..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
PHẠM QUANG DŨNG
VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
PHẠM QUANG DŨNG
VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý
THÁI NGUYÊN - 2019
Möc löc
Mð ¦u
Ch÷ìng 1. Khæng gian Banach v b i to¡n iºm b§t ëng
1.1
1.2
Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4
4
1.1.1
Khæng gian Banach lçi ·u . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Khæng gian Banach lçi ch°t . . . . . . . . . . . . . . .
5
B i to¡n iºm b§t ëng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
nh x¤ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
B i to¡n iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ch÷ìng 2. V· ph÷ìng ph¡p l°p t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤
khæng gi¢n trong khæng gian Banach
11
2.1
2.2
2.3
Ch½nh quy ti»m cªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.1
D¡ng i»u ch½nh quy ti»m cªn . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2
D¡ng i»u ch½nh quy ti»m cªn ·u . . . . . . . . . . .
14
Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
ành lþ hëi tö m¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2
ành lþ hëi tö y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.1
Mæ t£ ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.2
Sü hëi tö
24
K¸t luªn
T i li»u tham kh£o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
34
Mð ¦u
B i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ ¢ v ang l mët chõ · thu hót
sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc.
Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu v· b i to¡n iºm b§t ëng l x¥y düng
ph÷ìng ph¡p t¼m (x§p x¿) iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ trong khæng gian Hilbert
ho°c khæng gian Banach. Nhi·u b i to¡n li¶n quan tîi ph÷ìng ph¡p x§p x¿
n y ¢ ÷ñc °t ra v gi£i quy¸t cho tøng lîp ¡nh x¤ kh¡c nhau, ch¯ng h¤n
lîp ¡nh x¤ co, lîp ¡nh x¤ khæng gi¢n,. . . Vîi luªn v«n tèt nghi»p th¤c s¾, tæi
lüa chån mët ph¦n trong b i to¡n x§p x¿ iºm b§t ëng cho lîp ¡nh x¤ khæng
gi¢n trong khæng gian Banach. D÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Tr¦n Xu¥n Quþ,
tæi chån · t i luªn v«n: V· ph÷ìng ph¡p l°p t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh
x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach". Nëi dung luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y
trong hai ch÷ìng, cö thº nh÷ sau:
Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y v· khæng gian Banach lçi ·u, lçi ch°t v b i to¡n
t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach.
Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh
x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach còng c¡c ành lþ hëi tö y¸u, hëi tö
m¤nh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.
Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i
håc Th¡i Nguy¶n, em luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v ëng vi¶n cõa
c¡c th¦y cæ trong Ban Gi¡m hi»u, pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin. Vîi b£n
luªn v«n n y, em mong muèn ÷ñc gâp mët ph¦n nhä cæng sùc cõa m¼nh v o
vi»c g¼n giú v ph¡t huy v´ µp, sü h§p d¨n cho nhúng ành lþ to¡n håc vèn
d¾ ¢ r§t µp. ¥y công l mët cì hëi cho em gûi líi tri ¥n tîi tªp thº c¡c
th¦y cæ gi£ng vi¶n cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n nâi
2
3
chung v Khoa To¡n Tin nâi ri¶ng, ¢ truy·n thö cho em nhi·u ki¸n thùc
khoa håc quþ b¡u trong thíi gian em ÷ñc l håc vi¶n cõa tr÷íng.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng THPT Thanh Thõy,
Phó Thå còng to n thº c¡c anh chà em çng nghi»p ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t
cho t¡c gi£ trong thíi gian i håc Cao håc; c£m ìn c¡c anh chà em håc vi¶n
lîp Cao håc To¡n K11 v b¤n b± çng nghi»p ¢ trao êi, ëng vi¶n v kh½ch
l» t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v l m luªn v«n t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa
håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n.
°c bi»t em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi gi¡o vi¶n h÷îng d¨n,
TS. Tr¦n Xu¥n Quþ ¢ luæn quan t¥m ¥n c¦n ch¿ b£o, ëng vi¶n kh½ch l»,
gióp ï tªn t¼nh v gâp þ s¥u sc cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp công
nh÷ thüc hi»n · t i. Ch°ng ÷íng vøa qua s³ l nhúng k¿ ni»m ¡ng nhî v
¦y þ ngh¾a èi vîi c¡c anh chà em håc vi¶n lîp K11 nâi chung v vîi b£n
th¥n em nâi ri¶ng. D§u §n §y hiºn nhi¶n khæng thº thi¸u sü hé trñ, s´ chia
¦y y¶u th÷ìng cõa cha mµ hai b¶n v c¡c anh chà em con ch¡u trong gia
¼nh. Xin ch¥n th nh c£m ìn t§t c£ nhúng ng÷íi th¥n y¶u ¢ gióp ï, çng
h nh còng em tr¶n ch°ng ÷íng vøa qua. Mët l¦n núa, em xin tr¥n trång
c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, ng y 22 th¡ng 4 n«m 2019
Håc vi¶n
Ph¤m Quang Dông
Ch֓ng 1
Khæng gian Banach v b i to¡n iºm
b§t ëng
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t h¼nh håc khæng gian Banach v b i
to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach. Ki¸n thùc cõa ch÷ìng ÷ñc
têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [2] v [4].
