Tài liệu Phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật fgm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt tám ẩn tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Nguyễn Văn Long PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT TÁM ẨN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - Năm 2018 Công trình được hoàn thành tại T ƣờng Đ i học X y dựng Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS T ần Minh Tú - Trường Đại học Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học d ng d ng Phản biện 1: .................................................................................................... ..................................................................................................... Phản biện 2: .................................................................................................... ..................................................................................................... Phản biện 3: .................................................................................................... ..................................................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Nhà nước họp tại Trường Đại học d ng. vào hồi ...... giờ ......', ngà ..... tháng ..... năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia. - Thư viện Trường Đại học d ng. - Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học d ng. DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GI LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Trần Hữu Quốc, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long, Dương Thành Hu n (2013). Tính toán tấm FGM chịu uốn theo mô hình Reissner-Mindlin bằng phương pháp Phần tử hữu hạn. Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Đại học Tôn Đức Thắng, TP. Hồ Chí Minh (7-9/11/2013). 2. Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu, Nguyen Van Long (2014). Free vibration analysis of Reissner - Mindlin functionally graded plates by finite element method. The 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014). 3. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, Nguyen Van Long (2014). Vibration analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate theories. 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014). 4. Thinh, T. I., Tu, T. M., Quoc, T. H., & Long, N. V. (2016). Vibration and Buckling Analysis of Functionally Graded Plates Using New Eight-Unknown Higher Order Shear Deformation Theory. Latin American Journal of Solids and Structures, 13(3), 456-477, DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1679-78252522. 5. Van Long, N., Quoc, T. H., & Tu, T. M. (2016). Bending and free vibration analysis of functionally graded plates using new eight-unknown shear deformation theory by finiteelement method. International Journal of Advanced Structural Engineering, 8(4), 391399, DOI: doi 10.1007/s40091-016-0140-y. 6. Ngu en Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Ph n tích dao động riêng tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có xét ảnh hưởng của nhiệt độ. Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (28-29/7/2016). 7. Nguyen Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Vibration analysis of functionally graded plates using the eight-unknown higher order shear deformation theory in thermal environments. Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu và kết cấu composite: Cơ học, công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (2829/7/2016). 8. Tran Minh Tu, Nguyen Van Long, Tran Huu Quoc (2016). Thermoelastic bending analysis of functionally graded sandwich plates using the eight-unknown higher order shear deformation theory. The 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (25-26/08/2016). 9. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc and Nguyen Van Long (2017). Bending analysis of functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation theory. Structural Engineering and Mechanics, 62 (3), 311-324, DOI: https://doi.org/10.12989/sem.2017.62.3.311. 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu composite tiên tiến, không thuần nhất ở mức độ vi mô, cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn hai pha vật liệu với tỷ lệ thể tích các vật liệu thành phần biến đổi liên tục. Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục, nên tránh được s bong tách, s tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xả ra đối với vật liệu composite tru ền thống. Để tối ưu hóa công tác tính toán và thiết kế các kết cấu tấm/vỏ bằng vật liệu FGM cần hiểu rõ qu luật ứng xử cơ học của vật liệu và kết cấu. Việc phát triển mô hình và phương pháp tính các kết cấu bằng vật liệu FGM vì thế luôn thu hút s quan t m của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Trên cơ sở đó luận án l a chọn đề tài: “Ph n tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM sử dụng lý thuyết biến d ng cắt tám ẩn”. 2. Mục đích nghiên cứu của luận án  Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chuyển vị về lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị để phân tích ứng xử cơ học của tấm dày FGM.  Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị đề xuất, xây d ng các hệ thức quan hệ và phương trình chủ đạo để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM bằng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn.  Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm FGM. 3. Đối tƣợng và ph m vi nghiên cứu của luận án  Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật FGM chiều dà không đổi với các dạng điều kiện biên khác nhau.  Phạm vi nghiên cứu của luận án là các bài toán phân tích tuyến tính: xác định độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu  Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn thiết lập các phương trình chủ đạo, thuật toán và chương trình tính nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM bốn biên t a khớp.  Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mô hình, thuật toán phần tử hữu hạn và chương trình tính nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị. 5. Những đóng góp mới của Luận án  Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn chuyển vị thành lý thuyết bậc ba với tám ẩn số chuyển vị cho kết cấu tấm, thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm bằng 0; thể hiện được s biến đổi của biến dạng dài theo phương chiều dày, phù hợp với tấm dày. Thiết lập các hệ thức và các phương trình chủ đạo cho bài toán phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM trên cơ sở lý thuyết đề xuất.  Thiết lập lời giải giải tích cho tấm bốn biên t a khớp sử dụng dạng nghiệm Navier; xây d ng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM với lý thuyết đề xuất.  Viết chương trình tính bằng Matlab để kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán và mô hình tính đề xuất; khảo sát số đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học đến độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên khác nhau. 6. Bố cục của luận án Luận án gồm: Mở đầu, Bốn chương chính, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và Phụ lục. CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Chương nà giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất cơ học của vật liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về phân tích tĩnh và động các kết cấu tấm FGM. Trên cơ sở phân tích các mô hình tính có thể thấy rằng, lý thu ết tấm cổ điển trên cơ sở giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang nên chỉ phù hợp với tấm mỏng. Lý thu ết 2 biến dạng cắt bậc nhất đã kể đến biến dạng cắt ngang nhưng không phản ánh qu luật ph n bố ứng suất cắt ngang dạng parabol th c tế của tấm chịu uốn. Hệ số hiệu chỉnh cắt vì thế được đưa vào, tu nhiên việc xác định chính xác hệ số nà là phức tạp. Các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đã khắc phục được nhược điểm của lý thu ết tấm bậc nhất do không cần hệ số hiệu chỉnh cắt. Tu nhiên các lý thu ết bậc cao không thỏa mãn điều kiện ứng suất tiếp theo phương chiều dà bằng không tại mặt trên và dưới khi tính toán. Kể đến điều này Redd đã cải tiến lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đơn giản 9 ẩn số chu ển vị về lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 5 ẩn số chu ển vị thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại bề mặt trên và dưới của tấm. Các lý thu ết tấm bậc cao nói chung và lý thu ết tấm bậc ba của Redd lại bỏ qua biến dạng pháp tu ến theo phương chiều dà , coi thành phần độ võng không phụ thuộc tọa độ chiều dà . Chính vì vậ khi sử dụng các lý thu ết bậc cao tính toán cho tấm dà thường cho sai lệch đáng kể so với nghiệm của lý thu ết đàn hồi, nhất là các thành phần ứng suất cắt ngang. Từ các ph n tích kể trên tác giả luận án nhận thấ rằng, việc phát triển thêm các mô hình và phương pháp tính vẫn là hướng nghiên cứu được quan t m, đ chính là động l c để đề xuất cải tiến một mô hình tính toán mới cho tấm dà trong luận án. CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TÁM ẨN CHUYỂN VỊ - PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP GI I TÍCH 2.1. Mở đầu Trong chương nà , tác giả luận án đề xuất cải tiến trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chu ển vị thành lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn. Lý thu ết nà khắc phục được nhược điểm của các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao nói chung: thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không tại mặt trên và dưới của tấm, đồng thời có kể đến biến dạng pháp tu ến (  z  0 ). Do kể đến biến dạng pháp tu ến nên lý thu ết nà mô tả được tính làm việc ba chiều của kết cấu tấm, vì vậ các kết quả tính toán cho tấm dà FGM phù hợp hơn khi so sánh với lý thu ết đàn hồi ba chiều. Trên cơ sở trường chu ển vị đề xuất, tác giả tiến hành x d ng các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo cho tấm chữ nhật FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. Phương trình chu ển động cũng như các điều kiện biên được thiết lập cho bài toán tổng quát d a trên ngu ên lý năng lượng toàn phần c c tiểu, trong đó thành phần biến dạng phi tu ến von Kármán được kể đến. Trong các ph n tích tu ến tính các thành phần biến dạng phi tu ến sẽ được bỏ qua. 2.2. Lý thuyết biến d ng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị 2.2.1. Trường chuyển vị Hình 2.1. Hình dạng hình học của tấm có biên cong ét tấm bằng vật liệu FGM với mặt trung bình trước biến dạng là A. Miền khảo sát đối với tấm là thể tích V. Biên của tấm bao gồm bề mặt trên (z = h/2), bề mặt dưới (z = - h/2) và mặt bên  . Trong trường hợp tổng quát,  là một mặt cong với pháp tu ến ngoài nˆ  nx eˆx  ny eˆy ; với nx , ny là các cosin chỉ phương của véc tơ pháp tu ến đơn vị n̂ (xem Hình 2.1). Trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn chu ển vị [5]: u ( x, y, z, t )  u0 ( x, y, t )  z x ( x, y, t )  z 2u0* ( x, y, t )  z 3 x* ( x, y, t ); v( x, y, z, t )  v0 ( x, y, t )  z y ( x, y, t )  z 2v0* ( x, y, t )  z 3 y* ( x, y, t ); (2.1) w( x, y, z, t )  w0 ( x, y, t )  z z ( x, y, t )  z w ( x, y, t )  z  ( x, y, t ) Từ trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn, kết hợp với điều kiện các ứng suất cắt h h   ngang:  xz  z      zz  z     0 , ta nhận được trường chu ển vị mới với 8 ẩn chu ển vị: 2 2   2 * 0 3 * z 3 u  u0  z x  *  *  z 3   w z 2   z  w   c1 z   c2  0   x   0  ;  2  x x  3   x  x   w*   *  z 3   w z 2   z  c1 z   c2  0   y   0  ;  2  y y  3   y  y  w  w0  z z  z 2 w0*  z 3 z* v  v0  z y  h2 4 , c2  2 . 