BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Thu Vân
PHÉP THU GỌN ĐẠI SỐ
LIE SỐ CHIỀU THẤP
Chuyên ngành: Hình Học và Tôpô
Mã số: 60-46-10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN
Thành phố Hồ Chí Minh 09-2009
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn
Thái Sơn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, vì Thầy đã tạo cơ hội cho tôi
làm quen với lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, hiểu được thuật toán tính các phép
thu gọn đại số Lie có số chiều thấp .
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin
Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên
môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa
học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh; cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động
viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Vân
BẢNG CHỈ DẪN CÁC KÝ HIỆU
ad x
Biểu diễn chính quy của g
Aut( g )
Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên không gian vectơ V
pq
, p, q
Bất biến đại số Lie
Der(A)
Toán tử vi phân trên A
End(V)
Đại số các toán tử tuyến tính trên K
exp
Ánh xạ mũ exp.
g
Đại số Lie
G
Nhóm Lie
gk ,gk
Các ideal dẫn xuất thứ k của g
g
Không gian đối ngẫu của đại số Lie g .
g0 =(V,[.,.]0 ) (Cái) thu gọn liên tục một tham số của g
GL(n,
)
Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
K g
K-quỹ đạo của G
g
Dạng dừng của đại số Lie g
Ln
Biến của đại số Lie n-chiều
Mat(n,
)
Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
tr(ad u )
Vết của biểu diễn chính quy ad u
TeG
Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e.
A:=B
A được định nghĩa là B
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số Lie thực hay phức và các phép thu gọn chúng có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực toán học và vật lý. Lý thuyết nền tảng của phép thu gọn liên tục
đại số Lie có số chiều hữu hạn đã được xây dựng và phát triển từ vài chục năm nay.
Đặc biệt có một số chuẩn cần thiết của phép thu gọn được chọn lọc và một số chuẩn
mới cũng được đưa ra. Các đại lượng bất biến và nửa bất biến cần thiết đã được tính
cho lớp rộng các đại số Lie bao gồm cả đại số Lie có số chiều thấp. Trên cơ sở đó
hai nhà toán học Maryana Nesterenko và Roman Popovich đã giới thiệu một thuật
toán để tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp. Thuật toán này dựa trên việc
liệt kê hoàn toàn các đại số Lie có số chiều cố định không đẳng cấu và hệ thống các
chuẩn của phép thu gọn đựợc đưa ra. Việc xây dựng hệ thống các chuẩn của phép
thu gọn làm cho việc ứng dụng thuật toán này một cách hiệu quả hơn và các tính
toán ở đây thuần túy là đại số. Phương pháp này cũng đòi hỏi phải có sự lựa chọn
cơ sở thích hợp của đại số Lie và điều đó cũng mang lại các tính toán đơn giản hơn.
Đầu tiên, Segal đưa ra khái niệm phép thu gọn dựa vào quá trình lấy giới hạn
các đại số Lie. Đó là ví dụ được cho bởi sự liên kết giữa cơ học tương đối và cơ học
cổ điển thông qua nhóm đối xứng của Pointcare và Galilê. Ông cũng là người đầu
tiên xây dựng định nghĩa phép thu gọn theo thuật ngữ giới hạn. Sau Segal, khái
niệm phép thu gọn thông qua nhóm đối xứng được xây dựng bởi Inonu- Wigner và
được gọi là phép thu gọn Inonu-Wigner. Sau đó, Saletan nghiên cứu lớp phép thu
gọn một tham số tổng quát trong đó các phần tử của ma trận tương ứng với ma trận
sắp thứ tự ban đầu của tham số thu gọn. Ông cũng đưa ra định nghĩa tổng quát phép
thu gọn dựa trên quá trình lấy giới hạn móc Lie và cho phép ta tránh được những
phiền phức tồn tại trong định nghĩa Segal.
Phép thu gọn trong trường hợp ba chiều được xét bởi Inonu-Wigner, nhưng
có một số trường hợp bị bỏ qua và Conatser đã mô tả triệt để sau đó. Sử dụng việc
phân loại các đại số Lie có số chiều thấp, Huddleston đã xây dựng phép thu gọn đại
số Lie bốn chiều và Lauret đã giải quyết bài toán rất đẹp theo thuật ngữ bao đóng
quỹ đạo.
Tính phức tạp của việc mô tả bao đóng quỹ đạo đại số là số chiều của không
gian vectơ nền được tăng lên theo hàm số mũ. Do đó, một cách làm đơn giản hơn là
ngừời ta xét các lớp con đóng các đại số Lie (chẳng hạn các đại số lũy linh) thay
cho lớp các đại số Lie với số chiều cố định. Sự suy biến của các đại số Lie lũy linh
đã được nghiên cứu trong khá nhiều tài liệu với hạn chế số chiều 5, 6, 7.
Tóm lại, việc nghiên cứu phép thu gọn các đại số Lie thực hay phức là một
vấn đề lý thú hấp dẫn, có nhiều ứng dụng và đang là vấn đề thời sự trong Toán học.
Tuy nhiên việc tính các phép thu gọn trong trường hợp đại số Lie có số chiều cao
hơn 4 là một vấn đề khó và cho đến nay vẫn còn mở, thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà Toán học trên thế giới.
Chính vì thế chúng tôi chọn đề tài tìm hiểu về phép thu gọn các đại số Lie
thực và phức với số chiều không quá 4. Cụ thể chúng tôi sẽ đọc hiểu và trình bày lại
một cách rõ ràng hơn, chứng minh chi tiết lại các kết quả chỉ được chứng minh vắn
tắt trong bài báo “Contractions of Low Dimensional Lie Algebras” của Maryana
Nesterenko và Roman Popovych (ArXiv: Math-Ph / 0608018v4 – 11 Jan 2007).
2. Mục đích
Dùng thuật toán do các nhà toán học Maryana Nesterenko và Roman
Popovych đưa ra để tính toán rõ hơn các phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp,
cụ thể là ba chiều và bốn chiều trong bài báo của họ.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Các đại số Lie thực có số chiều thấp, cụ thể là ba chiều và bốn chiều.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tính toán được các phép thu gọn của các đại số Lie ba hay bốn chiều.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie, và các
bất biến và bán bất biến của các đại số Lie ba, bốn chiều . Phần này chỉ
trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến việc tính toán các phép
thu gọn.
Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Maryana
Nesterenko và Roman Popovych để tính toán rõ các phép thu gọn các đại
số Lie có số chiều thấp.
Chương 3: Trình bày mở rộng các phép thu gọn các đại số Lie có số chiều
thấp trên trường số phức.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục
nghiên cứu tiếp sau đề tài.
Các nghiên cứu đạt được dựa trên việc tính toán thuần tuý đại số và sự trợ
giúp của máy tính.
Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Bảng chỉ dẫn các thuật ngữ và
ký hiệu).
Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE
Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên
cứu ở các chương sau, trong đó, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ
bản về đại số Lie và nhóm Lie (thực). Bên cạnh đó cũng dẫn ra các bất biến và bán
bất biến của đại số Lie ba chiều và bốn chiều.
Một số mệnh đề và định lý được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả
nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin
xem các tài liệu…
1.1. Đại số Lie
1.1.1. Định nghĩa
Cho K là trường và g là không gian vectơ trên K. Ta bảo g là một đại số Lie
trên K hay K – đại số Lie nếu trên g đã cho một phép nhân gọi là móc Lie:
.,. : g g g
x, y x, y
(tích Lie hay móc Lie của x và y)
sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn:
(L1) Móc Lie là hoán tử song tuyến tính. Tức là:
x y,z x,z y,z ,
x, y z x, y x, z ; x, y, z g, , K
(L2) Móc Lie phản xứng. Tức là: [x,x] = 0, x g
(L3) Móc Lie thoả mãn đồng nhất thức Jacôbi. Tức là:
x, y , z y,z , x z, x , y 0
x, y, z g
Nhận xét
Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với
L2 : x, y y, x , x, y g
Nếu [x,y] = 0, x, y g thì ta bảo móc Lie tầm thường và g là đại số Lie
giao hoán.
Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vectơ g .
Cho g là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của
g là n. Cấu trúc đại số Lie trên g có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ
thuộc cơ sở e1 , e2 ,..., en đã chọn trước trên g như sau:
n
ei , e j : cijk ek , 1 i
- Xem thêm -