Tài liệu Phương trình tích phân của hàm có giá trị vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trần Văn Trí PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh-2009 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ bảo, góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô, những người đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong hai năm học cao học vừa qua. Xin chân thành cảm ơn. Học viên Trần Văn Trí DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  1,2,...  0      0;   MỞ ĐẦU Trong luận văn này tôi xét sự tồn tại nghiệm và tính chất compact, liên thông của tập nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến có dạng x t   t   1  t  f  t , s, x 1  s   ds   0 2  t   0 K  t , s  g  s, x  2  s   ds ,t  0 (*) trong đó i ,i :  0;     0;   , i=1,2; f :  0;    E  E , 2 g :  0;    E  E , K :  0;    L( E , E ) . 2 E là không gian Banach thực với chuẩn . , L(E,E) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E. Phương trình (*) đã được khá nhiều nhà toán học quan tâm, bên cạnh việc chứng minh sự tồn tại nghiệm việc khảo cứu cấu trúc của tập nghiệm cũng được đề cập chẳng hạn như: và hàm f (t , s, x( s))  v( s, t ) x(1 ( s )) , Avramescu  6 đã Trường hợp E = chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình x t   t   1  t   v( s, t ) x(1 ( s ))ds  0 2  t   0 K  t , s  g  s, x  2  s   ds , t  0 (**) Trường hợp E là không gian Banach thực Hóa, Ngọc 8 đã chứng minh tập nghiệm của phương trình t t 0 0 x  t     t    f  t , s, x( s) ds   g  s, x  s  ds , t  0 (***) là khác rỗng, compact, liên thông. Với các kỹ thuật và ý tưởng tự như trong  7  , 8 tôi sẽ chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact liên thông với các giả thiết của hàm f, g nhẹ hơn trong  6 ,  7  , 8 . Kết quả chính của luận văn này được trình bày ở định lí 3.1, định lí 3.2. Cụ thể như sau Ở chương 1 gồm các định lí mà các kết quả của nó dùng trong các chứng minh ở chương 2 và chương 3 gồm các định lí 1.2, định lí 1.3, định lí 1.6, định lí 1.8, định lí 1.9. Ở chương 2 : có hai vấn đề Một là sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian Banach và kết quả chính là định lí 2.1.5. Hai là định lí Krasnoselskii-Perov nói về tính chất của tập nghiệm Ở chương 3 chứng minh tập nghiệm của phương trình (*) khác rỗng, compact, liên thông. Việc chứng minh dựa vào hai định lí 2.1.5 và định lí 2.2. Kết quả chính của chương và của luận văn là định lí 3.1 và định lí 3.2. Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa1.1: 1 Cho X,Y là hai không gian Banach. Ánh xạ f : X  Y được gọi là lipsit địa phương nếu: với mọi x0  X , tồn tại lân cận V của x0 và một hằng số k (không phụ thuộc x0 ) sao cho f  x   f  x ,   k x  x , ,x, x , V . Định lí 1.2: 1 Cho E, F là hai không gian Banach, D là tập con mở của E và ánh xạ liên tục f : D  F . Khi đó với mỗi  tồn tại ánh xạ Lipschitz địa phương f : D  F sao cho f ( x)  f ( x)   , x  D và f ( D)  co f ( D) . Chứng minh:   Với x  D ,đặt x   y  D / f ( x)  f ( y )   thì D   x 2 xD  Gọi V ,    là phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ  x , x  D sao cho: + x  D , tồn tại lân cận V(x) thỏa mãn : V ( x)  V   chỉ với một số hữu hạn    . + Với mỗi    tồn tại x  D để V   x . Với    xác định al : D   định bởi: ì0 khi x Ï Vl ï a (x) = ï ír(x, ¶V ) khi x Î V l ï l ï l î trong đó r(x,A) = inf { x - y , y Î A} . -1 æ ö Đặt fl (x) = ççå a m (x)÷÷÷ a l (x), x Î D çè mÎL ø ìï0 £ x-y khi x, y Ï Vl ïï Ta có a l (x) -a l (y) = ï £ x-y khi x Î Vl , y Ï Vl ír(x, ¶Vl ) ïï ïï r(x, ¶Vl ) - r(y, ¶Vl ) £ x-y khi x,y Î Vl î Vậy a l lipsitz trên D. Do V ,    là phủ mở hữu hạn địa phương nên chỉ có hữu hạn m Î L sao cho x Î Vm và như vậy chỉ có hữu hạn m Î L sao cho a m (x) > 0 . Vậy fl (x) hoàn toàn xác định. Hơn nữa fl (x) =0 nếu x Ï Vm và fl lipsitz địa phương.Với mỗi l Î L , chọn a l Î Vl Ç D Định nghĩa f  x      x  f  a  .  Ta thấy    x   1,  x   0  nên f  x   cof ( D) . Khi đó f là lipsit địa phương trên D. Với mỗi x  D , tồn tại    để x V và tồn tại x '  D để V  x , Khi đó x, a V  x nên f ( x)  f  a    . , Vậy f  x   f  x      x  f  a   f  x      x  f  a      x  f  x         x  f  a   f  x    với mọi x  D .  Định lí 1.3:  7  A là tập đóng khác rỗng của không gian mêtric X , Y là không gian định chuẩn. Toán tử f : A  Y liên tục. Khi đó tồn tại ánh xạ liên tục F : X  Y sao cho : a) F  X   cof  A  . b) f ( x)  F  x  , x  A . Định nghĩa 1.4: 9 Xét  , ,   là một không gian độ đo. X,Y là hai không gian Hausdorff. Hàm f :   X  Y gọi là hàm Carathéodory nếu thỏa các điều kiện sau: i) Với mọi x  X hàm t  f  t , x  là  , B(Y )  đo được với B(Y) là  -đại số Borel của Y. ii) Với mọi t  hàm x  f  t , x  liên tục. Đặt N g ( x)(t ) = g (t , x (t )) . Nhận xét: Nếu X là một không gian metric khả li ( separable metrizable space) và Y là không gian metric thì hàm  z , x   f ( z , x) là   B  X  -đo được. Hơn nữa f là đồng độ đo (sup-measurable), nghĩa là mọi hàm đo được u :   X thì hàm z  f ( z , u ( z )) là đo được (Denkowski, Migorski & Papageorgiou). Trong mục sau, nếu không có chú thích gì thì chúng ta xét  , ,   là một không gian độ đo nonatomic,  -hữu hạn, đầy đủ ( trong các áp dụng thường sử dụng  là một tập con của n với độ đo Lebesgue) và X,Y là hai không gian Banach khả li (separable Banach spaces). Mệnh đề 1.5: 9 Nếu h : W´ X   + là một hàm Carathéodory, thỏa các điều kiện sau: h ( z ,0) = 0 "z Î W và N h (u ) L (W) £ c r "u Î Lp (W, X ) ,với c >0 thì r m ( Ek ) = 0 " k ³ 1 ì ü ở đây Ek = ï í z Î W : sup h ( z , x) = +¥ï ï x £k ï ï î ï "k ³ 1. X Chứng minh: Giả sử tồn tại k ³ 1 sao cho m ( Ek ) ¹ 0 . Bỡi vì không gian độ đo nonatomic, s -hữu