Tài liệu Về tính co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------- VŨ THỊ THU VỀ TÍNH CO VÀ KHÔNG GIÃN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60. 46. 01. 12 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU VỀ TÍNH CO VÀ KHÔNG GIÃN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . 1.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân . . . . . 1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong không gian 1.2 Ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . 1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạnh . . . . 1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức . . . . . . . 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị . . . . 1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ. . . . . . . . 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MVIP) . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Phương pháp ánh xạ co và không giãn của ánh xạ cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . 2.1.1 Tính co của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . 2.1.2 Mô tả thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . 2.2 Tính không giãn và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . 2.2.1 Tính không giãn của ánh xạ nghiệm . . . . 2.2.2 Mô tả thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu . . . . . . . . . . . 4 4 4 6 8 13 13 15 15 17 17 23 nghiệm . . . . . . . . . . . . http://lrc.tnu.edu.vn/ . . . . . . . . . . . . 26 26 26 33 37 37 42 ii Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy đã giành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của Tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thầy đã tạo điều kiện và giúp đỡ Tôi có thêm kiến thức, khả năng nghiên cứu, chọn lọc và tổng hợp các tài liệu chính cũng như cơ bản để hoàn thành luận văn. Tôi xin kính chúc Thầy và gia đình luôn luôn mạnh khỏe, hạnh phúc. Qua đây Tôi xin cảm ơn các quý Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013 tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện Toán Học lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dậy dỗ trong suốt quá trình đào tạo giáo dục tại nhà trường, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ về mặt chuyên môn mà còn cả trong cuộc sống. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, Tôi xin giành lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình và người bên cạnh Tôi. Nhờ có sự chăm sóc, lo lắng, động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để Tôi có được thành quả ngày hôm nay. Xin kính tặng bản luận văn này tới Gia đình. Thái Nguyên, tháng 8 - 2013 Người viết Luận văn VŨ THỊ THU Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Bài toán Bất đẳng thức biến phân đa trị được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampachia. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị liên quan tới việc giải bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới thiệu trong cuốn sách ” An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách ” Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems ” của Baiocci C. và Capelo A., xuất bản năm 1984. Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều bài toán khác. Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như: bài toán bù phi tuyến, bài toán quy hoạch lồi, bài toán xác định phương án sản xuất,...các bài toán đó là một trong những trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị cũng là một đề tài thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu khoa học vì nó có nhiều vai trò và ứng dụng trong lý thuyết toán học và các ứng dụng trong thực tế. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị là xây dựng phương pháp giải. Thông thường các phương pháp giải được chia thành các loại sau: Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển bài toán về hệ phương trình và dùng các phương pháp thông dụng như phương pháp Newton, phương Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 pháp điểm trong hệ phương trình. Loại thứ hai là phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu điển hình của phương pháp này là các phương pháp gradient sau này được tổng quát bởi Cohen thành lý thuyết bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề của Rockafellar, phương pháp hiệu chỉnh của Tikhonov,...Các phương pháp này khá là hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉ được đảm bảo dưới các giả thiết khác nhau về tính chất đơn điệu. Loại thứ ba là các phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm đánh giá. Nội dung chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị về cực tiểu của hàm chắn và sau đó sử dụng kỹ thuật tối ưu trơn hoặc không trơn để tìm cực tiểu của hàm chắn, phương pháp này có thể giải được bài toán với giả thiết rất nhẹ. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của thuật toán được đề xuất là chậm và thường chỉ hội tụ với các giả thiết về tính đơn điệu. Loại thứ tư là các phương pháp dựa trên điểm bất động, nội dung chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị về tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm. Trong luận văn này, ta xây dựng phương pháp giải bằng loại thứ tư. Luận văn trình bày phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông qua việc tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm với ánh xạ giá là phù hợp, nội dung chính của phương pháp này được viết trong bài báo ” P. N. Anh, L. D. Mưu, V. H. Nguyen and J. J Strodiot (2005), Using the Banach Contraction Principle to Implement the Proximal Point Method for Multivalued Monotone Variational Inequalities, J. Oplim. Theory Appl, 124, pp. 285 - 306 ”. Luận văn được chia thành hai chương: Chương I gồm hai phần: Phần một nhắc lại một số kiến thức cơ bản của không gian Hilbert, giải tích lồi, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn điệu mạnh, ánh xạ đồng bức (ánh xạ đơn điệu mạnh ngược). Phần hai trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (viết tắt là MVIP), nêu ra một số trường hợp riêng của bài toán và các ví dụ điển hình, sự tồn tại nghiệm cũng như tính chất của tập nghiệm. Chương II trình bày phương pháp lặp Banach giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) trong hai trường hợp hàm giá là đơn Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 điệu mạnh và hàm giá là đồng bức. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Do vấn đề đề cập trong luận văn là tương đối mới và phức tạp, thời gian cũng như khả năng còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các Thầy, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp, đồng môn và những người quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực H. Ta có một số tính chất và định nghĩa cơ bản về không gian Hilbert. Các kiến thức trong chương này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1 1.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định: h., .i :H × H → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau: i. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H ii. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H iii. hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R iv. hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0 hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y Cặp (H, h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita). Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên H. Ví dụ 1.1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5 1) Lấy H = Rn với x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ H và biểu thức n X hx, yi = xiyi i=1 xác định như một tích vô hướng trên Rn . 2) Lấy H = C[0,1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0, 1] nhận giá trị thực với x, y ∈ H biểu thức hx, yi = Z1 x(t)y(t)dt, 0 xác định một tích vô hướng trên C[0,1]. Khi đó không gian này là một không L gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C[0,1] . Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz. Định lí 1.2. Cho H là không tiền Hilbert. Khi đó ||x|| = hx, xi1/2, x ∈ H xác định một chuẩn trên H. Định nghĩa 1.2. Cho H là không tiền Hilbert. Khi đó ||x|| = hx, xi1/2, x ∈ H xác định một chuẩn trên H thì H là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là không gian đầy đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert. Ví dụ 1.2 n P 1) Nếu H = Cn với tích vô hướng xác định bởi hệ thức hx, yi = xiȳi i=1 trong đó x = (x1, x2, . . . , xn); y = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ C . Khi đó H là không gian Hilbert. 2) Cho (Ω, β, µ) là không gian độ đo kí hiệu Z L2(Ω) = f : Ω −→ H : |f (x)|2dµ < ∞ n Ω với tích vô hướng hf, gi = H. R f (x)g(x)dµ , L2(Ω) là một không gian hilbert Ω Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 6 Định lí 1.3. Cho H là không gian Hilbert, khi đó h, i : H × H → R, là một hàm liên tục. Định lí 1.4. (Đẳng thức hình bình hành) Với mọi x, y trong không gian tiền Hilbert H, ta có ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ). Định lí 1.5. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn) Cho (X, ||||) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên không gian Hilbert thực H. Giả sử với mọi x, y ∈ X thỏa mãn ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ). Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn hx, xi = ||x||2 Định lí 1.6. Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H khi đó với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ M sao cho ||x − y|| = d(x, M), trong đó d(x, M) là khoảng cách từ điểm x tới tập M. 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.4. Một tập C ⊆ H được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 =⇒ λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: i) λC ⊆ C, ∀λ > 0. ii) C + C ⊆ C. Tập C ⊆ H dưới đây ta luôn giả thiết C là tập lồi (nếu không giải thích gì thêm). Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 7 Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC (x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}. Cho C ⊆ H và f : H −→ 2H ta kí hiệu epif := {(x, µ) ∈ H × H | f (x) ≤ µ} domf := {x ∈ H | f (x) < +∞} Tập epif được gọi là trên đồ thị của hàm f . Tập domf được gọi là miền hữu hiệu của f . Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ C. Định nghĩa 1.6. Cho hàm f : H −→ R ∪ {+∞}, C ⊆ H. Khi đó hàm f được gọi là i) lồi trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. ii) lồi chặt trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1). iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 . Định nghĩa 1.7. Giả sử f : H −→ R ∪ {+∞} là hàm lồi trên tập C ⊆ H ta định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau: Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm (gradient) của f tại x◦ ∈ C ⊆ H nếu hw, x − x◦i + f (x◦) ≤ f (x), ∀x ∈ C. Tập tất cả các dưới đạo hàm (gradient) của hàm f tại x◦ được gọi là dưới vi phân của f tại x◦, kí hiệu là ∂f (x◦), tức là ∂f (x◦) := {w ∈ H : hw, x − x◦i + f (x◦) ≤ f (x), ∀x ∈ C}. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x◦ nếu ∂f (x◦) 6= ∅. Ví dụ 1.7 Cho ∅ = 6 C ⊆ H là một tập lồi, xét hàm chỉ của tập C.  0 nếu x ∈ C δC (x) := +∞ nếu x ∈ /C Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 8 Nếu x◦ ∈ C thì ∂δC (x◦) = {x∗ | hx∗ , x − x◦i ≤ δC (x), ∀x ∈ H}. Nếu x ∈ / C, thì δC (x) = +∞ nên bất đẳng thức hx∗, x − x◦i ≤ δC (x), ∀x ∈ H luôn đúng. Do đó ∂δC (x◦) = {x∗ | hx∗ , x − x◦i ≤ 0, ∀x ∈ C} = NC (x◦). Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của C tại một điểm x◦ ∈ C là nón pháp tuyến ngoài của C tại x◦. 1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong không gian Hilbert Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và đưa ra một số ví dụ minh họa. Định nghĩa 1.8. Cho X, Y là hai không gian bất kì, F : X ⇉ Y là ánh xạ từ X vào các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y , (F (x) có thể là tập ∅). Kí hiệu F : X ⇉ Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y lúc này ta thay kí hiệu F : X ⇉ Y bởi kí hiệu F : X → Y . Định nghĩa 1.9. Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y tương ứng được xác định bằng công thức: gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}. domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅}. và rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}. Ánh xạ ngược F −1 : Y ⇉ X của ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y được xác định bởi công thức: F −1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}, y ∈ Y. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 9 Nếu M ⊂ X là tập con cho trước thì hạn chế của ánh xạ F trên M (kí hiệu F |M ) là ánh xạ đa trị F |M : M ⇉ Y được cho bởi: F |M = F (x), ∀x ∈ M. Ví dụ 1.9 1) Xét phương trình đa thức xn + a1 xn−1 + . . . + an−1x + an = 0 Trong đó n ∈ N là số nguyên dương và ai ∈ R, (i = 1, n) là các hệ số thực Quy tắc cho tương ứng với mỗi véctơ a = (a1, . . . , an ) ∈ Rn với tập nghiệm kí hiệu là F (a) cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn ⇉ C. gphF = {(a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0} domF = Rn rgeF = C 2) Cho X ⊆ H, X = {(x, 0) | x ∈ H}. Xét ánh xạ F : X → 2H thỏa mãn:  (x, y) ∈ H | y = 1 , nếu x 6= 0 F (x, 0) := |x|  0 × (0, +∞), nếu x = 0 là một ánh xạ đa trị từ X vào H. Với ánh xạ đa trị F : X ⇉ Y , ta xác định đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ F tương ứng bằng các công thức graphF := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}, domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅} Định nghĩa 1.10. (Tính liên tục) Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là: i) Nửa liên tục trên tại x̄ ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2H thỏa mãn F (x̄) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U . ii) Nửa liên tục dưới tại x̄ ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ 2H thỏa mãn F (x̄) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân cận mở U của x̄ sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF . iii) Đóng trên W , nếu với mỗi cặp điểm của dãy uk → u, q k → q sao cho uk ∈ W và q k ∈ Q(uk ), ta có q ∈ Q(u). Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) nếu nó nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc domF . Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 10 F được gọi là liên tục tại x̄ ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x̄. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên tục. Ví dụ 1.10 1) Cho ánh xạ đa trị F : H → 2H thỏa mãn:  nếu x < 0, 0, F (x) = [−1, 1], nếu x = 0,  1, nếux > 0. Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên H. Thật vậy, ta thấy ánh xạ F là nửa liên tục trên tại mọi điểm x 6= 0. Mặt khác, F nửa liên tục dưới tại x̄ = 0 vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F (0) tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có:  nếu − 1 < x < 0, 0, F (x) = [−1, 1], nếu x = 0,  1, nếu 0 < x < 1. Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1). Như vậy, F là ánh xạ nửa liên tục trên trên H = R. 2) Ánh xạ đa trị F : H → 2H thỏa mãn:  [0, 1], nếux 6= 0, F (x) = 0, nếux = 0. Khi đó F nửa liên tục dưới tại x̄ = 0. Thật vậy, với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn (a, b) ∩ F (0) = 0 6= ∅, tồn tại −1 1 lân cận của 0, chẳng hạn U = ( , ). Ta có 2 2 ( −1 1 [0, 1], nếu x ∈ / ( , ) \ {0}, F (x) = 2 2 0, nếu x = 0. Do đó (a, b) ∩ F (x) 6= ∅, ∀x ∈ ( 3) Ánh xạ đa trị F (x) =  −1 1 , ). Vậy F nửa liên tục dưới tại x̄ = 0. 2 2 [0, 1], [−1, 0], nếu x là số hữu tỷ , nếu x là số vô tỷ . Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 11 không phải là ánh xạ liên tục ở trên H = R. Hơn thế F không là nửa liên tục trên và cũng không là nửa liên tục dưới tại bất cứ điểm x̄ ∈ H nào. Như đã biết, khái niệm liên tục Lipschitz là khái niệm có vai trò quan trọng trong toán học. Ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của một ánh xạ đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff. Định nghĩa 1.11. (Khoảng cách Hausdorff) Cho A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của H. Khoảng cách Hausdorff của A và B được xác định như sau: ρ(A, B) = max{d(A, B); d(B, A)}. trong đó: d(A, B) = sup d(a, B) = sup inf ||a − b|| a∈A a∈A b∈B d(B, A) = sup d(b, A) = sup inf ||a − b|| b∈B b∈B a∈A Định nghĩa 1.12. (Định nghĩa ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz) 2 Cho ∅ = 6 C ⊆ H, ánh xạ đa trị F : R2 → 2R được gọi là liên tục Lipschitz trên C ⊆ H với hệ số L > 0 (Được viết tắt là L- Lipschitz) nếu ρ(F (x), F (y)) ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C. Khi L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co trên C. L = 1 thì F được gọi là ánh xạ không giãn trên C. Ví dụ 1.12 2 Cho C := {(x, 0) | x ≥ 0} ⊆ H và ánh xạ F : R2 → 2R xác định bởi F (x, 0) := {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x}. √ Khi đó ánh xạ F là liên tục Lipschitz với hệ số L = 2. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 12 Thật vậy, mọi (x, 0), (x′, 0) ∈ C(x, x′) thì d(F (x, 0); F (x′, 0)) = = = max min (x,y)∈F (x,0) (x′ ,y ′ )∈F (x′ ,0) max min max |x − x | (x,y)∈F (x,0) (x′ ,y ′ )∈F (x′ ,0) ′ (x,y)∈F (x,0) ||(x, y) − (x′, y ′ )|| q (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = ||(x, 0) − (x′, 0)|| d(F (x′, 0); F (x, 0)) = = ≤ = = max (x′ ,y ′ )∈F (x′ ,0) max ||(x, y) − (x′, y ′ )|| (x,y)∈F (x,0) q min (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 min (x′ ,y ′ )∈F (x′ ,0) (x,y)∈F (x,0) √ √ √ 2 max (x′ ,y ′ )∈F (x′ ,0) |x − x′ | 2|x − x′| 2||(x, 0) − (x′, 0)||. Do đó: ρ(F (x, 0); F (x′, 0)) ≤ √ 2||(x, 0) − (x′, 0)||, ∀(x, 0), (x′, 0) ∈ C  Định lí 1.7. (Định lí Kakutani) Cho C ⊆ H là một tập lồi, compac trong không gian Hilbert H và một ánh xạ đa trị đóng F : C −→ 2C sao cho với mọi x ∈ C, F (x) là tập lồi, compac, không rỗng. Khi ấy F có một điểm bất động, nghĩa là một điểm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ F (x∗). Định lí 1.8. (Định lí ánh xạ Nadler ) Trong không gian Hilbert H cho một điểm a ∈ H và một ánh xạ đa trị F : H −→ 2H sao cho với mỗi x ∈ H tập F (x) đóng và không rỗng. Nếu có một số θ, 0 < θ < 1, để cho ∀x, x′ ∈ H, ρ(F (x), F (x′)) ≤ θ||x − x′|| thì với d(a, F (a)) mỗi α ∈ (θ, 1) tồn tại một điểm x∗ ∈ F (x∗) mà ρ(x∗, a) ≤ . α−θ Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 13 1.2 1.2.1 Ánh xạ đa trị đơn điệu Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu Định nghĩa 1.13. Với C ⊆ H, ánh xạ đa trị F : C −→ 2C , được gọi là i) đơn điệu trên C, nếu hw − w′ , x − x′ i ≥ 0, ∀x, x′ ∈ C, w ∈ F (x), w′ ∈ F (x′) Khi F đơn trị, bất đẳng thức trên trở thành hF (x) − F (x′), x − x′i ≥ 0 ∀x, x′ ∈ C. ii) đơn điệu ngặt trên C, nếu hw − w′ , x − x′i > 0, ∀x, x′ ∈ C, w ∈ F (x), w′ ∈ F (x′). iii) giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, x′ ∈ C, w ∈ F (x), w′ ∈ F (x′) ta có hw, x − x′ i ≥ 0 kéo theo hw′ , x − x′i ≥ 0. Ví dụ 1.13 1) Ánh xạ đa trị F được định nghĩa F (x, 0) := {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x} là đơn điệu trên C = {(x, 0) | x ≥ 0}. Thật vậy, Với mọi (x, 0), (x′, 0) ∈ C và với mọi (x, y) ∈ F (x, 0), (x′, y ′ ) ∈ F (x′, 0) ta có h(x, y) − (x′, y ′ ), (x, 0) − (x′, 0)i = h(x − x′, y − y ′ ), (x − x′ , 0)i = |x − x′|2 ≥ 0. Hơn nữa, ánh xạ F là đơn điệu ngặt vì bất đẳng thức trên là ngặt khi (x, 0) 6= (x′, 0). 2) Một trong những ví dụ quan trọng nhất về ánh xạ đa trị đơn điệu là ∂f (x) (dưới vi phân của hàm lồi) Với bất kỳ hàm lồi, chính thường f : H −→ R ∪ {+∞}, ánh xạ ∂f : H −→ 2H là đơn điệu trên domf . Thật vậy, Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 14 Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x′ ∈ dom(∂f ), v ∈ ∂f (x), v ′ ∈ ∂f (x′), từ bất đẳng thức dưới gradient ta có: f (x) ≥ f (x′) + hv ′ , x − x′ i f (x′) ≥ f (x) + hv, x′ − xi với các giá trị f (x) và f (x′) hữu hạn. Cộng các bất đẳng thức trên với nhau ta được 0 ≥ hv ′ , x − x′i + hv, x′ − xi hay hv − v ′ , x − x′ i ≥ 0, ∀x, x′ ∈ dom∂f, v ∈ ∂f (x), v ′ ∈ ∂f (x′). Vậy ∂f là đơn điệu. ∗ Tính chất (Phép bảo toàn tính đơn điệu). Cho T : H −→ 2H là một ánh xạ đa trị i ) Nếu T đơn điệu thì T −1 cũng là đơn điệu. ii) Nếu T là đơn điệu (đơn điệu ngặt) thì λT (λ > 0) cũng đơn điệu (đơn điệu ngặt). iii) Nếu T ′ : H −→ 2H cũng là ánh xạ đa trị đơn điệu thì T + T ′ là đơn điệu. Nếu thêm điều kiện T hoặc T ′ là đơn điệu ngặt thì T + T ′ là đơn điệu ngặt. Chứng minh. i) Giả sử T đơn điệu, với mọi w, w′ ∈ H, x ∈ T −1(w), x′ ∈ T −1(w′ ), theo định nghĩa ánh xạ đa trị ngược thì w ∈ T (x) và w′ ∈ T (x′), ta có hx − x′ , w − w′ i = hw − w′, x − x′i ≥ 0, ∀x ∈ T −1(w), x′ ∈ T −1(w′ ). Vậy T −1 là ánh xạ đơn điệu. ii) Với λ > 0, ∀x, x′ ∈ H, λw ∈ λT (x), λw′ ∈ λT (x′). Ta có hλw − λw′ , x − x′i = λhw − w′ , x − x′ i ≥ 0 Vậy λT là ánh xạ đơn điệu khi T đơn điệu. Hiển nhiên bất đẳng thức trên là ngặt khi T đơn điệu ngặt. iii) Với mọi x, x′ ∈ H và v ∈ (T + T ′ )(x) = {u + w | u ∈ T (x), w ∈ T ′ (x)}, v ′ ∈ (T + T ′ )(x′) = {u′ + w′ | u′ ∈ T (x′), w′ ∈ T ′ (x′)}. Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/