Tài liệu Tiêu chuẩn loại massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Quốc An TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HÒA Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài Phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực ñều có thể ứng dụng : y khoa, xây dựng, ñiện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân ,phương trình ñạo hàm riêng, ñặc biệt là phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn ñược các nhà toán học trên thế giới sử dụng nhiều phương pháp khác nhau ñể chứng minh. Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera là một trong những phương pháp tìm lời giải tuần hoàn của phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa . Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn . Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hê tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân. Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , (1.3) x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach. Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm 2 trung hòa với ñiều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). ðó là lý do tôi chọn ñề tài “Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa”. 2. Mục ñích nghiên cứu Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn . 3. ðối tượng và nội dung nghiên cứu Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa . 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera là một công cụ rất mạnh ñể chỉ ra mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn của phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa . 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở ñầu, bốn chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể : Phần mở ñầu : Nêu lý do chọn ñề tài Phần nội dung : Chương 1 : Giới thiệu chung về những kết quả nghiên cứu có liên quan ñến ñề tài, các ký hiệu ñược sử dụng trong ñề tài ,các kết quả sẽ ñược sử dụng. Chương 2 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn. Trong chương này chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn của bài toán giá trị ñầu : d ( x(t ) + G (t , xt )) = Ax ( t ) + F (t , xt ) dt x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) ( 2.1) ( 2.2 ) 3 Chương 3 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa có hàm làm chậm không bị chặn : Trong chương này chúng ta tập trung ñến sự tồn tại của lời giải ω - tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa với mô hình làm chậm không bị chặn có dạng : d ( x ( t ) + G ( t , xt ) ) = Ax ( t ) + F ( t , xt ) dt xσ = ϕ ∈ B ( 3.1) ( 3.2 ) Với xt : ( −∞,0] → X , xt (θ ) = x(t + θ ) thuộc vào không gian pha B trừu tượng xác ñịnh trước và F , G : ℝ × B → X là những hàm liên tục. Chương 4: Ứng dụng Trong chương này chúng ta sẽ minh họa một số kết quả của việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera ñể tìm lời giải tuần hoàn của hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm không bị chặn) . Phần kết luận : ðưa ra những kết luận mà luận văn ñạt ñược, chưa ñạt ñược và ñưa ra những ñề xuất (nếu có ). 