Tài liệu Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao trong môi trường đàn hồi dị hướng​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Phạm Chí Vĩnh Hà Nội – Năm 2014 Lời cảm ơn Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em từng bước để em có thể hoàn thành luận văn. Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, cảm ơn thầy Trần Thanh Tuấn và các anh chị em trong nhóm xêmina của thầy Vĩnh đã chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức và giúp đỡ em rất nhiều. Em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em để em có thời gian làm luận văn. Qua đây em cũng cảm ơn gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện tốt cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu. Hà Nội, tháng 8 năm 2014 Nguyễn Thị Kiều 1 Mục lục 1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao 6 1.1 Bài toán cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bài toán toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược . . . . . . . . . . . 16 1.7 Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.2 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 21 2 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao 23 2.1 Bài toán cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Bài toán toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Công thức tính các hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi P đối với biên phân chia có dạng hình lược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Các ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.1 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng cưa . . . . 42 2 2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 3 MỞ ĐẦU Các bài toán biên trong miền có biên hay biên phân chia nhám (không phẳng) xuất hiện nhiều trong thực tế như: sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên các biên hay biên phân chia nhám [10], [16], các bài toán cơ học liên quan đến các bản được gia cường dày đặc [7], các dòng chảy trên tường nhám [3], sự dao động của các vật thể đàn hồi có tính chất cơ học thay đổi nhanh (có tính không thuần nhất cao) · · · Khi biên phân chia có độ nhám thấp ( biên độ rất nhỏ so với chu kỳ của nó), để giải các bài toán này, các tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu. Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ rất lớn so với chu kỳ của nó), các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa để giải. Năm 1997, các tác giả Nevard và Keller đã nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng [8]. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả đã rút ra phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi dị hướng. Tuy nhiên, hệ các phương trình này còn ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng được xác định qua các hàm mà chúng là nghiệm của bài toán biên trên nhân tuần hoàn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng. Bài toán biên trên nhân tuần hoàn này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số. Vì hệ phương trình thuần nhất hóa thu được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng. Năm 2009, các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung [15] đã tìm ra được phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều, tức là các hệ số của chúng là các hàm của các tham số vật liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia. Ngoài kết quả trong bài báo [15], các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung còn tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường tròn đồng tâm [14], phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn điện, lý thuyết đàn nhiệt [1]. Các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện này rất tiện lợi để sử dụng và tính ứng dụng rất cao. Nó sẽ được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán thực tế khác nhau. Một