4 h 2.2.2. Trường biến dạng Các thành phần biến dạng có kể đến biến dạng phi tu ến hình học von Kármán:     L  +  NL  Các thành phần biến dạng tu ến tính:   xL   x0 L   1x L   x2 L   x3 L   L   0L   1L   2L   3L    y   y   y   y   y    z   z(0)   z(1)  2  z(2)  3  0   L    L    0 L   z  1L   z  2 L   z  3 L   xy   xy   xy   xy   xy  (0) (1) (2)  xz   xz   xz   xz   xz(3)     0   (1)   (2)   (3)   yz    yz   yz   yz   yz  Các thành phần biến dạng phi tu ến:  6 i iNL   z  x  NL   x   i 61  NL   i iNL   y   z  y    0   i 1    NL   NL    0   xy   6   0   z i  xyiNL     i 1   0    0    0  (2.2) trong đó: c1  2.2.3. Trường ứng suất  x   Q11 Q12     y  Q21 Q22   Q Q     z    31 32 0  xy   0  xz   0 0    0  yz   0 Q13 Q23 Q33 0 0 0 0 0 0 Q44 0 0 0 0 0 0 Q66 0 0 x    0   y  0    z      Q    0   xy    0   xz    Q55   yz  (2.3.1) (2.3.2) (2.3.3) (2.4) 2.2.4. Các thành phần nội lực Với lý thu ết tấm biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị, ta định nghĩa các thành phần nội l c của tấm như sau:  N x M x N x* M x*   x     * *   Ny M y Ny M y   y  N x* M x* N x**  h / 2  x   N z M z N z* M z*  h / 2  z      4 5 6         1 z z 2 z 3  dz;  N *y M *y N ** (2.5.1) y     y   z z z  dz * * N M  N M  xy xy xy xy   h / 2  xy  * * **  h / 2    N xy M xy N xy    xy     Q S Q* S *   xz   xz xz xz* xz*     Qyz S yz Qyz S yz   yz  và: 4 Rxz  Qxz  c2Qxz* , Ryz  Qyz  c2Qyz* ;Txz  c1S xz  S xz* ,Tyz  c1S yz  S yz* ; (2.5.2) c2 * c c M x , Pxy  M xy  2 M xy* , Py  M y  2 M y* 3 3 3 2.2.5. Các phương trình chuyển động a. Nguyên lý năng lượng toàn phần cực tiểu Nguyên lý năng lượng toàn phần c c tiểu được sử dụng để thiết lập các phương trình chu ển động của tấm FGM [10], với dạng toán học như sau: (2.6) U  W  W *  0 * trong đó:  U ,  W ,  W lần lượt là biến ph n của thế năng biến dạng đàn hồi, công ngoại l c và công của l c quán tính. Khai triển các biểu thức năng lượng, nhóm các thành phần biến ph n của chu ển vị  u0 ,  v0 ,  w0 ,  x ,  y ,  z ,  w0* ,  z* , ta nhận được hệ phương trình Euler-Lagrange: Px  M x  N x N xy I    *  I  w w*    I 0u0  J1 x  2  z  c1 z   3  c2 0  0  ; x y 2  x x  3  x x  N xy x  N y y  I 0 v0  J1 y  I 2   z  z*  I 3  w0 w0*   c      c2 ; 1 2  y y  3  y y   2 M xy*  2 M y*  Rxz Ryz c2   2 M x* (1)  2     N NL  qz  I 0 w0  I1 z  I 2 w0*  I 3 z*  2 2   3  x xy y  x y  y  c2 I 5 2 c I  u v  c J   I c2 I cI  2 3  0  0  2 4  x    z  5  2 z*  2 6  2 w0  2 6  2 w0* ;  3  x y  3  x y  6 6 9 9 Px Pxy J 3  z c1 J 3  z* c2 J 4 w0 J 4 w0*   Rxz  J1u0  K 2 x     ; x y 2 x 2 x 3 x 3 x Pxy x  Py y  Ryz  J1v0  K 2 y  J 3  z c1 J 3  z* c2 J 4 w0 J 4 w0*    ; 2 y 2 y 3 y 3 y  2 N xy*  2 N y*  v  I  u 1   2 N x* h (2)  2   N z  N NL  qz  I1w0  I 2 z  2  0  0   2 2   2  x xy y  2 2  x y   y  J   I 2 * I 2 cI 2 * c I 2 *  I3 w  3  x    I 4 z  4   z  1 4   z  2 5  w0  5  w0 ; 2  x y  4 4 6 6 (2.7.1) (2.7.2) (2.7.3) (2.7.4) (2.7.5) (2.7.6) * 0  2 M xy*  2 M y*  I  u v  1   2 M x* h2  (3)  2   2 M  N  qz  I 2 w0  I 3 z  3  0  0    z NL 2 2  3  x xy y  4 3  x y   y  I 2 cI 2 * c I 2 I 2 * J   * I4w  4  x    I 5 z  5   z  1 5   z  2 6  w0  6  w0 ;   3  x y  6 6 9 9 (2.7.7) * 0  2 N xy*  2 N *y c1   2 N x*  2   2  x 2 xy y 2  Txz Tyz h3  * (4)  3 N    N  qz  z NL  x  y 8  c1 I 2  u0 v0  c1 J 3   x  y  cI 2 (2.7.8)      I 3 w0  I 4 z  1 4   z   2  x y  2  x y  4 I cI c2 I  1 4  2 z*  5  2 w0  1 5  2 w0*  I 5 w0*  I 6 z* 4 6 6 2 2   trong đó  2  2  2 là toán tử Laplacian trong hệ tọa độ Cartesian cho bài toán toán 2 chiều; x y  (1) (2) (3) (4) các toán tử phi tu ến:  NL được trình bà trong phụ lục D của luận án. ,  NL ,  NL ,  NL 5 Từ hệ phương trình (2.7), sử dụng các liên hệ nội l c - chu ển vị (2.3-2.5), ta nhận được hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị. 2.3. Phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng kết cấu tấm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên 2.3.1. Đặt vấn đề Trong phần này, luận án sẽ tập trung ph n tích tu ến tính ba bài toán cơ bản bao gồm: bài toán tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM bốn biên t a khớp bằng tiếp cận giải tích sử dụng lời giải Navier. Các thành phần biến dạng phi tu ến hình học von Kármán trong quan hệ biến dạngchu ển vị như đã thành lập trong phần 2.2 được bỏ qua. 2.3.2. Các hệ thức cơ bản a. Trường biến dạng Trong các ph n tích tu ến tính, trường biến dạng của lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị trở thành: (2.8.1)     L  Các thành phần biến dạng tu ến tính có dạng như (2.3.2) và có thể viết dưới dạng:     (0) + z  (1)  z 2  (2)  z3  (3) (2.8.2)         Để thuận tiện, ta biểu diễn trường biến dạng theo hai thành phần: - Biến dạng màng-uốn:  mu    mu(0) + z  mu(1)  z 2  mu(2)  z3  mu(3)         - Biến dạng cắt:  c    c(0) + z  c(1)  z 2  c(2)  z3  c(3)         (2.9.1) (2.9.2) b. Trường ứng suất Trường ứng suất được xác định theo (2.4) với