Tài liệu Về các radical trong pi. đại số

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH Nguyeãn Thaønh Nam VEÀ CAÙC RADICAL TRONG PI. ÑAÏI SOÁ Chuyeân ngaønh Maõ soá : Ñaïi soá vaø lyù thuyeát soá : 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS.TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ Thaøn phoá Hoà Chí Minh 2008 LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc tieân, toâi xin baøy toû loøng bieát ôn thaønh kính ñeán Thaày PGS. TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ ñaõ taän tình chæ baûo toâi trong quaù trình thöïc hieän luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin voâ cuøng bieát ôn caùc Thaày: PGS. TS. BUØI XUAÂN HAÛI, PGS.TS. MÎ VINH QUANG, TS. TRAÀN HUYEÂN, TS. NGUYEÃN VIEÁT ÑOÂNG vaø caùc Thaày coâ trong khoa Toaùn Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh ñaõ tröïc tieáp höôùng daãn toâi hoïc taäp, nhöõng ngöôøi ñaõ ñöa toâi ñeán ngöôõng cöûa cuûa khoa hoïc vaø giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Cho pheùp toâi ñöôïc kính chuùc PGS.TS. BUØI TÖÔØNG TRÍ, PGS. TS BUØI XUAÂN HAÛI, PGS.TS. MÎ VINH QUANG, TS. TRAÀN HUYEÂN, TS. NGUYEÃN VIEÁT ÑOÂNG vaø taát caû quyù thaày coâ trong Khoa Toaùn, Phoøng Khoa Hoïc Coâng Ngheä vaø Sau Ñaïi Hoïc Tröôøng ÑHSP TP. Hoà Chí Minh lôøi chuùc söùc khoûe, cuøng vôùi loøng tri aân saâu saéc nhaát cuûa toâi. Qua ñaây, toâi xin ñöôïc göûi lôøi caûm ôn ñeán taát caû caùc baïn hoïc vieân cao hoïc khoùa 16 ñaõ tieáp söùc vaø giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp taïi tröôøng. Cuoái cuøng, toâi xin baøy toû loøng thaønh kính bieát ôn ñeán toaøn theå moïi ngöôøi trong gia ñình toâi. TP. Hoà Chí Minh, ngaøy thaùng 9 naêm 2008 Taùc giaû luaän vaên NGUYEÃN THAØNH NAM MÔÛ ÑAÀU 1. Lí do choïn ñeà taøi Trong thôøi gian theo hoïc ôû tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh, chuùng toâi ñöôïc nghe giaûng moät soá chuyeân ñeà veà lyù thuyeát vaønh cuûa Thaày PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ. Chuû ñeà ñöôïc trình baøy döïa treân neàn taûng cuûa cuoán saùch: Introducton to Commutative Algebra cuûa M.F. ATIYAH vaø I.G.MACDONALD, cuoán saùch NONCOMMUTATIVE RINGS cuûa I.N.HERSTEIN, cuoán saùch STRUCTURE OF RINGS cuûa NATHAN JACOBSON, vaø cuoán saùch LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION cuûa NATHAN JACOBSON. Qua tìm hieåu, toâi nhaän ra ñöôïc söï quan troïng cuûa PI. Ñaïi soá trong nhieàu lónh vöïc cuûa ñaïi soá noùi chung vaø trong vieäc xaây döïng caâu truùc vaønh noùi rieâng. Töø ñaây, toâi ñaõ ñi saâu tìm hieåu veà moät chuû ñeà nhoû cuûa lyù thuyeát vaønh laø: Veà caùc Radical trong PI. Ñaïi soá. Luaän vaên taäp trong nghieân cöùu caáu truùc cuûa caùc Radical treân caùc treân caùc vaønh vaø moái lieân heä giöõa chuùng treân caùc caáu truùc ñaïi soá khaùc nhau. 2. Muïc ñích Heä thoáng laïi toaøn boä caùc khaùi nieäm veà Radical vaø töø nhöõng khaùi nieäm ñoù chuùng toâi ñi nghieân cöùu veà moái quan heä giöõa chuùng treân caùc ñaïi soá giao hoaùn vaø khoâng giao hoaùn. 