
2
2
.
(3.21)
Hình 3.4.1. Biểu đồ tương tác của
tấm vuông lỗ tròn chịu miền tải trọng
Hình 3.5. Biểu đồ tương tác của
tấm rãnh chịu miền tải trọng
0.4 ≤ p1′ ≤ p1 , 0.4 ≤ p2′ ≤ p2
0.035pN ≤ pN′ ≤ pN ,0.035pM ≤ pM′ ≤ pM
Các bài toán tiến hành phân tích gồm tấm vuông có lỗ tròn, tấm rãnh
(grooved plate) với nhiều dạng biến đổi của tải trọng tĩnh, tải trọng dao
động điều hòa. Các kết quả tính toán cho thấy, phương pháp sử dụng công
thức thích nghi động học giản yếu chỉ có sự sai khác nhỏ so với các phương
pháp trước đây sử dụng công thức động học của Koiter. Đặc biệt trong
công thức thích nghi động học giản yếu, các mô hình phá hoại khác nhau
ứng với các dạng biến đổi của tải trọng đều được xác định (hình 3.3, hình
3.5), điều này giúp cho việc đánh giá ứng xử của kết cấu được cải thiện
đáng kể.
9
Kết luận
Công thức thích nghi động học giản yếu kết hợp với phương pháp phần
tử hữu hạn cùng với kỹ thuật tối ưu nón bậc 2 đã giải quyết thành công bài
toán ứng suất phẳng. Đặc biệt trong công thức thích nghi động học giản
yếu, các mô hình phá hoại khác nhau ứng với các dạng biến đổi của tải
trọng đều được xác định, điều này giúp cho việc đánh giá ứng xử của kết
cấu được cải thiện đáng kể. Mặc dù chỉ các bài toán ứng suất phẳng được
xem xét nhưng quy trình tính toán này có thể được mở rộng áp dụng với
các kết cấu phức tạp hơn.
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG
CHO TÍNH TOÁN TẢI GIỚI HẠN CỦA KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT
Giới thiệu
Phân tích giới hạn cho bài toán có vết nứt đã được nghiên cứu bởi nhiều
tác giả (Yan and Nguyen-Dang, 1999; Hill, 1952; Ewing, 1967; Ewing and
Richards, 1974). Trong đó các phương pháp sử dụng chủ yếu là phương
pháp đường trượt (chỉ giải quyết được các bài toán đơn giản) hoặc phương
pháp phần tử hữu hạn nhưng phải kết hợp với kỹ thuật chia lưới phù hợp
khá phức tạp tại các phần tử có vết nứt. Gần đây, phương pháp phần tử hữu
hạn mở rộng (Belytschko and Black, 1999; Moës at el., 1999) đã được phát
triển ứng dụng nhiều cho các kết cấu của cơ học rạn nứt. Trong chương
này, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) kết hợp với tối ưu
nón bậc 2 sẽ được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết
nứt.
Phân tích giới hạn động học
Xét một hệ cứng dẻo lý tưởng, hàm tiêu tán năng lượng được xác định
như sau
D (ε ) =
∫
Ω
σ p εT Θ ε ,
(4.10)
trong đó,
Θ=
4
1
2
3
0
1
−1
0
2 0
4 0
0 1
−1 0
1 0
0 1
plane stress,
(4.11)
plane strain,
10
∂
ε ∂x
xx
ε = εyy = 0
γxy ∂
∂y
0
∂
u.
∂y
∂
∂x
(4.12)
Phân tích giới hạn dựa trên phương pháp XFEM
Trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hàm xấp xỉ chuyển vị tại
điểm x được biểu diễn như sau
uh ( x ) =
4
N i (x) ui + ∑ N j (x ) H (x) a j + ∑ N k (x) ∑ ψkα (x) bkα ,
i ∈ N FE
j∈NH
α =1
∈Nψ
k
∑
uhFE ( x)
uhH (x)
(4.13)
uhψ ( x)
h
trong đó, uenr
(x) = uhH (x) + uhψ (x) là các xấp xỉ chuyển vị mở rộng làm
giàu gồm 2 phần: phần làm giàu sử dụng hàm Heaviside và phần làm giàu
sử dụng tập các hàm nhánh ψ ( x) tại đỉnh vết nứt.
Đối với cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt
được biểu diễn như sau
{ψ }
4
α
k α=1
( )
θ
θ
θ
θ
= r
sin , cos , sin sin θ, cos sin θ
,
2
2
2
2
(4.15)
trong đó θ,r là tọa độ cực địa phương tại đỉnh vết nứt.