1.1 Khæng gian Banach
1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u
Cho X l khæng gian Banach v x0 ∈ X cho tr÷îc. Kþ hi»u Sr (x0 ) m°t
c¦u t¥m x0 b¡n k½nh r > 0,
Sr (x0 ) := {x ∈ X : ||x − x0 || = r}.
ành ngh¾a 1.1.1. Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l lçi ·u n¸u ∈ (0, 2]
b§t ký, tçn t¤i δ =
δ() > 0 sao cho n¸u x, y ∈ X vîi ||x|| = 1, ||y|| = 1 v
1
||x − y|| ≥ , th¼ (x + y) ≤ 1 − δ.
2
K¸t qu£ d÷îi ¥y l mët v½ dö v· khæng gian lçi ·u.
ành lþ 1.1.2. Khæng gian Lp[a, b] vîi 1 < p < ∞ l khæng gian lçi ·u.
ành lþ 1.1.3. Gi£ sû X l khæng gian Banach lçi ·u. Khi â vîi b§t ký
d > 0, > 0
v c¡c v²c tì tòy þ x, y ∈ X vîi ||x|| ≤ d, ||y|| ≤ d, ||x − y|| ≥ ,
4
5
tçn t¤i δ > 0 sao cho
1
(x + y) ≤ 1 − δ d.
2
d
Chùng minh. Vîi b§t ký x, y ∈ X , x²t z1 = xd , z2 = yd , v tªp ¯ = d . Hiºn
1
nhi¶n ¯ > 0. Hìn núa, ||z1 || ≤ 1, ||z2 || ≤ 1 v ||z1 − z2 || = ||x − y|| ≥ = ¯.
d
d
Tø t½nh lçi ·u, ta câ δ = δ
> 0,
d
1
(z1 + z2 ) 1 − δ(¯),
2
ngh¾a l
suy ra
1
(x + y) ≤ 1 − δ ,
2d
d
1
(x + y) ≤ 1 − δ d.
2
d
Ta câ i·u ph£i chùng minh
M»nh · 1.1.4. Cho X l khæng gian Banach lçi ·u v gi£ sû α ∈ (0, 1),
> 0.
Khi â vîi b§t ký d > 0, n¸u
x, y ∈ X thäa m¢n ||x|| ≤ d, ||y|| ≤ d,
||x − y|| ≥ , th¼ tçn t¤i δ = δ
> 0 sao cho
d
||αx + (1 − α)|| ≤ 1 − 2δ
min{α, 1 − α} d.
d
1.1.2 Khæng gian Banach lçi ch°t
ành ngh¾a 1.1.5. Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi
x, y ∈ X , x = y, ||x|| = ||y|| = 1, ta câ ||λx + (1 − λ)y|| < 1 ∀λ ∈ (0, 1).
ành lþ 1.1.6. Måi khæng gian Banach lçi ·u l khæng gian lçi ch°t.
ành lþ 1.1.6 ch¿ ra mët lîp khæng gian Banach lçi ch°t. Tuy nhi¶n, khæng
ph£i måi khæng gian Banach ·u lçi ch°t. D÷îi ¥y l mët v i v½ dö v· khæng
gian Banach l lçi ch°t nh÷ng ko lçi ·u.
6
V½ dö 1.1.7. Cho tr÷îc µ > 0 v x²t C[0, 1] vîi chu©n ||.||µ x¡c ành nh÷
sau,
Z
1
||x||µ := ||x||0 + µ
12
x2 (t)dt
0
vîi ||.||0 l chu©n sup. Khi â
||x||0 ≤ ||x||µ (1 + µ)||x||0 ,
x ∈ C[0, 1],
v hai chu©n n y t÷ìng ÷ìng, ||.||µ g¦n ||.||0 vîi µ b². Tuy nhi¶n, (C[0, 1], ||.||0 )
khæng lçi ·u, trong khi vîi b§t ký µ > 0, (C[0, 1], ||.||µ ) lçi ·u. M°t kh¡c
vîi b§t
ký ∈ (0, 2] tçn t¤i x, y ∈ C[0, 1] vîi ||x||µ = ||y||µ = 1, ||x − y|| = ,
x + y
tòy þ g¦n 1. V¼ vªy (C[0, 1], ||.||µ ) khæng lçi ·u.
v
2
V½ dö 1.1.8. X²t µ0 v c0 = c0(N) vîi chu©n ||.||µ x¡c ành vîi x = {xn} ∈ c0
nh÷ sau
1
X
∞ 2
xi
2
||x||µ := ||x||c0 + µ
i
i=1
trong â ||.||c0 l chu©n thæng th÷íng. Nh÷ trong v½ dö tr¶n, (c0 , ||.||µ ) vîi
µ > 0 lçi ch°t nh÷ng khæng lçi ·u, trong khi c0 vîi chu©n thæng th÷íng
khæng lçi ch°t.
