Tài liệu Về tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron phân thứ hopfield

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.1. Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . . . . 17 2.2. Tính đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . 27 1 LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi Chua và Yang vào năm 1988 (xem [5]). Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 6, 14]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, Boroomand và Menhaj [3] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron Hopfield bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 14]. Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản và quan trọng của mọi hệ động lực và mạng nơ ron phân phân thứ Hopfield cũng không là ngoại lệ. Do đó bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học và nhiều kết quả thú vị và sâu sắc đã được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín trong những năm gần đây (xem [15, 17, 18, 20, 21, 22]). Như chúng ta đã biết phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield với bậc nguyên. Năm 2010, Li [12] cùng các cộng sự đưa ra phương pháp hàm Lyapunov hay còn gọi là phương pháp trực tiếp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến. Tuy nhiên khó khăn trong việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ là xây dựng hàm Lyapunov thích hợp và tính đạo hàm phân thứ của hàm 2 3 Lyapunov này. Năm 2015, Duarte-Mermoud [8] cùng các cộng sự đưa ra một công thức để ước lượng đạo hàm phân thứ cấp α ∈ (0, 1) của hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = xT (t)P x(t), x(t) ∈ Rn , trong đó P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Dựa trên kết quả này và bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [22] nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bổ đề S và bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [18] đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn định của một lớp hệ nơ ron Hopfield phân thứ với hàm kích hoạt mở rộng. Tuy nhiên, hàm Lyapunov được chọn để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ trong các công trình [18, 22] còn đơn giản. Gần đây, Wang cùng các cộng sự [16] đã đưa ra cách chọn hàm Lyapunov hữu hiệu hơn để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ. Ngoài ra, tác giả còn đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính đồng bộ hóa của mạng nơ ron phân thứ. Luận văn tập trung trình bày tính ổn định và đồng bộ hóa cho hệ nơ ron Hopfield phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các kết quả trong bài báo [16] của Wang cùng các cộng sự được công bố năm 2019. Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau đây: Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 10, 11]. Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ bằng cách xây dựng hàm Lyapunov lồi và cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Ngoài ra, bài toán đồng bộ hóa cho mạng nơ ron phân thứ cũng được chúng tôi trình bày trong chương này. Nội dung của chương này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [16]. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 03 ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết trong chương này. Đây có thể coi là đóng góp mới của luận văn. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái 4 Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn. Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe p λmax (A> A) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α   l1 0 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  0 l2 0    0 0 l3 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [7, 8, 10, 11]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([11]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau: Định lý 1.1. ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi 6 7 đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([11]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a. (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([11]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi RL α t0 Dt x(t)  dn  n−α 1 dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, nếu t ≥ 0, f (t) =   0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) 8 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:   d }. D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([11]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), ck = f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 9 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2. Hệ quả 1.1. ([11]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 f (s)ds 1 f (t0 ) RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t 1 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = n Γ(n − α) dt t0 Z Z λ µ dn t dn t n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dtn t0 Γ(n − α) dtn t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α D x (t), D x (t), . . . , D x (t) 1 2 d t0 t t0 t t0 t . Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. 10 Định lý 1.3. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α D f (t) = . t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 f (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([11]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). 