4 Chương 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ðẾN ðỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ðƯỢC SỬ DỤNG TRONG ðỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ðƯỢC SỬ DỤNG 1.1. Giới thiệu Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Massera chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , t > 0 dt x0 = ϕ ∈ D (1.1) (1.2) Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact, giải tích của những toán tử tuyến tính (T (t ))t ≥0 trên không gian Banach X. Hàm chậm x t , x t (θ ) = x (t + θ ) thuộc không gian pha D thích hợp và G, F : ℝ × D → X là những hàm liên tục. Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn . Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân thường tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân. Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng • x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) , x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) , (1.3) 5 Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach. Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). Những phương trình vi phân trung hòa ñược phát triển trong nhiều lĩnh vực của toán ứng dụng và những phương trình như vậy ñược mở rộng nhiều trong những năm gần ñây.Một tài liệu hướng dẫn rất hay về phương trình vi phân của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là cuốn sách của nhà toán học Hale [8] với những chỉ dẫn ở trong ñó. Làm việc ñầu tiên với phương trình ñạo hàm riêng của của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là Hernandez và Henriquez trong [9,10]. Trong những bài báo này, Họ ñã chứng minh tồn tại lời giải yếu, mạnh và lời giải tuần hoàn cho phương trình trung hòa d ( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , dt x0 = ϕ ∈ B (1.4) Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm giải tích của những toán tử tuyến tính trên không gian Banach và B là pha không gian xác ñịnh bởi các tiên ñề. Trong trường hợp tổng quát, những kết quả này ñược suy từ ñịnh lý nửa nhóm và ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii. Luận văn này có năm chương. Trong chương 2 chúng ta tập trung ñến sự tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa xác ñịnh trên ℝ × C ([− r ,0]: X ) . Trong chương 3, bằng cách sử dụng kết quả của chương 2, chúng ta xét sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương trình trung hòa với với mô hình làm chậm bị chặn trên ℝ × B ,với B là một pha không gian ñịnh nghĩa bởi các tiên ñề như trong Hale và Kato [5]. Chương 4 6 sẽ chứa những ví dụ minh họa .Những kết quả của chúng ta có ñược dựa trên những tính chất của nửa nhóm giải tích và những ý tưởng, kỹ thuật chứng minh của Harnandez và Henriquez [9,10] và Ezzinbi[3]. 