Ti¸p theo tr¼nh b y v· h m ÷ñc gåi l modul cõa t½nh lçi cõa khæng gian
ành chu©n X (kþ hi»u l δX : (0, 2] → [0, 1]) v mët sè t½nh ch§t cõa h m
n y
M»nh · 1.1.9. (a) Vîi måi khæng gian ành chu©n, h m δX() khæng gi£m
tr¶n (0, 2].
(b) H m modulus cõa t½nh lçi cõa khæng gian ành chu©n l h m li¶n töc v
lçi.
(c) Trong khæng gian lçi ·u X , h m modulus cõa t½nh lçi cõa khæng gian
ành chu©n δX , l h m t«ng thüc sü.
Trong möc n y tr¼nh b y c¡c °c tr÷ng cõa khæng gian lçi ·u.
ành lþ 1.1.10. Khæng gian Banach X lçi ·u khi v ch¿ khi δX () > 0 vîi
måi ∈ (0, 2].
7
H» qu£ 1.1.11. Trong khæng gian Banach lçi ·u X , h m modul cõa t½nh
lçi l h m t«ng ch°t.
ành lþ 1.1.12. N¸u X l khæng gian Banach lçi ·u th¼ X l khæng gian
ph£n x¤.
ành ngh¾a 1.1.13.
1. Chu©n cõa khæng gian Banach X ÷ñc gåi l kh£
vi G¥teaux n¸u vîi méi y ∈ SX th¼ giîi h¤n
kx + tyk − kxk
t→0
t
lim
(1.1)
tçn t¤i vîi x ∈ SX , kþ hi»u l hy, 5kxki. Khi â 5kxk ÷ñc gåi l ¤o
h m G¥teaux cõa chu©n.
2. Chu©n cõa X ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi méi y ∈ SX , giîi
h¤n (1.1) ¤t ÷ñc ·u vîi måi x ∈ SX .
3. Chu©n cõa X ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet n¸u vîi méi x ∈ SX , giîi h¤n
(1.1) tçn t¤i ·u vîi måi y ∈ SX .
4. Chu©n cõa X ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet ·u n¸u giîi h¤n (1.1) tçn t¤i
·u vîi måi x, y ∈ SX .
1.2 B i to¡n iºm b§t ëng
1.2.1 nh x¤ khæng gi¢n
Kþ hi»u 2X l tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa X .
ành ngh¾a 1.2.1. nh x¤ J s : X → 2X , s > 1 (nâi chung l a trà) x¡c
∗
ành bði
J s (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ kkxk, kx∗ k = kxks−1
x ∈ X,
÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach X . Khi s = 2,
¡nh x¤ J 2 ÷ñc kþ hi»u l J v ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa
X.
Kþ hi»u ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà l j .
8
V½ dö 1.2.2. Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc l ¡nh
x¤ ìn và I .
T½nh ìn trà cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc câ mèi li¶n h» vîi t½nh kh£ vi
cõa chu©n cõa khæng gian Banach nh÷ kh¯ng ành trong c¡c ành lþ sau ¥y.
ành lþ 1.2.3. Cho X l khæng gian Banach vîi ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc
Khi â c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
(i) X l khæng gian trìn;
(ii) J l ìn trà;
(iii) Chu©n cõa X l kh£ vi G¥teaux vîi 5kxk = kxk−1 Jx.
ành lþ 1.2.4. Gi£ sû X l khæng gian ành chu©n thüc, v ¡nh x¤ Jp :
X −→ 2X , 1 < p < ∞, l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc. Khi â vîi b§t ký
x, y ∈ X, ta câ b§t ¯ng thùc sau
∗
J : X → 2X .
∗
||x + y||p ≤ ||x||p + phy, jp (x + y)i
(1.2)
vîi måi jp(x + y) ∈ Jp(x + y). °c bi»t n¸u p = 2 th¼
||x + y||2 ≤ ||x||2 + 2hy, j( x + y)i
(1.3)
vîi måi j(x + y) ∈ J(x + y)
ành ngh¾a 1.2.5. Cho C l tªp con kh¡c réng cõa khæng gian Banach E .
(i) nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz n¸u tçn t¤i
h¬ng sè L ≥ 0 sao cho
kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C.
(1.4)
(ii) Trong (1.4), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ co; n¸u L = 1 th¼ T
÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n.
Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n, vîi tªp c¡c iºm b§t ëng kh¡c réng l tüa khæng
gi¢n.
ành ngh¾a 1.2.6. Gi£ sû K l tªp con cõa khæng gian tuy¸n t½nh ành
chu©n X . X²t T : K → E l ¡nh x¤ thäa m¢n Fix(T ) 6= ∅. nh x¤ T ÷ñc
gåi l tüa khæng gi¢n n¸u kT x − T x∗ k ≤ kx − x∗ k thäa m¢n vîi måi x ∈ K
v x∗ ∈ F (T ).
