Tài liệu Về phương pháp lặp krasnoselskii mann cho ánh xạ không giãn trong không gian hilbert và áp dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 5 1.1 1.2 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . 1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert . . . . . . . 1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert . . . . . 1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n . . . . . . . 1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 . 9 . 10 . 10 . 11 2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 14 2.1 2.2 2.3 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n 2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng . . . . . 2.2.1 Hëi tö y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Hëi tö m¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ùng döng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford . 2.3.2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p chi¸u lu¥n phi¶n John von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . 14 15 15 19 20 25 30 30 . 32 ii K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36 B£ng kþ hi»u H R R+ N ∀x A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 Fix(T ) khæng gian Hilbert thüc tªp c¡c sè thüc tªp c¡c sè thüc khæng ¥m tªp c¡c sè tü nhi¶n vîi måi x to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A to¡n tû çng nh§t tªp c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T 1 Mð ¦u B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû thuëc giao kh¡c réng cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c tªp con lçi v  âng {Ci }i∈I cõa khæng gian Hilbert H hay khæng gian Banach E " vîi I l  tªp ch¿ sè. B i to¡n n y câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: xû l½ £nh, khæi phöc t½n hi»u, vªt lþ, y håc,. . . Khi Ci = Fix(Ti ), tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti vîi i = 1, 2, . . . , N , ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t t¼m iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n {Ti }N i=1 düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn nêi ti¸ng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern, ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa, ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii. . . Vi»c c£i ti¸n v  mð rëng c¡c c¡c ph÷ìng ph¡p n y cho c¡c lîp b i to¡n li¶n quan ang l  · t i thu hót ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc. D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Tr¦n Xu¥n Quþ, tæi chån · t i: "V· ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert v  ¡p döng" cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh. Möc ti¶u cõa luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H tr¶n cì sð ph÷ìng ph¡p l°p Krasnoselskii v  ph÷ìng ph¡p l°p Mann. Nëi dung luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Cö thº nh÷ sau: Ch÷ìng 1. B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian Hilbert thüc H , tr¼nh b y v· ¡nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, ph²p chi¸u m¶tric 2 3 trong khæng gian Hilbert còng mët sè t½nh ch§t, giîi thi»u v· b i to¡n iºm b§t ëng v  mët sè ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc H . Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert. Tr¼nh b y chùng minh c¡c ành lþ v· sü hëi y¸u, hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p còng mët sè v½ minh håa cho i·u ki»n °t ra cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.Mët v i ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann èi vîi ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford v  ph²p chi¸u luªn phi¶n John von Neumann công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n, em luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  ëng vi¶n cõa c¡c th¦y cæ trong Ban Gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, Khoa To¡n  Tin. Vîi b£n luªn v«n n y, em mong muèn ÷ñc gâp mët ph¦n nhä cæng sùc cõa m¼nh v o vi»c g¼n giú v  ph¡t huy v´ µp, sü h§p d¨n cho nhúng ành lþ to¡n håc vèn d¾ ¢ r§t µp. ¥y công l  mët cì hëi cho em gûi líi tri ¥n tîi tªp thº c¡c th¦y cæ gi£ng vi¶n cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v  Khoa To¡n  Tin nâi ri¶ng, ¢ truy·n thö cho em nhi·u ki¸n thùc khoa håc quþ b¡u trong thíi gian em ÷ñc l  håc vi¶n cõa tr÷íng. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng THSC Quang Trung, TP Y¶n B¡i còng to n thº c¡c anh chà em çng nghi»p ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong thíi gian i håc Cao håc; c£m ìn c¡c anh chà em håc vi¶n lîp Cao håc To¡n K11 v  b¤n b± çng nghi»p ¢ trao êi, ëng vi¶n v  kh½ch l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n. °c bi»t em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o TS. Tr¦n Xu¥n Quþ ¢ luæn quan t¥m ¥n c¦n ch¿ b£o, ëng vi¶n kh½ch l», gióp ï tªn t¼nh v  gâp þ s¥u s­c cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp công nh÷ thüc hi»n · t i. Ch°ng ÷íng vøa qua s³ l  nhúng k¿ ni»m ¡ng nhî v  ¦y þ ngh¾a èi vîi c¡c anh chà em håc vi¶n lîp K11 nâi chung v  vîi b£n th¥n em 4 nâi ri¶ng. Xin ch¥n th nh c£m ìn t§t c£ nhúng ng÷íi th¥n y¶u ¢ gióp ï, çng h nh còng em tr¶n ch°ng ÷íng vøa qua. Mët l¦n núa, em xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 22 th¡ng 4 n«m 2019 Håc vi¶n Nguy¹n Thà Ngåc Mai Ch÷ìng 1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Ch÷ìng n y giîi thi»u v· mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert, ¡nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u, °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert còng mët sè ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc tø c¡c t i li»u [2], [3], [5], [8] v  mët sè t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â. 1.1 nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., .i v  chu©n k.k, t÷ìng ùng. Cho {xn } l  mët d¢y trong khæng gian H . Ta kþ hi»u xn * x ngh¾a l  d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n x v  xn → x ngh¾a l  d¢y {xn } hëi tö m¤nh ¸n x. 1.1.1 Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ành ngh¾a v· sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert thüc H . ành ngh¾a 1.1.1. D¢y {xn } trong khæng gian Hilbert H ÷ñc gåi l  hëi tö y¸u v· ph¦n tû x ∈ H , n¸u lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ ∀y ∈ H. Nhªn x²t 1.1.2. Tø t½nh li¶n töc cõa t½ch væ h÷îng, suy ra n¸u xn → x, th¼ xn * x. Tuy nhi¶n, i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. 5 6 Ch¯ng h¤n x²t khæng gian Hilbert 2  l := {xn } ⊂ R : ∞ X |xn |2 < ∞ n=1 v  gi£ sû d¢y {en } ⊂ l2 ÷ñc cho bði en = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0, . . . ), và tr½ thù n vîi måi n > 1. Khi â, en * 0, khi n → ∞. Thªt vªy, vîi méi y ∈ H , tø b§t ¯ng thùc Bessel, ta câ ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tùc l  en * 0. Tuy nhi¶n, {en } khæng hëi tö m¤nh v· 0, v¼ ken k = 1 vîi måi n > 1. Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Hilbert thüc H ÷ñc tr¼nh b y trong bê · d÷îi ¥y. Bê · 1.1.3. (xem [2]) Cho H khæng gian Hilbert thüc. Khi â: (i) kx + yk2 6 kxk2 + 2hx + y, yi ∀x, y ∈ H. (ii) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi vîi måi x, y ∈ H ; (iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 v  måi x, y ∈ H . vîi måi t ∈ [0, 1] Måi d¢y bà ch°n trong khæng gian gian Hilbert ·u chùa mët d¢y con hëi tö y¸u. Bê · 1.1.4. (xem [2]) 1.1.2 Ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H . Khi â vîi méi x ∈ H , tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû Pc x ∈ C sao cho kx − PC xk ≤ kx − yk vîi måi y ∈ C. (1.1) Chùng minh. Thªt vªy, °t d = u∈C inf kx − uk. Khi â, tçn t¤i d¢y {un } ⊂ C M»nh · 1.1.5. (xem [2]) sao cho kx − un k → d khi n → ∞. Tø â, kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 7 un + um 2 = 2kx − un k + 2kx − um k − 4 x − 2 ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 → 0, 2 2 khi n, m → ∞. Do â d¢y {un } l  d¢y Cauchy trong khæng gian Hilbert thüc H . Suy ra tçn t¤i u = lim un ∈ C . Do chu©n l  h m sè li¶n töc n¶n n→∞ kx − uk = d. Gi£ sû tçn t¤i v ∈ C sao cho kx − vk = d. Ta câ ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 u + v 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4 x − 2 ≤ 0. 