Tài liệu Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN QUANG HUÂN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN QUANG HUÂN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Danh mục ký hiệu vi 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi 2 phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ 6 Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 11 2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ . . . . . . 11 2.2. Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ . . . . 15 3 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 20 3.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến . . 20 3.2. Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 24 i 3.3. Tính ổn định hóa được hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính không chắc chắn phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 ii Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật [7, 8, 11]. Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc n d vào cách người ta tổng quát đạo hàm dx n cho trường hợp n không nguyên. Tuy nhiên, hai khái niệm được dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville được phát triển bởi Abel, Riemann và Liouville trong nửa đầu thế kỉ 19. Xét theo tiến trình lịch sử, đây là khái niệm đạo hàm phân thứ đầu tiên được xây dựng. Tuy nhiên, khi áp dụng khái niệm này để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa Vật lý. Đạo hàm phân thứ Caputo được Caputo xây dựng năm 1969. So với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa Vật lý. Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong với nhiều bài toán khác nhau như nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9], nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [10], giải số hệ phương trình phân thứ Caputo [14]. Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân trong một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể chấp nhận. Để nghiên cứu các bài toán dạng này, năm 1953, Kamenkov đề xuất bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho các hệ động lực mô tả bởi các hệ phương trình vi phân. Khác với bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ phương trình vi phân trên một khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời gian hữu hạn. Cụ thể hơn, một hệ phương trình vi phân được gọi là FTS nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho iii điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho [2]. Tuy nhiên, như bình luận của một số nhà khoa học [3, 13], đôi khi ta không biết được thông tin của toàn bộ véc tơ trạng thái mà chỉ biết thông tin của một vài thành phần của nó thông qua véc tơ quan sát đầu ra. Trong trường hợp này, việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra (IO-FTS) của một hệ thống là thật sự quan trọng. Amato cùng các cộng sự [3] là những người đầu tiên đưa ra khái niệm IO-FTS và cũng là những người đầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính. Từ đó, có nhiều tác giả mở rộng kết quả trong [3] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho nhiều lớp hệ khác nhau như lớp hệ suy biến tuyến tính [16], lớp hệ chuyển mạch tuyến tính [12], lớp hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên [15]. Chú ý rằng các kết quả trong [12, 16] nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân có cấp nguyên (cấp một). Năm 2017, Ma và các cộng sự [13], lần đầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân cấp phân số (hệ phương trình vi phân phân thứ). Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra cho một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Trước tiên, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quả của Ma cùng các cộng sự trong bài báo [13] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi mở rộng kết quả này để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến. Cụ thể, luận văn gồm 3 chương với những nội dung sau: Chương 1 có tên “Một số kiến thức chuẩn bị”. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích phân thứ, các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Cuối chương là một số bổ đề hỗ trợ được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương iv sau của luận văn. Chương 2 có tiêu đề “Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ”. Nội dung chính của Chương 2 là trình bày các tiêu chuẩn ổn định, tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào – đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ. Nội dung chương này được chúng tôi tham khảo trong [13] của danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Đây chính là nội dung nghiên cứu của luận văn. Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn và biết ơn chân thành của mình tới tất cả những người đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi về chuyên môn, vật chất và tinh thần trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Mai Viết Thuận trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn, nhận xét và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tham gia trực tiếp trong quá trình giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y khóa 2015 - 2017, các phòng ban chức năng, khoa Toán Tin và trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả Nguyễn Quang Huân v Danh mục ký hiệu R, R+ Rn tập các số thực, số thực không âm tương ứng không gian véc tơ Euclide thực n-chiều AT I ma trận chuyên vị của ma trận A ma trận đơn vị λ(A) λmax (A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk A≥0 p chuẩn phổ của ma trận A, kAk = λmax (AT A) ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi , ∀x ∈ Rn A≥B A>0 nghĩa là A − B ≥ 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is kxk Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] α t0 It không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên đoạn [a, b] toán tử tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α RL α t0 Dt C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α Γ(x) toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số. vi Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về kết quả về tính ổn định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [1, 4, 5, 7, 8] 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0 Itα := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau 1 Định lí 1.1. ([5]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, tích phân t0 Itα x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 Itα x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([5]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t  dn  n−α 1 dn RL α x(t) = (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 It t0 Dt x(t) := n n dx Γ(n − α) dx t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)   1, nếu t ≥ 0 f (t) =  0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = 2 t−α . Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:  AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]  d D= }. dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([8]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lí 1.2. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó α đạo hàm phân thứ RL t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) 3 Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2 Hệ quả 1.1. ([8]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 1 f (t0 ) f (s)ds RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z 1 dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = n Γ(n − α) dt t0 Z Z λ dn t µ dn t n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([7]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