9
1.2.2 B i to¡n iºm b§t ëng
Kþ hi»u Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x} l tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T .
Ta câ k¸t qu£ sau v· t½nh ch§t cõa tªp Fix(T ).
ành lþ 1.2.7. Cho C l tªp con kh¡c réng, lçi, âng trong khæng gian
Banach lçi ch°t E v T : C → E l ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â tªp Fix(T ) l
tªp lçi âng.
B i to¡n iºm b§t ëng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau.
B i to¡n. Cho T : C → C l ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi, âng, kh¡c
réng C cõa khæng gian Banach E v o ch½nh nâ vîi Fix(T ) 6= ∅. T¼m ph¦n tû
x∗ ∈ Fix(T ).
ành lþ 1.2.8 (Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach). Gi£ sû (M, p) l khæng gian
metric ¦y õ v T : M → M l ¡nh x¤ co. Khi â T câ duy nh§t iºm b§t
ëng, ngh¾a l tçn t¤i duy nh§t x∗ ∈ M thäa m¢n T x∗ = x∗. Ngo i ra, vîi b§t
ký x0 ∈ M , d¢y {xn} x¡c ành nh÷ sau xn+1 = T xn, n ≥ 0, hëi tö tîi iºm
b§t ëng cõa ¡nh x¤ T .
ành lþ 1.2.9. X²t X l khæng gian Banach ph£n x¤ v K l tªp con lçi
âng bà ch°n cõa X vîi c§u tróc chu©n. Gi£ sû T : K → K l ¡nh x¤ khæng
gi¢n. Khi â T câ iºm b§t ëng.
Khæng gièng nh÷ tr÷íng hñp trong nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, mët v½
dö t¦m th÷íng ch¿ ra mët d¢y x¡c ành nh÷ sau xn+1 = T xn , x0 ∈ K, n ≥ 0,
(trong â K l tªp con kh¡c réng lçi âng bà ch°n cõa khæng gian Banach
thüc X , vîi ¡nh x¤ khæng gian x¤ T : K → K câ duy nh§t iºm b§t ëng,
câ thº khæng hëi tö v· iºm b§t ëng.
N«m 1955, Krasnoselskii, ¢ ch¿ tra trong v½ dö, ta câ thº thu ÷ñc mët
1
d¢y hëi tö n¸u thay thº T bði ¡nh x¤ khæng gi¢n (I + T ), trong â I l ¡nh
2
x¤ çng nh§t, ngh¾a l n¸u d¢y x§p x¿ li¶n ti¸p x¡c ành bði x0 ∈ K , v
1
(1.5)
xn+1 = (xn + T xn ), n = 0, 1, ...
2
d¢y l°p n y th÷íng ÷ñc gåi l d¢y l°p Picard, xn+1 = T xn , x0 ∈ K, n ≥ 0.
1
C¡c ¡nh x¤ T v (I + T ) câ còng tªp iºm b§t ëng, v¼ vªy giîi h¤n cõa
2
d¢y x¡c ành bði d¢y l°p (1.5) l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T .
10
Têng qu¡t hìn, n¸u X l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n v K l tªp
con lçi cõa X , mët mð rëng cõa d¢y l°p (1.5) trong x§p x¿ iºm b§t ëng
cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T : K → K (khi chóng tçn t¤i), x¡c ành nh÷ sau:
x0 ∈ K,
xn+1 = (1 − λ)xn + λT xn , n = 0, 1, ...; λ ∈ (0, 1)
(1.6)
vîi λ l h¬ng sè.
Tuy nhi¶n, tr÷íng hñp têng qu¡t nh§t l d¢y l°p lo¤i Mann x¡c ành nh÷
sau: x0 ∈ K ,
xn+1 = (1 − Cn )xn + Cn T xn , n = 0, 1, 2, ...
(1.7)
trong â {Cn }∞
n=1 ⊂ (0, 1) l d¢y sè thüc thäa m¢n mët sè i·u ki»n th½ch
hñp. Vîi c¡c gi£ thi¸t bê sung nh÷ sau
(i) lim Cn=0 ;
(ii)
n
P
C n = ∞,
i=1
d¢y {xn } x¡c ành trong (1.7) l tr÷íng hñp têng qu¡t cõa d¢y l°p Mann
(1953). D¢y x¡c ành bði cæng thùc truy hçi (1.6) ÷ñc gåi l cæng thùc
Krasnoselskii-Mann t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n. Ph¦n ti¸p
theo, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p l°p quan trång º x§p x¿ iºm
b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n.
Ch֓ng 2
V· ph÷ìng ph¡p l°p t¼m iºm b§t
ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong
khæng gian Banach
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch½nh quy ti»m cªn cõa ¡nh
x¤ khæng gi¢n còng ph÷ìng ph¡p l°p Halpern x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh
x¤ khæng gi¢n. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c b i b¡o [3][12].