3. Ñoái töôïng vaø noäi dung nghieân cöùu Caáu truùc cuûa caùc ñaïi soá giao hoaùn vaø khoâng giao hoaùn. Moái quan heä giöõa caùc Radical treân caùc caáu truùc ñaïi soá khaùc nhau. 4. YÙ nghóa khoa hoïc thöïc tieãn Hình thaønh heä thoáng loâgíc caùc caáu truùc veà Radical vaø vaän duïng chuùng trong vieäc xaây döïng caùc caáu truùc ñaïi soá . 5. Noäi dung cuûa luaän vaên Chöông 1. Caùc kieán thöùc cô baûn Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ ñöa ra heä thoáng nhöõng kieán thöùc veà: Vaønh, ideal treân vaønh, moâ ñun treân vaønh, ñaïi soá treân vaønh vaø ñoàng nhaát thöùc treân ñaïi soá. Taát caû nhöõng kieán thöùc treân ñöôïc ñöa ra vöøa ñuû ñeå laøm kieán thöùc neàn cho chöông 2, 3. Chöông 2. Xaây döïng caùc loaïi Radical Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ tieán haønh xaây döïng caùc loaïi radical theo caùc chuû ñeà chính sau: - Xaây döïng Radical treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. - Xaây döïng Radical Jacobson treân vaønh khoâng giao hoaùn. - Nghieân cöùu Radical Jacobson treân caùc vaønh ñaëc bieät khaùc. - Nghieân cöùu veà Radical treân ñaïi soá A, Coù 4 loaïi radical: Levitzki nil radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical. Chöông 3. Caùc Radical Trong caùc PI- ñaïi soá Trong chöông naøy, taùc giaû luaän vaên ñaõ tieán haønh xaây döïng moái quan heä bao haøm giöõa caùc loaïi radical treân caùc caáu truùc nhö sau: Treân ñaïi soá A, treân PI-ñaïi soá, PI- ñaïi soá phoå duïng. Töø ñaây, taùc giaû ñaõ ñöa ra moät soá keát quaû khaù toång quaùt veà moái quan heä bao haøm giöõa caùc radical. Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh trong söï coá gaéng cuûa taùc giaû luaän vaên cuøng vôùi söï giuùp ñôõ heát söùc taän tình cuûa thaày giaùo höôùng daãn PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ. Vì thôøi gian nghieân cöùu luaän vaên khoâng ñöôïc nhieàu neân luaän vaên coøn coù nhieàu vaán ñeà chöa khai thaùc ñöôïc moät caùch trieät ñeå vaø cuõng khoâng theå traùnh khoûi nhöõng sai soùt. Vì vaäy, toâi raát chaân thaønh ghi nhaän nhöõng yù kieán ñoùng goùp cuûa quyù thaày trong khoa toaùn cuûa tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh, caùc ñoàng nghieäp vaø taát caû moïi ngöôøi. Chöông 1. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 1.1. Vaønh, Moñun Vaø Ideal 1.1.1. Ñònh nghóa Vaønh Vaønh R laø taäp hôïp   ñöôïc trang bò hai pheùp toaùn hai ngoâi, pheùp coäng vaø pheùp nhaân sao cho: i/ R cuøng vôùi pheùp toaùn coäng laø nhoùm Abel  Phaàn töû trung hoøa kyù hieäu laø o   x  A, toàn taïi phaàn töû ñoái, kyù hieäu –x. ii/ pheùp nhaân coù tính keát hôïp: x(yz) = ( xy)z,  x, y, z  R iii/ pheùp nhaân phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng: ( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,  x, y, z  R * Neáu R thoûa maõn theâm hai tính chaát: iv/ pheùp nhaân coù tính giao hoaùn: xy = yx,  x, y  R v/ Toàn taïi phaàn töû ñôn vò, kyù hieäu 1: x1=1x =x,  x  R Thì R ñöôïc goïi laøvaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Trong luaän vaên naøy, neáu khoâng noùi gì theâm, caùc vaønh ñöôïc xeùt thuoäc lôùp vaønh ñôn giaûn nhaát: Vaønh khoâng giao hoaùn vaø khoâng nhaát thieát phaûi chöùa ñôn vò. 1.1.2. Ñònh nghóa Moâñun Moät R – moâñun laø moät nhoùm coäng Abel M cuøng vôùi taùc ñoäng ngoaøi töø R vaøo M, töùc laø moät aùnh xaï töø MxR vaøo M sao cho: caëp (m,r) bieán thaønh mr  R sao cho: i/ m( a+b) = ma +mb ii/ (m+n)a =ma + na iii/ (ma)b = m(ab), vôùi moïi m, n  M vaø moïi a, b  R. Neáu R laø vaønh coù chöùa ñôn vò 1 vaø m1 = m thì M goïi laø moâñun Unitary. 1.1.3. Ñònh nghóa moâñun trung thaønh Moät R- moâñun M ñöôïc goïi laø trung thaønh neáu: Mr = <0> keùo theo r = 0 1.1.4. Ñònh nghóa caùi linh hoùa Caùi linh hoùa cuûa R-moâñun M, kyù hieäu laø: annR(M) = r  R / Mr  0   Neáu M laø R-moâñun trung thaønh thì annR(M) =<0>. 1.1.5.Ñònh nghóa Ideal Moät ideal phaûi(traùi) cuûa vaønh R laø vaønh con cuûa vaønh R sao cho: R    (hay  R   ). Nghóa laø: xy   , x  R , y   (hay yx , x  R , y   ). Moät ideal vöøa laø ideal traùi vöøa laø ideal phaûi thì goïi laø ideal hai phía. 1.1.6. Ñònh nghóa moâñun baát khaû quy M ñöôïc goïi laø R moâñun baát khaû quy neáu: MR  0  vaø M khoâng coù moâñun con thöïc söï naøo. 1.1.7. Boå ñeà M laø R- moâñun baát khaû quy  M  R /  , vôùi  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy. 1.1.8. Ñònh nghóa  laø ideal phaûi cuûa R, kyù hieäu: (  :R ) = x  R / Rx   1.1.9. Boå ñeà a/ Neáu  laø ideal phaûi chính quy thì (  :R ) laø ideal hai phía lôùn nhaát cuûa R naèm trong  b/ Neáu  laø ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy thì annR(M)= (  :R ); M = R/  c/ Neáu  laø ideal phaûi chính quy cuûa R (   R) thì  naèm trong ideal phaûi, toái ñaïi, chính quy naøo ñoù. 1.1.10. Ñònh nghóa moâñun hoaøn toaøn khaû quy A laø R – moâñun hoøan toaøn khaû quy neáu noù thoûa maõn moät trong caùc meänh ñeà sau: a/ A = A iI b/ A= i , vôùi Ai laø R-moâñun con baát khaû quy cuûa A  Ai , vôùi Ai laø R-moâñun con baát khaû quy cuûa A iI c/ vôùi Ai laø R-moâñun con cuûa A laø haïng töû tröïc tieáp cuûa A. 1.1.11. Ñònh nghóa ñoàng caáu moâñun Goïi M, N laø caùc R- Moâñun. Moät ñoàng caáu moâñun treân R (hay R-ñoàng caáu) laø aùnh xaï f: M ->N thoûa maõn: i/ f(x +y) = f(x) + f(y) ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R khi ñoù: * Aûnh cuûa ñoàng caáu f laø taäp hôïp Imf = f(M) * Haït nhaân cuûa ñoàng caáu f laø taäp hôïp: Kerf = f-1( 0 ) = x  M / f ( x )  0 1.1.12.Ñònh nghóa Ideal nguyeân toá Moät ideal P cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal nguyeân toá neáu: P  R vaø  x, y  R, ta coù: xy  P  x  P hoaëc y  P Ñònh nghóa Ideal toái ñaïi: moät ideal m cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal toái ñaïi neáu m  R vaø vôùi moïi ideal  cuûa R thoûa maõn   R, m   thì  =m. 1.1.13. Ñònh nghóa Ideal chính Moät ideal  cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø ideal chính neáu toàn taïi a   , sao cho  = . 