Tài liệu Về véctơ trọng số rbf cho phương pháp không lưới rbf fd trong không gian ba chiều

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 6/2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— VŨ XUÂN HIỂN VỀ VÉCTƠ TRỌNG SỐ RBF CHO PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐẶNG THỊ OANH Thái Nguyên, 6/2020 ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . 3 Một số định nghĩa và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . . 10 1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Phương pháp không lưới RBF – FD giải phương trình Poisson trong không gian ba chiều 15 2.1 Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 2.3 Véctơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . 2.2.1 Véctơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân bố không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nội suy không có thành phần đa thức . . . . . 2.2.3 Nội suy có thành phần đa thức . . . . . . . . . . 16 . 16 . 18 . 20 2.2.4 Véctơ trọng số RBF trong không gian ba chiều . . . 23 Thuật toán chọn tâm dựa trên các góc khối . . . . . . . . 26 2.4 Lược đồ RBF-FD giải bài toán Elliptic trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 31 iii Tài liệu tham khảo 32 iv Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Đặng Thị Oanh - Người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Ân Thi, Hưng Yên và tập thể các thầy cô giáo trong tổ Toán Tin của Trường đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian tác giả tham gia học cao học. Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K12A6, gia đình bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Tác giả Vũ Xuân Hiển v Danh mục ký hiệu Ω Miền hình học. Ξ Ξint Tập các các tâm trong miền và trên biên Ω. Tập các tâm nằm trong miền Ω. ∂Ω ζ Tập các tâm nằm trên biên ∂Ω. Tâm thuộc tập Ξint . g f Hàm trên biên. Hàm vế phải của phương trình Poisson. w u véc tơ trọng số. Nghiệm giải tích. ũ Nghiệm xấp xỉ. ∞ Rn Vô cùng. Không gian n chiều. λ φ Giá trị riêng của ma trận. Hàm cơ sở bán kính.  A Tham số hình dạng. Ma trận của hệ phương trình đại số tuyến tính. b x Véc tơ vế phải của hệ phương trình đại số tuyến tính. Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính. E X Ma trận đơn vị. Bộ tâm gồm ξ và ζ. Ký hiệu: X = {ζ, ξ1 , ..., ξk } . k Số các điểm ξi cần thiết trong tập Ξζ . 1 Mở đầu Trong suốt thế kỷ XX, một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference - FD), phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method -FVM), phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM). . . Những phương pháp này đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng toán học vào thực tiễn. Tuy nhiên, chúng còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp như: lưới biến dạng trên phạm vi rộng, số chiều không gian cao, hàm vế phải hoặc hàm điều kiện biên có kì dị (có độ dao động lớn). Khó khăn lớn nhất ở đây là sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới. Đó là lý do thúc đẩy các nhà khoa học thuộc các lĩnh vực khác nhau, tìm kiếm những phương pháp mới nhằm khắc phục những hạn chế này của các phương pháp lưới. Để khắc phục một số nhược điểm của phương pháp lưới, người ta đã đưa ra phương pháp không lưới giải phương trình đạo hàm riêng [4, 5, 9, 11, 12, 14]. Một trong các cách tiếp cận không lưới là phương pháp RBF – FD (Radial Basis Funcion - Finite Difference) [9, 11, 12, 14]. - Hàm cơ sở bán kính Φ : Rd → R là hàm xác định dương và giá trị của nó chỉ phụ thuộc vào chuẩn của véctơ biến, tức là Φ(x) = φ(||x||2 ) với mọi x ∈ Rd và φ : [0; ∞) → R là một hàm cho trước nào đó [6, 10]. Sử dụng sự thay đổi của hàm này để xây dựng nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF – Interpolation) [6, 10]. Tiếp đó nội suy hàm cơ sở bán kính được sử dụng xấp xỉ toán tử vi phân, nhằm tạo ra các phương pháp xấp xỉ giải phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương pháp RBF – FD được xây dựng theo lược đồ này. Phương pháp RBF – FD là phương pháp không lưới sử dụng nội suy hàm cơ sở bán kính với cách