2.1 Ch½nh quy ti»m cªn
2.1.1 D¡ng i»u ch½nh quy ti»m cªn
Gi£ sû T : K → K l ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n tªp con K lçi cõa khæng
gian Banach X . °t
Sλ := λI + (1 − λ)T,
λ ∈ (0, 1),
trong â I l ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n K . Vîi x0 ∈ K cho tr÷îc, ta x¡c ành
d¢y l°p {Sλn (x0 )} bði
Sλn (x0 ) = λxn + (1 − λ)T xn ,
xn = Sλn−1 (x0 ).
Trong [8], Krasnoselskii ¢ ch¿ ra r¬ng, n¸u X l khængn gian Banach
lçi
o∞
·u v K l tªp compact, th¼ vîi b§t ký x0 ∈ K , d¢y l°p S n1 (x0 )
, vîi
2
S 12 =
1
2 (I + T )
n=1
hëi tö v· iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . Schaefer ch¿ ra i·u n y
11
12
v¨n óng vîi b§t ký Sλ = λI + (1 − λ)T trong â 0 < λ < 1, v Edelstein ¢
ch¿ ra ÷ñc i·u ki»n lçi ch°t cõa khæng gian Banach X l i·u ki»n õ. Mët
c¥u häi °t ra, l li»u câ thº l÷ñc bä i·u ki»n khæng gian X l lçi ch°t hay
khæng. N«m 1967, c¥u häi n y ¢ ÷ñc ch¿ ra bði Ishikawa (xem [7]) trong
ành lþ d÷îi ¥y.
ành lþ 2.1.1. (xem [7]) Gi£ sû K l mët tªp con cõa khæng gian Banach
v T : K → X l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n. Vîi x0 ∈ K , d¢y l°p {xn}∞n=1
x¡c ành bði
X
xn+1 = (1 − Cn )xn + Cn T xn ,
n = 0, 1, 2, . . .
(2.1)
trong â d¢y sè thüc {Cn}∞n=0 thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
(a)
∞
P
n=0
Cn
ph¥n ký,
vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n;
v xn ∈ K vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. Khi â, n¸u d¢y {xn}∞n=1 bà ch°n, th¼
xn − T xn → 0 khi n → ∞.
(b) 0 ≤ Cn ≤ b ≤ 1
Mët h» qu£ cõa ành lþ 2.1.1 l n¸u tªp K lçi v compact th¼ d¢y {xn }
x¡c ành nh÷ng trong (2.1) hëi tö m¤nh ¸n iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T
(xem ành lþ 2.2.1 d÷îi ¥y). Mët h» qu£ kh¡c cõa ành lþ 2.1.1 l n¸u K l
tªp lçi v ¡nh x¤ T tø K v o tªp con âng bà ch°n cõa khæng gian Banach
X th¼ ¡nh x¤
Sλ = (1 − λ)I + λT,
λ ∈ (0, 1)
l ch½nh quy ti»m cªn x, ngh¾a l ,
kSλn+1 x − Sλn xk → 0 khi n → ∞.
Kh¡i ni»m ch½nh quy ti»m cªn ÷ñc ÷a ra bði Browder v Petryshyn trong
[3]. T½nh ch½nh quy ti»m cªn li¶n quan tîi t½nh tçn t¤i iºm b§t ëng cõa
¡nh x¤ T ÷ñc thº hi»n ð k¸t qu£ d÷îi ¥y.
ành lþ 2.1.2. Gi£ sû M l khæng gian m¶tric v T : M → M l ¡nh x¤
li¶n töc v ch½nh quy ti»m cªn t¤i x0 ∈ M . Khi â b§t ký iºm tö y¸u cõa
d¢y {T n(x0)}∞n=1 ·u l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T .
13
Nh÷ vªy, tø t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ T , t½nh ch½nh quy ti»m cªn cõa Sλ t¤i
x0 ∈ K b§t ký suy ra Sλ (p) = p vîi måi iºm tö p cõa d¢y {Sλn (x0)}∞
n=1 . T½nh
ch½nh quy ti»m cªn khæng ch¿ âng vai trá quan trång trong chùng minh t½nh
tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ m cán ch¿ ra c¡c tr÷íng hñp cö thº, d¢y
l°p hëi tö v· iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤. Cö thº ÷ñc tr¼nh b y trong
m»nh · d÷îi ¥y.
M»nh · 2.1.3. Cho X l khæng gian Banach, G : E → E l mët ¡nh x¤
tuy¸n t½nh tø X v o X . Gi£ sû G bà ch°n m¤nh, ngh¾a l , vîi k ≥ 0, kGnk ≤
k , n = 1, 2, . . ., v ch½nh quy ti»m cªn. N¸u vîi méi x0 ∈ E , co {Gn (x0 )} chùa
iºm b§t ëng x∗ cõa G, th¼ d¢y {Gn(x0)} hëi tö m¤nh v· x∗.
Chùng minh. Gi£ sû ε > 0 cho tr÷îc, y ∈ co {Gn(x0)} vîi kx∗ −yk < 2(k ε+ 1) .
