ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NÔNG THỊ HIỆU
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NÔNG THỊ HIỆU
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
TS. PHẠM THANH HIẾU
THÁI NGUYÊN - 2018
ii
Mục lục
Mục lục
i
Lời cảm ơn
iv
Một số ký hiệu và viết tắt
v
Mở đầu
1
Chương 1.
Bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất
động
1.1. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . .
3
3
1.1.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
1.2. Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . 12
1.2.1. Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn . 12
1.2.2. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn 17
2.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 17
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov
. . . . . . . . 21
2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Sự tồn tại và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
2.3.2. Sự hội tụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1. Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) . . . 32
2.4.2. Minh họa số cho phương pháp (2.25) . . . . . . . . . 33
Kết luận
35
Tài liệu tham khảo
36
iv
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thanh Hiếu. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–
Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động
viên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trong
trường. Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ
thông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng và các anh chị em đồng nghiệp
đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K10A và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập
và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
v
Một số ký hiệu và viết tắt
X
không gian Banach
X∗
không gian đối ngẫu của X
θ
phần tử không của không gian Banach X
R
tập hợp các số thực
R+
tập các số thực không âm
∩
phép giao
inf M
cận dưới đúng của tập hợp số M
sup M
cận trên đúng của tập hợp số M
max M
số lớn nhất trong tập hợp số M
min M
số nhỏ nhất trong tập hợp số M
argminx∈X F (x)
tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X
∅
tập rỗng
∀x
với mọi x
D(A)
miền xác định của toán tử A
R(A)
miền ảnh của toán tử A
A−1
toán tử ngược của toán tử A
I
toán tử đồng nhất
vi
Lp (Ω)
không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω
lp
không gian các dãy số khả tổng bậc p
d(x, M )
khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
lim sup xn
giới hạn trên của dãy số {xn }
n→∞
lim inf xn
giới hạn dưới của dãy số {xn }
αn & α0
dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0
xn −→ x0
dãy {xn } hội tụ mạnh về x0
xn * x0
dãy {xn } hội tụ yếu về x0
J
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
n→∞
F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
∂f
dưới vi phân của hàm lồi f
M
bao đóng của tập hợp M
d(a, M )
khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M
o(t)
vô cùng bé bậc cao hơn t
n[a,b]
số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b]
nmax
số bước lặp
tg
thời gian tính toán
err
sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác
int(C)
phần trong của tập hợp C
1
Mở đầu
Nhiều bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý và kinh tế dẫn đến
bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ xác định. Các bài
toán đó được gọi chung là bài toán điểm bất động. Chẳng hạn, bài toán
tìm ảnh của ánh xạ chiếu mê tric trên các tập con lồi đóng Ci , i ∈ I trong
không gian Hilbert thực. Điểm bất động của bài toán này chính nghiệm
của là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng tìm một điểm thuộc vào giao của
các tập lồi đóng Ci , i ∈ I trong không gian Hilbert thực. Do sự quan trọng
của các bài toán này về cả khía cạnh thực hành và lý thuyết nên các thuật
toán để tìm điểm bất động chung của các toán tử đã trở thành một lĩnh
vực nghiên cứu rất phát triển trong lý thuyết điểm bất động. Ta biết rằng
nếu T : H → H là một ánh xạ co thì luôn tồn tại duy nhất một điểm bất
động của T . Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn thì điều này không
còn đúng nên lớp bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và
một họ các ánh xạ không giãn là một bài toán quan trọng đối với các nhà
nghiên cứu toán học. Lí do vì bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế như
trong khôi phục và xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, điều khiển năng
lượng (xem chẳng hạn [19])...Cho đến nay đã có nhiều nhà toán học công
bố nhiều kết quả hay và có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểm
bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không
giãn dựa trên việc cải biên, cải tiến những kết quả đã có của Mann [23],
Halpern [15],.... Ở Việt Nam, bài toán điểm bất động của ánh xạ không
giãn cũng là một đề tài nghiên cứu khá sôi nổi thu hút được nhiều nhà
toán học nổi tiếng như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu
Thuỷ và nhiều tác giả trẻ như Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem
2
chẳng hạn [9], [21], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó). Những
công bố của các tác giả Việt Nam và nước ngoài về những phương pháp
giải bài toán điểm bất động đã làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất
động và đóng góp chung vào sự phát triển của lĩnh vực nghiên cứu này.