2 2 Suy ra u = v . Vªy tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf kx − uk. u∈C ành ngh¾a 1.1.6. (xem [2]) Ph²p cho t÷ìng ùng méi ph¦n tû x ∈ H mët ph¦n tû PC x ∈ C x¡c ành nh÷ (1.1) ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric chi¸u H l¶n C . Sau ¥y l  mët v½ dö v· to¡n tû chi¸u. V½ dö 1.1.7. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y} vîi u 6= 0. Khi â ph²p chi¸u m¶tric l¶n C cho bði PC (x) = x + y − hx, ui u. kuk2 M»nh · d÷îi ¥y cho ta mët i·u ki»n c¦n v  õ º ¡nh x¤ PC : H → C l  mët ph²p chi¸u m¶tric. Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H . i·u ki»n c¦n v  õ º ¡nh x¤ PC : H → C l  ph²p chi¸u m¶tric chi¸u H l¶n C l  hx − PC x, PC x − yi > 0 vîi måi x ∈ H v  y ∈ C. (1.2) Chùng minh. Gi£ sû PC l  ph²p chi¸u m¶tric. Khi â vîi måi x ∈ H, y ∈ C M»nh · 1.1.8. (xem [3]) v  måi t ∈ (0, 1), ta câ ty + (1 − t)PC x ∈ C. 8 Do â, tø ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u m¶tric, suy ra kx − PC xk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC xk2 ∀t ∈ (0, 1). B§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi kx − PC xk2 ≤ kx − PC xk2 − 2thx − PC x, y − PC xi + t2 ky − PC xk2 , vîi måi t ∈ (0, 1). Tø â, t hx − PC x, PC x − yi > − ky − PC xk2 2 ∀t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhªn ÷ñc hx − PC x, PC x − yi > 0. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû hx − PC x, PC x − yi > 0 vîi måi x ∈ H v  y ∈ C. Khi â, vîi méi x ∈ H v  y ∈ C , ta câ kx − PC xk2 = hx − PC x, x − y + y − PC xi = hx − PC x, y − PC xi + hx − PC x, x − yi ≤ kx − yk2 + hy − PC x, x − PC x + PC x − yi = kx − yk2 + hy − PC x, x − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Suy ra PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C . Cho C l  mët tªp con lçi âng cõa khæng gian Hilbert H v  PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C . Khi â, vîi måi x, y ∈ H , ta câ H» qu£ 1.1.9. (xem [3]) kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi. Chùng minh. Vîi måi x, y ∈ H , tø M»nh · 1.1.8, ta câ hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cëng hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh. 9 1.1.3 nh x¤ khæng gi¢n, ¡nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.1.10. (xem [3]) Cho C l  mët tªp con kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H . (i) nh x¤ T : C → H ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz tr¶n C n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.3) (ii) Trong (1.3), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ co; n¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ khæng gi¢n. Sau ¥y l  ành ngh¾a v· to¡n tû ìn i»u. ành ngh¾a 1.1.11. (xem [3]) Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H . To¡n tû A : C → H ÷ñc gåi l  (i) ìn i»u tr¶n C n¸u hA(x) − A(y), x − yi > 0 ∀x, y ∈ C ; ìn i»u ch°t tr¶n C n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y ; (ii) ìn i»u ·u tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t > 0, δ(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t
hA(x) − A(y), x − yi > δ kx − yk ∀x, y ∈ C; n¸u δ(t) = βt2 , β l  h¬ng sè d÷ìng, th¼ A ÷ñc gåi l  to¡n tû ìn i»u m¤nh tr¶n C (hay β -ìn i»u m¤nh tr¶n C ); (iii) ìn i»u m¤nh ng÷ñc tr¶n C vîi h» sè η > 0 (hay η -ìn i»u m¤nh ng÷ñc tr¶n C) n¸u hA(x) − A(y), x − yi > ηkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ C. Kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y trong ành ngh¾a 1.1.11(i) cán ÷ñc mæ t£ düa tr¶n ç thà nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.12. (xem [3]) To¡n tû a trà A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn i»u n¸u hu − v, x − yi > 0 ∀x, y ∈ H, u ∈ A(x), v ∈ A(y). 