Trong luận án này, bên cạnh hàm làm giàu ở (4.15), các hàm làm giàu
tại đỉnh vết nứt dựa trên giải pháp của Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)
(Hutchinson, 1968; Rice and Rosengren, 1968) cho vật liệu đàn dẻo cũng
sẽ được bổ sung để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của phương pháp
XFEM đối với bài toán phân tích giới hạn. Các hàm làm giàu này được
biểu diễn ở (4.19) và (4.20)
θ
θ
θ
θ
θ
θ
{ψ } = sin 2 , cos 2 , sin 2 sin θ, cos 2 sin θ, sin 2 sin 2θ, cos 2 sin 2θ ,
k
{ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 3θ, cos θ2 sin 3θ,
k
(4.19)
(4.20)
Khi đó, xấp xỉ trường chuyển vị cho bài toán phân tích giới hạn trở thành
11
uh ( x ) =
∑
i ∈ N FE
N i (x ) u i +
∑ N (x) H (x) a
j ∈ NH
j
j
+
6
∑ N (x ) ∑ ψ (x) b
k ∈Nψ
k
α =1
α
k
α
k
(0.1)
,
Kết hợp với định lý cận trên (công thức động học) của phân tích giới hạn,
bài toán phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt được xác định lại theo
(4.29)
NG
λ + = min ∑ σ p ξi
i =1
(B d )
T
i
Θ Bi d
(4.29)
d = 0
on Γ u ,
s .t
F d = 1.
( )
Bằng các biến đổi thích hợp, bài toán (4.29) có thể được đưa về dạng tối
ưu nón bậc 2 như sau
NG
λ + = min ∑ σ p ξiti
i =1
d=0
on Γu ,
(4.32)
s.t F (d ) = 1,
ρ ≤ ti
i = 1, 2, ..., NG .
i
Cần lưu ý là đối với bài toán biến dạng phẳng điều kiện không nén được
Λ T B i d = 0 sẽ được bổ sung vào điều kiện của (4.32).
Các ví dụ số
Mô hình tính toán phân tích giới hạn cho kết cấu có vết nứt sử dụng
XFEM kết hợp tối ưu nón bậc 2 đã được thực hiện trên các bài toán ứng
suất phẳng hoặc biến dạng phẳng của tấm chịu kéo 1 vết nứt, tấm chịu kéo
2 vết nứt, ống tròn có vết nứt chịu áp lực, và tấm chịu kéo vết nứt xiên. Bốn
mô hình về hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt đã được khảo sát để đánh giá tính
chính xác và hiệu quả gồm :
XFEM1–
(4.37)
{ψk } = r sin 2θ , cos 2θ , sin 2θ sin θ, cos 2θ sin θ.
XFEM2–
(4.38)
{ψk } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ .
XFEM3–
{ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 2θ, cos θ2 sin 2θ.
k
(4.39)
12
XFEM4–
{ψ } = sin θ2 , cos θ2 , sin θ2 sin θ, cos θ2 sin θ, sin θ2 sin 3θ, cos 2θ sin 3θ .
k
(4.40)
Khi so sánh với các kết quả nghiên cứu đã được công bố trước đây gồm
các phương pháp giải tích, phương pháp số sử dụng mô hình đối xứng hoặc
chia lưới theo vết nứt..., phương pháp đề xuất trong luận án cho kết quả phù
hợp. Trong đó mô hình sử dụng hàm làm giàu (4.39) và (4.40) cho kết quả
ổn định hơn. Ngoài ra, một thuận lợi có thể thấy rõ ràng ở phương pháp này
là việc chia lưới được thực hiện rất dễ dàng so với các phương pháp đã
được công bố trước đây.
Kết luận
Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), kết hợp với tối ưu nón
bậc 2 đã được phát triển cho bài toán phân tích giới hạn kết cấu có vết nứt.
Bốn mô hình về hàm làm giàu tại đỉnh vết nứt đã được khảo sát để đánh giá
tính chính xác và hiệu quả của phương pháp. Kết quả nghiên cứu cho thấy,
phương pháp cho kết quả tốt, hiệu quả, việc chia lưới được thực hiện rất dễ
dàng so với các phương pháp đã được công bố trước đây. Các hàm làm
giàu được sử dụng đều cho kết quả phù hợp, tuy nhiên các hàm làm giàu
tại đỉnh vết nứt dựa trên giải pháp của Hutchinson-Rice-Rosengren (HRR)
cho kết quả tốt nhất.
CHƯƠNG 5. PHÁ HOẠI DẺO QUAY LẶP VÀ DẠNG PHÁ HOẠI
KHÔNG THÍCH NGHI CHO KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG LẶP
Giới thiệu
Trong chương này, các kỹ thuật riêng sẽ được phát triển để giải quyết
các dạng hỏng dẻo phân tách: biến dạng dẻo tăng dần, và biến dạng dẻo
quay lặp lại. Lần đầu tiên cho được ví dụ cụ thể kết cấu có thể hỏng do biến
dạng dẻo quay lặp lại trước khi nó có thể bị hỏng do biến dạng dẻo đổi
chiều lặp lại – là dạng hỏng đã được biết đến rộng rãi.