1.2. Ký hiệu Trong luận văn này, ta sẽ ñược ký hiệu X là một không gian Banach với chuẩn . , A ký hiệu là phần tử vi phân của nửa nhóm giải tích, compact, (T (t ))t ≥0 ,của những toán tử tuyến tính trên X và ñược ñịnh nghĩa như sau : T (t ) x − x   toàn taïi  và A : D( A) → X với D( A) =  x ∈ X : lim t →0 t   T (t ) x − x dT (t ) x vôùi x ∈ D( A) = t →0 t dt t =0 Ax = lim Dựa vào ñịnh lý C 0 nửa nhóm của Pazy [13]. Trong luận văn này, x (.,ϕ ) ký hiệu lời giải cùa (1.1) - (1.2). Hơn nữa, B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu là quả cầu mở, (quả cầu ñóng) trong không gian Metric Z với tâm tại x và bán kính bằng r .Với hàm bị chặn ξ :[a,b ] → [0, ∞) và a ≤t ≤b ξa ,t = sup{ξ (s ) : s ∈ [a,t ]} chúng ta sẽ ký hiệu ξa ,t bởi (1.6) Nếu D là không gian pha Banach, chuẩn trong D sẽ ñược ký hiệu . D . ðể chứng minh những kết quả chính của luận văn ,chúng ta sẽ sử dụng những kết quả sau. 1.3. Một số kết quả ñược sử dụng trong luận văn 1.3.1. ðịnh lý 1.2 [5]. Cho Y là không gian Banach và Γ := Γ1 + y với Γ1 :Y →Y là toán tử tuyến tính bị chặn và y ∈Y . Nếu tồn tại x 0 ∈Y sao cho tập {Γ n (x 0 ) : n ∈ ℕ} là compact tương ñối trong Y, thì Γ có ñiểm bất ñộng trong Y. 7 1.3.2. ðịnh lý 1.3 [4] Cho X là không gian Banach và M là tập con lồi, khác rỗng của X. nếu Γ : M → 2 X là ánh xạ ña trị sao cho Với mỗi x ∈ M thì tập Γ(x ) lồi, ñóng khác rỗng. (i) (ii) Tập Γ(M ) = ∪ Γ(x ) là compact tương ñối x ∈M (iii) Γ là nửa liên tục trên. Thì Γ có ñiểm bất ñộng trong M. 1.3.3. ðịnh lý Ascoli Tập M ⊂ C ( K , R n ) là tập compact tương ñối nếu và chỉ nếu M bị chặn ñều và ñẳng liên tục . 1.3.4. ðịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo ñộ ño ñến hàm số f trên một tập hợp A và fn ≤ g h.k.n trên A với mọi n, trong ñó g là một hàm số khả tích trên A thì lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ n→∞ A A 1.3.5. ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii 1.3.5.1. ðịnh nghĩa ñộ ño phi compact Kuratovskii Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn .ðộ ño phi compact Kuratovski ñịnh bởi : χ (A) = inf {d > 0 / A ñược phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp A1, A2,...An có ñường kính ≤ d}. Tính chất : ( i ) χ (A)=χ (A)=χ (coA) (ii ) χ ( A) = 0 ⇔ A là compact tương ñối . (iii ) χ ( A ∪ B) = max { χ ( A), χ (B)} (iv ) χ ( A + B) = χ ( A) + χ (B) (v ) χ (tA) = t χ ( A) 8 1.3.5.2. ðịnh nghĩa toán tử cô ñặc Ánh xạ f : D ⊂ X → X ñược gọi là k – cô ñặc nếu tồn tại k∈(0,1) sao cho: χ ( f ( A)) ≤ k χ ( A) với mọi A bị chặn chứa trong D. 1.3.5.3. ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii Giả sử (i) Toán tử T : M ⊆ X → M là k – cô ñặc, ở ñây (ii) M khác rỗng, ñóng, bị chặn và là tập con lồi của không gian Banach X . Khi ñó T có ñiểm bất ñộng . 1.3.6. Một số ñịnh lý C0 nửa nhóm 1.3.6.1. ðịnh nghĩa nửa nhóm (ñịnh nghĩa 1.1) [13] Cho X là không gian Banach. Một họ tham biến T (t ),0 ≤ t < ∞ của những toán tử tuyến tính từ X vào X là nửa nhóm của những toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu: (i) T (0) = I (I là toán tử ñồng nhất trên X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với mỗi s, t ≥ 0 (Tính chất nửa nhóm). 