1.1.14.Ñònh nghóa i/ moät phaàn töû a  R ñöôïc goïi laø luõy linh neáu an = 0, vôùi soá n töï nhieân naøo ñoù. ii/ moät ideal phaûi ( traùi, hai phía )  cuûa R laø nil ideal neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu luõy linh. iii/ Moät ideal phaûi( traùi, hai phía )  cuûa R laø luõy linh neáu toàn taïi soá töï nhieân m: a1a2 …..am =0, vôùi moïi a1, ….am   . Hay: moät ideal phaûi cuûa R laø luõy linh khi vaø chæ khi  m = <0> vôùi moät soá töï nhieân m naøo ñoù.  Nhaän xeùt Trong khi moïi ideal luõy linh ñeàu laø nil ideal thì coù nhöõng nil ideal khoâng nhaát thieát luõy linh. 1.1.15. Ñònh nghóa 1/ moät phaàn töû a  R ñöôïc goïi laø töïa chính quy phaûi neáu: toàn taïi phaàn töû a’  R sao cho: a + a’ +aa’ = 0. Ta goïi a’ laø töïa nghòch ñaûo phaûi cuûa a. 2/ Ideal phaûi cuûa R laø töïa chính quy phaûi neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu töïa chính quy phaûi 1.1.16. Ñònh nghóa ideal chính quy Moät ideal phaûi  cuûa R ñöôïc goïi laø chính quy neáu toàn taïi a  R: x –ax   ,  x  R. * Phaàn töû chính quy cuûa A laø phaàn töû khoâng coù öôùc cuûa khoâng beân phaûi hay beân traùi. 1.1.17. Ñònh nghóa (nil radical cuûa vaønh R) Moät ideal m cuûa vaønh R laø nil radical neáu vaø chæ neáu: * m laø moät nil ideal * R/m khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc khoâng naøo. 1.1.18. Ñònh nghóa(Vaønh nil radical ) Vaønh R laø vaønh nil (hay luõy linh) chöùa ideal B sao cho B vaø R/B laø nil( hay luõy linh) thì R laø nil(hay luõy linh) vaø khi ñoù R cuõng ñöôïc goïi laø nil radical. 1.1.19. Ñònh nghóa taâm cuûa R Cho vaønh R, taäp hôïp:C = {c  R / cr = rc,  r  R ñöôïc goïi laø taâm cuûa vaønh R. 1.2. Ñaïi Soá Treân Vaønh Ñeå tieän cho vieäc trình baøy ñöôïc ngaén goïn, ta quy öôùc: - Vaønh A ñöôïc hieåu laø vaønh khoâng giao hoaùn, coù ñôn vò. - Vaønh K laø vaønh giao hoaùn, coù ñôn vò vaø ñöôïc duøng laøm vaønh cô sôû - I deal khoâng ñöôïc kyù hieäu laø <0> - Ideal ñöôïc hieåu laø ideal hai phía 1.2.1. Ñònh nghóa ñaïi soá A A ñöôïc goïi laø ñaïi soá treân vaønh K giao hoaùn coù ñôn vò neáu: - A laø K – moñun - A laø vaønh - vôùi moïi k  K; vôùi moïi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb) Töø ñaây neáu khoâng noùi gì theâm, ñaïi soá A ñöôïc hieåu laø ñaïi soá coù ñôn vò treân vaønh K 1.2.2. Ñònh nghóa ñaïi soá ñoái A0 Ñaïi soá ñoái cuûa ñaïi soá A laø ñai soá: * A0 = A nhö laø K- moâñun * Pheùp nhaân treân A0, kyù hieäu *, ñöôïc xaùc ñònh: vôùi moïi a, b  A0, a*b =b.a 1.2.3. Ñònh nghóa Neáu A, B laø K- ñaïi soá thì A  B cuõng laø ñaïi soá k 1.2.4. Ñònh nghóa ñaïi soá con Cho ñaïi soá A vaø B  A vôùi 1A  B. B ñöôïc goïi laø ñaïi soá con cuûa A neáu B laø K- ñaïi soá vôùi pheùp toaùn caûmsinh treân A 1.2.5. Ñònh nghóa ñoàng caáu ñaïi soá Cho A, B laø k- ñaïi soá. AÙnh xaï f: A -> B goïi laø ñoàng caáu ñaïi soá khi f vöøa laø ñoàng caáu vaønh, vöøa laø ñoàng caáu moâñun. 