°t y =
m
P
λj Gj (x0 ) tø t½nh tuy¸n t½nh cõa ¡nh x¤ G ta câ
j=1
Gn (x0 − x∗ ) = Gn (x0 − y) + Gn (y − x∗ )
!
m
X
= Gn x0 −
λj Gj (x0 ) + +Gn (y − x∗ )
j=1
=
m
X
λj Gn (x0 ) − Gn+j (x0 ) + Gn (y − x∗ ),
j=1
v¼
m
P
λj = 1. V¼ vªy,
j=1
∗
n
kG (x0 − x )k ≤ k
m
X
λj Gn (x0 ) − Gn+j (x0 ) k +
j=1
kε
2(k + 1)
kε
.
2(k + 1)
Tø t½nh ch½nh quy ti»m cªn cõa G, tçn t¤i sè nguy¶n N0 > 0 sao cho vîi
måi n ≥ N0 , ta câ
n
ε
G (x0 ) − Gn+j (x0 ) ≤ , (j = 1, 2, . . . , m).
2
do kGn (y − x∗ )k ≤ kGn k.k(y − x∗ )k ≤
V¼ vªy,
n
∗
kG (x0 − x )k <
m
X
j=1
λj
ε
2
+
ε
=ε
2
∀n ≥ N0 .
14
Ta suy ra Gn (x0 − x∗ ) = Gn (x0 ) − x∗ → 0 khi n → ∞.
Nhªn x²t 2.1.4. Tø ành lþ 2.1.2 ta th§y r¬ng n¸u X l khæng gian Banach
v tªp con K cõa X l tªp compact y¸u th¼, trong tr÷íng hñp têng qu¡t, d¢y
{Sλn (x0 )} s³ khæng câ iºm tö m¤nh, nh÷ trong v½ dö d÷îi ¥y.
V½ dö 2.1.5. Tçn t¤i tªp lçi âng v bà ch°n K trong khæng giann Hilberto
l2 mët ¡nh x¤ khæng gi¢n T : K → K v iºm x0 ∈ K thäa m¢n
khæng hëi tö theo chu©n.
S n1 (x0 )
2
ành ngh¾a 2.1.6. Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l khæng gian Opial, n¸u
∞
vîi måi d¢y {xn }∞
n=0 trong X sao cho {xn }n=0 hëi tö y¸u v· x ∈ X th¼ b§t
¯ng thùc
lim inf kxn − yk > lim inf kxn − xk
n→∞
n→∞
thäa m¢n vîi måi y 6= x.
Nhªn x²t 2.1.7. Vîi khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n b§t ký X , sü tçn t¤i
cõa d¢y ¡nh x¤ èi ng¨u li¶n töc y¸u suy ra X l khæng gian Opial, nh÷ng
i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. °c bi¸t, lp (1 < p < ∞) l khæng gian Opial,
nh÷ng Lp (1 < p < ∞, p 6= 2) khæng ph£i l khæng gian Opial.
Gi£ sû K l tªp con lçi compact y¸u cõa khæng gian Opial thüc X v
T : K → K l ¡nh x¤ khæng gi¢n. Trong V½ dö 2.1.5 ch¿ ra r¬ng, nâi chung,
ta khæng nhªn ÷ñc sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p x¡c ành bði (2.1) tîi iºm
b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . ành lþ 2.2.5 d÷îi ¥y, ch¿ ra d¢y l°p n y hëi tö y¸u
tîi iºm b§t ëng cõa T n¸u X l khæng gian Opial.
2.1.2 D¡ng i»u ch½nh quy ti»m cªn ·u
ành ngh¾a 2.1.8. Cho K l mët tªp con cõa khæng gian Banach thüc X .
nh x¤ U : K → X ÷ñc gåi l
ch½nh quy ti»m cªn ·u n¸u vîi b§t ký ε > 0,
tçn t¤i sè nguy¶n N > 0 sao cho vîi måi x0 ∈ K v vîi måi n ≥ N, ta câ
kU n+1 x0 − U n x0 k < .
ành ngh¾a 2.1.9. Cho tªp hñp A v x0 ∈ A. D¢y {xn}∞n=0 ÷ñc gåi l ch§p
nhªn ÷ñc n¸u tçn t¤i mët d¢y khæng t«ng {Cn }∞
n=0 trong kho£ng (0, 1) sao
cho (2.1) thäa m¢n.
15
Ti¸p theo, ta tr¼nh b y v chùng minh mët sè k¸t qu£ sau.
ành lþ 2.1.10. Cho K l mët tªp con cõa khæng gian Banach thüc X v
l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n. Gi£ sû vîi x0 ∈ K tçn t¤i mët d¢y
ch§p nhªn ÷ñc {xn}∞n=0 ⊆ K bà ch°n. Khi â n→∞
lim kxn+1 − xn k = 0. Ngo i
ra, n¸u K l tªp con bà ch°n cõa X , th¼ giîi h¤n tr¶n l ·u.
ành lþ 2.1.11. Vîi K , X v f ÷ñc cho nh÷ trong ành lþ (2.1.10). Vîi
x0 ∈ K , gi£ sû tçn t¤i d¢y ch§p nhªn ÷ñc {xn }∞
n=0 ⊆ K bà ch°n, sao cho
d¢y khæng t«ng {Cn}∞n=0 công thäa m¢n 0 < a ≤ Cn < 1 vîi måi n ≥ 1. Khi
â n→∞
lim kxn − f (xn )k = 0.
ành lþ 2.1.12. Cho K l tªp con cõa khæng gian Banach thüc X v ¡nh
x¤ khæng gi¢n f : K → X . Gi£ sû tçn t¤i tªp A ⊆ K sao cho vîi méi x0 ∈ A
tçn t¤i d¢y ch§p nhªn ÷ñc {xn}∞n=0 ⊆ A, v gi£ sû tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi
méi sè nguy¶n d÷ìng N, v d¢y ch§p nhªn ÷ñc {xn}∞n=0 ⊆ A, câ
f :K →X
(6.4)
sup kxk+1 − xk k > δ.
k≥N
Khi â, A khæng bà ch°n.
Ta chùng minh ành lþ 2.1.10 v ành lþ 2.1.11 tø ành lþ 2.1.12.
Chùng minh. Chùng minh ành lþ 2.1.10 C£ hai ph¦n ·u suy trüc ti¸p
tø ành lþ (2.1.12), ph¦n thù nh§t b¬ng c¡ch °t {xn }∞
n=0 = A trong ành lþ
v ph¦n thù hai °t K = A.
Chùng minh ành lþ 2.1.11 V¼ f l ¡nh x¤ khæng gi¢n, n¶n ta câ,
kxn+1 − xn k = k(1 − Cn )(xn − f (xn )) + f (xn ) − f (xn+1 )k
≤ (1 − Cn )k(xn − f (xn ))k
+ kxn − ((1 − Cn )xn + Cn f (xn ))k
= kxn − f (xn )k.
V¼ d¢y {kxn − f (xn )k}∞
n=0 khæng t«ng v bà ch°n d÷îi, n¶n lim kxn − f (xn )k
tçn t¤i. Tø xn+1 = (1 − Cn )xn + Cn f (xn ),
1
1
kxn+1 − xn k ≤ lim kxn+1 − xn k = 0,
n→∞ Cn
a n→∞
lim kxn − f (xn )k = lim
n→∞
n→∞
16
(theo ành lþ 2.1.12 d¢y ch§p nhªn ÷ñc {xn }∞
n=0 bà ch°n), v i·u n y ta câ
ành lþ 2.1.11. Ti¸p theo ta chùng minh ành lþ 2.1.12.
Chùng minh ành lþ 2.1.12 Gi£ sû ng÷ñc l¤i A bà ch°n v x²t kxnk ≤ p
vîi méi n. X²t M l sè nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc thäa m¢n (M − 1)δ > 2p + 1.
Chån N , vîi N > max M, [(2p − δ)M/(1 − c1 )M C1 ] (trong â [x] ph¦n
nguy¶n cõa x) sao cho vîi δ > 0 v x0 ∈ A, d¢y ch§p nhªn ÷ñc {xn }∞
n=0 ⊂ A
thäa m¢n kxN +1 − xN k > δ . Sû döng t½nh khæng gi¢n cõa ¡nh x¤ f , ta d¹
d ng thu ֖c
kxn+1 − xn k = Cn k(1 − Cn−1 )xn−1 − f (xn−1 ) + f (xn−1 ) − f (xn )k
6 Cn (1 − Cn−1 )kxn−1 − f (xn−1 )+
+ kxn−1 − [(1 − Cn−1 )xn−1 + Cn−1 f (xn−1 )]k
Cn
kxn−1 − xn k 6 kxn−1 − xn k
=
C−1
b§t ¯ng thùc sau còng suy ra tø (2.1) vîi n thay bði n − 1 v T thay bði f ,
v v¼ d¢y {Cn }∞
n=1 khæng t«ng. V¼ kxi+1 − xi k > δ vîi måi i 6 N , v
δ < kxN +1 − xN k ≤ kxN − xN −1 k ≤ · · · ≤ kx2 − x1 k ≤ 2p,
kf (xi + 1) − f (xi )k ≤ kxi+1 − xi k, ∀i = 0, 1, . . . , N,
v xi+1 = (1 − Ci )xi + Ci f (xi ) sao cho
1 − Ci
xi+1
f (xi ) =
−
xi , i = 1, 2, . . . , N ;
Ci
Ci
(2.2)
(2.3)
(2.4)
suy ra
1
1
{xi+1 − (1 − Ci xi )} −
{x
−
(1
−
C
)x
}
i
i−1 i−1
Ci
Ci−1
= kf (xi ) − f (xi−1 )k ≤ kxi − xi−1 k,
i·u n y d¨n tîi
1
1
−
C
i−1
[xi+1 − xi ] −
[x
−
x
]
i
i−1
≤ kxi − xi−1 k
Ci
Ci−1
(2.5)
17
vîi måi i = 1, 2, . . . , N . Ti¸p theo ta °t I = [(2p − δ)/(1 − C1 )M C1 ] v x²t
hå I c¡c kho£ng [sk , sk+1 ] trong â
δ + k(1 − C )M C , k = 0, 1, . . . , I − 1,
1
1
Sk =
2P,
k = I.