Mặc dù là một bài toán rất quan trọng nhưng bài toán điểm bất động
của ánh xạ không giãn nằm trong lớp các bài toán đặt không chỉnh (nói
chung) theo nghĩa nghiệm của bài toán không là duy nhất và nghiệm không
phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu. Việc xây dựng các phương pháp giải ổn
định còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh cho lớp bài toán đặt không chỉnh
trong đó có bài toán điểm động của ánh xạ không giãn là một hướng nghiên
cứu cần được quan tâm. Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, thì phương pháp
hiệu chỉnh Browder–Tikhonov được coi là phương pháp khá hiệu quả và
đã được sử dụng để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh như bất đẳng
thức biến phân , phương trình toán tử và bài toán điểm bất động (xem
chẳng hạn [18], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó).
Trong luận văn này, dựa trên một số kết quả đã có về phương pháp
hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân và bài toán
điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, chúng
tôi nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không
giãn trong không gian Hilbert. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất
động cùng với một số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết
quả chính của luận văn liên quan đến một số tính chất hình học của không
gian Hilbert và không gian Banach; ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh
xạ không giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh và ánh xạ
ngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert... Chương 2 dành để trình
bày kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp
hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert và ví
dụ số minh họa cho hai phương pháp trên.
3
Chương 1
Bài toán đặt không chỉnh và bài
toán điểm bất động
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert,
không gian Banach, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn.
Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu một cách ngắn gọn về bài toán đặt
không chỉnh và bài toán điểm bất động. Mục 1.1 dành để giới thiệu về
bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov.
Mục 1.2 giới thiệu bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với
phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn. Những kiến thức cơ bản đề cập trong
chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1]-[4] và một số tài
liệu khác có trích dẫn kèm.
1.1.
Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Trong rất nhiều những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp
các bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi
nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra
(nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm.
Có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc vào
dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp các bài toán đặt
không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt
không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán này.
4
1.1.1.
Bài toán đặt không chỉnh
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp
của X. Cả hai không gian X và X ∗ có chuẩn đều được kí hiệu là k . k. Ta
viết hx∗ , xi thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X.
Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được Hadamard [1] đưa ra khi
nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương
trình elliptic cũng như parabollic. Ở đây chúng tôi trình bày khái niệm về
bài toán đặt không chỉnh ở dạng phương trình toán tử
A(x) = f,
(1.1)
với A : X −→ Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là định nghĩa của Hadamard
(xem [1]).
Định nghĩa 1.1 Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính quy)
nếu thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện sau:
1) Phương trình A(x) = f có nghiệm xf với mọi f ∈ Y .
2) Nghiệm xf là duy nhất.
3) Nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (f, A).
Định nghĩa 1.2 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được
thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.
Hơn nữa điều kiện thứ ba rất khó thực hiện và nhất là khi máy tính điện
tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra
quá trình làm tròn số.
Ví dụ 1.1 . Xét hệ phương trình sau trong R2 :
x + 3x = 3,
1
2
1, 01x + 3x = 3.01.
1
2
(1.2)
5
2
Hệ (1.2) có nghiệm là x1 = 1 và x2 = ; trong khi đó hệ phương trình
3
x + 3x = 3
1
2
x + 3, 01x = 3.05
1
2
có nghiệm là x1 = −12 và x2 = 5. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số
và vế phải của phương trình thứ 2 kéo theo những thay đổi đáng kể của
nghiệm. Thậm chí nếu xét hệ phương trình sau:
x + 3x = 3
1
2
x + 3x = 3.01
1
2
thì hệ này còn vô nghiệm.