Lý thuyết thích nghi và các dạng phá hoại
Công thức thích nghi động học cho vật liệu tái bền động học theo
(Pham, 2007, 2008, 2013) có thể được biểu diễn như sau
{
}
ks = min U, C ,
(5.8)
trong đó,
13
U =
infe
∫
e p ∈ A ; σ ∈L
C=
T
0
∫
( )
dt ∫ Du e p dV
V
T
0
inf
p
x∈V ; e ∈A0 ; σe ∈L
(5.9)
,
dt ∫ σe : e pdV
V
∫
T
0
∫
T
0
( ) ( )
( )
Di ep dt
,
(5.10)
σ : e dt
e
p
p
p
và Du e , Di e lần lượt là hàm tiêu tán dẻo tương ứng với ứng suất chảy
dẻo tái bền σYU và ứng suất chảy dẻo ban đầu σYI . Nếu C = 1 < U , kết
cấu sẽ bị phá hoại do biến dạng dẻo quay lặp, ngược lại U = 1 < C kết cấu
sẽ bị phá hoại do biến dạng dẻo tăng dần.
Một dạng đơn giản hơn của (5.8) đến (5.10) là công thức thích nghi
động học giản yếu (Pham and Stumpf, 1994; Pham, 2003b, 2007, 2008,
2013) đã trình bày ở chương 3, đó là
{
}
ks ≤ ksA = min I , A ,
(5.11)
Bởi vì A là một dạng đặc biệt của C nên C ≤ A, do đó ksC ≤ ksA.
Một hướng tiếp cận khác để xác định ks là công thức thích nghi tĩnh học
(Pham, 2007, 2008, 2013) :
ks = min {U ,C } ,
(5.18)
trong đó
{ ( )
C = sup {k | k (s + σ ) ∈ y , ∀σ
}
∈ L }.
U = sup k | k ρ + σe ∈ yu , ∀σe ∈ L ,
ρ∈R
e
e
i
s
Theo hướng này C và A có thể được xác định lại như sau
σYI
C = min
,
S,1≤p ≤N
JT (σep − S)
A = min
1≤p ≠q ≤ N
(
2σYI
JT σep − σeq
)
, 1 ≤ p ≠ q ≤N.
(5.19)
(5.20)
(5.31)
(5.32)
Trong đó S là tâm của mặt chảy dẻo được bao bởi miền ứng suất đàn hồi.
14
Công thức rời rạc phần tử hữu hạn
Công thức xác định dạng phá hoại I , A tương tự trình bày ở chương 3,
chỉ khác trong công thức tính I đối với vật liệu tái bền σYU được dùng thay
cho σYI . Trong khi đó, giá trị U ở (5.19) có thể được biểu diễn như sau:
U = max k
∇ρ = 0
s.t n ρ = 0
U
E
ψj k σ + ρ, σY ≤ 0, j = 1, 2,..., N × NG .
đặt thêm các biến r
(
in V ,
on ∂Vt ,
)
r2→4 = JT k σE + ρ ,
(5.40)
(5.41)
Khi đó hàm chảy dẻo ψj k σ E + ρ, σYU có thể được đưa về dạng tối ưu
nón bậc 2 theo dạng sau
{
}
L j = r ∈ 4 | r1 ≥ r2→4 = r22 + r32 + r42 , r1 = σYU ,
(5.42)
Kết hợp với điều kiện cân bằng ứng suất, bài toán (5.40) để xác định
dạng phá hoại dẻo tăng dần được xác định theo (5.45)
U = max k
Cρ = 0,
(5.45)
s.t
r ∈ L j , j = 1, 2,..., N × NG,
j
Với công thức xác định dạng phá hoại dẻo quay lặp C ở công thức
(5.31), dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn có thể được viết lại như sau
σYI
C = min min
,
(5.46)
i =1,...,NG 1≤p ≤N
JT (σeip − Si )
Để giải quyết vấn đề (5.46), cần phải xác định tâm (Si ) của mặt chảy
dẻo tương ứng với điểm Gauss thứ i. Phương pháp quả cầu nhỏ nhất
(Nguyen et al., 2012) được sử dụng để tìm giá trị của (Si ) .
15
Các ví dụ số
Hình 5.15. Tọa độ điểm phá hoại do dạng dẻo quay lặp (điểm màu đỏ,
[x y] = [1.1497, 1.0443 ]).