hạn, chúng ta có thể lấy Bk Î å sao cho Bk Í Ek và 0 < m ( Bk ) < +¥ . Với mọi z Î Bk , đặt ì ü ï 2c r ï ï ï S k ( z ) = í x Î X : x X £ k , h ( z , x) > . ï ï m B ( ) k  ï ï î Hiển nhiên S k ( z ) ¹ f "z Î Bk , và GrS k Î (åÇ Bk )´ B ( X ) , với B(X) là s -đại số Borel của X. Chúng ta áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann-Aumann và thu được một ánh xạ (å, B ( X )) -đo được uk : Bk  X sao cho uk ( z ) Î Sk ( z ) "z Î Bk . Chúng ta mở rộng uk lên W bằng cách đặt uk ( z ) = 0 nếu z Î W \ Bk . Vì h ( z ,0) = 0 "z Î W và uk Î Lp (W, X ) , ta có r r h ( z , uk ( z )) d m = ò h ( z , uk ( z )) d m > 2c r ò W Bk Mâu thuẫn giả thiết.Vậy có điều phải chứng minh. Định lí 1.6: 9 f :   X  Y là Nếu một hàm Carathéodory, p,r  1;  và N f : L p (, X )  Lr (, Y ) thì N f liên tục, bị chặn (nghĩa là biến tập bị chặn thành một tập bị chặn) hơn nữa tồn tại a  Lr (), a  0 và c > 0 sao cho f ( z , x) Y  a( z )  c x p r X (hầu khắp nơi z   ). Chứng minh:  Ta chứng minh N f liên tục Lấy u n n1  Lp (, X ) sao cho u n  u trong Lp (, X ) . Đặt g :   X   định nghĩa như sau: r g ( z , x)  f ( z , x  u ( z ))  f ( z , u ( z )) Y . Chúng ta lấy dãy con u n unk  u p p L (, X )  k  k 1 của u n n1 sao cho: 1 , k  1 2k và unk ( z )  u ( z ) hầu khắp nơi z   Đặt v k  u nk  u k  1 . Ta có v k ( z )  0 hầu khắp nơi z   và g ( z , v k ( z ))  0 hầu khắp nơi z   khi k   . Bỡi vì g ( z , x) ³ 0 ," ( z , x) Î W´ X và v k ( z )  0 hầu khắp nơi z   Chúng ta tìm k (z )   , sao cho   z   sup g ( z , vk ( z ))  g ( z, vk ( z ) ( z )) . k 1 Đặt vˆ( z )  vk ( z ) ( z ) . Khi đó  là đo được và hàm z  vˆ( z ) å -đo được. Hơn nữa,ta có    vˆ( z ) X d   sup vk ( z ) X d   vk p p  k 1 k 1  p p L (, X )   un k  u k 1 p Lp (, X )   . Do vậy vˆ  Lp (, X ) . Từ định nghĩa của g và giả thiết thì N g là ánh xạ từ Lp (, X ) vào Lr (, X ) chúng ta suy ra rằng g (., vˆ(.))  L1 ()  . Khi đó g ( z , vk ( z ))  g ( z , vˆ( z )), z  , k  1 và g ( z , vk ( z ))  0 hầu khắp nơi z   theo định lí hội Lebegues, chúng ta có  g ( z, v ( z ))d  0 . k  Do đó N f ( xn )  N f ( x) trong Lr (;Y ) . k Nên mọi dãy con của N f ( xn )n 1 hội tụ đến N f (x) trong Lr (;Y ) . Vậy N f ( xn )  N f ( x) trong Lr (;Y ) . Do đó N f : Lp (, X )  Lr (, Y ) là liên tục.  Ta chứng minh N f bị chặn: cho u  Lp (, X ) Đặt fˆ ( z , x)  f ( z , x  u ( z ))  f ( z, u ( z )) . Hiển nhiên fˆ là hàm Carathéodory và N fˆ là ánh xạ từ Lp (, X ) vào Lr (, Y ) và fˆ ( z,0)  0 z   . Không mất tính tổng quát ta giả sử f ( z,0)  0 z   Vì N f liên tục tại 0, nên tồn tại   0 , sao cho: N f (u ) Lr (  ,Y )  1,  u Lp (  , X )  . Lấy tuỳ ý u  Lp (, X ) và chọn n ³ 1, n Î  sao cho: n n  u p L p ( , X )  (n  1) p . Ta viết n 1    k k 1 là hợp của các khoảng rời nhau sao cho u p Lp ( k , X )   p , k  1,..., n  1. Khi đó, ta có   n 1 f ( z , u ( z )) Y d   r p  k 1  k  u p  f ( z , u ( z )) Y d  n  1   L (  , X )   1 ,      r chứng tỏ N f là bị chặn.  