Nhận xét 1.1 Một số bài toán đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại
đặt không chỉnh trên không gian khác. Chẳng hạn, phương trình x2 +1 = 0
có nghiệm trên trường số phức C nhưng lại vô nghiệm trên trường số thực
R.
Định nghĩa 1.3 Cho (X, d) là một không gian metric và tập K là một
tập con khác rỗng của X. Với mọi x ∈ X khoảng cách từ điểm x và tập
K được kí hiệu bởi d(x, K) và được xác định bởi
d(x, K) = inf d(x, y).
y∈K
Định nghĩa 1.4 Phép chiếu metric PK xác định trên X là một ánh xạ
đa trị từ X vào 2X cho bởi
PK (x) = z ∈ K : d(x, Z) = d(x, K), ∀x ∈ K.
Nếu PK =
6 ∅ với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập liền kề.
Nếu PK là đơn ánh với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập Chebyshev.
Ví dụ 1.2 : Cho X = R, K = [1, 2] ⊂ R, ta có ánh xạ sau là phép chiếu
metric từ R lên K
1 nếu x < 1,
PK (x) = x nếu 1 ≤ x ≤ 2,
2 nếu x > 2.
6
Chú ý 1.1 Phép chiếu metric PK : H −→ K là ánh xạ đơn trị trong
không gian Hilbert H.
1.1.2.
Phương pháp hiệu chỉnh
Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) khi không biết tin về
nghiệm chính xác x0 , Tikhonov (xem [1]) đã đưa ra một khái niệm mới.
Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh
và cách chọn giá trị một tham số mới đưa vào.
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ρy (fδ , f ) ≤ δ −→ 0.
Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (a, fδ ) và mức sai số của δ, tìm
một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.1). Rõ ràng là
ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ , vì thứ
nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 không
liên tục, nên nếu A−1 fδ tồi tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1 f .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.1). Vì vậy một điều
tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào
một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho
khi δ −→ 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến x0 . Ta cũng thấy nếu được
thì từ fδ ∈ Y ta có phần tử thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác
động từ không gian Y vào không gian X. Sau đây là định nghĩa về toán
tử hiệu chỉnh.
Định nghĩa 1.5 Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ
Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.1) nếu:
(i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 );
(ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ , δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤
δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY (fδ , f ) ≤ δ1 thì ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ở
đây x0 là nghiệm chính xác của (1.1) và xα ∈ R(fδ , α(fδ , δ)).
Phần tử x0 được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.1) và α =
α(fδ , δ) gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa
trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu.
7
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp
hiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng cho việc nghiên cứu và giải các bài
toán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.
Chú ý 1.2 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có
dạng đơn giản sau:
(i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0 ) ≤ δ;
(ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ , f0 ) ≤
δ ≤ δ0 ta có ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ , δ).
Giả thiết rằng X, Y là các không gian Hilbert thực. Nội dung của
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho
phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδα của
phiếm hàm Tikhonov
Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x∗ k2 .
(1.3)
Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt lên
toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu
xδα là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1). Định lý sau khẳng định
sự tồn tại của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xk } của (1.3).
Định lý 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử liên tục và đóng yếu, α > 0
và {xk } là một dãy cực tiểu của (1.3) với fδ được thay bởi fk sao cho
fk → fδ . Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy {xk } và giới hạn của
dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.3).
Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Browder
–Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại một số định
nghĩa liên quan đến tính chất hình học của không gian Banach X và ánh
xạ đơn điệu trong không gian Banach (xem thêm [36]).
Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X được gọi là
8
(i) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị SX := {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt,
tức là, từ x, y ∈ SX kéo theo k x + y k< 2, hoặc biên ∂SX không chứa bất
kì đoạn thẳng nào.
(ii) lồi đều nếu với ε bất kì thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sau
thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao
cho
x + y
2
≤ 1 − δ.
Chú ý 1.3
(i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều.