T C α C α C α C α D x(t) := D x (t), D x (t), . . . , D x (t) . t0 t t0 t 1 t0 t 2 t0 t d Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. 4 Định lí 1.3. ([8]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó α đạo hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 1 f (s)ds C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([7]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lí 1.4. ([8]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây 5 Định lí 1.5. ([8]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α I D f (t) = f (t) − f (t0 ). t0 t t0 t Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau Định lí 1.6. [5] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: ! n−1 j X (t − t0 ) (j) C α RL α x (t0 ) , x(t) − t0 Dt x(t) =t0 Dt j! j=0 với hầu hết t ∈ [a, b]. 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] ( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , 6 (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.4. [5] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 (1.3) (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0 ) = x0 + Γ(α) 0 Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lí 1.7. ([5] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G   T, nếu M = 0, ∗ T =  min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. 7 Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lí 1.8. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [7] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [7] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) 8 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [8]. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất:   C Dα x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, 0 t (1.4)  x(0) = x ∈ Rn , 0 trong đó x(t) ∈ Rn , g(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước. Bằng cách chứng minh tương tự như trong Định lí 2.5, trang 31 trong tài liệu tham khảo [7], ta thu được công thức tường minh của nghiệm của bài toán (1.4) như sau: Z t ϕ(t, x0 ) = Φ0 (t)x0 + Φ(t − τ )g(τ ) dτ, 0 Trong đó α Φ0 (t) = Eα (At ) = +∞ X k=0 Φ(t) = +∞ X k=0 Ak tαk , Γ(kα + 1) Ak t(k+1)α−1 . Γ([k + 1]α) Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả của Tuan H.T trong [1] về công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến   C Dα x(t) = Ax(t) + f (x(t)), t ≥ 0, 0 t (1.5)  x(0) = x ∈ Rn , 0 trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f : Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0. Định lí 1.9. ([1]) Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn , bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0 ). 9 Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn công thức biến thiên hằng số: Z t α x(t, x0 ) = Eα (t A)x0 + (t−τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A) f (x(τ, x0 )) dτ, ∀t ≥ 0. 0 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Để kết thúc chương, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X +Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu # " T X Z < 0. Z −Y Bổ đề 1.3. [6] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục. Khi đó ta có bất đẳng thức sau đúng  T  C α α D x (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C 0 t 0 Dt x(t), 10 ∀t ≥ 0. Chương 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết kết quả trong bài báo [13] về tính ổn định hữu hạn và ổn định hóa được hữu hạn đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo. Trong cả chương này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của hệ phương trình. 2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm về không gian các hàm bị chặn cốt yếu. Không gian định chuẩn L∞ ([0, T ]) là không gian các hàm x(t) bị chặn cốt yếu trên [0, T ] với chuẩn trên L∞ ([0, T ]) cho bởi kxk := vraisup|x(t)| < 0, trong đó vraisup|x(t)| là số λ bé nhất thỏa mãn đánh giá |x(t)| ≤ λ với hầu hết t ∈ [0, T ]. Còn L∞ ([0, T ], Rm ) là không gian các hàm nhận giá trị trong Rm bị chặn cốt yếu trên [0, T ]. Tương tự như trong [3], ta xét tập sau: W∞ := W∞ (T, R) = {u(.) ∈ L∞ ([0, T ], Rm ) : uT (t)Ru(t) ≤ 1, t ∈ [0, T ]}, 11 ở đó R ∈ Rn là một ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo  C α   D x(t) = Ax(t) + Bω(t), t ≥ 0,   0 t x(0) = 0,     y(t) = Cx(t), (2.1) Trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, y(t) ∈ Rq là véc tơ đầu ra (output vector), A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rq×n là các ma trận hằng số cho trước. Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) ∈ W∞ . Định nghĩa 2.1. [13] Cho trước một số dương T > 0, một ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rq×q . Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra tương ứng với (W∞ , Q, T ) nếu ω(.) ∈ W∞ =⇒ y T (t)Qy(t) < 1, ∀t ∈ [0, T ], Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn đầu vàođầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo (2.1) thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Việc giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính có thể được thực hiện bằng gói công cụ Matlab [4]. Cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính đã được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng trong các nghiên cứu của mình. Cho đến nay đã có hàng nghìn công trình nghiên cứu sử dụng cách tiếp cận này. Định lí 2.1. ([13]) Hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo (2.1) là ổn định hữu hạn đầu vào-đầu ra tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ] nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn " # P A + AT P P B < 0, (2.2a) BT P −R Tα C T QC < P. (2.2b) Γ(α + 1) Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau V (x(t)) = xT (t)P x(t). 12