1.2.6. Ñònh nghóa tích tröïc tieáp ( Ai ) i  I laø hoï k – ñaïi soá. Tích tröïc teáp cuûa hoï ñaïi soá (Ai ) i  I kyù hieäu: A i iI laø tích cuûa caùc taäp Ai, treân ñoù ñöôïc trang bò moät caáu truùc ñaïi soá. 1.2.7. Tích tröïc tieáp con 1.2.7.1. Ñònh nghóa Ñaïi soá A goïi laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï ñaïi soá Ai neáu toàn taïi moät ñôn caáu  : A   A i sao cho:  i laø toaøn caáu trong ñoù:  i :  A i  A i iI iI laø toaøn caáu chieáu. 1.2.7.2. Ñònh lyù Cho ñaïi soá A laø tích tröïc tieáp con cuûa hoï ñaïi soá (Ai) i  I luùc ñoù:   i  0  iI vaø Ai  A/ i . Trong ñoù:  i = Ker  i  1.2.7.3. Ñònh lyù Cho ñaïi soá A vaø ( i ) i  I laø hoï caùc ideal trong A sao cho:   i  0  .Luùc ñoù A ñaúng caáu vôùi tích tröïc tieáp con cuûa( Ai ) i I, vôùi iI Ai  A/ i . I.2.8. Ñaïi soá nguyeân toá 1.2.8.1. Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nguyeân toá khi < 0 > laø ideal nguyeân toá 1.2.8.2. Ñònh lyù A laø ñaïi soá. Luùc ñoù caùc meänh ñeà sau laø tuông ñöông: a/ A laø ñaïi soá nguyeân toá b/ vôùi moïi a, b  A ; aAb = <0>  a =0 hoaëc b = 0. c/ linh hoùa phaûi cuûa ideal phaûi laø ideal < 0 > d/ linh hoùa traùi cuûa ideal traùi laø ideal < 0 > e / vôùi B,C laø hai ideal cuûa A vaø neáu B.C =< 0> thì B =< 0> hay C =<0> 1.2.8.3 Ñònh lyù Taâm cuûa ñaïi soá nguyeân toá laø mieàn nguyeân 1.2.9. Ñaïi soá nöûa nguyeân toá 1.2.9.1 Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø nöûa nguyeân toá khi noù khoâng chöùa ideal luõy linh naøo khaùc ideal < 0> 1.2.9.2 Ñònh lyù Cho A laø ñaïi soá. Caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông: a/ A laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá b / < 0> laø ideal luõy linh duy nhaát cuûa A c / vôùi B, C laø hai ideal khaùc <0> cuûa A vaø BC=<0> thì B  C = <0> d / A laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá 1. 2.9.3 Ñònh lyù a/ Moïi ñaïi soá nguyeân toá ñeàu laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá b/ Moïi ñaïi soá khoâng chöùa nil ideal khaùc <0> laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá I.2.9.4. Ñònh lyù A laø ñaïi soá nöûa nguyeân toá,  laø ideal toái tieåu phaûi khaùc <0>. Luùc ñoù: 2   eA , vôùi e   , e  0 , e = e. 1.2.10. Ñaïi soá nguyeân thuûy 1.2.10.1. Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nguyeân thuûy khi noù coù moâdun baát khaû quy trung thaønh 1. 2.10.2. Ñònh lyù Ñaïi soá nguyeân thuûy laø ñaïi soá nguyeân toá 1.2.11. Ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy 1.2.11.1.Ñònh nghóa Moät ñaïi soá goïi laø ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy khi noù coù moâñun hoaøn toaøn khaû quy vaø trung thaønh. 1.2.11.2. Ñònh lyù Moïi ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy khi vaø chæ khi noù laø tích tröïc tieáp cuûa caùc ñaïi soá nguyeân thuûy. 