trong những ứng dụng quan trọng của các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện là để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ 4 nhám cao. Do vậy, mục đích của luận văn là: Sử dụng các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ nhám cao. Cho đến nay, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ nhám cao chưa có tác giả nào nghiên cứu vì trước năm 2009 các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện chưa được tìm ra. Luận văn đã sử dụng các phương trình thuần nhất hóa trong bài báo [15] để nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ nhám cao. Kết quả đạt được của luận văn là: tìm ra hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH và sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao Trong chương này, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia có độ nhám cao được nghiên cứu. Giả thiết hai bán không gian là trực hướng. Kết quả chính là: tìm ra công thức hiển (xấp xỉ) của hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng bất kỳ. Khi biên phân chia có dạng hình lược, các kết quả thu được là chính xác. Sử dụng các biểu thức này ta khảo sát một số ví dụ bằng số. Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao được xét trong chương này. Giả thiết hai bán không gian là đẳng hướng. Sử dụng các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện [15] và phương pháp ma trận chuyển [11], kết quả đạt được là: tìm ra công thức (xấp xỉ) của hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia độ nhám cao có dạng bất kỳ. Kết quả thu được là chính xác khi biên phân chia có dạng hình lược. Sử dụng các biểu thức này ta khảo sát một số ví dụ bằng số. 5 Chương 1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH đối với biên phân chia độ nhám cao 1.1 Bài toán cơ học Xét không gian vô hạn Ox1 x2 x3 gồm hai bán không gian đàn hồi Ω̂(+) và Ω̂(−) , được phân chia bởi mặt S có phương trình x3 = f (x1 /ϵ), trong đó, f (y), (y = x1 /ϵ) là hàm tuần hoàn theo biến y với chu kỳ 1. Giả thiết mặt S nằm giữa hai mặt phẳng x3 = 0 và x3 = h. Ký hiệu Ω(+) , Ω(−) và L lần lượt là hình chiếu vuông góc của Ω̂(+) , Ω̂(−) và S lên mặt phẳng Ox1 x3 . Khi đó, bán không gian trên Ω(+) và bán không gian dưới Ω(−) được phân chia bởi đường cong L có phương trình x3 = f (y), nằm giữa hai đường thẳng song song x3 = 0 và x3 = h . Giả thiết ϵ nhỏ hơn nhiều so với h, khi đó L được gọi là biên phân chia có độ nhám cao của Ω(+) , Ω(−) (xem Hình 1.1). Giả thiết thêm rằng trong miền 0 < x1 < ϵ mỗi đường thẳng x3 = x0 = const(0 < x0 < h) cắt đường cong L tại đúng hai điểm. Giả sử môi trường là trực hướng, nén được, các hằng số vật liệu Cij và mật độ khối lượng ρ được xác định như sau: { Cij , ρ = (+) (+) (x1 , x3 ) ∈ Ω(+) (−) (−) (x1 , x3 ) ∈ Ω(−) Cij , ρij Cij , ρij (1.1) trong đó, Cij(+) , Cij(−) , ρ(+) , ρ(−) là các hằng số. Trong bán không gian trên, cho sóng SH truyền tới biên phân chia độ 6 SH I x1 + 0 x1 L n _ h x3 Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao x3 = f (x1 /ϵ) = f (y) có chu kỳ là ϵ đối với x1 , chu kỳ là một đối với y. nhám cao L ( xem hình 1.1). Các thành phần chuyển dịch của sóng SH là: u1 ≡ u3 ≡ 0, u2 = u2 (x1 , x3 , t) (1.2) Bài toán đặt ra là: Xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH truyền trong bán không gian trên tới biên phân chia độ nhám cao L trong môi trường trực hướng. 