Ta chứng minh tồn tại a  Lp (, X ), a  0 và c>0 sao cho: f ( z , x) Y  a( z )  c x p r X . Vì N f bị chặn nên ta tìm được số c>0, sao cho : N f (u ) Đặt h:   X  Lp ( , X )  c , u 1 Lp (, X ) (1) được định nghĩa  p   h( z , x)   f ( z , x) Y  c x Xr  .   Sử dụng bất đẳng thức 1   2 r  1r   2r , 1   2 . Khi đó, ta có r h r ( z , x)  f ( z , x) Y  c r x p X khi h( z, x)  0 . (2) Lấy u  Lp (, X ) và đặt C= z   : h( z , u ( z ))  0 thì chúng ta tìm n  1, n   và   0;1 sao cho:  u( z) p X d  n   . C Chúng ta viết: n 1 C   Ck k 1 là hợp của các khoảng rời nhau sao cho:  u( z) p X d  1, k  1,..., n  1. Ck Như trên, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f ( z,0)  0, z   và do (1) ta có  C n 1 f ( z , u ( z )) Y d    f ( z , u ( z )) Y d  (n  1)c r r r (3) k 1 C k Theo (2) và (3) ta có  h ( z, u ( z ))d  n  1c r r  (n   )c r  c r , u  Lp (; X ) (4)  Theo mệnh đề 1.5 æïì ïüö m ççí z Î W : sup h( z , x) = +¥ï÷ ÷÷ = 0 "k ³ 1 çèïî ï x £k ï ïø (5) X Vì giả thiết không gian độ đo là  -hữu hạn,chúng ta có thể tìm Dk k 1   sao cho     Dk và  ( Dk )  , k  1 . k 1 Lấy z  Dk , đặt  Vk ( z )   x  X : x  X  k , sup h( z, x)  , sup h( z , x)  x X k x X k  1  h( z , x) . k  Bởi vì (5) nên Vk ( z )   hầu khắp nơi z   . Nhưng khi đó ta cũng có GrVk    Dk  B( X ) , với GrVk = {( x, x* ) Î X ´ X * : x* Î Vk ( x)} . Áp dụng định lí chọn Yankov-von Neumann – Aumann ta chọn được một ánh xạ  , B( X )  - đo được vk : Dk  X sao cho: vk ( z )  Vk ( z ), z  Dk . Mở rộng vk lên  bằng cách đặt vk  \   0 . k Đặt a ( z ) = sup h( z , x) xÎ X Bởi vì h là hàm Carathéodory và X khả li, a là đo được. Chúng ta cũng có sup h( z , x)  x X k 1  h( z , vk ( z ))  a( z ) k Như vậy h( z , vk ( z ))  az  hầu khắp nơi z   , khi k  +¥ . Mà vk  Lp (, X ) và theo (4) ta có  h ( z, v ( z ))d  c , k  1 . r r k  Khi h  0 chúng ta áp dụng bổ đề Fatou’s ta được  a ( z )d  lim inf  h ( z, v ( z ))d  c r  r k   k r .  Như vậy a  Lr () . Theo định nghĩa của h( z, x) ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.7: 5 Nếu X là không gian Banach, C Ì X là tập khác rỗng, đóng và f n : C  X là ánh xạ compact và f n ( x)  f ( x) trong X và hội tụ đều trên tập con bị chặn của C thì f : C  X là ánh xạ compact. Chứng minh: Theo giả thiết thì f : C  X liên tục. Lấy B Í C là một tập bị chặn. Khi đó với e > 0 , tồn tại n0 = n0 (e, B) ³ 1 sao cho f n ( x) - f ( x) X < e "n ³ n 0 , x Î B 2 (1) với n ³ n0 tập f n ( B) là tập compact trong X. Chúng ta lấy { xk }k =1 với N 0 = N 0 (n, e) ³ 1 sao cho N0 N0 f n ( B) Í  Be ( xk ) . k =1 (2) 2 Với x Î B , do (2) nên tồn tại k Î {1,..., N 0 } sao cho e f n ( x) - xk < . 2 (3) Từ (1),(3) ta suy ra f ( x) - xk X £ f ( x) - f n ( x) X + f n ( x) - xk X - Xem thêm -