các thành phần biến dạng như trong công thức (2.8), ta có thể biểu diễn dưới dạng:    Q  (0) + z Q  (1)  z 2 Q  (2)  z3 Q  (3) (2.10)         Tương t như trường biến dạng, trường ứng suất cũng được tách làm hai thành phần: - Ứng suất màng-uốn:  mu   Qmu  mu(0)  + z Qmu  mu(1)   z 2 Qmu  mu(2)   z3 Qmu  mu(3)  (2.11.1) - Ứng suất cắt ngang:  c   Qc  c(0)  + z Qc  c(1)   z 2 Qc  c(2)   z3 Qc  c(3)  (2.11.2) c. Quan hệ nội lực-biến dạng Từ biểu thức định nghĩa các thành phần nội l c theo (2.5), biểu diễn ứng suất qua biến dạng theo (2.10), ta nhận được quan hệ giữa các thành phần nội l c và biến dạng: (0)   N   Au Bu Cu Du   mu  M   B C D E   (1)      Dtmu εmu 0  M mu    *    u u u u   mu (2.12.1) (2)   N  Cu Du Eu Fu  mu  (3)   M *   Du Eu Fu Gu   mu    Q   Ac Bc Cc Dc  γc(0)   S   B C D E   (1)  γ Qc    *    c c c c   c(2)    Dtc γc 0  (2.12.2) Q  Cc Dc Ec Fc γc   S *   Dc Ec Fc Gc   γc(3)    trong đó:  Dtmu  là ma trận độ cứng màng-uốn của vật liệu tấm;  Dtc  là ma trận độ cứng cắt của vật liệu tấm. Các ma trận nà sẽ được sử dụng trong quá trình thiết lập ma trận độ cứng kết cấu tấm. 6 2.3.3. Lời giải Navier cho tấm chữ nhật bằng vật liệu có cơ tính biến thiên bốn biên tựa khớp Hình 2.2. Mô hình tấm chữ nhật làm bằng vật liệu FGM Đối tượng nghiên cứu là tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM có chiều dà không đổi h, chiều dài a và chiều rộng b (xem Hình 2.2) liên kết khớp trên chu vi. a. Phân tích tĩnh ét tấm chữ nhật FGM chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng ph n bố qz đặt lên bề mặt trên tấm (xem Hình 2.3). Hình 2.3. Mô hình tấm chữ nhật chịu uốn Các điều kiện biên của bài toán uốn bao gồm: Tại x = 0 và x = a: w N x  0; v0  0; w0  0; M x*  0; 0  0; Px  0; y  0; y (2.13.1) w*  z  *  0; w0*  0; 0  0; z*  0; z  0 y y y Tại y = 0 và y = b: w N y  0; u0  0; w0  0; M y*  0; 0  0; Py  0; x  0; x (2.13.2)  w*   *  z  0; N y*  0; z  0; w0*  0; 0  0; z*  0; z  0 x x x Hệ phương trình c n bằng theo chu ển vị cho bài toán uốn được su ra từ hệ phương trình chu ển (1) (2) (3) (4) động nhận được từ (2.7) khi bỏ qua các toán tử phi tu ến  NL và các thành phần gia tốc. ,  NL ,  NL ,  NL Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):  z  0; N x*  0;     u0  x, y    u0 mn cos  x sin  y; v0  x, y    v0 mn sin  x cos  y; m 1 n 1   m 1 n 1   w0  x, y    w0 mn sin  x sin  y;  x  x, y    xmn cos  x sin  y; m 1 n 1 m 1 n 1      y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y; m 1 n 1   (2.14) m 1 n 1   * w0*  x, y    w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn sin  x sin  y m 1 n 1 m 1 n 1 m n * là các hệ số cần tìm; m, n là số ,  ; u0mn , v0 mn , w0 mn , xmn ,  ymn ,  zmn , w0*mn ,  zmn a b số hạng được sử dụng trong khai triển chuỗi lượng giác kép. Tải trọng tác dụng qz ( x, y) cũng được khai triển theo chuỗi lượng giác kép - Fourier: trong đó:     qz ( x, y )   qmn sin  x sin  y m 1 n 1 (2.15) 7 Thay (2.14) và (2.15) vào hệ phương trình c n bằng theo chu ển vị của bài toán uốn, nhóm các hệ số để được hệ phương trình đại số tu ến tính: kc  Kmn  Qmn   Fmn  (2.16) kc  được thể hiện ở phụ lục F trong luận án. Các số hạng sij của ma trận độ cứng kết cấu  K mn 8x8 Nghiệm của hệ phương trình đại số tu ến tính nà là véc tơ các hệ số chu ển vị * từ đó xác định được trường chu ển vị, biến dạng, ứng Qmn   u0mn , v0mn , w0mn , xmn ,  ymn ,  zmn , w0*mn ,  zmn   suất, nội l c của bài toán ph n tích tĩnh. b. Phân tích ổn định ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi dưới tác dụng của tải trọng nén trong mặt trung bình, ph n bố đều trên các cạnh theo hai phương x, y (xem Hình 2.4): Trên các cạnh x = 0, a: N x0   1 N0 ; N xy0  0; Trên các cạnh y = 0, b: N y0   2 N0 ; N yx0  0. Hình 2.4. Mô hình tấm chữ nhật chịu nén đều theo hai phương x, y Các điều kiện biên của bài toán ổn định bao gồm: Tại x = 0 và x = a: w N x  Nˆ x ; v0  0; w0  0; M x*  Mˆ x* ; 0  0; Px  Pˆx ; y  0; y (2.17.1) w0*  z* *  z * * ˆ  z  0; N  N x ;  0; w0  0;  0; z  0; 0 y y y Tại y = 0 và y = b: w N y  Nˆ y ; u0  0; w0  0; M y*  Mˆ y* ; 0  0; Py  Pˆy ; x  0; x (2.17.2) w0*  z* * *  z * * ˆ  z  0; N y  N y ;  0; w0  0;  0; z  0; 0 x x x Hệ phương trình c n bằng phi tu ến của tấm FGM nhận được sau khi bỏ qua các thành phần gia tốc trong (2.7). Để thiết lập hệ phương trình c n bằng ổn định, ta sử dụng tiêu chuẩn c n bằng l n cận [1]. Từ hệ phương trình c n bằng phi tu ến theo chu ển vị nhận được từ (2.7), bỏ qua tác dụng của tải trọng qz đồng * x (1) (2) (3) (4) thời tha thế các toán tử phi tu ến  NL bằng các thành phần tương ứng ở trạng thái màng ,  NL ,  NL ,  NL (1) (2) (3) (4)  LL ,  LL ,  LL ,  LL như chỉ ra trong luận án. Các điều kiện biên của bài toán ổn định tu ến tính tương t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13). Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13): u0  x, y   u0 mn cos  x sin  y; v0  x, y   v0 mn sin  x cos  y; w0  x, y   w0 mn sin  x sin  y;  x  x, y    xmn cos  x sin  y;  y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y; (2.18) * w0*  x, y   w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn sin  x sin  y Thay (2.18) vào hệ phương trình c n bằng ổn định, nhóm các hệ số để được hệ phương trình đại số tu ến tính thuần nhất dưới dạng ma trận thu gọn: 8   K kc mn  hh   N0  Kmn  Qmn   0 (2.19.1) hh  là ma trận độ cứng hình học (các thành phần của chúng được chỉ ra trong luận án). trong đó:  K mn L c nén mất ổn định N mn được xác định từ việc giải phương trình:   kc hh   N0  K mn   0 det  Kmn (2.19.2) Tải trọng tới hạn được xác định bởi: Nth  min N mn . c. Phân tích dao động riêng ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi; bỏ qua toàn bộ các ếu tố tải trọng. Các điều kiện biên của bài toán dao động riêng t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13) sau khi bổ sung biến thời gian t. Trong ph n tích dao động riêng, hệ phương trình chu ển động theo chu ển vị nhận được từ (2.7) sau (1) (2) (3) (4) khi bỏ qua tất cả các thành phần tải trọng và các toán tử phi tu ến  NL ,  NL ,  NL ,  NL . Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13): u0  x, y, t   u0 mn eimnt cos  x sin  y; v0  x, y, t   v0 mn eimnt sin  x cos  y; w0  x, y, t   w0 mn eimnt sin  x sin  y;  x  x, y, t    xmn eimnt cos  x sin  y;  y  x, y, t    ymn ei t sin  x cos  y;  z  x, y, t    zmn ei t sin  x sin  y; mn mn (2.20) * w0*  x, y, t   w0*mn eimnt sin  x sin  y;  z*  x, y, t    zmn eimnt sin  x sin  y m n ,  ; mn là tần số dao động riêng ứng với mode dao động (m, n). a b Thay (2.20) vào hệ phương trình chu ển động theo chu ển vị, nhóm các hệ số để được hệ phương trình đại số tu ến tính thuần nhất dưới dạng ma trận thu gọn: kc 2  Kmn   mn  M mn  Qmn   0 (2.21.1) trong đó: i  1;     Các số hạng mij của ma trận khối lượng  M mn 8x8 được thể hiện ở phụ lục F trong luận án. Tần số dao động riêng mn được xác định từ việc giải phương trình:   kc 2   mn det  Kmn  M mn   0 (2.21.2) Tần số dao động riêng cơ bản được xác định bởi: cb  min mn . 2.3.4. ơ đ khối c a chương trình tính bằng phương pháp giải tích Từ các biểu thức quan hệ và hệ phương trình chu ển động đã được thiết lập ở trên, chương trình tính viết trên nền Matlab được viết nhằm kiểm chứng các bài toán tu ến tính cho tấm chữ nhật P-FGM điều kiện biên khớp trên chu vi. Sơ đồ thuật toán để giải các bài toán sử dụng dạng nghiệm Navier được trình bà trong Luận án. 2.4. Ví dụ kiểm chứng nghiệm giải tích Để kiểm chứng mô hình tấm theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đề xuất (HSDT8), tác giả đã viết code chương trình tính d a trên lời giải Navier cho tấm chữ nhật P-FGM bốn biên t a khớp. Các bài toán kiển chứng được th c hiện trong luận án bao gồm: 2.4.1. Kiểm chứng bài toán uốn Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất pháp cho tấm đẳng hướng. ét tấm vuông dà đẳng hướng (p = 0, ν = 0.3, h = 0.1m, a = b = 5h) dưới tác dụng của tải trọng ph n bố đều q0  104 N/m2. Bảng 2.1 trình bà một số kết quả kiểm chứng bài toán uốn cho tấm vuông đẳng hướng bao gồm độ võng không thứ ngu ên w và ứng suất pháp không thứ ngu ên  x . Các kết quả của luận án được so sánh với lời giải d a trên lý thu ết đàn hồi ba chiều (3D) sử dụng phương pháp DSC và phương pháp HDQ của Civalek [3], lời giải 3D sử dụng phương pháp DQM của Liew và cộng s [7]. Các kết quả số cho thấ nghiệm giải tích (GT) d a trên lý thu ết HSDT-8 có độ tin cậ và cho kết quả số về độ võng không thứ ngu ên w và ứng suất pháp không thứ ngu ên  x rất tốt khi so sánh với các kết quả tính theo lý thu ết đàn hồi 3D. Bảng 2.1. Kiểm chứng độ võng không thứ ngu ên và ứng suất pháp không thứ ngu ên cho tấm đẳng hướng 9 Nguồn a b  w  Q44 w  , ,0  /hq0 ; 2 2   a b h   / q0 . 2 2 2  x x  , , 3D (DQM) [7] 12.6180 -7.3939 3D (HDQ) [3] 12.6310 -7.403 3D (DSC) [3] 12.6210 -7.403 Luận án (GT) 12.6111 -7.3968 * Sai số (%) -0.0547 0.0392 * Sai số so với kết quả của Liew và cộng s [7]. Bài toán 2: Kiểm chứng ứng suất cắt ngang cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so sánh với Werner [20]. Bài toán 3: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án được so sánh với Zenkour [21], Thai và Choi [16]. 2.4.2. Kiểm chứng bài toán ổn định Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so sánh Uymaz và Aydogdu [19], Swaminathan và Naveenkumar [12]. Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án được so sánh với Thai và Choi [13]. 2.4.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng Kiểm chứng quả tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ̂ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2). Các kết quả của luận án được kiểm chứng với Uymaz và Aydogdu [18]. 2.5. Kết luận chƣơng 2 Các kết quả chính mà chương 2 đã th c hiện bao gồm: 1. d ng trường chu ển vị, các hệ thức và phương trình quan hệ của lý thu ết tấm biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. Đ là một lý thu ết cải tiến thuộc nhóm lý thu ết biến dạng cắt bậc cao t a 3D đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không tại mặt trên và dưới của tấm. 2. Sử dụng ngu ên lý năng lượng toàn phần c c tiểu, các phương trình chủ đạo và điều kiện biên của tấm FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đã được thiết lập, làm cơ sở để giải các bài toán ph n tích tu ến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng. 3. Lời giải giải tích với dạng nghiệm Navier cho tấm chữ nhật FGM điều kiện biên khớp trên chu vi đã được x d ng (các kết quả chính được thể hiện ở các bài báo số 4 và số 9 trong danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả). Các bài toán kiểm chứng cho thấ mô hình tính là tin cậ và cho kết quả tốt so với các mô hình ESL, đặc biệt là s chính xác hóa so với các mô hình 3D hiện có. Có thể thấy rằng việc xây dựng lời giải giải tích sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị mới chỉ dừng lại cho dạng tấm có điều kiện biên khớp trên chu vi. Với các điều kiện biên bất kỳ việc đưa ra lời giải giải tích là cồng kềnh và khó khăn. Vì vậy trong