Tài liệu Về phân tích phổ của hệ động lực tô pô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính giãn đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tính bóng của đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 10 16 2 Phân tích phổ của hệ động lực tôpô 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tập ổn định và không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . Phân tích phổ của hệ động lực tô-pô . . . . . . . . . . . 23 29 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Huy Tiễn. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành và tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ môn Toán giải tích, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập và nghiên cứu. Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên và giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập. Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019. Học viên Nguyễn Hoàng Việt 1 Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu được biết đến bởi Issac-Newton, người mà đã mô tả các quy luật chuyển động và phát hiện ra lực hấp dẫn. Trong lý thuyết của Newton, các chuyển động trong một hệ động lực được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân. Sau đó, cuối thế kỷ 19, Poincaré đã phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân. Poincaré nghiên cứu tính chất nghiệm thay vì tìm được công thức giải tích của nghiệm. Nhiều năm sau đó, các nhà khoa học đã phát triển các lý thuyết nghiên cứu định tính hệ động lực trong cơ sở lý thuyết tôpô. Trong đó, việc nghiên cứu đồng phôi giãn và bóng là một chủ đề lớn trong những năm qua. Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân. Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước. Tính bóng được nghiên cứu đầu tiên bởi Anosov, Bowen, Sinai, các tác giả này đã cho rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực. Các tác giả này đều tiếp cận tính bóng bằng các phương pháp hình học. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề “Về phân tích phổ của hệ động lực tô-pô ”. Trong đó, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về đồng phôi không giãn và bóng có phân tích phổ. Nội dung luận văn được chia làm 2 chương. Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức đồng phôi giãn của một không gian mêtric tôpô và các tính chất liên quan, tính bóng của đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô. 1 • Chương 2: Phân tích phổ của hệ động lực tôpô. Các nội dung quan trọng và chứng minh chi tiết về phân tích phổ theo Smale và Bowen sẽ được trình bày. Tài liệu chính được tham khảo khảo trong khi hoàn thành luận văn này là [2]. Ngoài ra, chúng tôi cũng tham khảo các tài liệu [1], [7]. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ động lực, ánh xạ liên tục và các tính chất của hệ Anosov và ánh xạ Anosov tôpô. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày một số vấn đề về đồng phôi giãn và tính chất giả quỹ đạo. Các tài liệu chính được tham khảo cho kiến thức ở chương này là [2]. 