10 To¡n tû A : H → 2H ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u ç thà Gr(A) := {(x, u) ∈ H × H : u ∈ Ax} cõa A khæng bà chùa thüc sü trong ç thà cõa b§t ký mët to¡n tû ìn i»u n o kh¡c trong H . Chó þ 1.1.13. To¡n tû A l  ìn i»u cüc ¤i n¸u v  ch¿ n¸u vîi (x, u) ∈ H × H , hu − v, x − yi ≥ 0 vîi (y, v) ∈ Gr(A) suy ra u ∈ A(x). Cho A l  to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh v  L-li¶n töc Lipschitz tø C v o H v  NC x l  nân chu©n t­c tø C t¤i x ∈ C , ngh¾a l  ( y ∈ H : hy, x − ui ≥ 0, ∀u ∈ C n¸u x ∈ C; NC x = ∅ ng÷ñc l¤i. Ta kþ hi»u Bx = ( Ax + NC x, ∅, n¸u x∈C n¸u x∈ / C. Khi â B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Gi£ sû A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, khi â (t−1 n A) hëi tö ç thà ¸n NA (0) khi tn → 0 vîi i·u ki»n A−1(0) 6= ∅. (ii) N¸u {Bn } l  d¢y c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i hëi tö ç thà v· B , A l  to¡n tû Lipschitz ìn i»u cüc ¤i, th¼ (A + Bn) hëi tö ç thà v· A + B v  A + B l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Bê · 1.1.14. (i) −1 1.2 1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n B i to¡n iºm b§t ëng Trong möc n y ta x²t b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Hilbert thüc H . ành ngh¾a 1.2.1. Cho C l  tªp con kh¡c réng cõa H v  ¡nh x¤ T : C → C . iºm x ∈ C ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T n¸u T x = x. Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l  Fix(T ), ngh¾a l   Fix(T ) := x ∈ C : T x = x . 11 Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc H v  T : C → H l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â, Fix(T ) l  mët tªp con lçi v  âng trong H . Chùng minh. (a) Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅. Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra Fix(T ) l  tªp âng. M»nh · 1.2.2. Thªt vªy, v¼ T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n n¶n T li¶n töc tr¶n C . Gi£ sû {xn } l  mët d¢y b§t ký trong Fix(T ) thäa m¢n xn → x, khi n → ∞. V¼ {xn } ⊂ Fix(T ), n¶n kT xn − xn k = 0 ∀n ≥ 1. Tø t½nh li¶n töc cõa chu©n, cho n → ∞, ta nhªn ÷ñc kT x − xk = 0, tùc l  x ∈ Fix(T ). Do â, Fix(T ) l  tªp âng. (b) Ti¸p theo, ta ch¿ ra t½nh lçi cõa Fix(T ). Gi£ sû Fix(T ) 6= ∅ v  gi£ sû x, y ∈ Fix(T ). Vîi λ ∈ [0, 1], °t z = λx + (1 − λ)y . Khi â, kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2 = λkT z − xk2 + k(1 − λ)(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = 0. Suy ra T z = z v  do â z ∈ Fix(T ). Vªy Fix(T ) l  mët tªp lçi B i to¡n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho T : C → C l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng kh¡c réng C cõa khæng gian Hilbert thüc H v o ch½nh nâ vîi Fix(T ) 6= ∅. T¼m ph¦n tû 1.2.2 x∗ ∈ Fix(T ). (1.4) Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n Ph÷ìng ph¡p l°p Mann N«m 1953, W.R. Mann ¢ nghi¶n cùu v  · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), x1 ∈ C, n > 1. (1.5) 12 Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, n¸u d¢y {αn } ÷ñc chån thäa m¢n ∞ X (L1) αn (1 − αn ) = ∞ n=1 th¼ d¢y {xn } x¡c ành bði (1.5) s³ hëi tö y¸u v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T , ð ¥y T : C → C l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con C lçi âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v o ch½nh nâ. Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñp H l  mët khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u th¼ d¢y l°p (1.5) ch¿ hëi tö y¸u m  khæng hëi tö m¤nh. Trong tr÷íng hñp αn = α ∈ (0, 1) vîi måi n th¼ ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.5) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii. Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern Ph÷ìng ph¡p l°p cõa B. Halpern ÷ñc · xu§t n«m 1967 d¤ng: xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n > 0, (1.6) trong â u, x0 ∈ C v  T l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng C cõa khæng gian Hilbert H v o C . Æng ¢ chùng minh n¸u αn = n−α , α ∈ (0, 1) th¼ d¢y {xn } x¡c ành bði (1.6) s³ hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . N«m 1977, P.L. Lions ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {xn } v· mët iºm b§t ëng cõa T trong khæng gian Hilbert n¸u d¢y sè {αn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (C1) (C2) lim αn = 0, n→∞ ∞ X αn = +∞, n=1 (C3) |αn+1 − αn | = 0. 