(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa
chắc lồi đều.
Định nghĩa 1.7 Ánh xạ J s : X −→ X ∗ (nói chung đa trị) được định
nghĩa bởi
J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 kxk = kxks }, s ≥ 2
gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi s = 2 thì J s được viết là J
và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.1 ( xem [6]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ ∈ R;
(ii) J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong
trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I, trong đó I là toán tử đơn
vị trong H.
Chú ý 1.4 Kí hiệu j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị.
Ví dụ 1.3 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính
là ánh xạ đơn vị I : H → H, I(x) = x ∀x ∈ H.
Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn
tại trong mọi không gian Banach.
9
Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X được gọi là có tính chất E − S
(Ephimov-Stechkin) nếu với mọi dãy {xn } hội tụ yếu đến x và kxn k → kxk
khi n → ∞ thì xn → x khi n → ∞.
Định lý 1.2 [3] Mọi không gian lồi đều đều có tính chất E − S.
Định nghĩa 1.9 Chuẩn của không gian tuyến tính định chuẩn X được
gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SX nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn
kx0 + tyk − kx0 k
t→0
t
lim
(1.4)
tồn tại, kí hiệu hy, 5kx0 ki. Khi đó 5kx0 k được gọi là đạo hàm Gâteaux
của chuẩn ϕ(x) = kxk tại x = x0 .
Định nghĩa 1.10 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn.
(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó
khả vi Gâteaux tại mọi điểm trên mặt cầu đơn vị SX .
(ii) Chuẩn của X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi
y ∈ SX , giới hạn (1.4) đạt được đều với mọi x ∈ SX .
Định lý 1.3 [3] Không gian Banach X là trơn khi và chỉ khi chuẩn của
X khả vi Gâteaux trên X \ {0}.
Định nghĩa 1.11 Cho X là các không gian Banach với không gian liên
hợp X ∗ . Toán tử A : X → X ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu
hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X.
Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, thì tính đơn điệu tương
đương với tính không âm của toán tử.
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(k x − y k) ∀x, y ∈ D(A).
10
(iii) Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi
là đơn điệu mạnh.
(iv) ngược đơn điệu mạnh với hằng số η nếu tồn tại η > 0 và với mọi
x, y ∈ X thì
hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkA(x) − A(y)k2 .
Định nghĩa 1.12 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là h-liên tục trên X nếu
A(x + ty) * Ax khi t −→ 0+ với mọi x, y ∈ X.
Ví dụ 1.4 : Xét toán tử A := f (x, y) : R2 → R là hàm số hai biến số xác
định bởi
2xy
2
2
f (x, y) = x + y
0 nếu
nếu
x2 + y 2 6= 0,
x2 + y 2 = 0.
Khi đó, A := f (x, y) là hàm liên tục theo từng biến riêng biệt nhưng không
liên tục theo cả hai biến nên A là h-liên tục.
Thật vậy, ta có với x 6= 0, y 6= 0 thì
2xy
2xy
f (x) = 2
và
f
(y)
=
x + y2
x2 + y 2
đều là các hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định.
Xét tại x = 0 ta có (vì y 6= 0)
2xy
= 0 = f (0).
x→0 x2 + y 2
lim f (x) = lim
x→0
Xét tại y = 0 ta có (vì x 6= 0)
2xy
= 0 = f (0).
x→0 x2 + y 2
lim f (y) = lim
x→0
Suy ra f (x, y) là hàm số liên tục theo biến x với mỗi giá trị y bất kì và
f (x, y) liên tục theo biến y với mỗi giá trị x bất
kì.
1 1
Xét tính liên tục tại điểm (0,0): Chọn dãy điểm
;
→ 0 khi n → ∞,
n n
ta có
1
1
2
n
n
lim
= 1 6= f (0, 0),
1
1
n−→+∞
+
n2 n2
11
nên hàm số f (x, y) không liên tục tại điểm (0,0).
Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X −→ X ∗ được gọi là toán tử bức nếu với
mọi x ∈ X
hAx, xi
= ∞.
kxk−→∞ kxk
lim
Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu khẳng định sự tồn
tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1).
Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực, X ∗ là không gian
liên hợp của X, f ∈ X ∗ và A : X −→ X ∗ là toán tử h - liên tục. Khi đó
nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:
hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X
thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f .
Nếu A là một tóa tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với
hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng
minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này chính ông
và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Bannach.
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder [11] đề xuất năm
1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu
chỉnh Browder - Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X −→ X ∗ có tính
chất h-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một dạng của
toán tử M là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X. Bằng phương pháp này,
Alber [4] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử
(1.1) trên cơ sở phương trình
A(x) + αJ(x − x∗ ) = fδ .
(1.5)
Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E − S và X ∗
là không gian lồi chặt. Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (1.5); đồng thời định lý cũng khẳng
định sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của bài toán ban đầu với
một số điều kiện xác định.
12
Định lý 1.4 (xem [4]) Cho A : X −→ X ∗ là toán tử đơn điệu, h-liên tục.
Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.5) có duy nhất nghiệm
xδα . Ngoài ra nếu α, δ/α −→ 0 thì {xδα } hội tụ đến nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ
nhất của bài toán (1.1).
1.2.
1.2.1.
Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn
Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.14 Cho C là một tập con của không gian Banach X và
ánh xạ T : C −→ X thỏa mãn
kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C và L ≥ 0.
(1.6)
Khi đó, ánh xạ T : C → X được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L.
Ngoài ra, trong (1.6), nếu
• 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ co.
• L = 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.15 Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của ánh
xạ T nếu T x = x.
Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ).
Định nghĩa 1.16 Cho T (t) : C −→ C là một ánh xạ từ tập con lồi, đóng,
khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó với mỗi t ≥ 0. Họ
ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm ánh xạ không giãn
(gọi tắt là nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ T (t) không giãn trên C.
(ii) T (0)x = x ∀x ∈ C.
(iii) T (t1 + t2 ) = T (t1 ) ◦ T (t2 ) với mọi t1 ≥ 0 và t2 ≥ 0.
(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào C liên tục.
Kí hiệu F := ∩t≥0 Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm
không giãn {T (t) : t ≥ 0}. Nếu F 6= ∅ thì F là tập lồi đóng trong X.
13
Ví dụ 1.5 Trên không gian các số thực R, họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} :
R → R xác định bởi T (t)x = e−t x với mỗi x ∈ R là nửa nhóm không giãn
trên R. Thật vậy,
(i) Với mỗi t ≥ 0, t ∈ R và x, y ∈ R ta có:
kT x − T yk = ke−t x − e−t yk = ke−t (x − y)k = e−t kx − yk ≤ kx − yk.
Suy ra T (t) ánh xạ không giãn không giãn trên R.
(ii) T (0)x = e−0 x = x ∀x ∈ R.
(iii) Với mỗi t1 ≥ 0, t2 ≥ 0 và x, y ∈ R ta có
T (t1 + t2 )x = e−(t1 +t2 ) x = e−t1 e−t2 x = e−t1 (e−t2 x) = T (t1 (T (t2 )x).
Tức là T (t1 + t2 ) = T (t1 ) ◦ T (t2 ).
(iv) Với mỗi x ∈ R, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào R liên tục.
Định nghĩa 1.17 Nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} được
gọi là
(i) chính quy tiệm cận nếu
lim kT (s)T (t)x − T (t)xk = 0,
t→∞
(ii) và chính quy tiệm cận đều nếu
lim sup kT (s)T (t)x − T (t)xk = 0
t→∞
x∈C
đều với mọi s > 0.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không
giãn được khẳng định trong các định lý sau.
Định lý 1.5 (xem [2]) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian
Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có ít nhất
một điểm bất động.
Nhận xét 1.2 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên tục
của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) 6= ∅ thì
nó là tập lồi và đóng.
- Xem thêm -