1.2.12 Ñaïi soá ñôn 1.2.12.1 Ñònh nghóa Ñaïi soá A goïi laø ñaïi soá ñôn khi A khoâng chöùa ideal con naøo khaùc <0> vaø A. 1.2.12.2. Ñònh lyù Taâm cuûa ñaïi soá ñôn laø moät tröôøng 1.2.13. Ñaïi soá Artin Ñaïi soá A goïi laø ñaïi soá Artin neáu thoûa maõn moät trong hai ñieàu kieän: a/ moãi taäp con khoâng roãng caùc ideal cuûa A ñeàu coù phaàn töû toái tieåu b/ moãi daõy giaûm caùc ideal cuûa A ñeàu döøng sau moät soá höõu haïn böôùc 1.2.14. Ñaïi soá ñòa phöông Ñaïi soá dòa phöông laø ñaïi soá coù moät ideal toái ñaïi duy nhaát 1.2.15. Ñònh nghóa Cho ñaïi soá A. khi ñoù: i/ A ñöôïc goïi laø ñaïi soá luõy linh neáu toàn taïi m: Am = <0> ii/ A ñöôïc goïi laø ñaïi soá luõy linh ñòa phöông neáu moïi taäp con höõu haïn cuûa noù ñeàu sinh ra moät ñaïi soá con luõy linh. iii/ Moät ideal cuûa A ñöôïc goïi laø luõy linh ( luõy linh ñòa phöông, nil ideal ) neáu xem laø ñaïi soá thì noù laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá). 1.3. Ñoàng Nhaát Thöùc Treân Ñaïi Soá Ñeå ñònh nghóa khaùi nieäm ñoàng nhaát thöùc ña thöùc cuûa moät ñaïi soá vaø moät PI – ñaïi soá tröôùc tieân ta xeùt ñaïi soá töï do trong moät taäp sinh ñeám ñöôïc treân vaønh giao hoùan coù ñôn vò K. Giaû söû X laø vò nhoùm töï do sinh bôûi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû x1, x2, ……. Thì K X  laø taäp sinh bôûi 1, xi1 xi2 ...xir cuûa caùc ñôn thöùc phaân bieät. = Hai ñôn thöùc baèng nhau: xi1 xi2 ...xir r  s i1  j1 ,..... x j1 x j2 ...x js  Pheùp nhaân ñöôïc ñònh nghóa sao cho 1 laø phaàn töû ñôn vò vaø ( xi1 xi2 ...xir )( x j1 x j2 ...x js ) = xi1 xi2 ...xir x j1 x j2 ...x js Xeùt K X  laø ñaïi soá vò nhoùm cuûa X treân K. K X  vöøa coù caáu truùc moâñun vöøa coù caáu truùc vaønh suy ra K X  laø ñaïi soá töï do vôùi taäp ñeám ñöôïc caùc phaàn töû sinh xi. Tính chaát cô baûn cuûa K X  laø neáu A laø ñaïi soá baát kyø treân K vaø  laø aùnh xaï töø X ñeán A thì toàn taïi duy nhaát ñoàng caáu  : K X  -> A sao cho bieåu ñoà sau giao hoaùn: i K X  <{x1,x2,…}>   A sao cho  = i Vaø neáu f  K X  , f  K x 1 ,..., x m  ñaïisoá con sinh bôûi taäp höõu haïn x 1 ,.....x m  vôùi m naøo ñoù. Ta vieát f = f( x1, …..xm ) aûnh cuûa ña thöùc naøy döôùi ñoàng caáu  : K X  -> A bieán xi thaønh ai ( 1  i   ) ñöôïc kyù hieäu: f(a1, ….,am), a i  A . 1.3.1. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc f = f( x1, …..xm) laø ñoàng nhaát cuûa A neáu f(a1, …, am) = 0, a i  A . 1.3.2 Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc söï Ña thöùc f ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï cuûa A neáu f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A vaø toàn taïi moät heä soá cuûa f khoâng linh hoùa A. * Nhaän xeùt Neáu f laø ñoàng nhaát thöùc maø trong ñoù coù heä soá laø 1 hoaëc -1 thì f laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï. 1.3.3. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh: Ñoàng nhaát thöùc f cuûa A ñöôcï goïi laø ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh neáu f  0 vaø caùc heä soá khaùc 0 cuûa noù ñeàu laø caùc phaàn töû khaû nghòch cuûa K. 1.3.4 Ñònh nghóa PI-ñaïi soá Moät ñaïi soá A treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K ñöôïc goïi laø PI –ñaïi soá hay ñaïi soá vôùi ñoàng nhaát thöùc ña thöùc neáu toàn taïi moät ña thöùc f (a1, …, am )  K X  laø ñoàng nhaát thöùc thöïc söï ñoái vôùi moïi aûnh ñoàng caáu khaùc <0> cuûa A. 1.3.5. Ñònh nghóa ñoàng nhaát thöùc chuaån Trong K x1 ,..., x n  ñoàng nhaát thöùc chuaån n bieán laø: f( x1, ……,xn)= Sn( x1, …, xn) =  (1)Sg .x (1) .....x ( n ) Sym ( n ) * Chuù yù: Toång naøy coù n! ñôn thöùc. Sym(n) laø nhoùm ñoái xöùng baäc n ( Sym(n ) = n!);  chaïy khaép trong Sym(n); (-1)Sg  baèng 1 hoaëc -1 tuøy thuoäc vaøo  laø pheùp theá chaün hay leû. 1.3.6. Ñònh nghóa toaùn töû sai phaân Cho f = f( x1, …..,xm )  K X  . Khi ñoù toaùn töû sai phaân  j f trong K X  xaùc ñònh bôûi  j f ( x1, …..,xm) = f(x1,..,xi-1, xi+xj, xi+1,..xm) – i i f(x1,..,xi-1, xi,xi+1,..,xm) – f(x1,..,xi-1, xj, xi+1,..,xm) vôùi 1  i  m 1.3.7. Ñònh nghóa ña thöùc taâm Moät ña thöùc f( x1, …..,xm) ñöôïc goïi laø ña thöùc taâm cuûa ñaïi soá A neáu f( x1, …..,xm ) khoâng laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A Vaø [ f( x1, …..xm), xm+1] laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A. 1.3.8. Ñònh lyù Kaplansy –Amitsur Neáu A laø ñaïi soá nguyeân thuûy thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï baäc d 2 d  thì taâm C cuûa A laø tröôøng, A ñôn vaø [ A:C]    . 2 1.3.9. Ñònh lyù Amitsur – Levitzky Ña thöùc chuaån S2n laø ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn(K). 1.3.10. Ñònh lyù Kaplansky- Amitsur – Levitzky A laø ñaïi soá nguyeân thuûy. Khi ñoù A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thöïc söï khi vaø chæ khi A laø ñaïi soá ñôn vaø höõu haïn chieàu treân taâm C cuûa noù. Neáu d laø baäc nhoû nhaát cuûa ñoàng nhaát thöùc thöï söï cuûa A thì d = 2n laø soá chaün vaø [A:C ]= n2 ñoàng thôøi A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chuaån Sd. Chöông 2. XAÂY DÖÏNG CAÙC LOAÏI RADICAL Trong chöông naøy, chuùng toâi seõ ñi vaøo trình baøy veà vieäc xaây döïng caùc loaïi Radical treân: Vaønh giao hoaùn coù ñôn vò, vaønh khoâng giao hoaùn (khoâng nhaát thieát coù ñôn vò) vaø ñoàng thôøi cuõng laø treân ñaïi soá A . ÔÛ ñaây, khi noùi ñeán ñaïi soá A treân vaønh K giao hoaùn coù ñôn vò ta coù theå goïi taét laø ñaïi soá A ñeå tieän cho vieäc trình baøy. Maët khaùc, khi noùi ñeán Radical treân vaønh khoâng giao hoaùn hay moät ñaïi soá naøo ñoù thì ta cuõng coù theå hieåu laø Radical cuûa ñaïi soá treân vaønh cô sôû cuûa noù. 2.1. Radical Jacobson & Nil Radical (Treân vaønh Giao Hoaùn Coù Ñôn Vò) 2.1.1. Ñònh nghóa nil radical Nil radical cuûa vaønh R (R laø vaønh giao hoaùn coù ñôn vò) laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû luõy linh trong R, kyù hieäu: Nil(R) 2.1.2. Boå ñeà Neáu R laø vaønh giao hoaùn vaø N laø giao cuûa taát caû caùc ideal nguyeân toá Thì N laø Nil radical cuûa R. Chöùng minh: Ñaët N =  p,  p laø ideal nguyeân toá cuûa