Tài liệu Vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện và các đặc trưng đồng điều của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Thị Kim Xuyến VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN THIỆN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Thị Kim Xuyến VÀNH HOÀN THIỆN VÀ NỬA HOÀN THIỆN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết về các môđun trên vành Artin một phía đã phát triển rất mạnh mẽ. Đến thập niên 1960, một phần lý thuyết này đã được mở rộng đến vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải (trái). Điều này thật sự có ý nghĩa đối với đại số đồng điều bởi các đặc trưng khá thú vị của chúng: mọi môđun (trái, phải) hữu hạn sinh trên vành nửa hoàn thiện đều có cái phủ xạ ảnh, mọi môđun phải dẹt trên vành hoàn thiện phải đều là môđun xạ ảnh… Những đặc trưng khá thú vị này đã đem lại nhiều ứng dụng cho phương pháp đồng điều trong lý thuyết vành. Vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải đều được khái quát từ vành Artin một phía. Hơn nữa, chúng còn được khái quát từ vành nửa nguyên sơ. Ta đã biết vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR là lũy linh. Sự xuất hiện của vành hoàn thiện phải và vành nửa hoàn thiện là kết quả của việc xem xét tính lũy linh của radR . Ngoài ra, vành hoàn thiện phải còn được đặc trưng bởi điều kiện dây chuyền giảm (DCC) trên các iđêan trái chính. Mối quan hệ giữa hai lớp vành này với các lớp vành cơ bản được thể hiện qua sơ đồ sau: {vành Artin một phía} ∩ {vành nửa nguyên sơ} ∩ {vành hoàn thiện phải} ∩ {vành địa phương} ⊂ {vành nửa hoàn thiện} ⊂ {vành nửa địa phương} Luận văn nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện với các lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, vành địa phương, đồng thời nghiên cứu các đặc trưng đồng điều của vành nửa hoàn thiện và vành hoàn thiện phải. Luận văn gồm ba chương: - Chương 1: Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết môđun - Chương 2: Lớp các vành hoàn thiện, nửa hoàn thiện và mối quan hệ của chúng với các lớp vành cơ bản - Chương 3: Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và nửa hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Bùi Tường Trí, người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của độc giả. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Văn Thị Kim Xuyến Mục lục LỜI NÓI ĐẦU................................................................................................................... 3 Mục lục .............................................................................................................................. 5 Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN........................................................................................................... 8 1.1. Định nghĩa môđun, môđun con .......................................................................................................... 8 1.1.1. Định nghĩa môđun ...................................................................................................................... 8 1.1.2. Định nghĩa môđun con ............................................................................................................... 8 1.1.3. Ann(M) ....................................................................................................................................... 9 1.2. Đồng cấu môđun ................................................................................................................................ 9 1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) ...................................... 10 1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) ........................................................................................... 10 1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) .......................................................................................... 10 1.4. Môđun Noether và môđun Artin ...................................................................................................... 10 1.5. Vành Noether và vành Artin ............................................................................................................ 11 1.5.1. Vành Noether ........................................................................................................................... 11 1.5.2. Vành Artin ................................................................................................................................ 11 1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp ......................................................................................................... 11 1.7. Dãy khớp .......................................................................................................................................... 