1.3.6.2. ðịnh nghĩa C0 nửa nhóm (ñịnh nghĩa 2.1) [13] Một nửa nhóm T (t ),0 ≤ t < ∞ ,của những toán tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính bị chặn nếu lim T (t ) x = x với mỗi x ∈ X . t→0 Nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính trên X ñược gọi là nửa nhóm của lớp C0 hay ñơn giản là C0 nửa nhóm . 1.3.6.3. ðịnh lý 2.2 [13] Nếu T (t ) là C0 nửa nhóm. Khi ñó tồn hằng số ω và M ≥ 1 sao cho T (t ) ≤ Meωt , 0 ≤ t < ∞ 9 1.3.6.3.1. Hệ quả 2.3 [13] Nếu T (t ) là C0 nửa nhóm khi ñó với mỗi x ∈ X , t → T (t ) x là hàm liên tục từ ℝ +0 ( ñường thẳng thực không âm ) vào X. 1.3.6.4. ðịnh lý 2.3 [13] Cho T (t ) là C0 nửa nhóm và A là phần tử vi phân của nó. Khi ñó : 1 a) Với x ∈ X , lim h →0 h t +h ∫ T (s) xds = T (t) x t t  b) Với x ∈ X , ∫ T (s) xds ∈ D( A) vaø A  ∫ T (s) xds  = T (t ) x − x 0 0  t c) Với x ∈ D(A) , T (t ) x ∈ D(A) vaø d T (t ) x = AT (t ) x = T (t ) Ax dt t t s s d) Vôùi x ∈ D(A) , T (t ) x − T (s) x = ∫ T (τ ) Axdτ = ∫ AT (τ ) xdτ 1.3.6.4.1. Hệ quả 2.5 [13] Nếu A là phần tử vi phân của C0 nửa nhóm T (t ) , khi ñó D (A), miền xác ñịnh của A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính ñóng . 1.3.6.5. ðịnh lý 3.2 [13, tr.48] Cho T (t ) là C0 nửa nhóm. Nếu T (t ) là compact với t > t0 thì T (t ) liên tục trên không gian tô pô những toán tử ñều với t > t0 . Nếu (T (t ))t ≥0 là nửa nhóm giải tích và bị chặn ñều sao cho 0 ∈ ρ (A ) thì nó có thể ñịnh nghĩa bậc hữu tỉ (−A )α , α ∈ (0,1] ,như là toán tử tuyến tính ñóng trên miền xác ñịnh của nó D(− A)α . Hơn nữa không gian con D(− A)α là trù mật trong X và biểu thức x α = (− A)α x , x ∈ D(− A)α , ñịnh nghĩa là chuẩn trong D(− A)α . Nếu X α biểu diễn không gian D(− A)α xác ñịnh bởi chuẩn . α , thì theo [11, tr.74] ta có những tính chất sau : 10 1.3.6.6. Bổ ñề 1.1 Nếu các ñiều kiện trên ñúng, thì 1. Nếu 0 < α ≤ 1 thì X α là không gian Banach. 2. Nếu 0 < β < α ≤ 1 thì Xα → X β và phép nhúng là compact với mỗi giải thức của toán tử A là compact. 3. Với mỗi 0 < α ≤ 1 thì tồn tại C α > 0 sao cho (− A )α T (t ) ≤ Cα ,t > 0 tα Trong những phần sau, ñể tránh những ký hiệu không cần thiết , chúng ta giả sử rằng 0 ∈ ρ (A ) và với mỗi 0 < υ ≤ 1 , (− A)υ T (t ) ≤ Cυ ,t > 0 tυ T (t ) ≤ Mɶ ,t ≥ 0 và (1.5) với mỗi hằng số Cυ > 0 . Trong luận văn này, 0 < β ≤ 1 và ω > 0 là những số không ñổi, G, F : ℝ × D → X liên tục và chúng ta sử dụng những ñiều kiện sau H1: Hàm G nhận giá trị trong X β và (−A )β G liên tục. H2: G (t ,ψ ) =V (t ,ψ ) + h (t ) với V, h nhận giá trị trong X β ; (−A )βV ,(−A )β h liên tục ; (−A )βV (.,ψ ),(−A )β h tuần hoàn với chu kỳ ω và (− A )βV (t ,.) tuyến tính . H3: G (t ,ψ ) =V (t ,ψ ) + G1 (t ,ψ ) với V ,G1 nhận giá trị trong X β ; (−A )βV ,(−A )β G1 liên tục ; (−A )βV (.,ψ ),(−A )β G1 (.,ψ ) tuần hoàn với chu kỳ ω và (−A )βV (t ,.) tuyến tính. H4: F (t ,ψ ) = L (t ,ψ ) + f (t ) với L , f liên tục ; L (.,ψ ), f tuần hoàn với chu kỳ ω và L (t ,.) tuyến tính. H5: F (t ,ψ ) = L (t ,ψ ) + F1 (t ,ψ ) với L , F1 liên tục ; L (.,ψ ), F1 (.,ψ ) tuần hoàn với chu kỳ ω và L (t ,.) tuyến tính. 11 H6: Với mỗi R > 0 và với mọi T > 0 , tập những hàm số {s → G (s , x s ) : x ∈C ((−∞,T ]: X ), sup x (θ ) ≤ ℝ} ñẳng liên tục θ ∈[ − r ,T ] trên ñoạn [0,T] H7: Với mỗi R > 0 và với mọi T > 0 , tập những hàm số {s → G (s , x s ) : x ∈C b ((−∞,T ] : X ), sup x (θ ) ≤ ℝ} θ ∈[ −∞ ,T ] tục trên ñoạn [0,T] ñẳng liên 12 Chương 2 LỜI GIẢI TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HÒA CHỨA HÀM LÀM CHẬM BỊ CHẶN Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần hoàn của bài toán giá trị ñầu d (x (t ) + G (t , x t )) = A x (t ) + F (t , x t ), dt x o = ϕ ∈C = C ([− r ,0]: X ) ( 2.1) ( 2.2 ) 2.1. ðịnh nghĩa Hàm x :[− r ,T ] → X là lời giải yếu của bài toán Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) nếu : x 0 = ϕ ; thu hẹp của x ( .) trên ñoạn [0,T] liên tục ; với mỗi 0 ≤ t < T hàm AT ( t − s ) G ( s, xs ) , s ∈ [0, t ), khả tích và t x (t ) = T (t ) (ϕ ( 0 ) + G ( 0,ϕ ) ) − G (t , x t ) − ∫ A T (t − s )G ( s , x s ) ds 0 t + ∫T (t - s )F ( s , x s ) ds , t ∈ [0,T ] ( 2.3) 0 Sự tồn tại lời giải yếu của bài toán Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) theo [9,ñịnh lý 2.1,2.2], với lý do này chúng ta sẽ bỏ qua việc chứng minh chi tiết hai kết quả kế tiếp 2.2. ðịnh lý 2.1 Cho ϕ ∈C ,T > 0 và giả sử rằng các ñiều kiện sau ñúng : (a) Tồn tai hằng số β ∈ ( 0,1) và L ≥ 0 sao cho hàm G nhận giá trị trong X β , L ( −A ) −β < 1 và 13 ( −A ) β ( β G (t ,ψ 1 ) − ( − A ) G ( s ,ψ 2 ) ≤ L t − s + ψ 1 − ψ 2 C ) , ( 2.4 ) với mỗi 0 ≤ s ,t ≤ T và ψ 1 ,ψ 2 ∈C (b) Hàm F liên tục và biến những tập bị chặn thành những tập bị chặn. Khi ñó tồn tại lời giải yếu x (.,ϕ ) của bài Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) xác ñịnh trên [-r,b], với mỗi 0 < b ≤ T 2.3. ðịnh lý 2.2 Cho ϕ ∈C và T > 0 . Giả sử rằng ñiều kiện (a) của ñịnh lý (2.1) ñúng và tồn tại N > 0 sao cho F (t ,ϕ ) − F (t ,ψ ) ≤ N ϕ − ψ C với mọi 0 ≤ t ≤ T và với mỗi ϕ ,ψ ∈C . Khi ñó tồn tại duy nhất lời giải yếu x (.,ϕ ) của (2.1) –(2.2) xác ñịnh trên [-r, b] với mỗi 0 < b ≤ T . Hơn nữa, b có thể chọn là min{T, b0 }, ở ñây b0 là hằng số dương ñộc lập với ϕ . ðể chứng minh kết quả chính của mục này, ñó là những kết quả cơ bản kế tiếp . 2.4. ðịnh lý 2.3 Cho T > r và giả sử rằng H 1 , H 6 ñúng. Giả sử thêm rằng, các ñiều kiện sau ñây ñúng (a) Với mỗi ϕ ∈C tập { } X (ϕ ) = x ∈C ([ − r ,T ] : X ) : x laø lôø i giaû i cuû a ( 2.1) − ( 2.2 ) bị chặn. (b) Với mỗi R > 0 , tập {( −A ) G (s , x ) , F (s , x ) : s ∈[0,T ], x ∈ X (ϕ ) vaø β s bị chặn. s ϕ C ≤R } 14 Khi ñó ánh xạ ña trị ϒ : C → 2C ;ϕ → X T (ϕ ) = {x T : x ∈ X (ϕ )} compact, nghĩa là, với mỗi R > 0 tập UR ,T = ∪ XT (ϕ ) ϕ C ≤R là là compact tương ñối ở trong C Chứng minh Cho R > 0 và UR = ∪ X (ϕ ) . Từ (b), chúng ta cố ñịnh N > 0 sao cho ϕ C ≤R ( −A ) β G (s , x s ) ≤ N F (s , x s ) ≤ N và với mỗi x ∈ UR và với mỗi s ∈ [0,T ] . Mặt khác ,sử dụng ñịnh lý Ascoli