2 n→∞ αn+1 lim Tuy nhi¶n, vîi c¡c k¸t qu£ cõa Halpern v  Lions th¼ d¢y ch½nh t­c αn = l¤i bà lo¤i trø. 1 n+1 13 Ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa Ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa ÷ñc · xu§t bði S. Ishikawa v o n«m 1974. Vîi ph÷ìng ph¡p l°p n y th¼ d¢y l°p {xn } ÷ñc x¡c ành bði    x0 ∈ C, (1.7) yn = βn xn + (1 − βn )T (xn ),   x = α u + (1 − α )T (y ), n > 1 n+1 n n n trong â {αn } v  {βn } l  c¡c d¢y sè thüc trong o¤n [0, 1]. Chó þ 1.2.3. Trong tr÷íng hñp βn = 1 vîi måi n th¼ ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa (1.7) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.5). Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert Ch÷ìng n y tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert. Möc 2.1 tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n. Möc 2.2 tr¼nh b y sü hëi tö y¸u v  hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann suy rëng. Möc 2.3 tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc trong t i li»u [4] v  [6]. 2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho ¡nh x¤ khæng gi¢n Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng nêi ti¸ng l  ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann. Ph÷ìng ph¡p x¡c ành nh÷ sau, xu§t ph¡t tø x1 ∈ H ta x²t d¢y l°p nh÷ sau xn+1 = (1 − λn )xn + λn T xn ∀n = 1, 2, . . . (2.1) vîi λn ∈ [0, 1]. K¸t qu£ v· sü hëi tö têng qu¡t nh§t ÷ñc ÷a ra bði Reich (1979) v  gi£ thi¸t Fix(T ) kh¡c réng v  λn ÷ñc chån sao cho ∞ X λn (1 − λn ) = ∞, n=1 14 (2.2) 15 khi â d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T , ð ¥y T : C → C l  ¡nh x¤ khæng gi¢n vîi C ⊆ H l  tªp lçi âng kh¡c réng. Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann khæng óng trong tr÷íng hñp têng qu¡t. 2.1.1 B i to¡n v  ph÷ìng ph¡p Trong möc n y ta tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa A. Moudafi trong [6] v· ph÷ìng ph¡p KrasnoselskiiMann t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T t÷ìng ùng vîi ¡nh x¤ khæng gi¢n P . B i to¡n °t ra nh÷ sau: T¼m x̄ ∈ Fix(T ) sao cho hx̄ − P (x̄), x̄ − xi 6 0 ∀x ∈ Fix(T ), (2.3) ngh¾a l , 0 ∈ (I − P )x̄ + NFix(T ) x̄, trong â Fix(T ) = {x̄ ∈ D; x̄ = T (x̄)} l  tªp c¡c iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D v  D l  tªp con lçi âng cõa khæng gian Hilbert H. · mð rëng ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann, ta x²t d¢y l°p xn+1 = (1 − αn )xn + αn (σn P xn + (1 − σn )T xn ), vîi n ≥ 0, (2.4) ð ¥y x0 ∈ D, c¡c d¢y {σn } v  {αn } ⊂ (0, 1). 2.1.2 Sü hëi tö Nhªn x²t 2.1.1. (a) N¸u T : D → D l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n D th¼ A = I − T l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i tr¶n D, çng thíi l  to¡n tû 1/2-ìn i»u m¤nh ng÷ñc, ð ¥y I l  ¡nh x¤ çng nh§t cõa khæng gian Hilbert thüc H . (b) Hìn núa T l  nûa âng tr¶n D theo ngh¾a, n¸u d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n x trong D v  d¢y {xn T xn } hëi tö m¤nh ¸n 0 th¼ x l  iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . Bê · 2.1.2. (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) Cho {an } l  d¢y c¡c sè thùc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n: an+1 6 (1 − αn )an + αn σn + γn , trong â n ≥ 1. 16 (a) {αn } ⊂ [0, 1], ∞ X αn = ∞; n=1 (b) lim sup σn 6 0; n→∞ (c) γn ≥ 0 (n ≥ 1), ∞ X γn < ∞. n=1 Khi â αn → 0 khi n → ∞. Bê · 2.1.3. (xem [6] v  t i li»u ÷ñc tr½ch d¨n trong â) {βn } l  d¢y c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n i·u ki»n ∞ X αn < ∞, βn+1 6 αn + βn Gi£ sû {αn} v  vîi måi n = 0, 1, . . . . n=0 Khi â d¢y {βn} hëi tö. Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p (2.4) ÷ñc tr¼nh b y trong ành lþ sau ¥y. D¢y {xn} x¡c ành bði cæng thùc (2.4) hëi tö tîi iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : D → D vîi c¡c d¢y sè {σn} v  {αn } thäa m¢n i·u ki»n ành lþ 2.1.4. (xem [6]) (i) +∞ X σn < +∞ v  n=0 (ii) +∞ X αn (1 − αn ) = +∞. n=0 Ngo i ra, d¢y {xn} l  ti»m cªn ch½nh quy , tùc l  lim ||xn+1 − xn || = 0. n→+∞ ||xn+1 − xn || = 0, th¼ d¢y {xn } hëi tö Hìn núa n¸u th¶m i·u ki»n n→+∞ lim αn σ n y¸u tîi nghi»m cõa b i to¡n (2.3). Chùng minh. L§y x̄ ∈ FixT v  °t Tσ = σnP + (1 − σn)T . Tø cæng thùc n (2.4), ta câ ||xn+1 − x̄|| 6 (1 − αn )||xn − x̄|| + αn ||Tσn xn − T x̄|| 6 ||xn − x̄|| + αn ||Tσn (x̄) − T x̄||