13 1.7.1. Định nghĩa dãy khớp ................................................................................................................ 13 1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn ....................................................................................................... 13 1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ ................................................................................................. 13 1.7.4. Một số tính chất ........................................................................................................................ 13 1.8. Môđun tự do ..................................................................................................................................... 14 1.9. Môđun xạ ảnh................................................................................................................................... 14 1.9.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh ........................................................................................................ 14 1.9.2. Một số tính chất ........................................................................................................................ 14 1.10. Hàm tử tenxơ.................................................................................................................................. 14 1.11. Môđun dẹt ...................................................................................................................................... 16 1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn .......................................................................................................... 17 1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) ......................................................................... 17 1.12.2. Định nghĩa môđun nửa đơn .................................................................................................... 17 1.12.3. Tính chất ................................................................................................................................. 17 1.13. Vành đơn, vành nửa đơn ................................................................................................................ 17 1.14. Vành nguyên .................................................................................................................................. 17 1.15. Vành chia ....................................................................................................................................... 17 1.16. Vành nguyên thủy .......................................................................................................................... 18 1.17. Tập nil , tập lũy linh ....................................................................................................................... 18 1.18. Radical Jacobson của một vành ..................................................................................................... 18 1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành ............................................................................ 18 1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy) .................................................................... 18 1.18.3. Một số tính chất ...................................................................................................................... 18 1.19. Vành nửa nguyên sơ....................................................................................................................... 19 1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố ........................................................................................... 20 1.21. Radical nguyên tố của một vành .................................................................................................... 20 1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố ............................................................................................ 20 1.23. Tập lũy linh địa phương ................................................................................................................. 21 1.24. Định nghĩa phần tử lũy đẳng .......................................................................................................... 21 1.25. Vành địa phương ............................................................................................................................ 21 1.26. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được............................................ 21 1.27. Vành nửa địa phương ..................................................................................................................... 22 1.28. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng ................................................................................................. 