1.1 Tính giãn đồng phôi Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, tính chất của một đồng phôi giãn. Từ đó dẫn đến tính chất của ánh xạ giãn dương, ánh xạ c-giãn trên một không gian mêtric compact. Trong phần này, ta luôn giả thiết không gian pha của một hệ động lực là một đa tạp khả vi. Định nghĩa 1.1.1. Toàn ánh liên tục f : M → N của một không gian mêtric được gọi là một đồng phôi nếu nó là một đơn ánh và ánh xạ ngược f −1 : N → M cũng liên tục. Không gian mêtric M được gọi là một đa tạp tôpô n-chiều nếu tồn tại tập con mở Ui ⊂ M và đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 mỗi tập Ui thành một tập con mở của không gian Rn , sao cho {Ui } phủ M . Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian mêtric với mêtric d. Đồng phôi f : X → X được gọi là đồng phôi giãn nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho 3 với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n là số nguyên. Hằng số e ở đây được gọi là hằng số giãn của f . Hơn nữa, tính chất này phụ thuộc vào cách chọn mêtric đối với X khi X là compact. Ta đưa ra khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Điều kiện này yếu hơn điều kiện giãn, tức là với mỗi x ∈ X , tồn tại δ > 0 và lân cận U của x mà tồn tại y ∈ U và n ∈ Z sao cho d(f n (x), f n (y)) > δ . Từ khái niệm này ra suy ra X không có điểm cô lập. Tiếp theo, ta đưa ra tính chất truyền ứng tôpô của một đồng phôi. Đồng phôi f : X → X có tính truyền ứng tôpô nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật trong X . Với khái niệm này, ta có một số kết quả sau đây. Định lý 1.1.3. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Khi đó, (a) Đồng phôi f có tính chất truyền ứng tôpô khi và chỉ khi với các tập mở khác rỗng U, V , tồn tại số nguyên n ∈ Z sao cho f n (U ) ∩ V 6= ∅. (b) Nếu giả thiết thêm X là tập vô hạn, đồng phôi f có tính chất truyền ứng tôpô và P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật trong X thì f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Chú ý rằng, với f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact như ở trên và ký hiệu cl(E) là bao đóng của tập con E nào đó. Khi đó, một phủ mở hữu hạn α của X là phần tử sinh (phần tử sinh yếu) T −n đối với f nếu với mọi dãy kép {An } của α: giao vô hạn ∞ (cl(An )) n=−∞ f tại nhiều nhất một điểm. Nếu α, β là các phủ mở của X thì hợp của chúng là α ∨ β được xác định bởi α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β}. 4 Ta nói rằng β là mịn hơn α nếu mọi phần tử của β đều là tập con của phần tử nào đó thuộc α và khi đó ta ký hiệu là α ≤ β . Rõ ràng α ≤ α ∨ β và β ≤ α ∨ β . Hơn nữa, nếu f : X → X là toàn ánh liên tục thì f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} là một phủ mở của X . Ta cũng có thể thấy rằng nếu f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) và f −1 (α) ≤ f −1 (β) nếu α ≤ β . Định lý 1.1.4. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (1) f là giãn, (2) f có một phần tử sinh, (3) f có một phần tử sinh yếu. Chứng minh. Rõ ràng (2) ⇒ (3) là hiển nhiên. Trước khi đi vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại rằng với X là một không gian mêtric compact và α là một phủ mở hữu hạn của X . Nếu với bất kỳ tập con A ⊂ B ∈ α luôn thỏa mãn diam (A) < δ thì δ được gọi là số Lebesgue của α. Ta sẽ chứng minh (3) ⇒ (2). Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , . . . , B2 } là các phần tử sinh yếu của f và δ > 0 là số Lebesgue của β . Ký hiệu α là một phủ mở hữu hạn chứa các tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ . Nếu {Ain } là một dãy đôi trong α thì với mọi n, tồn tại jn sao cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ [ \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f −n (Bjn ). n=−∞ n=−∞ Do đó, α là phần tử sinh. (1) ⇒ (2): Cho δ > 0 là hằng số giãn của f và α là một phủ hữu hạn chứa các hình cầu mở bán kính δ/2. Giả thiết rằng x, y ∈ T∞ −n (cl(An )), với An ∈ α. Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với mọi n=−∞ f n nên theo giả thiết suy ra x = y . (3) ⇒ (1): Giả sử α là phần tử sinh yếu và δ > 0 là số Lebesgue của α. Khi đó, nếu f (f n (x), f n (y)) < δ với mọi số nguyên n thì An ∈ α, 5 T −n n ∈ Z sao cho f n (x), f n (y) ∈ An và x, y ∈ ∞ (An ), mà giao vô n=−∞ f hạn này tại nhiều nhất một điểm. Suy ra f là giãn. Vậy định lý được chứng minh. Định lý 1.1.5. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact và k là số nguyên khác 0. Khi đó, f là đồng phôi giãn khi và chỉ khi f k là giãn. Chứng minh. Ta chú ý từ khẳng định nếu α là phần tử sinh đối với f thì |k|−1 _ f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), i=0 cũng là phần tử sinh đối với f k . Ngược lại nếu α là phần tử sinh đối với f k thì α cũng là phần tử sinh đối với f . Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.1.6. (a) Nếu f : X → X là đồng phôi giãn và Y là tập con đóng của X với f (Y ) = Y , khi đó f|Y : Y → Y là đồng phôi giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, là ánh xạ giãn thì đồng phôi f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 là đồng phôi giãn. Hơn nữa, mọi tích trực tiếp hữu hạn của các đồng phôi giãn là giãn, (c) Nếu X compact và f : X → X là đồng phôi giãn thì h◦f ◦h−1 : Y → Y là đồng phôi giãn, trong đó, h : X → Y là một đồng phôi. Trong phần tiếp theo của mục này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm về đồng phôi giãn dương và c-giãn cùng một số tính chất. Định nghĩa 1.1.7. Cho X là không gian mêtric. Đồng phôi f : X → X là giãn dương nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho nếu x 6= y thì 6 d(f n (x), f n (y)) > e với số nguyên n không âm (hằng số e ở đây được gọi là hằng số giãn của f ). Mệnh đề 1.1.8. Giả sử X là compact và k là số nguyên dương. Khi đó, f là giãn dương khi và chỉ khi f k cũng là giãn dương. Chứng minh. Giả sử f : X → X là