ta sẽ chia chứng minh ra hai bước . Bước 1 : Tập UR ( t ) = { x ( t ) : x ∈ UR } là compact tương ñối với mỗi t ∈ (0, T ] . Cho 0 < ε < t ≤ T . Vì (T (t ) )t ≥0 giải tích, hàm toán tử s → A T ( s ) liên tục trong không gian tô pô các toán tử ñều trên (0, T], bằng cách ước lượng 1− β (− A) T ( t − s )( − A ) G ( s, xs ) ≤ β hàm s → A T (t − s )G ( s , x s ) C1− β N 1− β (t − s) , s ∈ [0, t ), x ∈ UR ( 2.6 ) suy khả tích trên [0,t ) với mỗi x ∈ UR . Với những ñiều kiện trước, với x ∈ UR ta có x (t ) = T ( ε )T (t − ε )(ϕ (0) + G (0,ϕ ) ) + ( −A ) +T ( ε ) t −ε 1− β ∫ ( −A ) −β ( −A ) β G (t , x t ) β T (t − s − ε )( − A ) G ( s , x s ) ds 0 t 1− β + ∫ ( -A ) β T (t − s )( −A ) G ( s , x s ) ds t-ε t −ε +T ( ε ) ∫ T (t − s − ε ) F ( s , x s ) ds + 0 ra t ∫ε T (t − s ) F ( s , x )ds s t− 15 Với ⊕ T (ε )T (t − ε )(ϕ (0) + G (0,ϕ )) ≤ T (ε ) T (t − ε ) ( ϕ (0) + G (0,ϕ ) ) .( R + (− A) − β (− A) β G (0,ϕ ) ≤ T (ε ) M .( R + N ) ≤ T (ε ) M ⊕ ( − A) β G (t , xt ) ≤ N ⇒ ( − A) − β ( − A) β G (t , xt ) ∈ ( − A) − β BN [0 : X ] t −ε ⊕ W1 (t ) = T (ε ) ∫ (− A)1−β T (t − s − ε )(− A)β G(s, xs )ds 0 t −ε ∫ ( − A) = 1− β T (t − s)(− A)β G(s, xs )ds ( do tính chất nửa nhóm ) 0 t −ε ⊕ W2 (t ) = T (ε ) ∫ T (t − s − ε )F (s, xs )ds 0 t −ε ∫ T (t − s)F(s, x )ds = s 0 t 1 ⊕ Cε = ∫ε (− A) 1− β T (t − s )(− A) β G ( s, xs )ds va t- t diamC1ε ≤ εβ C1−β ∫t −ε (t − s)1−β .Nds ≤ 2C1−β N β t 2 ⊕ Cε = ∫ε T (t − s) F (s, x )ds và s t− t ∫ 2 diam(Cε ) ≤ T (t − s ) . F ( s, xs ) ds t −ε t ≤ .Nds ≤ M  .N ε ∫ε M t− và do ñó −β ɶ x (t ) ∈T ( ε ) MB B N [0, X ] +W t 1 + C ε1 +W t 2 + C ε2 , R + N [0, X ] + ( − A ) với mỗi W1 là compact, thật vậy : 16 Với ε > 0 cố ñịnh. Cho 0 < ε < t0 < t sao cho t − t0 < δ < ε t −ε W1 (t ) − W1 (t0 ) = T (ε ) ∫ (− A)1−β T (t − s − ε )(− A) β G ( s, xs ) ds − 0 t 0 −ε −T (ε ) ∫ (− A) 1− β T (t0 − s − ε )( − A) β G ( s, xs )ds 0 t 0 −ε =T (ε ) ∫ (− A) 1− β (T (t − s − ε ) − T (t0 − s − ε ))(− A) β G ( s, xs ) ds + 0 t −ε ∫ε (− A) 1− β +T (ε ) T (t − s − ε )(− A) β G ( s, xs ) ds t0 − t −ε = ∫ (− A) 1− β (T (t − s) − T (t0 − s ))(− A) β G ( s, xs )ds + 0 t −ε + ∫ε (− A) 1− β T (t − s)( − A) β G ( s, xs )ds t0 − Suy ra : W1 (t ) − W1 (t0 ) ≤ N .  −ε β + t β − t0β + (t − t0 + ε ) β  + ≤ N .2ε + C1− β β C1− β β ε β .N ε β .N nên W1 ñẳng liên tục bên phải tại t0 .Tính liên tục tại t0 > 0 ñược chứng minh tương tự, do ñó W1 ñẳng liên tục trên [0; t ) . Mặt khác, t −ε W1 (t ) ≤ C1−β ∫ (t − s) 1− β .Nds 0 ≤ −N. ≤ N. C1−β β C1−β β t −ε .(t − s) β 0 .(T β − ε β ) 17 Do ñó W1 là ánh xạ compact. Tương tự ta cũng chứng minh ñược W2 là ánh xạ compact. εβ diam (C ε ) ≤ 2C 1−β N β 1 Vì ( −A ) −β và ( ) ɶ ε diam C ε2 ≤ 2MN là compact, những chú ý này dẫn tới UR ( t ) hoàn toàn bị chặn và kết quả là UR ( t ) compact tương ñối trong X. Bước 2 : U R hoàn toàn liên tục trên ( 0 ,T]. Cho 0 < ε < t 0 ≤ T . Sự liên tục mạnh của (T (t ) )t ≥0 dẫn ñến tập những hàm {s → T ( s ) x : x ∈T (ε ) B R +N ( 0, X )} ñồng liên tục trên [0, T] .Cho 