1.2 Bài toán toán học Do sóng SH có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác không còn thành phần chuyển dịch theo phương x1 và x3 bằng không nên ta có u1,1 = u1,2 = u1,3 = u3,1 = u3,2 = u3,3 = u2,2 = 0 (1.3) Các phương trình cơ bản: • Định luật Hooke (xem [12]) σij = Cijkl ϵkl (1.4) trong đó, σij là ứng suất, ϵij là biến dạng, Cijkl là các hằng số đàn hồi. 7 • Liên hệ biến dạng và chuyển dịch 1 ϵkl = (ul,k + uk,l ) 2 (1.5) trong đó, dấu " ," chỉ đạo hàm theo biến xk . Từ (1.3) và (1.5), ta suy ra ϵ11 = ϵ22 = ϵ33 = ϵ13 = 0 (1.6) Do môi trường là trực hướng nên các hằng số vật liệu có tính chất sau (xem [12]): C14 = C15 = C16 = C24 = C25 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = C46 = C56 = 0 (1.7) Thay (1.6) và (1.7) vào (1.4), các thành phần ứng suất là: σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = 0; σ12 = C66 u2,1 ; σ23 = C44 u2,3 . (1.8) • Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động có dạng: (1.9) σij,j = ρüi trong đó, dấu " ." chỉ đạo hàm theo biến thời gian. Từ (1.3), (1.8) và (1.9), phương trình chuyển động theo chuyển dịch là: (C66 u2,1 ),1 + (C44 u2,3 ),3 = ρü2 , x3 ̸= f (y) (1.10) • Điều kiện biên Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến của đường cong L tại M (xem hình 1.1). Gọi Σn là véc tơ ứng suất tại tiết diện có véc tơ pháp tuyến n và đi qua M . Hình chiếu của Σn và n trên ba trục Ox1 , Ox2 và Ox3 lần lượt là (Σ1 , Σ2 , Σ3 ) và (n1 , 0, n3 ). Ta có: Σ1 = σ11 n1 + σ13 n3 = 0 Σ2 = σ21 n1 + σ23 n3 = C66 u2,1 n1 + C44 u2,3 n3 Σ3 = σ31 n1 + σ33 n3 = 0 8 (1.11) Do u2 và Σn phải liên tục trên L nên: [u2 ]L = 0, [C66 u2,1 n1 + C44 u2,3 n3 ]L = 0, (1.12) trong đó, ký hiệu [ψ]L là bước nhảy của hàm ψ qua đường cong L. Để đơn giản, ta đặt u2 = U . Bài toán biên (1.10), (1.12 ) được viết dưới dạng sau: (Ahk U,k ),h = ρÜ , [U ]L = 0, x3 ̸= f (y), h, k = 1, 3 [(A11 U,1 + A13 U,3 )n1 + (A31 U,1 + A33 U,3 )n3 ]L = 0, (1.13) (1.14) trong đó, A11 = C66 ; A13 = A31 = 0; A33 = C44 . (1.15) Như vậy, về mặt toán học, ta cần tìm nghiệm của phương trình (1.13) thỏa mãn điều kiện liên tục (1.14). 1.3 Phương pháp giải 1. Phương pháp chính xác Thông thường bài toán biên (1.13) và (1.14) được giải bằng các phương pháp số khác nhau. Tuy nhiên, do biên phân chia L dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song nên lời giải số thường không ổn định. Để vượt qua khó khăn này, phương pháp (xấp xỉ) thuần nhất hóa được sử dụng. 2. Phương pháp thuần nhất hóa Ý tưởng phương pháp thuần nhất hóa là: miền chứa biên phân chia độ nhám cao được thay thế bằng lớp vật liệu không thuần nhất (theo độ dày) có biên phẳng. Khi đó, bài toán dẫn về sự phản xạ, khúc xạ của sóng đàn hồi SH đối với lớp vật liệu không thuần nhất có các biên là phẳng x3 = 0 và x3 = h (xem hình 1.2). Như vậy, ta cần thuần nhất hóa hệ phương trình (1.13) và điều kiện liên tục (1.14). Theo [15] , phương trình thuần nhất hóa là: (+) (+) C66 V,11 + C44 V,33 = ρ(+) V̈ , 9 x3 < 0 (1.16) SH I + Cij , 0 x1 < Cij <,< < _ h Cij , x3 Hình 1.2: Miền chứa biên phân chia độ nhám cao được thay bằng lớp vật liệu không thuần nhất có biên là x3 = 0 và x3 = h ⟨ 1 ⟩−1 C66 V,11 + (⟨C44 ⟩V,3 ),3 = ⟨ρ⟩V̈ , (−) (−) C66 V,11 + C44 V,33 = ρ(−) V̈ , 0 < x3 < h x3 > h [⟨C44 ⟩V,3 ]L∗ = 0 và [V ]L∗ = 0, L∗ là các đường x3 = 0, x3 = h (1.17) (1.18) (1.19) trong đó: ∫ ⟨φ⟩ = 1 φdy = (y2 − y1 )φ(+) + (1 − y2 + y1 )φ(−) (1.20) 0 với y1 , y2 là hai nhánh hàm ngược của hàm x3 = f (y), (0 < y < 1). Chú ý rằng: V = V (x1 , x3 , t) = lim U (x1 , x3 , t, ϵ) ϵ→0 (1.21) được gọi là nghiệm thuần nhất hóa của hệ (1.13) và (1.14). Nhận xét: Các phương trình (1.16), (1.17) và (1.18) chỉ ra rằng miền chứa biên phân chia có độ nhám cao L (0 < x3 < h) được thay thế bởi một lớp vật liệu không thuần nhất có các biên phẳng x3 = 0, x3 = h. Về mặt toán học, ta cần giải hệ phương trình thuần nhất hóa (1.17) với điều kiện liên tục (1.19). 10 SH R SH I + x1 0 h _ SH T x3 Hình 1.3: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng SH. 