giãn dương và e > 0 là hằng số giãn. Vì f liên tục đều nên tồn tại δ > 0 sao cho với 1 ≤ i ≤ k : d(x, y) < δ thì d(f i (x), f i (y)) < e. Từ đây suy ra δ là hằng số giãn của f k . Chiều ngược lại của mệnh đề chứng minh hoàn toàn tương tự. Định lý 1.1.9. (a) Nếu f : X → X là ánh xạ giãn dương và Y là tập con đóng của X với f (Y ) = Y thì f|Y : Y → Y là ánh xạ giãn dương, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, là ánh xạ giãn dương thì toàn ánh liên tục f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 là ánh xạ giãn dương. Hơn nữa, mọi tích trực tiếp hữu hạn của các ánh xạ giãn dương là giãn dương, (c) Nếu X compact và f : X → X là ánh xạ giãn dương thì h ◦ f ◦ h−1 : Y → Y là ánh xạ giãn dương, trong đó, h : X → Y là một đồng phôi. Ví dụ 1.1. Ta xét ánh xạ giãn dương nhưng không mở sau đây. Xét tập con X trong mặt phẳng được xác định như sau       1  3 X = {z : |z = 1|} ∪ z : z −  = ∪ z 2 2   : z +   3  1 = . 2 2 Xét X với mêtric độ dài cung. Khi đó, ánh xạ f được mô tả như sau 
3  2 z − nếu Re(z) ≥ 1,  2  
 3   nếu Re(z) ≤ −1,  2 z + 2 6 f (z) = z2 − 32 nếu 21 ≤ Re(z) ≤ 1,     z3 nếu − 12 ≤ Re(z) ≤ 12 ,      z6 3 − 2 + 2 nếu − 1 ≤ Re(z) ≤ − 12 . 7 1 −2 0 2 −1 Nói một cách khác, ánh xạ f xác định bằng cách: giãn mỗi đường tròn nhỏ thành đường tròn lớn, căng mỗi nửa trên và nửa dưới của nửa đầu tiên của đường tròn lớn thành thành đường tròn nhỏ thứ nhất, còn nửa trên và nửa dưới của nửa đường tròn lớn còn lại thành đường tròn nhỏ còn lại. Ta có thể kiểm tra được rằng f là ánh xạ giãn dương nhưng không mở. Ta ký hiệu X Z = {(xi ) : xi ∈ X, i ∈ Z} và X f là tập con đóng của XZ X f = {(xi ) : xi ∈ X : f (xi ) = xi+1 , i ∈ Z}, trong đó, f là toàn ánh liên tục. Nói cách khác, X f là tập các quỹ đạo của f . Định nghĩa 1.1.10. Đồng phôi f : X → X là c-giãn nếu tồn tại hằng số e > 0 (hằng số giãn) sao cho với (xi ), (yi ) ∈ X f nếu d(xi , yi ) ≤ e thì (xi ) = (yi ), với i ∈ Z. Giống như đồng phôi giãn, ta cũng có tính chất sau đối với đồng phôi c-giãn. Định lý 1.1.11. Cho k là số nguyên dương. Khi đó, f : X → X là đồng phôi c-giãn khi và chỉ khi f k cũng là đồng phôi c-giãn. Chứng minh. Ta nhắc lại rằng f là ánh xạ liên tục đều. Ký hiệu e > 0 là hằng số giãn của f . Khi đó, với d(x, y) < δ thì d(f i (x), f i (y)) < e với 8 δ > 0 và 1 ≤ i ≤ k . Suy ra δ là hằng số giãn đối với f k . Thật vậy, với (xi ), (yi ) ∈ X f , giả sử rằng d(xki , yki ) < δ với i ∈ Z. Khi đó, ta có, d(xi , yi ) < e, i ∈ Z. Từ tính giãn, ta suy ra xi = yi với i ∈ Z. Từ đây suy ra xki = yki với i ∈ Z. Vậy δ là hằng số giãn của f k . Chiều ngược lại chứng minh tương tự. Trước khi trình bày định lý tiếp theo, ta định nghĩa ánh xạ dịch chuyển như sau. Đồng phôi σ : X Z → X Z được gọi là ánh xạ dịch chuyển, xác định bởi σ((xi )) = (yi ), yi = xi+1 , i ∈ Z. Định lý 1.1.12. Cho X là một không gian mêtric compact. Khi đó, đồng phôi f : X → X là c-giãn khi và chỉ khi σ : X f → X f là đồng phôi giãn. Chứng minh. Nếu (xi ) 6= (yi ), khi đó từ tính giãn suy ra tồn tại k ∈ Z sao cho d(xk , yk ) > e. Khi đó, ˜ k ((xi )), σ k ((yi ))) ≥ d(xk , yk ) > e, d(σ ∞ ˜ i ), (yi )) = P d(xi , yi ) . Do đó, σ là ánh xạ giãn. trong đó d((x 2|i| i=−∞ Ngược lại, cho e > 0 là hằng số giãn của σ và d(xi , yi ) < với (xi ), (yi ) ∈ X f . Khi đó, ta có e ,i∈Z 4 ˜ n ((xi )), σ n ((yi ))) ≤ e d(σ với n ∈ Z nên từ tính giãn của σ suy ra (xi ) = (yi ). Suy ra giãn của ánh xạ f : X → X . e là hằng số 4 Giống như đồng phôi giãn dương, ta cũng có tính chất tương tự đối với đồng phôi c-giãn. Định lý 1.1.13. 9 (a) Nếu f : X → X là ánh xạ c-giãn và Y là tập con đóng của X với f (Y ) = Y thì f|Y : Y → Y là ánh xạ c-giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, là ánh xạ c-giãn thì toàn ánh liên tục f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 được định nghĩa như sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 là ánh xạ c-giãn. Hơn nữa, mọi tích trực tiếp hữu hạn của các đồng phôi c-giãn là c-giãn, (c) Nếu X compact và f : X → X là ánh xạ c-giãn thì h◦f ◦h−1 : Y → Y là ánh xạ c-giãn, trong đó, h : X → Y là một đồng phôi. Chứng minh các tính chất này tương tự như ánh xạ giãn dương. 1.2 Tính bóng của đồng phôi Mục này sẽ trình bày tính chất giả quỹ đạo và một số tính chất quan trọng liên quan. Một dãy điểm {xi : a < i < b} của không gian mêtric X được gọi là một δ -giả quỹ đạo của f nếu d(f (xi ), xi+1 ) < δ với i ∈ (a, b − 1). Với ε > 0 cho trước, một δ -giả quỹ đạo {xi } được gọi là ε-bóng của x ∈ X nếu d(f i (x), xi ) < ε với mọi i ∈ (a, b). Ở đây, các giá trị a, b được lấy sao cho −∞ ≤ a < b ≤ +∞ nếu f là song ánh và 0 ≤ a < b ≤ +∞ nếu f không là song ánh. Ta nói rằng f có tính bóng (POPT 1 ) nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi δ -giả quỹ đạo của f có thể là ε-bóng theo điểm nào đó thuộc X . Trong không gian mêtric compact, tính chất này độc lập với mêtric tương thích được sử dụng Ta chú ý rằng, trong trường hợp X là compact, đồng phôi f : X → X có tính chất giả quỹ đạo nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi δ -giả quỹ đạo (một phía) {xi : i ≥ 0} của f có thể là ε-bóng theo một điểm nào đó thuộc X . Thật vậy, cho {xi , i ∈ Z} là giả δ -quỹ đạo của f . Với mỗi n ≥ 0 xác định một δ -giả quỹ đạo {zin : i ≥ 0} bởi zin = xi−n với 1 pseudo orbit tracing property 10 mọi i ≥ 0 và cho z n là điểm bóng đối với {zib : i ≥ 0}. Khi đó, ta có thể kiểm tra điểm tụ của {f n (z n )} là điểm bóng của {xi : i ∈ Z}. Nói chung, Id không có tính bóng. Trừ khi X khá xấu (như tập Cantor) thì Id mới có tính bóng. Định lý 1.2.1. Cho X là không gian mêtric compact và ký hiệu id là ánh xạ đồng nhất của X . Khi đó, id : X → X có tính bóng khi và chỉ khi X hoàn toàn không liên thông. Chứng minh. Giả sử X hoàn toàn không liên thông. Khi đó, với ε > 0, tồn tại một phủ mở hữu hạn {U0 , U1 , . . . , Un } của X sao cho Ui ∩ Uj = ∅ với i khác k và diam (Ui ) < ε với mọi i. Bằng cách chọn 0 < δ < min{d(Ui , Uj ) : i 6= j} và cố định một giả δ -quỹ đạo {xi : k ∈ Z} của id, khi đó tồn tại Ui sao cho {xk } ⊂ Ui . Do đó, ta có thể tìm được một điểm ε-bóng trong Ui của {xk }. Như vậy, id : X → X có tính bóng. Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả thiết rằng dim(X) 6= 0. Khi đó, tồn tại một tập con đóng, liên thông F sao cho diam (F ) > 0. Vì F compact nên diam F ) = d(x0 , y0 ) = ε0 với x0 , y0 nào đó trong F . Lấy ε1 = ε0 /3. Vì F liên thông nên với mọi δ > 0, ta có thể xây dựng một δ -giả quỹ đạo từ x0 đến y0 trong F mà không là ε1 -bóng trong X . Điều này dẫn đến mâu thuẫn nên X hoàn toàn không liên thông. Định lý 1.2.2. Cho f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact và k > 0 là số nguyên. Khi đó, f có tính bóng khi và chỉ khi f k cũng có tính bóng. Chứng minh. Trước khi đi vào chứng minh, ta đưa ra 3 chú ý như sau: (1) Cho ε > 0. Khi đó, tồn tại ε > ε1 > 0 sao cho mỗi ε1 -giả quỹ đạo hữu hạn {xi : 0 ≤ i ≤ k} thỏa mãn ε d(f i (x0 ), xi ) < , 0 ≤ i ≤ k, 2 và d(x, y) < ε1 suy ra ε max{d(f i (x), f i (y)) : 0 ≤ i ≤ k} ≤ . 2 11 (2) Cho ε1 như trong (1). Khi đó, tồn tại δ1 > 0 sao cho với mỗi δ1 -giả quỹ đạo của f k là ε1 -bóng theo một điểm nào đó. (3) Cho ε1 và δ1 như trong (1) và (2). Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho mỗi δ -giả quỹ đạo hữu hạn {zi : 0 ≤ i ≤ k} là δ1 -bóng theo z0 ∈ X . Với các tính chất này, ta sẽ chứng minh mỗi δ -giả quỹ đạo {yi : i ≥ 0} của f là ε-bóng theo một điểm nào đó. Ta ký hiệu như sau xi = yki , i ≥ 0. Với i cố định thì {yki+j : 0 ≤ j ≤ k} là một δ -giả quỹ đạo hữu hạn đối với f . Từ (3), ta suy ra d(f j (yki ), yki+j ) < δ1 , 0 ≤ j ≤ k. Nếu j = k thì ta có d(f k (yki ), yki+k ) = d(f k (xi ), xi+1 ) nên {xi } là một δ1 giả quỹ đạo của f k . Từ (2) ta suy ra tồn tại y ∈ X sao cho d(f ki (y), xi ) < ε1 với i ≥ 0. Do đó, d(f ki (y), yki ) < ε1 với i ≥ 0. Mặt khác, vì {yki+j : 0 ≤ j ≤ k} là ε1 -giả quỹ đạo nên theo (1) ta có ε d(f j (yki ), yki+j ) < , 0 ≤ j ≤ k, 2 và từ d(f ki (y), yki ) < ε1 nên ta cũng có ε d(f ki+j (y), f j (yki )) < , 0 ≤ j ≤ k. 2 Do đó, ta có d(f ki+j (y), yki+j ) < ε, 0 ≤ j ≤ k. Vì i là bất kỳ nên ta suy ra d(f n (y), yn ) < ε với n ≥ 0 nên y là ε-bóng của giả quỹ đạo {yi }. Định lý 1.2.3. Cho X là không gian mêtric compact. Nếu f : X → X là đồng phôi có tính bóng thì f −1 cũng có tính bóng. Chứng minh. Với mỗi ε > 0, ta ký hiệu δ > 0 sao cho mỗi δ -giả quỹ đạo {xi } là ε-bóng theo một điểm y ∈ X . Nếu ta chọn δ 0 > 0 sao cho với 12 d(x, y) < δ 0 thì ta có d(f (x), f (y)) < δ . Đặt g = f −1 thì ta thấy rằng d(g(f (x)), g(f (y))) = d(x, y) < δ 0 . Điều này có nghĩa là mỗi δ 0 -giả quỹ đạo {yi } của g = f −1 là ε-bóng theo một điểm nào đó. Với i ∈ Z, từ d(g(yi ), yi+1 ) < δ 0 nên ta có d(yi , f (yi+1 )) < δ, ∀i ∈ Z. Bằng cách cho xi = y−i với i ∈ Z thì {xi } là δ -giả quỹ đạo của f và do đó tồn tại y ∈ X thỏa mãn d(f i (y), xi ) < ε, i ∈ Z. Tức là d(f −i (y), x−i ) < ε với i ∈ Z. Do đó, d(g i (y), yi ) < ε với i ∈ Z. Tức là g = f −1 cũng có tính bóng. Định lý 1.2.4. Cho X và Y là các không gian mêtric và X × Y là không gian tôpô mêtric với mêtric d((x, y), (x0 , y 0 )) = max{d1 (x, x0 ), d2 (y, y 0 )}, trong đó, d1 và d2 lần lượt là các mêtric trên X và Y . Giả sử f : X → X và g : Y → Y là các ánh xạ liên tục và ánh xạ f × g được xác định như sau (f × g)(x, y) = (f (x), g(y)), (x, y) ∈ X × Y. Khi đó, f × g có tính bóng khi và chỉ khi cả f và g có tính bóng. Chứng minh. Giả sử f × g có tính bóng. Khi đó, với mọi ε > 0, gọi {xi } và {yi } lần lượt là các δ -giả quỹ đạo của f và g tương ứng. Từ đây suy ra {(xi , yi )} là δ -giả quỹ đạo của f × g . Như vậy, tồn tại (x, y) ∈ X × Y với d((f × g)i (x, y), (xi , yi )) < ε, với i ≥ 0. Khi đó, d1 (f i (x), xi ) < ε và d( g i (y), yi )) < ε với i ≥ 0. Điều này có nghĩa là f và g cũng có tính bóng. Chiều ngược lại chứng minh tương tự. Định lý 1.2.5. Giả sử f : X → X là đồng phôi của không gian mêtric compact X và h : X → Y là một đồng phôi. Khi đó, g = h ◦ f ◦ h−1 có tính bóng khi và chỉ khi f cũng có tính chất này. 13 Chứng minh. Với mọi ε > 0, tồn tại ε1 > 0 sao cho d(x, y) < ε1 thì d0 (h(x), h(y)) < ε với d0 là mêtric trên không gian Y . Giả sử f có tính bóng, khi đó tồn tại δ1 > 0 sao cho mỗi δ1 -giả quỹ đạo {xi } của f là ε1 -bóng bởi một điểm nào đó. Với δ > 0 là số sao cho d0 (x, y) < δ thì d(h−1 (x), h−1 (y)) < δ1 . Điều này có nghĩa là mỗi δ -giả quỹ đạo {yi } của g là ε-bóng theo một điểm nào đó. Bằng cách cho xi = h−1 (yi ) với i ≥ 0. Từ giả thiết d0 (g(yi ), yi+1 ) < δ với i ≥ 0, ta suy ra d(f (xi ), xi+1 ) = d(h−1 ◦ g(yi ), h−1 (yi+1 )) < δ1 , i ≥ 0. Do đó, {xi } là δ1 -giả quỹ đạo của f nên d(f i (y), xi ) < ε1 với i ≥ 0 và y nào đó thuộc X . Suy ra d0 (h ◦ f i (y), h(xi )) = d0 (g i ◦ h(y), yi ) < ε, i ≥ 0. Ta có định lý sau đây. Định lý 1.2.6. Giả sử X là không gian mêtric compact. Đồng phôi f : X → X có tính bóng khi và chỉ khi với mọi ε > 0, δ > 0 sao cho với (xi ) ∈ X Z với d(xi , xi+1 ) < δ , i ∈ Z, tồn tại (yi ) ∈ X f sao cho d(yi , xi ) < ε với i ∈ Z. Từ Định lý 1.2.6, ta có thể đưa ra định nghĩa δ -giả quỹ đạo và điểm ε-bóng của một đồng phôi như sau. Nếu (xi ) ∈ X Z có tính chất d(f (xi ), xi+1 ) < δ , i ∈ Z thì (xi ) được gọi là δ -giả quỹ đạo của f . Nếu (yi ) ∈ X f thỏa mãn d(yi , xi ) < ε, i ∈ Z thì (yi ) được gọi là điểm ε-bóng của (xi ). Mệnh đề 1.2.7. Cho X là không gian mêtric compact. Khi đó, nếu đồng phôi f : X → X có tính bóng thì σ : X f → X f tuần theo tính bóng. Ánh xạ σ trong mệnh đề trên là ánh xạ dịch chuyển, đã được nhắc đến trong Mục 1.1. 14 Mệnh đề 1.2.8. Giả sử σ : X f → X f có tính bóng và f : X → X là một đồng phôi địa phương. Khi đó, f có tính bóng. Chứng minh. Giả sử σ có tính bóng. Với ε > 0, giả sử δ là số sao cho mọi δ -giả quỹ đạo của σ là ε-bóng theo một điểm nào đó trong X f . Ký hiệu α α = diam (X) và chọn N đủ lớn sao cho 0 < N −2 < δ . Khi đó, ta có 2 thể chọn γ > 0 sao cho nếu d(x, y) ≤ γ thì tồn tại {xi : |i| ≤ N } và {yi : |i| ≤ N } sao cho x0 = x, f (xi ) = xi+1 và y0 = y, f (yi ) = yi+1 , δ với |i| ≤ N . Giả sử {zi : 0 ≤ i < ∞} là γ -giả quỹ đạo của 8 f . Với i ≥ 0, ta có thể thấy tồn tại (zni ) ∈ X f sao cho z0i = zi và {(zni )} là ˜ i (xn ), (z i )) ≤ ε, δ -giả quỹ đạo của σ . Do đó, tồn tại (xn ) ∈ X f sao cho d(σ n 0 ≤ i < ∞. Suy ra và d(xi , yi ) < ˜ i (xn ), (z i )) ≥ d(f i (x0 ), z i ) = d(f i (x0 ), zi ). ε ≥ d(σ n 0 Mệnh đề 1.2.9. Cho X là không gian mêtric compact. Ánh xạ giãn dương f : X → X có tính bóng khi và chỉ khi f là ánh xạ mở. Chứng minh. Giả sử f là ánh xạ mở. Khi đó, f là một đồng phôi địa phương của X và X có mêtric hyperbolic. Từ đây suy ra f là đồng phôi giãn có tính giãn dương. Theo Định lý 1.3.1 thì đồng phôi f có tính bóng. Chiều ngược lại, ta giả sử f có tính bóng. Ký hiệu U là một tập mở của X và với x ∈ U , chọn ε > 0 sao cho lân cận-ε Uε nằm trong U . Như vậy, tồn tại 0 < δ ≤ e sao cho mọi δ -giả quỹ đạo của f là εbóng, trong đó, e là hằng số giãn của f . Nếu z ∈ Uδ (f (x)), khi đó dãy {x, z, f (z), f 2 (z), . . . , f i (z), . . . } là δ -giả quỹ đạo của f và cũng là ε-bóng theo điểm y nào đó thuộc X . Khi đó, d(f i (f (y)), f i (z)) < δ ≤ e, ∀i ≥ 0, từ đây suy ra f (y) = z . Vì y ∈ Uε (x) nên ta có f (Uε (x)) ⊃ Uδ (f (x)). Do đó, f (U ) là mở trong X . Ta kết thúc chứng minh. 15 Ví dụ 1.2. Ta xét họ các ánh xạ {fs : s ∈ [0, 1]} gồm các ánh xạ f : [0, 1] → [0, 1] được xác định như sau  sx nếu 0 ≤ x ≤ 1 fs (x) = s(2 − x) nếu 1 ≤ x ≤ 2 có các tính chất sau đây. (1) fs có tính chất giả quỹ đạo với hầu hết các tham số, ngoại trừ các phần có độ đo Lebesgue 0 của đoạn [0, 1]. (2) Tập các tham số mà fs không có tính chất giả quỹ đạo là tập không đếm được địa phương. Đây là một kết quả trong [5]. Một tập được gọi là không đếm được địa phương nếu giao của nó với bất kỳ tập mở nào là không đếm được. Ta √ ký hiệu ϕn , n ≥ 1 là họ các hàm xác định trên [ 2, 2], trong đó ϕn (s) = √ fsn (1). Một điểm s ∈ [ 2, 2] được gọi là điểm tuần hoàn với chu kỳ n nếu fsn (1) = 1 (ϕn (s) = 1), nhưng fsk (1) 6= 1 với 1 ≤ k < n. Sử dụng định lý giá trị trung bình, ta chỉ ra được các tham số tuần √ hoàn trù mật trong [ 2, 2]. Do đó, (1) được chứng minh. Trong khi đó, (2) được chứng minh bằng các áp dụng trực tiếp Định lý 2 trong [3]. Trong phần còn lại của mục này, ta chỉ đưa ra kết quả mà không chứng minh về tính trù mật của các điểm tuần hoàn của ánh xạ giãn trong không gian mêtric compact, đây là cơ sở lý thuyết quan trọng để chứng minh các kết quả trong Chương 2. Định lý 1.2.10. Cho X là không gian mêtric compact. Nếu X liên thông và f : X → X là đồng phôi giãn thì tập các điểm tuần hoàn của f trù mật trong X . 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô Trong phần này, các định nghĩa về đồng phôi Anosov, ánh xạ khả vi Anosov và ánh xạ Anosov tôpô sẽ được trình bày cùng một số tính chất 16