chương tiếp theo, luận án sẽ xây dựng mô hình và thuật toán phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của kết cấu tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị. CHƢƠNG 3 PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Mở đầu Trong chương nà , vẫn d a trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn số chuyển vị, tuy nhiên luận án tập trung phát triển lời giải theo phương pháp phần tử hữu hạn để hoàn thiện hơn một số hạn chế như đã chỉ ra của phương pháp giải tích. Ngu ên lý Hamilton được sử dụng trong quá trình thiết lập phương trình phần tử hữu hạn; đ là cơ sở để giải quyết đồng thời ba bài toán phân tích tuyến tính bao gồm: phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau. 3.2. X y dựng mô hình phần tử hữu h n 3.2.1. Lựa chọn phần tử Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn số chuyển vị đòi hỏi phải sử dụng đến phần tử liên tục C1 khi xây d ng mô hình PTHH. Hàm nội su Lagrange Ni  ,  được sử dụng để biểu 10 diễn các chu ển vị màng  u0 ,v0  và góc xoay  x , y  . Hàm nội su Hermite H ij  ,  để biểu diễn các   chu ển vị uốn w0 , z ,w0* , z* . Với các ph n tích trên đ , chu ển vị tại nút thứ i của phần tử bao gồm 16 bậc t do: u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi . Để phù hợp với các chương trình má tính khi mà số bậc t do trên một nút là khá lớn mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, luận án l a chọn sử dụng phần tử chữ nhật 4 nút, mỗi nút 16 bậc t do (xem Hình 3.1). (a) Hệ tọa độ th c (b) Hệ tọa độ t nhiên Hình 3.1. Phần tử chữ nhật 4 nút trong hệ tọa độ th c và hệ tọa t nhiên Véc tơ chu ển vị nút phần tử được biểu diễn bởi: qe   q1 , q2 , q3 , q4  T trong đó: qi   u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi  T 3.2.2. Các phương trình cơ bản a. Trường chuyển vị Véc tơ chu ển vị của một điểm bất kì trên mặt trung bình: d0 16 x1   B 16 x 64 qe 64 x1 Như vậ , ta có thể viết lại trường chuyển vị ở dạng ma trận như sau: d3x1   H  d0    H 3 x16  B16 x64 qe 64 x1  d 3 x64 qe 64 x1 b. Trường biến dạng b1. Các thành phần biến dạng tuyến tính (0) (0)  mu   Bmu   (1)   (1)     Bmu   (2) qe    Bmu 16 x 64 qe 64 x1 ;  mu 0    mu (2)     mu   Bmu  (3)  (3)  mu    Bmu   c(0)   Bc(0)   (1)   (1)   B  c 0    c(2)    c(2)  qe    Bc 8 x 64 qe 64 x1  c   Bc   c(3)   Bc(3)      b2. Các thành phần biến dạng phi tuyến 1 T T T  xNL  qe   Bbl1  hbl  hbl  Bbl1 qe ; 2 1 T T T  yNL  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe ; 2 T T T NL  xy  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe  c. Trường ứng suất - Để khái quát hóa vấn đề, ứng suất toàn phần được định nghĩa [11]:  tp    0     (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) 11  trong đó:  0    x0  y0 0  xy0  0 0 T là ứng suất ban đầu (do tải trọng nén trên các cạnh của tấm gây ra);   là ứng suất bổ sung, được xác định theo (2.10). 3.2.3. Các liên hệ tọa độ Các liên hệ về tọa độ, quan hệ giữa các đạo hàm riêng trong hệ toạ độ th c và hệ toạ độ t nhiên được sử dụng để tính toán tích ph n số trong quá trình thành lập các ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng và véc tơ l c nút của phần tử. 3.2.4. Phương trình phần tử hữu hạn Trong phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình chu ển động của phần tử tấm FGM thu được bằng cách sử dụng ngu ên lý Hamilton cho hệ bảo toàn, được viết dưới dạng [10]: T   U e   We   Te  dt  0 (3.7.1) 0 Hay: T   U e  We  Te  dt  0 (3.7.2) 0 trong đó: U e là thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử; Te là động năng của của phần tử; We là công ngoại l c đối với phần tử. Từ đ ta nhận được phương trình Lagrange loại 2 theo chu ển vị [17]: We d  Te  U e  0    (3.8) dt   qe    qe   qe  a. Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử tấm được xác định bởi [11]: U e  U eL  U eNL Thế năng biến dạng đàn hồi do thành phần biến dạng tu ến tính: 1 1 1 T T T U eL  qe   keu qe   qe   kec qe   qe  kekc  qe  2 2 2 Thế năng biến dạng đàn hồi do thành phần biến dạng phi tu ến: 1 T U eNL   N0 qe   kehh  qe  2 b. Công ngoại lực do tác dụng của tải trọng phân bố qz viết dưới dạng: (3.9.1) (3.9.2) (3.9.3) (3.10) We  qe   fe  c. Động năng của phần tử tấm được xác định bởi: 1 T Te  qe   me qe  (3.11) 2 d. Phương trình chuyển động: Thay các biểu thức (3.9-3.11) vào (3.8), phương trình chu ển động cho phần tử tấm FGM thu được có dạng:  me qe   kekc   N0 kehh  qe    fe  (3.12) T   Bằng phép ghép nối các ma trận thông thường, ta nhận được phương trình phần tử hữu hạn cho toàn tấm:  M Q   Kkc   N0  Khh Q  F trong đó  K kc  ,  K hh  ,  M  , Q và F  (3.13) tương ứng là ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng, véc tơ chu ển vị nút và véc tơ l c nút tổng thể. Phương trình tổng quát (3.13) có thể sử dụng để giải chuỗi bài toán uốn, ph n tích dao động riêng, ph n tích ổn định. Các phương trình đó có thể giải sau khi áp đặt điều kiện biên của hệ kết cấu. 3.2.5. Tích phân số Trình bà cách th c hiện tích ph n số nhằm tính toán ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng và véc tơ l c nút phần tử. 3.2.6. Điều kiện biên Một số dạng điều kiện biên cho các cạnh của tấm chữ nhật FGM bao gồm: 12 - Biên ngàm (C): Tại x = 0; a và y = 0; b: u0i  v0i   xi   yi  w0i  w0, xi  w0, yi   zi   z , xi   z , yi  w0*i  w0,* xi  w0,* yi   zi*   z*, xi   z*, yi  0 - Biên khớp (S): Tại x = 0; a: v0i   yi  w0i  w0, yi   zi   z , yi  w0*i  w0,* yi   zi*   z*, yi ; Tại y = 0; b: u0i   xi  w0i  w0, xi   zi   z , xi  w0*i  w0,* xi   zi*   z*, xi - Biên t do (F): Tại x = 0; a và y = 0; b: u0i  v0i   xi   yi  w0i  w0, xi  w0, yi   zi   z , xi   z , yi  w0*i  w0,* xi  w0,* yi   zi*   z*, xi   z*, yi  0 (3.14) (3.15.1) (3.15.2) (3.16) 3.2.7. Sơ đ khối c a chương trình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn Từ các biểu thức quan hệ và hệ phương trình chu ển động đã được thiết lập ở trên, chương trình tính viết trên nền Matlab được viết nhằm kiểm chứng các bài toán tu ến tính cho tấm chữ nhật P-FGM với một số điều kiện biên khác nhau. Sơ đồ thuật toán để giải các bài toán sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn được trình bày trong luận án. 3.3. Ví dụ kiểm chứng thuật toán và chƣơng t ình phần tử hữu h n Nhằm kiểm chứng mô hình và thuật toán phần tử hữu hạn theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị, luận án đã th c hiện các bài toán sau: 3.3.1. Kiểm chứng bài toán uốn Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm đẳng hướng cho hai trường hợp điều kiện biên: ngàm 4 cạnh (CCCC) và khớp 4 cạnh (SSSS). Các kết quả của luận án được so sánh với Civalek [3], Liew và cộng s [7]. Bài toán 2: Kiểm chứng độ võng cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-1) cho hai trường hợp điều kiện biên: ngàm 4 cạnh (CCCC) và khớp 4 cạnh (SSSS). Các kết quả của luận án được so sánh với Gilhoole và cộng s [4], Nguyen- uan và cộng s [9], Lee và cộng s [6]; Thai và Choi [14]. 3.3.2. Kiểm chứng bài toán ổn định Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng điều kiện biên SSSS. Các kết quả tính toán của luận án được so sánh với Uymaz và Aydogdu [19]. Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/SiC). Các kết quả của luận án được so sánh với Thai và Choi [13], Mohammadi và cộng s [8], Bodaghi và Saidi [2]. 3.3.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng Kiểm chứng tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ̂ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2) cho ba trường hợp điều kiện biên: SSSS, SCSC, CCCC. Các kết quả của luận án được kiểm chứng với U maz và Aydogdu [18]. 3.4. Kết luận chƣơng 3 Các kết quả chính mà chương 3 đã th c hiện bao gồm: 1. Xây d ng mô hình phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho tấm chữ nhật FGM, trên cơ sở đó thiết lập phương trình phần tử hữu hạn để giải các bài toán tuyến tính cho phân tích ứng xử cơ học của tấm. 2. Viết chương trình tính toán số trên nền Matlab: Lời giải phần tử hữu hạn cho tấm chữ nhật FGM với các dạng điều kiện biên đã được xây d ng (các kết quả chính được thể hiện ở bài báo số 5 trong danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả). 3. Đã th c hiện các ví dụ kiểm chứng cho ba bài toán phân tích tuyến tính: uốn, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM. Có thể thấy rằng việc xây dựng lời giải phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho kết quả tốt và phù hợp với các kết quả 3D, các mô hình ESL cũng như với lời giải giải tích trong trường hợp điều kiện biên khớp 4 cạnh (SSSS). CHƢƠNG 4 13 KH O SÁT SỐ 4.1. Mở đầu Trong chương nà , luận án sử dụng bộ chương trình t viết để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích), tham số kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM có chiều dà không đổi sử dụng đồng thời 2 phương pháp: giải tích và phần tử hữu hạn. Trong các khảo sát tiếp theo, tấm dày chữ nhật (Hình 2.2) bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1 được sử dụng. Mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, khối lượng riêng của kim loại (Al): Em = 70 GPa, νm = 0.3, ρm = 2702 kg/m3; của gốm (Al2O3-1): Ec = 380 GPa, νm = 0.3, ρm = 3800 kg/m3 Ba dạng bài toán dưới đ sẽ lần lượt được th c hiện:  Phân tích ứng xử uốn của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM;  Phân tích ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM chịu nén đều trên các cạnh;  Ph n tích dao động riêng tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM. 4.2. Ph n tích tĩnh Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q0  104 N/m2 tác dụng lên bề mặt trên tấm (Hình 2.3). Để thuận tiện, các kết quả số về độ võng, ứng suất được thể hiện dưới dạng không thứ ngu ên dưới đ : E a b  1 1 w( z )  c w  , , z  ,  x ( z )   x  a0 , b0 , z  ,  y ( z )   y  a0 , b0 , z  , q0 a  2 2  q0 q0  xy ( z )  1 1 1  xy  a1 , b1 , z  , xz ( z )   xz  a1 , b0 , z  , yz ( z )   yz  a0 , b1 , z  ; q0 q0 q0 E a b  1 h 1 h 1   w  c w  , ,0  , x   x  a0 , b0 ,  , xy   xy  a1 , b1 ,  , xz   xz  a1 , b0 ,0  . q0 a  2 2  q0  2 q0  2 q0 a b a b a0   25  0  , b0   25  0  ; a1  1  0  , b1  1  0  ; 48 48 48 48 trong đó: 0  0  0.3399810436 là tọa độ của điểm Gauss trong hệ tọa độ t nhiên. (4.1) 4.2.1. Khảo sát biến thiên c a độ võng, ứng suất tại một điểm theo phương chiều dày Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = 2. Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , y , xy , xz , yz của tấm dọc theo chiều dày tấm (z/h = -0.5 ÷ 0.5) với 5 giá trị khác nhau của chỉ số tỷ lệ thể tích p (p = 0, 0.5, 1, 2, 5) được tính toán và thể hiện qua các đồ thị trên Hình 4.1. Các đồ thị biểu diễn s biến thiên của w và  x , y , xy , xz , yz theo chiều dà tấm với hai phương pháp: giải tích (GT) và phần tử hữu hạn (PTHH) rất gần nhau, điều nà khẳng định thêm độ tin cậ của mô hình và thuật toán. Quan sát các đồ thị nà ta thấ :  Độ võng w tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, tu nhiên s tha đổi không nhiều; độ võng ở mặt dưới nhỏ hơn ở mặt trên; khi p tăng, tính phi tu ến của độ võng càng rõ rệt, độ võng không thứ ngu ên tăng do lượng ceramic trong vật liệu FGM giảm;  Các ứng suất màng  x , y , xy tha đổi tu ến tính và bằng không ở mặt trung bình khi p = 0 (vật  liệu ceramic đẳng hướng), tha đổi phi tu ến khi p ≠ 0 và điểm có ứng suất bằng không không nằm trên mặt trung bình và dịch chu ển về phía bề mặt giàu ceramic; Các ứng suất cắt ngang  xz , yz tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, không đổi dấu, triệt tiêu ở mặt trên và dưới; đạt c c trị ở mặt trung bình khi p = 0, dịch chu ển khỏi mặt trung bình khi p ≠ 0. 14 w x y  xy  xz  yz Hình 4.1. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày của tấm chữ nhật FGM 4.2.2. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = 2. Độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz của tấm chữ nhật FGM với các giá trị khác nhau của chỉ số tỷ lệ thể tích p tính toán bằng nghiệm giải tích và nghiệm PTHH được thể hiện trên Bảng 4.1. Các kết quả số cho thấy lời giải phần tử hữu hạn cho kết quả sát với lời giải giải tích (sai số lớn nhất là 1.7436%). Bảng 4.1. Độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p khác nhau Phương pháp p 0 1 2 5 10 GT w 15.3946 30.5606 39.5501 48.5904 54.1601 PTHH 15.3982 30.5660 39.5582 48.6033 54.1763 Sai số (%) 0.0231 0.0177 0.0204 0.0266 0.0298 GT x 15.5272 24.0255 28.1121 33.0255 39.4227 PTHH 15.5973 24.1199 28.2192 33.1531 39.5736 Sai số (%) 0.4515 0.3928 0.3811 0.3863 0.3827 GT  xy 4.4726 3.8815 3.4631 3.6729 3.7531 PTHH 4.4542 3.8726 3.4538 3.6613 3.7417 Sai số (%) -0.4118 -0.2305 -0.2679 -0.3182 -0.3049 GT  xz 3.3409 3.3248 3.0383 2.6771 2.9388 PTHH 3.3377 3.3140 3.0266 2.6704 2.9344 Sai số (%) -0.0974 -0.3232 -0.3854 -0.2527 -0.1495 Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz theo chỉ số tỷ lệ thể tích p được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.2. Quan sát các đồ thị này ta thấy, khi p tăng:  Độ võng w và ứng suất  x tha đổi khá nhiều và đều tăng, giá trị của chúng tăng nhanh trong khoảng p = 0 ÷ 2, sau đó tốc độ tăng chậm dần; như vậ chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi tấm là gốm thuần nhất, lớn nhất khi tấm chuyển sang kim loại thuần nhất;  Ứng suất  xy cũng tha đổi khá ít, ban đầu tăng nhẹ trong khoảng p = 0 ÷ 0.2, đạt giá trị lớn nhất khi p  0.2, sau đó giảm và đạt c c tiểu tại p  2 , rồi tăng lại với tốc độ tăng chậm; 15 Ứng suất  xz biến đổi tương t như  xy , tăng trong khoảng p = 0 ÷ 0.5, sau đó giảm trong khoảng p  = 0.5 ÷ 5, rồi lại tăng dần với tốc độ tăng chậm,  xz đạt giá trị lớn nhất khi p  0.5 và đạt giá trị nhỏ nhất khi p  5. w x  xy  xz Hình 4.2. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM theo chỉ số tỷ lệ thể tích p 4.2.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a Xét tấm vuông bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = b = 1m. Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất màng không thứ nguyên  x , y , xy theo tỷ số h/a thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát các đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng có nghĩa là tấm càng dày, độ võng w và các thành phần ứng suất màng uốn  x , y , xy giảm khá nhiều và giảm nhanh trong khoảng h/a = 0.05 ÷ 0.1, sau đó tốc độ giảm chậm dần khi tấm đã đạt độ dày nhất định. w x  xy  xz Hình 4.3. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM theo tỷ số h/a 16 Biến thiên của các thành phần ứng suất cắt ngang không thứ nguyên  xz theo tỷ số h/a được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng (tấm càng dày), các thành phần ứng suất cắt ngang giảm, tu nhiên lượng tha đổi không nhiều. 4.2.4. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.2. w x  xy  xz Hình 4.4. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM theo tỷ số b/a Hình 4.4 biểu diễn s biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz theo tỷ số b/a. Quan sát các đồ thị này ta thấy, khi b/a tăng: Độ võng w và các thành phần ứng suất  x , xy , xz tha đổi phi tu ến, tăng nhanh trong khoảng b/a = 0.5 ÷ 2, sau đó tốc độ tăng chậm dần, ứng suất  xy gần như không tha đổi khi b/a ≥ 2. 4.2.5. Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên w x  xy  xz Hình 4.5a. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau 17 Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, các tham số hình học và vật liệu được giữ ngu ên như các bài toán đã trình bà ở phần 4.2.2-4.2.4. Bốn dạng điều kiện biên: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sẽ được khảo sát. Biến thiên độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz với 4 dạng điều kiện biên khác nhau: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sử dụng lời giải phần tử hữu hạn, được tính toán và thể hiện bằng các đồ thị trên Hình 4.5a-4.5c. Quan sát các đồ thị này ta thấy ảnh hưởng của điều kiện biên đến các đại lượng nghiên cứu là rõ rệt, phản ánh đúng tư du kỹ thuật. w x  xy  xz Hình 4.5b. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM với các điều kiện biên và tỷ số h/a khác nhau w  xy x  xz Hình 4.5c. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên và tỷ số b/a khác nhau 4.2.6. Nhận xét chung  Với vật liệu P-FGM chỉ số tỷ lệ thể tích p biến thiên làm tha đổi độ cứng kết cấu tấm do tha đổi tỷ phần thể tích gốm/kim loại. Khi p ≠ 0, mặt trung hòa không trùng với mặt trung bình, biến thiên các thành phần ứng suất theo tọa độ chiều dà tấm là phi tu ến. Thành phần ứng suất cắt ngang thỏa mãn điều kiện bằng không tại mặt trên và dưới của tấm;