Ta c¦n chùng minh mët trong c¡c kho£ng ph£i chùa ½t nh§t M sè trong c¡c
N −1
sè {kxi − xi+1 k}i=0
⊆ [δ, 2p]. N¸u i·u n y khæng x£y ra, th¼
2p − δ
N < MI = M
(1 − C1 )M C1
i·u nay m¥u thu¨n vîi c¡ch chån N . V¼ vªy vîi r, v s = sk ∈ [δ, 2p], ta câ
kxr+i+1 − xr+i k ∈ [s, s + (1 − C1 )M C1 ]
(2.6)
vîi i = 0, 1, . . . , (M − 1). °t ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . , N . Thay th¸ i
trong b§t ¯ng thùc (2.5) b¬ng r + M − j − 1, (j = 0, 1, . . . , M − 1) ta câ b§t
¯ng thùc (2.5) v (2.6) suy ra
1
1
−
C
r+M −j−2
M
∆x
−
∆x
r+M −j−1
≤ s + (1 − C1 ) C1 .
Cr+M −j−1 r+M −j
Cr+M −j−2
(2.7)
Chån f ∗ ∈ X ∗ , khæng gian èi ng¨u cõa X , vîi
kf ∗ k = 1 v f ∗ (∆xr+M ) = k∆xr+M k.
Tø b§t ¯ng thùc (2.7) ta thu ÷ñc
1
1
−
C
r+M −j−2
∗
∗
f
(∆x
)
−
f
(∆x
)
r+M −j
r+M −j−1
Cr+M −j−1
Cr+M −j−2
1 − Cr+M −j−2
1
∗
≤ kf k.
∆xr+M −j −
∆xr+M −j−1
Cr+M −j−1
Cr+M −j−2
≤ s + (1 − C1 )M C1 .
Tø b§t ¯ng thùc n y ta câ
Cr+M −j−2
1
∗
f ∗ (∆xr+M −j )
f (∆xr+M −j−1 ) ≥
Cr+M −j−1
1 − Cr+M −j−2
Cr+M −j−2
−
f ∗ (∆xr+M −j ) (s + (1 − C1 )M C1 ).
1 − Cr+M −j−2
(2.8)
18
−1
V¼ d¢y {Ci }∞
≤ (1 − C1 )−1 v
i=0 khæng t«ng, n¶n vîi måi i ≥ 1, (1 − Ci )
Ci (1 − Ci )−1 ≤ C1 (1 − C1 )−1 . Vîi j = 0, tø
f ∗ (∆xr+M ) = k∆xr+M k ∈ [s, s + (1 − C1 )M C1 ]
v (2.8) ta thu ֖c,
C
1
r+M
−2
s−
s + (1 − C1 )M C1 )
f ∗ (∆xr+M −1 ) ≥
1 − Cr+M −2
1 − Cr+M −2
≥ s − C12 (1 − C1 )M −1 .
(2.9)
Ta s³ ch¿ ra b§t ¯ng thùc (2.9) suy ra
∗
M −1
f (∆xr+M −j−1 ) ≥ s − (1 − C1 )
C12
j
X
t=0
1
1 − C1
t
,
(2.10)
vîi j = 1, 2, . . . , M − 1. Ta chùng minh b¬ng quy n¤p. Vîi j = 0, th¼ b§t ¯ng
thùc (2.10) ch½nh l b§t ¯ng thùc (2.9). Gi£ sû b§t ¯ng thùc (2.10) óng
vîi måi j ≤ k , vîi k ∈ 1, 2, 3, . . . , M − 2. Khi â tø b§t ¯ng thùc (2.8) v
b¬ng quy n¤p ta thu ÷ñc
f ∗ (∆xr+M −(k+1)−1 ) = f ∗ (∆xr+M −k−2 )
1
Cr+m−k−3
f ∗ (∆xr+m−k−2 )
≥
Cr+m−k−2
1 − Cr+m−k−3
Cr+m−k−3
−
s + (1 − C1 )M C1 )
1 − Cr+m−k−3
"
t #
k
X
1
1
≥
s − (1 − C1 )M −1 C12
1 − Cr+m−k−3
1 − C1
t=0
Cr+m−k−3
1
−
s + (1 − C1 )M C1 )
1 − Cr+m−k−3
1 − Cr+m−k−3
t
k
X
1
1
≥s−
(1 − C1 )M −1 C12
1 − C1
1 − C1
t=0
C1
−
(1 − C1 )M C1
1 − C1
t
k+1
X
1
M −1 2
= s − (1 − C1 )
C1
.
1
−
C
1
t=0
- Xem thêm -
.PDF 
37 
1 
142 