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ Giả sử trong bán không gian trên cho sóng tới SH có biên độ đơn vị, tạo một góc θ với trục x3 [5] (xem hình 1.3) (+) u2SHI = ei(ξx1 +ξ (+) x3 −ωt) (1.22) trong đó, ω là tần số góc (cho trước), ξ = K (+) sin θ, ξ (+) = K (+) cos θ, θ là góc tới, (+) √ (+) CT = K (+) = ω/CT (+) là số sóng của bán không gian trên, (1.23) (+) C66 sin2 θ + C44 cos2 θ là vận tốc sóng ngang đối với bán không gian trên. ρ(+) (1.24) Sau khi sóng SH tới lớp vật liệu không thuần nhất, xuất hiện sóng SH phản xạ [5]: u2SHR = Rei(ξx1 −ξ (+) (+) x3 −ωt) (1.25) (−) (−) x3 −ωt) (1.26) và sóng SH khúc xạ [5]: u2SHT = T ei(ξx1 +ξ 11 trong đó, (−) √ (−) CT ξ (−) = K (−) cos α, K (−) = ω/CT (−) là số sóng của bán không gian dưới, (−) C66 sin2 α + C44 cos2 α là vận tốc sóng ngang của bán không gian dưới, ρ(−) = (1.27) α là góc khúc xạ được xác định bởi quy luật Snell [4] K (+) sin θ = K (−) sin α. (1.28) Các hệ số (phức) R, T được gọi là các hệ số phản xạ, khúc xạ. Chúng cần được xác định. Chú ý rằng: (1.22) và (1.25) thỏa mãn (1.16). Trong khi đó (1.26) thỏa mãn (1.18). 1.5 Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ Để tìm được các hệ số phản xạ, khúc xạ R, T , ta cần tìm chuyển dịch, ứng suất trong miền 0 ≤ x3 ≤ h thỏa mãn các điều kiện liên tục trên biên x3 = 0 , x3 = h. Vậy ta cần tìm nghiệm của hệ (1.17) thỏa mãn điều kiện liên tục (1.19). Ta tìm nghiệm V (x1 , x3 , t) của (1.17) dưới dạng V = v(x3 )ei(ξx1 −ωt) (1.29) Thay (1.29) vào (1.17) ta có: [ ⟨ (⟨C44 ⟩v,3 ),3 + ⟨ρ⟩ω − 2 1 C66 ⟩−1 ] ξ2 v = 0 (1.30) Ta đặt Y1 = ⟨C44 ⟩v,3 , Y2 = v (1.31) suy ra Y2,3 = v,3 = ⟨C44 ⟩−1 Y1 (1.32) Thay (1.31) vào (1.30) ta có: [ Y1,3 = ⟨ − ⟨ρ⟩ω + 2 12 1 C66 ⟩−1 ] ξ 2 Y2 (1.33) Từ (1.32) và (1.33) ta có hệ phương trình sau: dY = D.Y dx3 trong đó (1.34)  D= Y = [Y1 Y2 ]T ; ⟨ −⟨ρ⟩ω + 2 0 ⟨C44 ⟩ −1 1 C66  ⟩−1 2 ξ  (1.35) 0 Tiếp theo ta tìm điều kiện biên cho phương trình (1.34). Từ (1.31), ta có: ] ] [ ] [ ] [ [ ⟨C44 ⟩v,3 (h) Y1 (h) ⟨C44 ⟩v,3 (0) Y1 (0) (1.36) Y(0) = Y (0) = , Y(h) = Y (h) = v(0) v(h) 2 2 Từ (1.22) và (1.25), trường chuyển dịch của bán không gian trên Ω(+) là: (+) u2 = u2SHI + u2SHR = ei(ξx1 −ωt) (Re−iξ (+) (+) (+) x3 + eiξ (+) x3 ) (1.37) Theo (1.26), trường chuyển dịch của bán không gian dưới Ω(−) là: (−) u2 = u2SHT = T ei(ξx1 −ωt) eiξ (−) (−) x3 (1.38) Từ (1.37) , (1.38), (1.19) và chú ý đến (1.29) , ta suy ra: v(0) = R + 1 (+) ⟨C44 ⟩v,3 (0) = C44 (−iξ (+) R + iξ (+) ) v(h) = T.eiξ (−) h (−) ⟨C44 ⟩v,3 (h) = C44 T iξ (−) .eiξ (−) h Từ (1.36) và (1.39), ta có điều kiện biên sau: ] [ ] [ (+) (−) C (−) T.eiξ (−) h ) (+) iξ 44 Y(0) = −iξ C44 (R − 1) , Y(h) = iξ (−) h R+1 (1.39) T.e (1.40) Như vậy, bài toán dẫn đến việc giải hệ (1.34) với điều kiện biên (1.40). Vì các hệ số của hệ (1.34) là hàm số phụ thuộc x3 nên không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy, ta chỉ tìm được nghiệm xấp xỉ. Ta tìm nghiệm xấp xỉ của (1.34) như sau: Ta chia lớp không thuần nhất [0, h] thành N lớp con thuần nhất có độ dài (1) (N +1) = h (xem bằng nhau δ = h/N bởi các điểm chia x(i) 3 , (i = 2, N ), x3 = 0, x3 Hình 1.4). Về mặt toán học ta phải giải hệ sau: dY = Di Y, 0 < x3 < h, (i = 1, N ) dx3 13 (1.41) trong đó, Di = D(x(i) 3 + 0), (i = 1, N ) (1.42) Do các hệ số của hệ (1.41) là hằng số nên dễ dàng tìm được nghiệm thỏa mãn điều kiện trên biên x3 = 0 và x3 = h. Ta có thể xem chi tiết trong bài báo [2]. SHR SHI + 0 x3(1) x3(2) x3(3) x1 .. . (m) x3 x3(m+1) .. . x3(N) x3(N+1) h _ SH T x3 Hình 1.4: Chia lớp vật liệu không thuần nhất thành N lớp con thuần nhất Theo [2], hệ số phản xạ, khúc xạ là: R̂ = (+) (−) (N ) (N ) (+) (N ) (−) (N ) (+) (−) (N ) (N ) (+) (N ) (−) (N ) C44 ξ (+) C44 ξ (−) H21 + H12 + i(C44 ξ (+) H11 − C44 ξ (−) H22 ) C44 ξ (+) C44 ξ (−) H21 − H12 + i(C44 ξ (+) H11 + C44 ξ (−) H22 ) 2iC44 ξ (+) e−iξ (+) T̂ = (+) (−) (N ) (N ) (−) (+) h (N ) (−) (1.43) (N ) C44 ξ (+) C44 ξ (−) H21 − H12 + i(C44 ξ (+) H11 + C44 ξ (−) H22 ) trong đó, Hij(N ) được xác định như sau: • Với N = 1: (1) (1) (1) H11 = cos β1 = H22 , H12 = 14 sin β1 (1) , H21 = −a1 sin β1 a1 (1.44) • Với N ≥ 2: (N ) H11 = N ∏ cos βi i=1 ∑ Cn ∑ 2j [N/2] + (−1)j j=1 ( i1 - Xem thêm -