23 Chương 2: LỚP CÁC VÀNH HOÀN THIỆN, NỬA HOÀN THIỆN VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA CHÚNG VỚI CÁC LỚP VÀNH CƠ BẢN ..................................... 27 2.1. Vành nửa hoàn thiện ........................................................................................................................ 27 2.2. Vành hoàn thiện ............................................................................................................................... 34 2.3. Một số nghiên cứu về các phát biểu tương đương của định lí Bass ................................................. 41 Chương 3: ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA VÀNH NỬA HOÀN THIỆN VÀ VÀNH HOÀN THIỆN ................................................................................................... 44 3.1. Môđun con đủ bé.............................................................................................................................. 44 3.1.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 44 3.2.2. Một số nhận xét ........................................................................................................................ 44 3.2. Radical của môđun ........................................................................................................................... 45 3.2.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 45 3.2.2. Nhận xét 3.2 ............................................................................................................................. 45 3.3. Một số tính chất................................................................................................................................ 45 3.4. Cái phủ xạ ảnh.................................................................................................................................. 47 3.4.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 47 3.4.2. Một số nhận xét về cái phủ xạ ảnh ........................................................................................... 48 3.5. Đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện và vành nửa hoàn thiện ................................................. 49 3.6. Một số nghiên cứu thêm về các đặc trưng đồng điều của vành hoàn thiện phải và vành nửa hoàn thiện......................................................................................................................................................... 59 Kết luận ........................................................................................................................... 61 Tài liệu tham khảo .......................................................................................................... 62 Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN 1.1. Định nghĩa môđun, môđun con 1.1.1. Định nghĩa môđun Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng Aben ( M , + ) được gọi là một môđun phải trên vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ µ :M × R → M mà kết quả µ ( x, r ) ta ký hiệu là xr và gọi là tích của phần x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau cần được thỏa mãn: M 1 : x.1 = x M 2 : x ( rs ) = ( xr ) s M 3 : ( x + y ) r =xr + yr M 4 : x ( r + s ) = xr + xs với mọi r , s ∈ R và mọi x, y ∈ M . Ký hiệu: M R , ta gọi M là R-môđun phải, R là vành hệ tử. Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R. 1.1.2. Định nghĩa môđun con Cho A, B là các tập con của môđun M và K ⊂ R ( với A, B, K ≠ ∅ ), ta định nghĩa: A + B = {a + b a ∈ A, b ∈ B} KA = {ra r ∈ K , a ∈ A} Tập A ≠ ∅ trong X được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A + A ⊂ A và RA ⊂ A . Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một R-môđun và ta gọi A là môđun con của môđun M. Nhận xét: - Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó. - Mỗi vành R đều là R-môđun trái (phải) với các môđun con chính là các iđêan trái (phải) của R. 1.1.3. Ann(M) Cho M là R-môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của vành hệ tử R, linh hóa M. Cụ thể: - Nếu M là R-môđun phải thì ann ( M ) = ( 0 )} . {r ∈ R Mr = - Nếu M là R-môđun trái thì ann ( M ) = ( 0 )} . {r ∈ R rM = 1.2. Đồng cấu môđun Định nghĩa. Cho M, M’ là các R-môđun. Ánh xạ f : M → M ' được gọi là R-đồng cấu nếu f ( r1 x1 + r2 x2 )= r1 f ( x1 ) + r2 f ( x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ M và với mọi r1 , r2 ∈ R . Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R-đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các đồng cấu. Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa: + Ảnh của f là = f (M ) { f ( x) x ∈ M }. + Hạt nhân của f là Kerf = f −1 ( 0 ) = 0} . {x ∈ M f ( x ) = Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh. Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh. Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu. Tính chất - Cho f : M → M ' là đồng cấu. Khi đó nếu N là môđun con của M thì f(N) là mô đun con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì f −1 ( N ' ) là môđun con của M. - Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu). - Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0). -Nếu f : M → M ' là một đẳng cấu thì f −1 : M ' → M cũng là một đẳng cấu. - Nếu f : M → M ' là một toàn cấu thì M Kerf ≅ Y . 1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) 1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt: Ci1 ⊂ Ci2 ⊂ ... ≠ ≠ Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau: (1) Mọi dây chuyền tăng Ci ⊆ Ci ⊆ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n ∈  sao cho 1 2 Cin C= C= ... = in+1 in+2 (2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại. 1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC) Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt: Ci1 ⊃ Ci2 ⊃ ... ≠ ≠ Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau: (1) Mọi dây chuyền giảm Ci ⊇ Ci ⊇ ... trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n ∈  sao 1 2 cho = ... Ci C= C= i i n n+1 n+ 2 (2) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu. 1.4. Môđun Noether và môđun Artin Cho vành R và M là R-môđun trái (hoặc R-môđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC). Tính chất: - Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. - Môđun M vừa Noether vừa Artin khi và chỉ khi M có chuỗi hợp thành (hữu hạn) 1.5. Vành Noether và vành Artin 1.5.1. Vành Noether Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như Rmôđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: - Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng. - Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại. 1.5.2. Vành Artin Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R-môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: - Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng. - Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu. 1.6. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Tích trực tiếp của họ các môđun Cho họ bất kỳ khác rỗng các môđun {M i }i∈I trên cùng vành hệ tử R, ta xác định trên tập tích Đêcac ∏M i∈I i các phép toán sau: ( xi ) + ( xi' ) =( xi + xi' ) r ( xi ) = ( rxi ) với mọi ( xi ) , ( xi' ) ∈ ∏ M i và mọi r ∈ R . i∈I Với các phép toán trên, ∏M i∈I Nó cũng được ký hiệu là ∏M i∈I i i là một môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ {M i }i∈I . hay đơn giản hơn là ∏M i . Với mỗi k ∈ I , ta có cặp phép nhúng jk : M k → ∏ M i và phép chiếu pk : ∏ M i → M k được xác định bởi các công thức sau: ( ) ● jk ( xk ) =  jk ( xk )  i trong đó  x khi i = k  jk ( xk )  i =  k 0 khi i ≠ k với mọi xk ∈ M k . ● pk ( xi )  = xk , với mọi ( xi ) ∈ ∏ M i . Các phép nhúng jk là đơn cấu và các phép chiếu pk là các toàn cấu. Mối quan hệ giữa phép nhúng và phép chiếu được mô tả bởi công thức: pk jk = 1X k và pk jl = 0 nếu k ≠ l . Hơn nữa, một phần tử bất kỳ x ∈ ∏ M i là hoàn toàn xác định bởi bộ giá trị chiếu của nó. Cụ i∈I thể: x = ( pi ( x ) )i∈I . Cho các họ môđun {M i } , {M i' } có cùng tập chỉ số I và họ các đồng cấu { f :M i → M i' } . i i∈I Khi đó đồng cấu f : ∏ M i → ∏ M i' được xác định bởi công thức f ( xi )i∈I  = ( fi ( xi ) )i∈I , với mọi ( xi ) ∈ ∏ M i được gọi là tích trực tiếp của họ đồng cấu { fi }i∈I , và được ký hiệu là f = ∏ fi . Tổng trực tiếp của họ các môđun Cho họ khác rỗng các môđun {M i }i∈I . Xét tập con của ∏M i gồm các bộ x = ( xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0 , trừ ra một số hữu hạn. Đây là một môđun con của ∏M i và được gọi là môđun tổng trực tiếp của họ {M i } . Ký hiệu: ⊕ M i hay đơn giản hơn là ⊕ M i . i∈I Khi thu hẹp f = ∏ fi trên tổng trực tiếp ⊕ M i ta được một đồng cấu gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu { fi }i∈I , và ký hiệu là f = ⊕ fi . Tổng trực tiếp trong của họ các môđun con Cho họ {M i }i∈I các môđun con của môđun M thỏa: i) ∑M i =M , ii) M i ∩ ∑ M=j ( 0 ) , ∀i ∈ I . j ≠i Khi đó ta có M ≅ ⊕ M i , và môđun M được gọi là tổng trực tiếp trong của họ môđun {M i } và mỗi môđun M i được gọi là hạng tử trực tiếp của M. 1.7. Dãy khớp 1.7.1. Định nghĩa dãy khớp Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn) f g (1) ... → A → B → C → ... được gọi là khớp tại môđun B nếu Imf = Kerg . Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian. 1.7.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng: χ σ ( 2) 0 → A→ B →C → 0 Nhận xét: Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, và Imχ = Kerσ . 1.7.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ Cho dãy khớp dạng (1). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B 1 sao cho:= B Im f ⊕ B1 . Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian. Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B. 1.7.4. Một số tính chất χ σ Định lí 1.1. Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 → A → B → C → 0 , ba phát biểu sau là tương đương: (1) Dãy khớp là chẻ ra; (2) Đồng cấu χ có nghịch đảo trái; (3) Đồng cấu σ có nghịch đảo phải. f g Hệ quả 1.1. Nếu dãy khớp ... → A → B → C → ... chẻ ra tại B thì ta có: B ≅ Imf ⊕ Img 1.8. Môđun tự do Cho môđun M. Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của môđun M nếu S là hệ sinh của M đồng thời S độc lập tuyến tính. Môđun có cơ sở được gọi là môđun tự do. 1.9. Môđun xạ ảnh 1.9.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ :B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại đồng cấu ϕ :P → B sao cho f = σϕ . 1.9.2. Một số tính chất Định lí 1.2. Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh. Định lí 1.3. Tổng trực tiếp của họ môđun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun i∈I thành phần Pi là xạ ảnh. Định lí 1.4. Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương: (1) P là môđun xạ ảnh; (2) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra; (3) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó. Định lí 1.5. Khi R là vành chính, R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do. 1.10. Hàm tử tenxơ Tích tenxơ hai môđun Cho vành R, M R và R N lần lượt là các R-môđun phải và R-môđun trái, G là nhóm Aben. Ánh xạ ϕ :M × N → G được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa: i) ϕ là cộng tính, tức là: ϕ ( x1 + x2 , y )= ϕ ( x1 , y ) + ϕ ( x2 , y ) , ϕ ( x, y1 + y= ϕ ( x, y1 ) + ϕ ( x, y2 ) , 2) với mọi x, x1 , x2 ∈ M và mọi y, y1 , y2 ∈ N . ii) ϕ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N’, tức là: ϕ ( xr , y ) = ϕ ( x, ry ) với mọi r ∈ R và mọi x ∈ M , y ∈ N . Tích tenxơ của hai môđun M và N’ là các nhóm Aben, mà ta ký hiệu là M ⊗ M ' , sao cho có ánh xạ song tuyến tính τ :M × N ' → M ⊗ N ' có tính phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính ϕ :M × N → G , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại duy nhất đồng cấu f : M ⊗ N → G thỏa mãn ϕ = f τ . Ánh xạ song tuyến tính τ khi đó được gọi là ánh xạ tenxơ. Tích tenxơ của hai môđun là tồn tại duy nhất và sai khác một đẳng cấu. Tính chất: Cho họ {M i }i∈I là họ các R-môđun phải và { N j } j∈J là họ các R-môđun trái. ( ) ( ) Khi đó ta có: ⊕ M i ⊗ ⊕ N j ≅ ⊕ i∈I j∈J ( i , j )∈I × J (M i ⊗ Nj ). Tích tenxơ hai đồng cấu Cho f : M R → M R' là đồng cấu R-môđun phải và g : R N → R N ' là đồng cấu các R-môđun trái. Tích tenxơ của f và g là đồng cấu f ⊗ g : M ⊗ N → M ' ⊗ N ' mà với mỗi phần tử sịnh x ⊗ y ∈ M ⊗ N , ta có: ( f ⊗ g )( x ⊗ y =) f ( x) ⊗ g ( y) . Tính chất - Tích tenxơ của hai đồng cấu đồng nhất là một đồng cấu đồng nhất. f g f' g' - Nếu A → B → C là các đồng cấu R-môđun phải và A' → B ' → C ' là các đồng cấu R-môđun trái thì ( f ' f ) ⊗ ( g ' g ) = ( f '⊗ g ')( f ⊗ g ) . - Tích tenxơ của hai đồng cấu có tính chất phân phối cả hai phía đối với phép cộng các đồng cấu. Định lí. Cho f : M R → M R' và g : R N → R N ' là các toàn cấu R-môđun phải và R-môđun trái. Khi đó, tích tenxơ f ⊗ g : M ⊗ N → M ' ⊗ N ' là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân Ker ( f ⊗ g ) là nhóm con của M ⊗ N được sinh bởi các phần tử x ⊗ y trong đó x ∈ Kerf hoặc y ∈ Kerg . Hàm tử tenxơ Với mỗi R-môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử A ⊗ − : R Mod → Ab như sau: ● Đặt mỗi vật X ∈ R Mod tương ứng với nhóm A ⊗ X . ● Đặt mỗi đồng cấu α : X → Y tương ứng với đồng cấu nhóm 1A ⊗ α : A ⊗ X → A ⊗ Y . Tương tự, với mỗi R-môđun trái B, ta xây dựng hàm tử − ⊗ B : Mod R → Ab : ● Đặt mỗi vật X ∈ Mod R ứng với nhóm Aben X ⊗ B . ● Đặt mỗi đồng cấu α : X → Y ứng với đồng cấu nhóm α ⊗ 1B : X ⊗ B → Y ⊗ B . ( A ⊗ − ) và ( − ⊗ B ) là các hàm tử khớp về bên phải, tức là: χ σ χ σ ● Với mỗi dãy khớp các R-môđun trái: 0 → X → Y → Z → 0 ta có dãy sau là khớp: 1A ⊗ χ 1A ⊗σ A ⊗ X → A ⊗Y → A ⊗ Z → 0 . ● Với mỗi dãy khớp các R-môđun phải: 0 → X → Y → Z → 0 ta có dãy sau là khớp: χ ⊗1B σ ⊗1B X ⊗B → Y ⊗B → Z ⊗B →0. Các hàm tử tenxơ ( A ⊗ − ) và ( − ⊗ B ) bảo toàn tính khớp chẻ của dãy khớp ngắn và chẻ. 1.11. Môđun dẹt R-môđun phải M R được gọi là môđun dẹt nếu hàm tử M ⊗ R − là hàm tử khớp. Nói cách khác, M R là môđun dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn các R-môđun trái: S :0 → A → B → C → 0 ta luôn có được dãy các nhóm Aben sau đây là khớp: M ⊗ R S :0 → M ⊗ R A → M ⊗ R B → M ⊗ R C → 0 Ta đã biết M ⊗ R − là hàm tử khớp về bên phải. Do đó, tính dẹt phải của M R tương đương với: Nếu A → B là đơn cấu thì M ⊗ R A → M ⊗ R B cũng là đơn cấu. Tính chất: - Tổng trực tiếp các môđun dẹt là môđun dẹt. - RR luôn là môđun dẹt. - Mọi môđun tự do đều là môđun dẹt. - Hạng tử trực tiếp của môđun dẹt là môđun dẹt. - Môđun xạ ảnh là môđun dẹt. 1.12. Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.12.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui) R-môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M. 1.12.2. Định nghĩa môđun nửa đơn R-môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M. 1.12.3. Tính chất Định lí 1.6. Đối với mỗi R-môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương: (1) M là nửa đơn; (2) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn; (3) M là tổng của các môđun con đơn. 1.13. Vành đơn, vành nửa đơn Vành R ≠ ( 0 ) được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó. Định lí 1.7. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) R là R-môđun trái nửa đơn; (2) Mọi R-môđun trái đều là môđun xạ ảnh; (3) Mọi R-môđun trái hữu hạn sinh đều là môđun xạ ảnh; (4) Mọi R-môđun xyclic đều là môđun xạ ảnh. 1.14. Vành nguyên Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ ( 0 ) và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 . Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên. 1.15. Vành chia Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ ( 0 ) và mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch. Vành chia giao hoán là trường. 1.16. Vành nguyên thủy R-môđun M R được gọi là môđun trung thành nếu ann(M) = (0). Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R-môđun trái (phải) bất khả qui trung thành. 1.17. Tập nil , tập lũy linh Cho vành R, tập I ⊆ R . Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho x n = 0 . I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là nil iđêan. I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho I n = 0 , và nếu I là iđêan của R, ta gọi I là iđêan lũy linh. Tính chất: Iđêan lũy linh là nil iđêan. 1.18. Radical Jacobson của một vành 1.18.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan trái tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan phải tối đại của R). Ký hiệu: radR. Nếu R = (0), ta định nghĩa radR = (0). RadR là iđêan của R. Tính chất: M n ( radR ) = radM n ( R ) 1.18.2. Định nghĩa vành J-nửa đơn (vành nguyên thủy) Vành R ≠ ( 0 ) được gọi là J-nửa đơn nếu radR = (0). 1.18.3. Một số tính chất Bổ đề 1.1. Với mỗi y ∈ R , các phát biểu sau là tương đương: (1) y ∈ radR ; (2) 1 − xy khả nghịch trái với mọi x ∈ R ; (3) yM = ( 0 ) với mọi R-môđun trái M. Từ kết quả của bổ đề này ta suy ra 1 + radR ⊆ U ( R ) , với U ( R ) là tập các phần tử khả nghịch của vành R. Định lí 1.8. Cho R là vành Artin trái. Khi đó, radR là iđêan trái lũy linh lớn nhất của R đồng thời là iđêan phải lũy linh lớn nhất của R. Hệ quả 1.2. Trong vành Artin trái, mọi nil iđêan trái đều lũy linh. Định lí 1.9. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) R là nửa đơn; (2) R là J-nửa đơn và Artin trái; (3) R là J-nửa đơn và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính. Định lí 1.10 (Định lí Hopkins – Levitzki (1939)) Cho R là vành mà radR lũy linh và R = R radR là nửa đơn. Khi đó, với mỗi Rmôđun R M , các phát biểu sau đây là tương đương: (1) M là Noether; (2) M là Artin; (3) M có chuỗi hợp thành. Đặc biệt: - Một vành là Artin trái khi và chỉ khi nó là Noether trái và nửa nguyên thủy. - Mọi môđun trái hữu hạn sinh trên vành Artin trái đều có chuỗi hợp thành. Bổ đề Nakayama. Với mỗi iđêan trái J của vành R, các phát biểu sau tương đương: (1) J ⊆ radR ; (2) Với mọi R-môđun trái hữu hạn sinh M, JM = M ⇒ M = ( 0 ) ; (3) Với mọi R-môđun trái N⊆M mà M N hữu hạn sinh, N + JM = M ⇒ N = M . 1.19. Vành nửa nguyên sơ Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và radR lũy linh. 1.20. Iđêan nguyên tố, iđêan nửa nguyên tố Iđêan P của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab ∈ P ⇒ a ∈ P hoặc b ∈ P . Iđêan C của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu với mọi iđêan U ⊆ R mà U 2 ⊆ C , ta luôn có U ⊆ C . Mệnh đề 1.1. Với mỗi iđêan C bất kỳ của vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) C là nửa nguyên tố; (2) Với mọi a ∈ R mà ( a ) ⊆ C , ta luôn có a ∈ C ; 2 (3) Với mọi a ∈ R mà aRa ⊆ C , ta luôn có a ∈ C ; (4) Với mọi iđêan trái (phải) U ⊆ R mà U 2 ⊆ C ta luôn có U ⊆ C . 1.21. Radical nguyên tố của một vành Radical nguyên tố của vành R là giao tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Ký hiệu: Nil∗ R . Nil∗ R là iđêan nửa nguyên tố nhỏ nhất của vành R. 1.22. Vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố Vành R được gọi là vành nguyên tố (nửa nguyên tố) nếu ( 0 ) là iđêan nguyên tố (nửa nguyên tố) của R. Mệnh đề 1.2. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) R là vành nửa nguyên tố; (2) Nil∗ R = 0 ; (3) R không có iđêan lũy linh khác ( 0 ) ; (4) R không có iđêan trái lũy linh khác ( 0 ) . Hệ quả 1.3. Nếu A là iđêan trái tối tiểu của vành nửa nguyên tố R thì A = Re , với e là phần tử lũy đẳng nào đó trong A . Định lí 1.11. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (1) R là nửa đơn; (2) R là nửa nguyên tố và Artin trái; (3) R là nửa nguyên tố và thỏa mãn DCC đối với các iđêan trái chính.