0 < δ < ε sao cho T ( s ) x − T ( s ' ) x < ε , x ∈T ( ε ) B R +N ( 0, X ) , ( G (t ,ut ) − G t 0 ,ut 0 ) < ε, u ∈C ([− r ,T ]: X ) , u − r ,T ≤R +N khi s − s ' < δ ,0 ≤ s , s ' ≤ T và 0 ≤ t − t 0 < δ Với những ñiều kiện trên, cho x ∈ UR và 0 ≤ t − t 0 < δ chúng ta có x ( t0 ) − x ( t ) ≤ ( T ( t0 − ε ) − T ( t − ε ) ) T ( ε ) (ϕ ( 0 ) + G ( 0,ϕ ) ) ( ) + G t 0 , xt0 − G ( t, xt ) + t 0 −ε 1− β ∫ ( − A) T ( t0 − s − ε ) ( I − T ( t − t0 ) ) T ( ε )( − A ) G ( s, xs ) ds β 0 + t0 ∫ε I − T ( t − t0 ) 1− β (− A) T ( t0 − s ) ( − A ) G ( s, xs ) ds t0 − + t 1− β ∫ ( − A) t0 T ( t − s )( − A ) G ( s, xs ) ds β β 18 + t 0 −ε ∫ T ( t0 − s − ε ) ( I − T ( t − t0 ) ) T ( ε ) F ( s, x s ) ds 0 t0 + ∫ (T ( t 0 t 0 −ε t − s ) − T ( t − s ) ) F ( s, xs ) ds + ∫ T ( t − s ) F ( s, xs ) ds t0 Với : ⊕ T(ε )(ϕ (0) + G(0,ϕ )) ∈ T (ε )BR + N (0, X ). Do ñoù : (T(t 0 − ε ) − T (t − ε ))T (ε )(ϕ (0) + G(0,ϕ )) ≤ ε ⊕ G(t0 , xt0 ) − G(t, xt ) ≤ ε ⊕ (− A)1− β T (t0 − s − ε )( I − T (t − t0 ))T (ε )(− A)β G(s, xs ) ≤ ≤ (− A)1−β T (t0 − s − ε ) . ( I − T (t − t0 ))T (ε )(− A)β G(s, xs ) ≤ ≤ C1− β (t0 − s − ε ) 1− β C1− β (t0 − s − ε )1−β t 0 −ε ∫ . (T (t0 − t0 ) − T (t − t0 ))T (ε )(− A)β G(s, xs ) .ε . Do ñoù : (− A )1−β T (t 0 − s − ε )(I − T (t − t 0 ))T (ε )(− A )β G (s , x s ) ≤ ε .C 1− β (t 0 − ε )β β 0 ⊕ I − T (t − t0 ) . (− A )1− β T (t0 − s)(− A )β G (s, x s ) ≤ . ≤ ( T (t0 − t0 ) + T (t − t0) ) ) (− A )1− β T (t0 − s) (− A )β G (s, x s ) ≤ 2.M t0 ⇒ ∫ I − T (t − t0 ) . ( − A ) 1− β T (t0 − s)(− A ) G (s, x s ) ≤ β t0 − ε t0 ∫ t0 − ε . 2.M C1− β (t0 − s)1− β C1− β (t0 − s)1− β .N .Nds εβ  ≤ 2.MC1− β β ⊕ (− A)1−β T (t − s)(− A)β G(s, xs ) ≤ (− A)1−β T (t − s) . (− A)β G(s, xs ) ≤ Do ñoù : t ∫ (− A) t0 1− β t T (t − s)(− A) G(s, xs ) ≤ ∫ β t0 C1−β (t − s)1−β .Nds ≤ N .C1−β . C1−β (t − s)1−β (t − t0 )β β .N 19 ⊕ T (t0 − s − ε )(I − T (t − t0 ))T (ε )F(s, xs ) ≤ T (t0 − s − ε ) . (I − T (t − t0 ))T (ε )F(s, xs )  .ε ≤M Do ñoù : t 0 −ε ∫ T (t0 − s − ε )(I − T (t − t0 ))T (ε )F(s, xs ) ds ≤ 0 t0 −ε  .ε ≤ M  .ε (t ∫M 0 −ε) 0 ⊕ (T (t0 − s) − T (t − s))F (s, xs ) ≤ T (t0 − s) − T (t − s) . F (s, xs ) ≤  .N ≤ ( T (t0 − s) + T (t − s) ).N ≤ 2.M t0 Do ñoù : ∫ε t0 (T (t0 − s) − T (t − s))F (s, xs ) ds ≤ t0 −  .Nds ≤ 2.M  .N ε ∫ε 2.M t0 −  .N ⊕ T (t − s)F (s, xs ) ≤ T (t − s) . F (s, xs ) ≤ M t Do ñoù : t  .Nds ≤ M  . N (t − t ) ∫ T (t − s)F(s, x ) ds ≤ ∫ M 0 s t0 t0 Suy ra : x (t 0 ) − x (t ) ≤ 2ε +ε C1-β (t 0 − ε ) β β β (t − t 0 ) + εβ ɶ N + 2MC + NC 1− β 1− β β β ɶ ε + MN ɶ (t − t ) , +ε Mɶ (t 0 − ε ) +2MN 0 và do ñó x (t 0 ) − x (t ) ≤ c1ε + c 2ε β + c 3δ β + c 4δ với các hằng số c i ñộc lập với x ( .) . Vì vậy, UR hoàn toàn liên tục bên phải tại t 0 > 0 . Tính hoàn toàn liên tục tại t 0 > 0 ñược chứng minh tương tự. Do ñó, UR hoàn toàn liên tục trên ( 0,T] . { } Từ bước 1 và 2, ñã chỉ ra rằng x [ µ ,T ] : x ∈ UR là compact tương ñối trong C ([µ ,T ]: X ) với mỗi µ > 0 , dẫn tới UR ,T là compact tương ñối trong C ([− r ,0]: X ) . ðpcm.