11 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây Định lý 1.5. ([11]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau Định lý 1.6. [11] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) α =RL x(t) − t0 Dt n−1 X (t − t0 )j j=0 j! ! x(j) (t0 ) , với hầu hết t ∈ [a, b]. 1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] (trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) 12 với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.5. [7] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0 ) = x0 + Γ(α) 0 (1.3) Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lý sau đây: Định lý 1.7. ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. 13 Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G T∗ =    T, nếu M = 0,   min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của Bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lý 1.8. ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét Bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [10] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [10] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) 14 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [11]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo    C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , t0 t (1.4)   x(t0 ) = x0 ∈ Rn , T trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban đầu và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Định nghĩa 1.6. ([22]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.4) trở thành C α t0 Dt y(t) = C α t0 Dt (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.5) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0. 15 Định nghĩa 1.7. ([22]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.3. ([22]) Nếu Hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến. Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Định lý 1.9. ([12]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện: α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , (i) (ii) C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4) là Mittag–Leffler ổn định toàn cục. 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. 16 Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z  < 0.  Z −Y Bổ đề 1.3. [8] Cho Ω ⊂ Rn . Cho V (.) : Ω −→ R và x(.) : [0, ∞) −→ R là các hàm khả vi liên tục và V (.) là một hàm lồi trên Ω. Khi đó  T ∂V (x(t)) C α C α t0 Dt V (x(t)) ≤ t0 Dt x(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0. ∂x Chương 2 Tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ 2.1. Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ dưới đây    C Dα y(t) = Ay(t) + Bg(y(t)) + J(t), t ≥ 0, t 0 (2.1)   y(0) = y0 ∈ Rn , ở đó α ∈ (0, 1), y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ nơ ron Hopfield phân thứ, g(y(t)) = (g1 (y1 (t)), . . . , gn (yn (t))) là hàm kích hoạt của mạng nơ ron Hopfield, A = diag{a1 , . . . , an }, ai < 0 (i = 1, 2, . . . , n) và B ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước. Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (2.1) ta cần giả thiết dưới đây Giả thiết 1: Các hàm gi (.), gi (0) = 0(i = 1, 2, . . . , n) là hàm liên tục, bị chặn và thỏa mãn bất đẳng thức dưới đây. ki− ≤ gi (y1 ) − gi (y2 ) ≤ ki+ , ∀y1 , y2 ∈ R, y1 6= y2 , y1 − y2 (2.2) ở đó ki− , ki+ (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước. Với Giả thiết 1, người ta đã chứng minh được rằng Hệ (2.1) tồn tại và duy nhất một điểm cân bằng (nghiệm của Hệ (2.1)). Cho y ∗ = (y1∗ , . . . , yn∗ ) là điểm cân bằng của Hệ (2.1). Sử dụng phép đổi biến x(t) = y(t) − y ∗ , ta thu được hệ phân thứ dưới đây C α 0 Dt x(t) = Ax(t) + Bf (x(t)), t ≥ 0, 17 (2.3) 18 ở đó f (x(t)) = g(x(t) + y ∗ ) − g(y ∗ ). Từ Giả thiết 1, dễ dàng kiểm tra được hàm kích hoạt f (x) = (f1 (x1 ), . . . , fn (xn )) thỏa mãn ki− ≤ fi (x2 ) − fi (x1 ) ≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 6= x2 . x2 − x1 (2.4) Ngoài ra, nếu x2 = 0, ta có ki− ≤ fi (x1 ) ≤ ki+ , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 6= 0. x1 (2.5) Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính Mittag-Leffler ổn định của Hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.3). Định lý 2.1. Giả sử Giả thiết 1 đúng. Hệ (2.3) là Mittag-Leffler ổn định nếu tồn tại các ma trận P1 , P2 ∈ Rn×n , các ma trận đường chéo chính Dj = diag{dj1 , dj2 , . . . , djn }, Dj∗ = diag{d∗j1 , d∗j2 , . . . , d∗jn } ∈ Rn×n (j = 1, 2, 3, 4), hai ma trận đường chéo chính, xác định dương S1 , S2 ∈ Rn×n và một ma trận L ∈ R4n×n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn sym{P1 + P2 } > 0, Di + Di∗ > 0, S1 > 0, S2 > 0, Φ < 0, (2.6) ở đó
Φ = sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P1 e1 + eT1 P2 e4 + eT4 P2 e1   + eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 )

+ (eT1 K + − eT2 )D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4

+ αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4

+ eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4



+ eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 + eT3 − αeT1 K − S2 αK + e1 − e3 + L (Ae1 + Be2 − e4)}, h i h i h i h i e1 = I 0 0 0 , e2 = 0 I 0 0 , e3 = 0 0 I 0 , e4 = 0 0 0 I , K + = diag{k1+ , k2+ , . . . , kn+ }, K − = diag{k1− , k2− , . . . , kn− }. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây V (x(t)) = 3 X i=1 Vi (x(t)),