Trong nội dung này, bài toán tấm vuông có lỗ tròn đồng nhất hoặc gia
cường được xem xét với nhiều trường hợp tải trọng từ đơn giản đến phức
tạp, kết hợp với yếu tố vật liệu tái bền động học. Kết quả cho thấy trong
hầu hết các trường hợp dạng phá hoại C = A , riêng trường hợp tấm gia
cường với vật liệu tái bền chịu miền tải trọng gồm 3 đỉnh tải ở mục 5.4.2.4
cho kết quả C < A (hình 5.15 và bảng 5.2)
Bảng 5.2. Tấm gia cường tái bền: tải trọng phá hoại dạng dẻo quay lặp và dạng dẻo
đổi chiều lặp lại
Kết quả
A12
[x y] = [1.0060, 0.0110 ]
1.4999
[x y] = [1.1497, 1.0443 ]
1.4765
A23
1.0858
1.1627
A13
3.9324
1.6898
A
min Aij = 1.0858
min Aij = 1.1627
Sc
[ −0.0914, −17.1955, 0.1930]
1.0858
[3.7628, −7.5640, 0.2288]
1.000
C
Aij là tải trọng giới hạn đổi chiều lặp lại ứng với đỉnh tải Vi, Vj, và Sc là
tâm của quả cầu bao các đỉnh tải đàn hồi.
Kết luận
Thuật toán phân tích thích nghi tách mode cận trên và cận dưới cho các
kết cấu tái bền đã được thiết lập. Lần đầu tiên cho được ví dụ cụ thể kết cấu
có thể hỏng do biến dạng dẻo quay lặp lại (rotating mode) trước khi nó có
16
thể bị hỏng do biến dạng dẻo đổi chiều lặp lại (alternating mode) – là dạng
hỏng đã được biết đến rộng rãi.
CHƯƠNG 6. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CHO
PHÂN TÍCH THÍCH NGHI
Giới thiệu
Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn (SFEM –
Smoothed Finite Element Method) sẽ được kết hợp với công thức thích
nghi giản yếu và tối ưu nón bậc 2 để giải quyết bài toán phân tích thích
nghi của kết cấu chịu tải trọng lặp. Đây là phương pháp do Gui Rong Liu
(Liu et al., 2010b) đề xuất, dựa trên kết hợp kỹ thuật mềm hóa biến dạng
vào phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. SFEM xây dựng với 4
hướng tiếp cận chính. Trong luận án này hai hướng tiếp cận tiếp cận dựa
trên nút (NS-FEM), và tiếp cận dựa trên cạnh (ES-FEM) sẽ được sử dụng
để đánh giá tính hiệu quả của phương pháp.
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn
Với phần tử tam giác 3 nút, do ma trận tính biến dạng của phần tử là
hằng số nên sẽ có sự bất liên tục biến dạng giữa các phần tử. Do vậy, phần
tử này cho kết quả thường là không tốt và hội tụ chậm. Để cải tiến lời giải,
miền biến dạng sẽ được trung bình lại dựa trên nút (NS-FEM) hoặc trên
cạnh (ES-FEM).
Hình 6.1. Phần tử trơn kết hợp với cạnh k (Le, 2013)
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM, ta
Ned
chia miền Ω thành những miền "trơn" Ωk con, được định nghĩa Ω = ∪ Ωk
k =1
và Ω ∩ Ω = ∅ , i ≠ j , trong đó Ned là tổng số cạnh của các phần tử
i
j
(hình 6.1). Sau đó ta xây dựng lại trường biến dạng dựa trên miền trơn,
được kết quả như sau
17
εhk =
∑ B (x ) d ,
I
k
(6.5)
I
I ∈N nk
với
Nk
e
(x ) = 1 ∑ 1 Aj B .
B
(6.6)
I
k
Ak j =1 3 e j
Tương tự phương pháp làm trơn dựa trên cạnh ES-FEM, trong phương
pháp làm trơn dựa trên nút miền hình học Ω được chia thành N n những
Nn
miền con Ωk liên quan đến nút k, thỏa: Ω ≈ ∑ Ω(k ) và Ωi ∩ Ωj = ∅ ,
k=1
i ≠ j . Phần tử Ωk là phần tử chứa nút k được tạo ra bằng cách nối trung
điểm cạnh biên và trọng tâm của đa giác có chứa điểm nút k (hình 6.2).
Hình 6.2. Miền trơn kết hợp với nút k (Liu, 2010)
Từ đó ta cũng xây dựng được trường biến dạng dựa trên miền trơn.
(x ) d ,
εhk = ∑ B
I
k
I
(6.9)
k
I ∈N n
trong đó
(x ) = 1
B
I
k
Ak
Nek
1
∑3A B ,
j =1
j
e
j
(6.10)
Công thức thích nghi giản yếu sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn trơn
Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn vào công thức thích nghi
động học giản yếu ta được kết quả sau :
Đối với phương pháp ES-FEM
18
- Xem thêm -
.PDF 
26 
801 
83 