R. Goïi L laø Nil radical cuûa R. Ta caàn chöùng minh L = N. * Tröôùc tieân ta chöùng minh: L  N. Laáy f  L  f luõy linh   n  N*: fn =0 n-1  p (p laø ideal nguyeân toá tuøy yù cuûa R)  f.f + TH 1: neáu f  p thì L  N n-1  p  f  p hay f  p. + TH2: neáu fn-1  p thì f.fn-2  p,.., cöù tieáp tuïc nhö theá sau n-1 böôùc ta luoân coù: f  p,  p laø ideal nguyeân toá tuøy yù cuûa R hay f  N. Vaäy L  N (1) * Tieáp theo ta chöùng minh: N  L. Laáy f  N, ta caàn chöùng minh f luõy linh. Baèng phaûn chöùng giaû söû fn  0,  n  N*. Goïi tính chaát:  n > 0, fn   . Theá thì     laø taäp hôïp caùc ideal  coù Vì <0>   , vôùi quan heä bao haøm thoûa maõn Boå ñeà Zorn vì 1   2  ...   Ta ñaët  =  i thì  iI laø ideal cuûa R. Ta coù fn   ,  n  N* ( do fn   j ,  j ). Vaäy    vaø  laø caän treân cuûa 1   2  ... . Khi ñoù, theo Boå ñeà Zorn trong  coù phaàn töû lôùn nhaát q. Ta caàn chöùng minh q laø ideal nguyeân toá. Thaät vaäy, neáu x,y  q thì caùc ideal q+ , q+ thöïc söï chöùa q, do ñoù q+ , q+ h   suy ra:  h, k sao cho: f  q+ < x >, fk  q+ < y >  fh+k  q+< xy >  q+< xy >    xy  q. Vaäy toàn taïi ideal nguyeân toá q maø f  q  f  N (!) maâu thuaãn  f  L  N  L (2). Töø (1) vaø (2) suy ra L = N hay N laø Nil radical cuûa R. 2.1.3. Boå ñeà Giaû söû R laøvaønh giao hoaùn coù ñôn vòù. f = a0 +a1t + ……………+antn laø ña thöùc khaû nghòch trong R[t] thì a0, khaû nghòch trong R vaø a1, a2, …,an luõy linh trong R. Chöùng minh *Vì f khaû nghòch trong R[t]   g = b0 + b1t + …..bmtm  R[t] sao cho f.g = 1 a 0 b 0  1  a0b0 + c1t + ……+ckt = 1  c  0 , c  a i b j  a0 khaû nghòch trong R  k k  i  j k k * Ta caàn chöùng minh: a1, a2, …, an luõy linh trong R. laáy p laø ideal nguyeân toá baát kyø cuûa R, goïi p[t] laø taäp hôïp caùc ña thöùc heä soá trong p khi ñoù p[t] laø ideal cuûa vaønh R[t] vaø R[t]/ p[t]  R/ p[t] vì  : R[t]  R/ p[t] Sao cho: f = a0 +a1t + ……………+antn  f  a 0  a 1 t  ....  a n t n Khi ñoù:  laø toøan caáu vaø ker  =p[t] neân theo ñònh lyù Nô te ta coù: R[t]/ p[t]  R/ p[t]. Nhöng R/p laø mieàn nguyeân (vì p laø nguyeân toá ) neân caùc phaàn töû khaû nghòch duy nhaát cuûa vaønh ña thöùc laø ña thöùc baäc 0 vaø khaû nghòch trong R/p. Do vaäy, neáu f = a0 +a1t + ……………+antn khaû nghòch trong R[t]  aûnh cuûa noù qua ñoàng caáu  laø nhöõng phaàn töû khaû nghòch.  ai  0 ; i  1, n  ai  p,  p laø ideal cuûa vaønh R  ai   p (  p ideal cuûa vaønh R) maø N =  p (  p ideal cuûa vaønh R) = Nil(R). Suy ra ai luõy linh. 2.1.4. Ñònh nghóa Radical Jacobson(treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò) Radical Jacobson cuûa vaønh A (A laø vaønh giao hoùan coù ñôn vò) laø giao cuûa taát caû caùc ideal toái ñaïi cuûa A. kyù hieäu laø J(A).  Nhaän xeùt: i/ Töø ñònh nghóa veà Radical Jacobson vaø Nil radical cuûa vaønh giao hoaùn coù ñôn vò A thì ta luoân coù: Nil(A)  J(A). ii/ Treân vaønh giao hoaùn coù ñôn vò A, trong khi moïi ideal luõy linh ñeàu laø nil ideal thì coù nhöõng nil ideal khoâng nhaát thieát luõy linh.Thaät vaäy: