Tài liệu Sử dụng các phương án giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------------  HOÀNG THỊ DIỆU LINH SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ "TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG" Ở LỚP 10 Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10   LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC   TS. NGUYỄN THỊ LAN PHƯƠNG        HUẾ, NĂM 2011 1  MỤC LỤC   Trang    Trang phụ bìa ....................................................................................................................i  Lời cam đoan....................................................................................................................ii  Lời cảm ơn ......................................................................................................................iii  MỤC LỤC........................................................................................................................ 1  DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. 5  PHẦN MỞ ĐẦU.............................................................................................................. 6  1.  Lời giới thiệu ............................................................................................................... 6  1.1  Nhu cầu nghiên cứu .......................................................................................7  1.2  Phát biểu vấn đề nghiên cứu ...........................................................................9  2.  Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 10  3.  Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................................. 10  4.  Phương pháp và công cụ nghiên cứu......................................................................... 10  4.1  Phương pháp nghiên cứu ..............................................................................10  4.2  Đối tượng tham gia ......................................................................................10  4.3  Công cụ nghiên cứu .....................................................................................10  5.  Cấu trúc luận văn ....................................................................................................... 10  CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................... 12  1.  Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề..................................................................... 12  1.1  Cơ sở triết học, tâm lý học và giáo dục học của dạy học PH và GQVĐ ..........12  1.2  Một số khái niệm cơ bản. .............................................................................12  1.2.1  Vấn đề.......................................................................................................... 12  1.2.2   Tình huống gợi vấn đề................................................................................ 13  1.2.3   Giải quyết vấn đề........................................................................................ 14  1.3  Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (PH và GQVĐ) .............14  1.3.1  Đặc điểm của phương pháp dạy học PH và GQVĐ. ................................... 15  1.3.2  Ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học PH và GQVĐ. .................. 15  1.3.3  Quá trình dạy học PH và GQVĐ................................................................. 16  1.3.4   Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ ................................... 17  1.3.5  Các phương án giải quyết vấn đề.................................................................. 18  2  2.  Nội dung kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở hình  học 10............................................................................................................................. 27  2.1  Đặc điểm của chủ đề ....................................................................................27  2.2  Mục tiêu chung............................................................................................28  2.3  Cấu trúc nội dung ........................................................................................28  3.  Thực trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở trường  THPT hiện nay. .............................................................................................................. 29  3.1  Thực trạng dạy và học toán nói chung...........................................................29  3.2  Tình trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” .....31  CHƯƠNG II PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ TRONG CHỦ ĐỀ "TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG". ....................33  1.  Phương án giải quyết vấn đề trong các tình huống dạy học điển hình...................... 33  1.1  Phương án giải quyết vấn đề trong dạy định lý ..............................................33  1.1.1   Định lý cosin............................................................................................... 34  1.1.2   Định lý sin .................................................................................................. 35  1.2  Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán ......................................36  1.2.1    Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán toán học.................. 37    1.2.1.1 Giải tam giác ........................................................................................ 37    1.2.1.2  Nhận dạng tam giác............................................................................. 41    1.2.1.3   Tính giá trị các biểu thức hay chứng minh các hệ thức vectơ, hệ thức  về độ dài, về mối quan hệ giữa các yếu tố của một tam giác........................... 44  1.2.2   Phương án giải quyết vấn đề trong dạy giải bài toán có nội dung thực tiễn..... .......................................................................................................................... 46    1.2.2.1   Ứng dụng thực tế của chủ đề.............................................................. 46    1.2.2.2  Vai trò của các ứng dụng thực tế của chủ đề này trong dạy học......... 49  2.  Thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ để nâng cao hiệu quả dạy và học .   ................................................................................................................................... 49  2.1   Cấu trúc khung của kế hoạch dạy học theo định hướng GQVĐ............................ 49  2.2   Một số điểm lưu ý khi thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ ........... 50  2.3   Một số thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng các phương án GQVĐ .................... 50  2.3.1   Kế hoạch bài học 1: Định lý cosin.................................................................. 50  2.3.2   Kế hoạch bài học 2: Định lý sin ..................................................................... 54  3  2.3.3    Kế  hoạch  bài  học  3:  Bài  tập  hệ  thức  lượng  trong  tam  giác  và  giải  tam  giác   ...................................................................................................................59  CHƯƠNG III  THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 65  1  Mục đích thực nghiệm và phương pháp thực nghiệm ............................................... 65  1.1  Mục đích thực nghiệm .................................................................................65  1.2  Phương pháp thực nghiệm............................................................................65  1.3  Tổ chức thực nghiệm sư phạm. .....................................................................65  1.3.1  Tổ chức thực nghiệm sư phạm .................................................................... 65  1.3.2   Nội dung thực nghiệm................................................................................ 66  2  Kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................................................... 67  2.1  Nhận xét về tiến trình dạy học ......................................................................67  2.2  Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm thông qua bài kiểm tra......................68  2.2.1  Kết quả bài kiểm tra .................................................................................... 68  2.2.2  Phân tích kết quả bài kiểm tra ..................................................................... 68  PHẦN KẾT LUẬN .......................................................................................................... 73  TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................ 75  4  DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT   GD & ĐT  :  Giáo dục và Đào tạo    GQVĐ  :  Giải quyết vấn đề    GV  :  Giáo viên    HS  :  Học sinh    KHBH    :  Kế hoạch bài học    PH    :  Phát hiện    PPDH    :  Phương pháp dạy học    THCS    :  Trung học cơ sở    THPT    :  Trung học phổ thông                              5  PHẦN MỞ ĐẦU 1   Lời giới thiệu Trước yêu cầu ngày càng cao của xã hội với sự phát triển về kinh tế, khoa học  giáo dục và công nghệ đòi hỏi con người cần phải không ngừng học tập về mọi mặt để  nâng cao tri thức. Điều đó đòi hỏi sự nghiệp  giáo dục  nói chung và việc  dạy học bộ  môn  toán  nói  riêng  cần  có những  đổi  mới  để  đáp  ứng  yêu  cầu  nâng  cao  chất  lượng  nguồn nhân lực mà trong chiến lược phát triển kinh tế-xã hội năm 2011–2020 của Đại  hội Đảng toàn quốc lần thứ XI, đã xác định “Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nhất là  nguồn nhân lực chất  lượng cao, tập  trung vào việc đổi mới căn bản và toàn diện  nền  giáo dục quốc dân; gắn kết  chặt  chẽ phát triển nguồn nhân lực  với  phát  triển và ứng  dụng khoa học, công nghệ”.    Những định hướng đổi mới phương pháp giáo dục được thể hiện rõ trong Điều  28 Luật giáo dục 2005 “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.   Những yêu cầu về đổi mới PPDH môn toán của Bộ GD&ĐT là: Tích cực hoá  hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, phát hiện và giải quyết vấn  đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh tư duy tích cực, độc lập và  sáng tạo. Chọn lựa sử dụng những phương pháp phát huy tính tích cực  chủ động của  học  sinh trong học tập  và phát huy khả năng tự học. Hoạt động hoá việc học tập của  học  sinh  bằng  những  dẫn  dắt  cho  học  sinh  tự  thân  trải  nghiệm  chiếm  lĩnh  tri  thức,  chống lối học thụ động. Tận dụng ưu thế của từng phương pháp dạy học, chú trọng sử  dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Coi trọng cả cung cấp kiến  thức, rèn luyện kĩ năng lẫn vận dụng kiến thức vào thực tiễn. (theo Tài liệu phân phối  chương trình THPT môn Toán năm học 2009-2010)    Hiện nay hầu  hết đội ngũ  cán bộ  giáo viên  của  các  trường  đều quan  tâm đến  việc nghiên  cứu đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao  chất  lượng dạy học. Tuy  nhiên sự hiểu biết, vận dụng những lý thuyết dạy học và những phương pháp dạy học  mới trong giáo dục nói chung và trong việc giảng dạy bộ môn Toán nói riêng của đa số  6  GV  còn  tương  đối  hạn  chế.  Phương  pháp  dạy  học  được  sử  dụng  chủ  yếu  vẫn  theo  hướng truyền thụ tri thức cho học sinh, trong đó giáo viên vẫn đóng vai là trung tâm.  Nguyên nhân dẫn đến điều này một phần là do ở nước ta, việc phát triển nghiệp vụ sư  phạm cho các giáo viên chủ yếu thông qua các khóa bồi dưỡng thường xuyên, các đợt  tập huấn và các hội thảo. Vào mỗi dịp hè, mỗi dịp đầu năm học các khóa tập huấn cho  một  số  giáo  viên  toán  được  tổ  chức  ở  cấp  quốc  gia,  cấp  tỉnh  nhằm  cập  nhật  những  thông tin về đổi  mới nội dung,  chương  trình, phương pháp dạy  học  và  phương pháp  đánh giá. Nhưng những chương trình phát triển nghiệp vụ sư phạm cho giáo viên chưa  thật sự mang lại hiệu quả thiết thực, người giáo viên chưa thật sự hiểu rõ và nắm bắt  được các phương pháp mới cũng như việc sử dụng chúng trong giảng dạy như thế nào.     Việc học Hình học đối với học sinh lớp 10 gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn như:   -  Học sinh lớp 10 hầu hết ở độ tuổi 16, đây là độ tuổi có những thay đổi về tâm  sinh lý. Các em thường hăng hái, nhiệt tình, lạc quan, yêu đời khi mọi chuyện xảy ra  như mong muốn, nhưng lại dễ bi quan, chán nản khi gặp thất bại. Hơn nữa, đây còn là  lứa tuổi dễ chủ quan, nông nổi và thường có những kết luận vội vàng theo cảm tính  -  Khối lượng nội dung hình học ở cấp THPT  mà học sinh cần lĩnh hội nhiều hơn  so với cấp THCS, đặc biệt là khối lượng kiến thức trong một tiết học; phần thời gian  dành cho những tiết luyện tập không nhiều vì vậy để hiểu được lượng kiến thức đó đòi  hỏi học  sinh phải  có khả năng tư duy và có thời  gian tự học, tự luyện tập nhiều hơn.  Hơn nữa, mở đầu cho chương trình hình học 10 là những kiến thức về vectơ hoàn toàn  mới mẻ, trừu tượng đối với các em. Khi học sinh đã gặp phải những khó khăn ban đầu  thì thường có tâm lý chán nản, ngại khó và buông xuôi, do đó các em càng gặp nhiều  khó khăn hơn khi  học các kiến thức hình học tiếp theo.   Sử dụng dạy học giải quyết vấn đề trong Hình học giúp cho học sinh có thể lĩnh hội  được tri thức mới về hình học một cách chủ động qua quá trình tự khám phá, giải quyết  vấn đề; giúp học sinh phát huy được tính tích cực trong học tập, phát triển được khả năng  tư duy của mình cũng như nắm bắt bài học một cách chắc chắn hơn. Đây là phương pháp  dạy học dựa trên quan điểm lấy học sinh làm trung tâm, tạo được môi trường học tập chủ  động và sẵn sàng chia sẽ thành công hay thất bại cho học sinh.   1.1 Nhu cầu nghiên cứu Trong công cuộc đổi mới PPDH, phương pháp dạy học giải quyết vấn đề là một  trong những phương pháp chủ đạo được sử dụng trong nhà trường nói chung. Phương  7  pháp này thật  sự trở  thành một  phương pháp dạy học  hiệu quả mà nhiều nước đã và  đang sử dụng để nâng cao chất  lượng dạy học toán. Ở Hoa Kỳ, phương pháp này đã  được thực nghiệm từ những năm 60 của thế kỷ XX và được triển khai ở nhiều trường  học. John Dewey, một nhà triết học và giáo dục lớn của Hoa Kỳ, đã chủ trương "Học  sinh  đến  trường  không  phải  để  tiếp  thu  những  tri  thức  đã  được  ghi  vào  trong  một  chương trình mà rồi có lẽ sẽ không bao giờ dùng đến, nhưng chính là để giải quyết các  vấn đề, giải quyết các "bài toán" của nó, những thực tế mà nó gặp hằng ngày” ([2]). Ở  Singapore, phương pháp này cũng trở thành mục tiêu chính trong chương trình toán ở  các trường học vào năm 1992 ([17]). Như vậy phương pháp giải quyết vấn đề đã được  xem là một yếu tố quan trọng trong cải cách giáo dục của nhiều nước, nhưng để có thể  sử dụng phổ biến phương pháp này một cách có hiệu quả vào thực tiễn dạy học ở các  nhà trường thì phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong một thời gian dài, “giải  quyết vấn đề thành công đòi hỏi có những hiểu biết về kiến thức toán học, về phương  án giải  quyết  vấn đề, có sự tự kiểm tra hiệu quả và có những định hướng tốt để  giải  quyết  vấn  đề”  ([18]).  Theo  Stephen  Krulik    “Bằng  cách  học  tập  các  phương  án  giải  quyết vấn đề, bắt đầu với các ứng dụng đơn giản và sau đó dần dần chuyển sang các  vấn đề khó khăn và phức tạp hơn, học sinh sẽ có cơ hội phát triển khả năng giải quyết  vấn đề của mình” ([15]).  Ở nước ta, phương pháp giải quyết vấn đề được nghiên cứu và ứng dụng nhiều từ  những năm  90  của  thế  kỷ  20 bởi đông đảo  các  nhà nghiên  cứu,  các nhà lý luận, các  thầy cô giáo. Nguyễn Bá Kim cho rằng “Học sinh tích cực tư duy do nảy sinh nhu cầu  tư duy, do đứng trước khó khăn về nhận thức; học sinh tự kiến tạo hoặc tham gia vào  việc kiến tạo tri thức cho mình dựa vào tri thức đã có, bổ sung và làm cho các tri thức  cũ được hoàn thiện hơn. Học sinh học tập tự giác, tích cực, vừa kiến tạo được tri thức,  vừa học được cách thức giải quyết vấn đề, lại vừa rèn luyện được những đức tính quý  báu như kiên  trì, vượt khó...."  ([3]). PGS. TS Vương Dương Minh đã có những phân  tích để làm rõ  “tác  dụng  của  phương pháp  PH  và  GQVĐ  đối với  kết  quả  đọng lại  ở  người  học  trên  các  mặt:  kiến thức,  tư  duy  và  nhân  cách. Kiến thức  được hình thành  không phải  bằng áp đặt  mà  là kết quả của quá trình hoạt  động tích cực, chủ động và  sáng tạo. Do đó mà kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ, khó quên, nếu quên thì biết  cách tìm lại được…”. Theo TS. Nguyễn Thị Lan Phương “PPDH GQVĐ không phải là  mới,  nhưng  nó  vẫn  không  được  thực  hiện  một  cách  thường  xuyên,  liên  tục  và  rộng  8  khắp trong thực tiễn giảng dạy ở Việt Nam, mặc dù vẫn được đánh giá là “Một PP có khả năng to lớn trong việc phát huy tính tích cực trong học tập của HS” và đã đưa ra  những định hướng để cải thiện tình trạng này.   Chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" bao gồm các kiến thức mới đối  với HS, do đó các em gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội, vận dụng kiến thức trong quá  trình học tập và thường thụ động tiếp nhận các khái niệm, các công thức từ giáo viên.  Nhiều học sinh có suy nghĩ là chỉ cần biết được công thức để làm bài tập và không có ý  thức tự học, tự tìm hiểu, cũng như không chú ý đến việc suy nghĩ “tại sao”, “bằng cách  nào” ta lại có các định lý, tính chất hay các công thức đó. Do đó nhiều học sinh có thể  ghi nhớ được công thức nhưng lại nhầm lẫn giữa các công thức, thậm chí các em không  biết phải sử dụng công thức nào khi làm bài tập. Khi đứng trước một bài toán, học sinh  không biết phải bắt đầu từ đâu và làm thế nào để giải quyết được bài toán. Hơn nữa chủ  đề này  lại  có  vai  trò quan trọng phục  vụ  cho  các  năm  học  tiếp  theo nên  cần  phải  có  phương pháp dạy học phù hợp để các em có thể hiểu được các kiến thức ở chủ đề này.   Do đó để giúp cho học sinh bước đầu có khả năng tự phân tích, tìm  hiểu và giải  quyết một vấn đề hay một bài toán, cũng như tìm hiểu việc dạy Hình học sử dụng các  phương án giải quyết vấn đề có tác dụng như thế nào đến quá trình học tập của học sinh  phổ thông, tôi đã chọn đề tài “Sử dụng các phương án giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" ở lớp 10".   1.2   Phát biểu vấn đề nghiên cứu Dạy học giải quyết vấn đề là kiểu dạy học hỗ trợ hiệu quả cho việc giảng dạy toán ở  nhà trường phổ thông. Nó giúp phát triển tư duy và các ý tưởng toán của học sinh, học  sinh có thể tìm hiểu và hiểu những khía cạnh quan trọng của khái niệm hoặc ý tưởng  bằng cách khai thác tình huống có vấn đề. Tuy nhiên ở nước ta các nghiên cứu về việc  sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học hình học để  nâng cao chất lượng dạy và học toán trong nhà trường còn ít. Một vấn đề thiết thực là  cần  có  nhiều  nghiên  cứu  về  việc  ứng  dụng  phương  pháp  dạy  học  phát  hiện  và  giải  quyết  vấn đề  cũng như việc sử  dụng các phương án giải  quyết vấn đề trong dạy học  hình học được tiến hành để xem xét tác dụng của nó trong thực hành dạy học toán là  như thế nào.   9  2 Mục đích nghiên cứu Sử dụng các phương án GQVĐ của Stephen Krulik vào dạy học chủ đề  “Tích vô  hướng của hai vectơ và ứng dụng” nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học.  3   Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về dạy học GQVĐ  - Nghiên  cứu  thực  trạng  dạy  học  chủ  đề  “tích  vô  hướng  của  hai  vectơ  và  ứng  dụng” trong nhà trường hiện nay.  - Vận dụng các phương án giải quyết vấn đề của Stephen Krulik vào dạy học chủ  đề "Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng" ở Hình học 10.   4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về Triết học, Giáo dục học, Tâm lý  học, Lý luận dạy học môn toán, các tài liệu liên quan đến dạy học giải quyết vấn  đề, các phương án GQVĐ và tài liệu liên quan đến chương trình Hình học phổ  thông hiện hành.  - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi  của đề tài.  - Nghiên cứu định tính: Mô tả, giải thích hành vi học tập của học sinh khi được  giảng dạy theo kế hoạch bài học được thiết kế trong luận văn.  - Nghiên  cứu  định  lượng:  Thu  thập,  tổng  hợp  kết  quả  bài  kiểm  tra  để  xem  xét  hiệu quả việc sử dụng các phương án giải quyết vấn đề vào dạy học.  4.2 Đối tượng tham gia Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm: người nghiên cứu, giáo viên và tất  cả các học sinh trong một số lớp 10 mà tôi tiến hành thực nghiệm tại các trường trung  học phổ thông ở ngoại vi thành phố Huế.  4.3 5 Công cụ nghiên cứu - Các tài liệu liên quan đến đề tài    - Kế hoạch bài học và phiếu học tập  - Đề kiểm tra  Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày  trong ba chương:  10  Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.  1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.  2. Nội dung kiến thức của chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng”.  3. Thực trạng dạy và học chủ đề “Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng” ở  trường THPT hiện nay.  Chương 2. Phương án giải quyết các vấn đề trong chủ đề "Tích vô hướng của hai  vectơ và ứng dụng".  1.   Phương án giải quyết vấn đề trong các tình huống dạy học điển hình  2.  Thiết kế kế hoạch bài học theo định hướng GQVĐ để nâng cao hiệu quả dạy  và học    Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.  1. Mục đích thực nghiệm và phương pháp thực nghiệm.  2. Kết quả thực nghiệm sư phạm.                                              11  Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn   1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 1.1 Cơ sở triết học, tâm lý học và giáo dục học của dạy học PH và GQVĐ Theo  triết học  duy  vật  biện chứng,  mâu thuẫn  là  động  lực  thúc  đẩy  quá  trình  phát triển. Mỗi vấn đề được đưa ra đều chứa đựng mẫu thuẫn giữa những tri thức, kinh  nghiệm đã có với yêu cầu và nhiệm vụ nhận thức, đó là động lực thúc đẩy học sinh giải  quyết vấn đề đã được đưa ra. Tuỳ thuộc vào số lượng và mức độ những vấn đề được  đưa ra bởi người dạy sẽ kéo theo những thay đổi tương ứng về sự phát triển khả năng  GQVĐ của người học. Dạy học PH và GQVĐ dựa trên nguyên tắc được các nhà tâm lý học thừa nhận  là con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng  trước một khó  khăn về nhận  thức  cần phải  khắc  phục.  Khi  có nhu  cầu hiểu  biết, mở  rộng tri thức, có niềm say mê, hứng thú thì hiệu quả của quá trình nhận thức càng thể  hiện rõ hơn.  Dạy học PH và GQVĐ rèn luyện cho người học tính tích cực, tự giác học tập,   đồng thời rèn luyện khả năng hoạt động hợp tác, thảo luận, tìm tòi, sử dụng vốn kinh  nghiệm, vốn tri thức của mỗi cá nhân hay của nhóm cá nhân.   1.2 Một số khái niệm cơ bản. Để có thể hiểu đúng về dạy học PH & GQVĐ cũng như các phương án GQVĐ, ta  sẽ bắt đầu tìm hiểu các khái niệm có liên quan.  1.2.1 Vấn đề Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng chưa có  quy luật, cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ để giải quyết mà còn có khó  khăn, cản trở cần vượt qua.   Một vấn đề được đặc trưng bởi ba thành phần  •  Trạng thái xuất phát: là những giả thiết, dữ kiện ban đầu của vấn đề.  •   Trạng thái đích: yêu cầu về vấn đề cần được giải quyết  •  Sự cản trở: là các quy luật, tri thức chưa có sẵn để giải   Ví dụ 1: Nhiệm vụ học tập đối với lớp 10 (khi chưa học định lý sin): Trong một tam  giác ABC, nếu biết số đo hai góc A, B và cạnh BC thì có thể tính được độ dài cạnh AC  hay không?   12  Nhiệm vụ học tập trên là một vấn đề vì vào thời điểm đó, học sinh chưa có thuật giải  nào để tính cạnh của một tam giác thường. Mặc dù chưa có thuật giải trực tiếp nhưng  học sinh có thể huy động, sử dụng vốn kiến thức đã có về hệ thức lượng trong tam giác  vuông và có khả năng đưa ra được phương pháp tính cạnh AC.  Với nhiệm vụ học tập trên ta sẽ xác định được các đặc trưng của vấn đề, đó là:  - Trạng thái xuất phát: Tam giác ABC, biết góc A, B và cạnh BC  - Khó khăn: chưa có công thức, thuật giải để tính cạnh AC  - Trạng thái đích: nếu tính được cạnh AC thì tính bằng cách nào; hoặc nếu không  tính được cạnh AC thì tại sao   Cần phân biệt hai khái niệm bài toán và vấn đề. Bài toán là những câu hỏi hay  nhiệm vụ đặt  ra,  yêu cầu  học sinh phải  giải  quyết  dựa vào  việc liên hệ, phân tích và  tổng hợp các kiến thức đã có. Như vậy hai khái niệm bài toán và vấn đề không đồng  nhất với nhau. Điểm tương đồng là “bài toán” và “vấn đề” đều là những câu hỏi, nhiệm  vụ đặt  ra  cho học sinh,  yêu cầu  phải  giải  quyết dựa vào  những kiến  thức đã có. Tuy  nhiên đối với “vấn đề” thì chưa có sẵn kiến thức, kỹ năng, hay phương thức hành động  để giải quyết, trong khi đối với “bài toán” thì đã có sẵn để giải nó. Từ đó có thể thấy  rằng, mọi vấn đề đều là bài toán, nhưng một bài toán chưa chắc đã phải là một vấn đề.   Một bài toán có thể là vấn đề đối với học sinh ở thời điểm này nhưng không là vấn đề  ở thời điểm khác đối với học sinh đó, hay có thể là vấn đề đối với học sinh này nhưng  không phải là vấn đề đối học sinh kia.  Chẳng hạn, khi học sinh chưa học “dấu của tam thức bậc hai”, thì bài toán xét dấu biểu  thức  f ( x)  x 2  2 x  8  là một  vấn đề, và nó sẽ  không còn là vấn đề  nữa sau khi học  sinh đã học “dấu của tam thức bậc hai”. 1.2.2 Tình huống gợi vấn đề Tình huống  gợi  vấn đề  là tình huống  mà  ở  đó gợi  cho  người  học những  khó  khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết phải vượt qua và có khả năng vượt  qua nhưng không phải ngay tức thì mà cần phải có quá trình tư duy tích cực, vận dụng,  liên hệ những tri thức cũ liên quan. Như vậy, một tình huống gợi vấn đề là tình huống thỏa mãn các điều kiện sau:   Tồn tại một vấn đề  13   Gợi  nhu cầu  nhận thức: Khi  tiếp cận tình huống, học sinh có hứng thú  suy nghĩ, tìm hiểu và có nhu cầu giải quyết.   Tạo niềm tin ở khả năng: Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm giác  rằng tuy chưa có ngay lời giải nhưng với vốn những kiến thức, kĩ năng liên quan đã có  và sự tích cực suy  nghĩ thì có khả năng giải quyết được vấn đề. Nếu tình huống đưa ra  quá xa lạ hay quá khó đối với học sinh thì họ sẽ không có hứng khởi và không có niềm  tin vào khả năng của bản thân để giải quyết tình huống, do đó khó khăn đưa ra phải vừa  sức với học sinh.  Ví  dụ 2:  Tình huống gợi  vấn đề đối với học  sinh lớp 10 khi chưa học “dấu của tam  thức bậc hai”: “Ta đã biết cách xét dấu nhị thức bậc nhất, vậy làm thế nào để xét dấu biểu thức f ( x)  x 2  2 x  3 ”  Tình huống trên thỏa mãn 3 điều kiện:  - Tồn tại một vấn đề: Học sinh chưa có phương pháp để xét dấu tam thức bậc hai.  - Gợi nhu cầu nhận thức: với kiến thức xét dấu nhị thức bậc nhất đã có, liệu có  thể áp dụng trong trường hợp này được không? Suy nghĩ này làm cho học sinh  tò mò và có hứng thú để giải quyết.  - Tạo niềm tin ở khả năng: mặc dù chưa có phương pháp hàng động nhưng học  sinh thấy được đây là một biểu thức mà có thể phân tích thành tích của hai nhị  thức bậc nhất.  1.2.3 Giải quyết vấn đề Giải quyết vấn đề là quá trình mà một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng đã có  để đáp ứng nhu cầu nhận thức của bản thân đối với tình huống vấn đề đặt ra.   Giải quyết vấn đề là hoạt động nhận thức phức tạp - chủ thể phải biết huy động,  sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã có và các thao tác trí tuệ như nhớ lại,  phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, suy diễn,... để tích cực để tìm  tòi  cách giải quyết.  GQVĐ  là  một  dãy  các  hoạt  động,  mà  nếu  thực  hiện  thành  công  thì  sẽ  có  tác  dụng rất lớn trong việc kích thích học sinh, khiến các em có thái độ tích cực hơn đối  với việc nghiên cứu toán học nói chung và việc giải quyết các vấn đề tiếp theo.   1.3 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (PH và GQVĐ) Phương pháp là con đường, là cách thức để xuất phát từ điều kiện đã có, tiến  hành những hoạt động để đạt đến mục tiêu đã xác định.  14  Phương pháp dạy học là cách thức tổ chức, hoạt động và giao lưu của thầy gây  nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được mục tiêu dạy học ([3])     Và “Trong dạy học PH và GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi  vấn  đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng  tạo để  GQVĐ  và  thông qua  đó  mà  kiến  tạo  tri  thức,  rèn luyện  kỹ  năng  và  đạt  được  những mục đích học tập khác” ([3])  Như  vậy  theo  phương  pháp  dạy  học  PH  và  GQVĐ,  học  sinh  không  chỉ  nắm  được tri thức mới mà còn nắm được phương pháp đi đến tri thức đó. Đồng thời phát  triển  tư  duy  tích  cực, độc  lập,  sáng  tạo  và  có  tiềm  năng  vận  dụng  tri  thức  mới  vào  những tình huống mới hay có khả năng phát hiện kịp thời và giải quết các vấn đề nảy  sinh.  1.3.1 Đặc điểm của phương pháp dạy học PH và GQVĐ.   Học  sinh  được  đặt  vào  tình  huống  gợi  vấn  đề  và  dựa  trên  kiến  thức,  kinh  nghiệm, kĩ năng vốn có của mình chủ động xây dựng kiến thức cho bản thân chứ không  phải thu nhận nó một cách thụ động dưới dạng cho sẵn.    Giáo viên là người điều khiển, tạo vấn đề và giúp học sinh thực hiện hoạt động  giải  quyết  vấn  đề  khi  cần  thiết.  Học  sinh  là  người được  lĩnh  hội  cả  quá  trình  PH  &  GQVĐ.     Môi trường dạy học PH và GQVĐ là môi trường tự giác, chủ động GQVĐ theo  suy nghĩ của cá nhân hay nhóm các cá nhân. Trong môi trường đó, học sinh luôn biết  khám phá, chia sẻ thất bại và thành công, rèn luyện được tính tự tin của học sinh trong  học tập.  1.3.2 Ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học PH và GQVĐ.  Ưu điểm: Phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau.  Trong quá trình PH và GQVĐ, học sinh sẽ huy động được kiến thức và khả năng làm  việc độc lập, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với các học sinh khác để tìm ra cách  giải quyết phù hợp nhất. Do đó những tri thức mà học sinh có được là bền vững.   Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán, tư duy  sáng tạo cho HS. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có, học sinh sẽ  xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết.   15    Tạo điều kiện cho học sinh PH và GQVĐ đối với một số nội dung học tập, có  thể có sự giúp đỡ của GV với các mức độ khác nhau. HS được học không chỉ kết quả  mà điều quan trọng hơn là cả quá trình PH và GQVĐ.  Với những tình huống gợi vấn đề tốt tạo cho học sinh cơ hội tốt để huy động,  củng cố và mở rộng tri thức, kích thích niềm đam mê học toán của học sinh.  Phương  pháp  này  đòi  hỏi  người  GV  phải  đầu tư  nhiều  thời  gian  và  công  sức  trong  việc  suy  nghĩ  tìm  tòi  để  tạo  ra  được  nhiều  tình  huống  gợi  vấn  đề  và  có  nhiều  phương pháp hướng dẫn học sinh khám phá để PH và GQVĐ. Có thể nói rằng phương  pháp này tạo môi trường giúp GV không ngừng vươn lên, tự nâng cao trình độ và các  kỹ năng sư phạm tích cực.   Hạn chế Việc  tổ  chức  tiết  học  hoặc  một  phần  của  tiết  học  theo  phương  pháp  PH  &  GQVĐ đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian hơn so với tiết học được giảng dạy theo phương  pháp truyền thống. Do đó với phân phối chương trình đã quy định trước, việc tổ chức  thường xuyên các tiết học theo phương pháp PH và GQVĐ là điều rất khó khăn. Hơn  nữa, không phải nội dung bài học nào cũng có thể áp dụng phương pháp này.  Phương pháp này đòi hỏi HS phải tích cực, chủ động trong hoạt động lĩnh hội tri  thức, nên nhìn chung là phù hợp với HS có trình  độ nhận thức nhanh. Nên nếu thực  hiện  thường  xuyên,  liên tục trong  cả  tiết dạy,  dễ  có nguy  cơ bỏ rơi  một  bộ  phận  HS  yếu, kém.   1.3.3 Quá trình dạy học PH và GQVĐ. Quá trình dạy học PH và GQVĐ có thể thực hiện theo các bước sau, trong mỗi  bước, người thực hiện các hoạt động có thể  là tự bản thân học sinh hay có sự hướng  dẫn của giáo viên.   Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.  - Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề.  - Giải thích, chính xác hoá để hiểu vấn đề đặt ra.  - Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.   Bước 2: Tìm cách giải quyết vấn đề.  - Tìm  cách  giải  quyết  vấn  đề,  bao  gồm  cả  phân  tích  vấn  đề  và  đề  xuất,  thực hiện hướng giải quyết.  16  - Tiếp tục tìm cách giải quyết khác (nếu có) và lựa chọn cách giải quyết tốt  nhất.   Bước 3: Trình bày cách giải quyết vấn đề  - Trình bày cách giải quyết vấn đề (đã lựa chọn) một cách đúng đắn.   Bước 4: Nghiên cứu sâu cách giải quyết vấn đề.   - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.  - Tìm khả năng đề xuất vấn đề mới từ vấn đề vừa được giải quyết.  1.3.4 Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ   Tùy thuộc vào vai trò của giáo viên và học sinh, cũng như tuỳ theo mức độ độc  lập của học sinh trong quá trình GQVĐ, người ta đã phân biệt 4 hình thức chủ yếu của  dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề sau đây.    Người học độc lập PH và GQVĐ   Giáo  viên tạo ra  tình huống  gợi  vấn đề  và  không  can thiệp  vào quá  trình  giải  quyết vấn đề của học sinh. Người học độc lập phát hiện vấn đề, tìm cách giải quyết vấn  đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình này. Đây có thể được coi là mức  độ cao của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.   Người học hợp tác PH và GQVĐ:   Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học hợp tác với nhau để tự PH,  GQVĐ với nhiều hình thức như làm việc theo nhóm, hay kết hợp àm việc cá nhân và  làm việc nhóm,...  GV và HS vấn đáp PH và GQVĐ   Giáo viên cùng với học sinh trao đổi, vấn đáp nhằm PH & GQVĐ. Giáo viên sử  dụng một hệ thống câu hỏi gợi ý để hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động trong  quá trình phát hiện, giải quyết vấn đề.   Giáo viên thuyết trình PH và GQVĐ  Ở  hình  thức  này  giáo  viên  thực  hiện  tất  cả  các  bước  của  quá  trình  PH  và  GQVĐ: tạo ra tình huống gợi  vấn đề, trình bày  vấn đề  và trình bày cả quá  trình suy  nghĩ tìm  kiếm  cách  thức  giải quyết  vấn  đề...  trong đó  chứa  đựng cả  việc  tìm  tòi, dự  đoán, có lúc thành công, có khi thất bại và phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến  kết  quả.  Điều quan trọng  là người  giáo  viên để  cho  học  sinh  có  khoảng thời  gian  để  cùng tham gia vào quá trình suy nghĩ, tìm kiếm câu trả lời.   17  Học  sinh  không  trực  tiếp  giải  quyết  vấn  đề,  nhưng  theo  dõi  quá  trình  PH  và  GQVĐ do giáo viên trình bày. Các em cũng trải qua những thời điểm, những cảm xúc  và thái độ khác nhau như chính các em đang thực sự tham gia vào quá trình nghiên cứu  nhưng không trực tiếp GQVĐ.   Như  vậy,  tri  thức  được  trình  bày  không  phải  dưới  dạng  có  sẵn,  mà  nảy  sinh  trong quá trình PH và GQVĐ của giáo viên.  1.3.5 Các phương án giải quyết vấn đề. Điều quan trọng của phương pháp dạy học PH và GQVĐ là quá trình tìm tòi được  cách giải quyết vấn đề, chứ không phải là bản thân lời giải đó. Mỗi cách giải quyết vấn đề  được gọi là một phương án giải quyết vấn đề. Như vậy, tìm tòi phương án giải quyết vấn  đề là bước thứ hai trong quy trình giải quyết vấn đề đã nêu ở mục 1.3.3  Để  tìm  được  một  phương  án  GQVĐ,  cần  nhớ  lại  những  kiến  thức,  kỹ  năng,  phương pháp hàng động, thuật toán đã có, làm rõ những mối liên hệ giữa trạng thái ban  đầu và trạng thái đích của vấn đề,... và đặt tất cả trong những qui tắc suy luận có lý, logic.   Stephen Krulik đã đưa ra mười phương án GQVĐ là: phân tích đi lên, tìm kiếm  một  quy luật,  giải  quyết  vấn  đề theo  một  cách  khác,  giải  quyết  vấn đề  tương  tự đơn  giản hơn, xem xét những trường hợp đặc biệt, minh hoạ bằng hình vẽ, đoán và thử một  cách thông minh, xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra, tổ chức sắp xếp dữ liệu, và  suy  luận  một  cách  logic.  Có thể  thấy,  đây  là  một  công  cụ, phương tiện hữu dụng để  giúp tìm được cách giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh trong quá trình dạy toán học ở nhà  trường phổ thông.   Dưới đây sẽ trình bày mười phương án đó và nêu ví dụ minh họa cụ thể    Phân tích đi lên. Đây là phương án được sử dụng khá phổ biến để giải quyết các vấn đề toán học  giúp HS rèn luyện kỹ thuật giải toán chặt chẽ và hiệu quả. Phân tích đi lên là phương  pháp dùng lập luận để đi từ cái cần chứng minh dẫn tới các yếu tố đã cho trong một vấn  đề. Hay nói cách khác, trong quá trình thực hiện phương án này, HS phải trả lời các câu  hỏi theo dạng sau: “để chứng minh vấn đề này ta cần phải chứng minh được vấn đề gì”   Sơ đồ logic của phương án phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:  (1) ( 2) (3) (n ) A  A1   A 2  ...  An     Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ các bước  đã có trước nó: để có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2  18  đúng...,  cuối cùng dẫn đến An đúng (đã được  chứng minh là đúng, hoặc  là trạng thái  ban đầu đã biết).  Ví dụ 3:  Sau  khi  đã  chứng  minh  được  “Trong  tam  giác  vuông  luôn  có  a b c    2 R ”, vấn đề nảy sinh là: “Hệ thức trên còn đúng trong tam giác sin A sin B sin C ABC bất kỳ hay không?”  Sử dụng phương án phân tích đi lên để tìm lời giải cho câu hỏi trên như sau:   b c  a   a sin B  b sin A;  b sin C  c sin B  a b c  sin A sin B sin C     2R          c sin A sin B sin C  c  2R sin C  2 R  sin C  a sin B  b sin A  Bây giờ cần kiểm tra liệu có xảy ra    hay không (và tương tự cho các  c sin C  2 R trường hợp còn lại).  Trong phân tích trên, học sinh sẽ chú ý đến hệ thức thể hiện mối quan hệ giữa các yếu  tố về độ dài cạnh và góc  của một tam giác để tách các hệ  thức, sau đó chỉ  cần kiểm  chứng  một đẳng  thức  liên quan đến bàn  kính  R.  Tuy  nhiên  các  em  cũng  có  thể  tách  thành các hệ thức khác nhau để thực hiện việc kiểm chứng.   Tìm kiếm một quy luật. Trong một số vấn đề, việc tìm kiếm được các quy luật không chỉ giúp cho học  sinh có thể giải quyết được vấn đề đặt ra mà có thể giải quyết vấn đề tổng quát hơn. Để  giải quyết vấn đề bằng phương pháp tìm kiếm quy luật, thường phải tìm một chuỗi các  dữ kiện hay số liệu ban đầu chứa đựng những tính chất hay kết quả có sự lặp đi lặp lại  tương đồng, và xem xét mối quan hệ giữa chúng với trạng thái xuất phát của vấn đề. Từ  đó có thể dự đoán được kết quả cho các dữ kiện hay số liệu tiếp theo.  Ví dụ 4: Tính tổng  S  1 1 1 1 1       ...  1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 Bài toán trên là một vấn đề khi học sinh chỉ mới học phép cộng, trừ, nhân hay  chia các phân số. Với  tổng S gồm nhiều hạng tử, học  sinh không thể vận dụng phép  cộng thông thường bằng cách quy đồng mẫu số để tính tổng, mà cần phải tìm kiếm một  phương pháp giải quyết khác.  Tìm kiếm quy luật cho một số số liệu đầu bằng cách cộng dần các số hạng đầu   19  1 1  1.3 3 1 1 2                     1.3 3.5 5   1 1 1 3             1.3 3.5 5.7 7 1 1 1 1 4     1.3 3.5 5.7 7.9 9                            - Xem xét mối quan hệ với các số liệu của tổng S:  Xem xét mối quan hệ Kết quả của tổng các số hạng đầu (dự đoán kết quả có tính quy luật) 1 1 2     1.3 3.5 5 5 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu  1 1 1 3      1.3 3.5 5.7 7 7 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu  1 1 1 1 4       1.3 3.5 5.7 7.9 9 9 là số lớn nhất trong các thừa số ở mẫu                               2 là số các số hạng của tổng và  2  (5  1) : 2   3 là số các số hạng của tổng và  3  (7  1) : 2   4 là số các số hạng của tổng và  4  (9  1) : 2     Từ đó suy ra quy luật tính được tổng  S  49 .  99 Có thể tổng quát hóa thành bài toán mới là tính tổng:   Sn  1 1 1 1 1     ...    1.3 3.5 5.7 7.9 (2n  1).(2n  1) Ví dụ 5: Dự đoán tổng số đo các góc trong của một đa giác n cạnh.  Học sinh chỉ mới biết tổng các góc trong một tam giác và tứ giác, có thể hướng dẫn tìm  ra quy luật để giải quyết được vấn đề trên như sau:    Số cạnh của đa  giác  Thể hiện quy luật  3    20  Số tam giác  Tổng số đo các  được tạo ra.  góc của đa giác.  1  1800