tiếp cận địa phương, và dựa trên sự rời rạc hóa giống như phương pháp FD để tính xấp xỉ nghiệm tại một số điểm rời rạc trong miền xác định. Khi sử dụng phương pháp RBF – FD giải bài toán d chiều với d lớn tùy ý, thì thay vì phải làm việc với hàm d biến, ta chỉ cần làm việc với hàm một biến. Một lợi thế của kỹ thuật rời rạc không lưới là chỉ cần dựa trên tập điểm 2 độc lập phân bố bất kỳ, không cần tạo ra cấu trúc lưới. Do đó, không còn cần chi phí dành cho sinh lưới, duy trì lưới và cập nhật lưới. - Các nghiên cứu về phương pháp không lưới dựa trên hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF) và ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Luận văn tập trung trình bày cách tính véctơ trọng số dựa trên nội suy RBF trong không gian ba chiều cho phương pháp sai phân hữu hạn không lưới trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp từ các quyển sách [1, 6, 7, 10] và các bài báo [14, 15]. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; một số hàm cơ sở bán kính và lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1, 6, 7, 10]. 1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f (x) tại mọi giá trị của x trên đoạn [a; b] mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số tại một số hữu hạn các điểm rời rạc của đoạn đó. Các giá trị đó được cung cấp qua thực nghiệm hay tính toán, vì vậy nảy sinh một vấn đề toán học như sau: Trên đoạn [a; b] cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi , i = 0, 1, 2, · · · , n và tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f (x) là yi = f (xi ), i = 0, 1, 2, · · · , n. Cần xây dựng đa thức nội suy Pn (x) sao cho Pn (x) trùng với f (x) tại tất cả các nút xi , nghĩa là: Pn (xi ) = yi ; i = 0, 1, 2, · · · , n. Một số phương pháp nội suy truyền thống được đưa ra và giải quyết rất tốt bài toán trên, điển hình là phương pháp nội suy Lagrange và phương pháp nội suy Newton. Đa thức nội suy Lagrange rất đơn giản 4 và dễ tính, nếu các nút nội suy đã được cố định. Nhưng nếu ta bổ sung thêm nút nội suy thì quá trình tính lại phải tính lại từ đầu. Phương pháp nội suy Newton khắc phục được nhược điểm của nội suy Lagrange ở chỗ khi thêm vào lưới nội suy một nút nội suy mới xn+1 , ta chỉ cần thêm vào đa thức nội suy Pn (x) một số hạng. Tuy nhiên, khi số mốc nội suy lớn thì nội suy bằng đa thức thường xảy ra hiện tượng phù hợp trội (overfitting) do bậc của đa thức thường tăng theo số mốc nội suy. Hơn nữa, đa số các bài toán nội suy trong các ứng dụng thực tiễn lại là bài toán nội suy nhiều biến. Để khắc phục nhược điểm này, một phương pháp nội suy được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 là phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial basis function-RBF) có thể chuyển từ bài toán nội suy hàm nhiều biến về nội suy hàm một biến. Hơn nữa còn cho kết quả rất tốt, đặc biệt với bài toán nội suy hàm nhiều biến trên tập dữ liệu phân tán. 1.2 Một số định nghĩa và khái niệm Bài toán 1.1 Cho bộ dữ liệu (xi ; yi ), i = 1, 2, ..., n, xi ∈ Rd ; yi ∈ R, trong đó xi là các vị trí đo; yi là kết quả đo được tại vị trí xi . B1 , B2 , ..., Bn là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu là: ( n ) X F = span{B1 , B2 , ..., Bn } = ck Bk ; ck ∈ R (1.1) k=1 Tìm hàm Pf ∈ F sao cho Pf (xi ) = yi ; i = 1, 2, ..., n, (1.2) vì Pf ∈ F nên ta có Pf (x) = n X ck Bk (x), x ∈ Rd . (1.3) k=1 Từ (1.2) và (1.3) ta có Ac = y, (1.4) 5 trong đó  B1 (x1 ) B2 (x1 ) ... Bn (x1 )   B2 (x1 ) B2 (x2 ) ... Bn (x2 ) A=  ...  Bn (x1 ) Bn (x2 ) ... Bn (xn ) c = [c1 , c2 , ..., cn ]T ;    ,   (1.5) y = [y1 , ..., yn ]T . Bài toán 1.1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A không suy biến, tức là detA 6= 0. Trường hợp d = 1 (trong không gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như sau: {B1 , B2 , ..., Bn } = {1, x, x2 , ..., xn−1 }. Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau: Định lý 1.2.1 [10](Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ Rd , d ≥ 2 và chứa một điểm trong thì không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục trên Ω. Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω ⊂ Rd , và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ sở là {B1 , B2 , ..., Bn }. Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu detA 6= 0 với mọi bộ tâm phân biệt {x1 , x2 , ..., xn } trong Ω. Trong đó ma trận A = (Ajk )n×n ; Ajk = Bk (xj ); j, k = 1, 2, ..., n. Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của Bài toán 1.1. Ví dụ 1.2.3 Không gian các đa thức một biến bậc n − 1 chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu (xj ; yj ), j = 1, ...n; xj ∈ R; yj ∈ R. Định lí Mairhuber – Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy với dữ liệu phân tán trong không gian nhiều chiều thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để thu được các không gian xấp xỉ phụ 6 thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét đến các hàm xác định dương và các ma trận dương. Định nghĩa 1.2.4 (Ma trận xác định dương) Ma trận A vuông, đối xứng, giá trị thực được gọi là xác định dương nếu dạng toàn phương tương ứng không âm: n n X X cj ck Ajk ≥ 0 với c = (c1 , c2 , ..., cn )T ∈ Rn . j=1 k=1 Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0)T . Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các giá trị riêng đều dương và không suy biến. Nếu hệ cơ sở {Bk }nk=1 , trong Bài toán 1.1 làm cho ma trận nội suy A xác định dương thì hệ (1.4) có nghiệm duy nhất. Định nghĩa 1.2.5 (Hàm xác định dương) Hàm liên tục Φ : Rd −→ R là xác định dương trên Rd khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ Rd ; n ∈ N, và mọi vectơ c = (c1 , c2 , ...cn ) ∈ Rn thì dạng toàn phương n X n X cj ck Φ(xj − xk ) ≥ 0. (1.6) j=1 k=1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, ..., 0). Định nghĩa 1.2.6 Hàm một biến φ : [0, ∞) −→ R được gọi là xác định dương trên Rd nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ Rd là xác định dương. Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy có thể sử dụng các hàm xác định dương Bn = Φ(x − xk ) là hệ hàm cơ sở và khi đó (1.3) trở thành Pf (x) = n X k=1 ck Φ(x − xk ). (1.7) 7 Ma trận nội suy A = [Ajk ]n×n với Ajk = Bk (xj ) = Φ(xj − xk ); j, k = 1, ..., n. Tuy nhiên việc giải bài toán nội suy trong không gian nhiều chiều là khó khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một biến φ cho tất cả số chiều d. Định nghĩa 1.2.7 (Hàm bán kính) Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến φ : [0, ∞) → R sao cho Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ Rd . Định nghĩa 1.2.8 (Hàm bán kính xác định dương) Cho hàm Φ : Rd → R với hàm cơ sở tương ứng là φ. Ta nói φ xác định dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên Rd . Định nghĩa 1.2.9 (Hàm bán kính xác định dương có điều kiện) Hàm chẵn, liên tục Φ : Rd → R được gọi là xác định dương có điều kiện bậc l nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x1 , x2 . . . , xn } ⊂ Rd , n ∈ N, với mọi vectơ c = {c1 , c2 . . . , cn } ∈ Rn và mọi đa thức P giá trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn n X cj p(xj ) = 0, j=1 thì n X n X cj ck Φ(xj − xk ) ≥ 0, j=1 k=1 và công thức trên là đẳng thức khi và chỉ khi c là vectơ 0. Nhận xét i) Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc l trong không gian Rd thì nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn l. Cụ thể là nếu một hàm là xác định dương (l = 0) thì sẽ là xác định dương với mọi bậc l ∈ N. ii) Ma trận A với các phần tử Aj,k = Φ(xj − xk ) tương ứng với hàm chẵn, liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được xem 8 như là hàm xác định dương trên không gian vectơ c sao cho n X cj p(xj ) = 0, j=1 trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn l. Định nghĩa 1.2.10 (Hàm cơ sở bán kính (Radial basis function - RBF)) Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm số một biến φ : [0; ∞) → R thỏa mãn: Φ(x) = φ(r), với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong Rd (ta thường dùng chuẩn Ơcơlit). φ được gọi là hàm cơ sở bán kính. Trong khuôn khổ luận văn này tôi trình bày một số hàm cơ sở bán kính thông dụng, với r = kx − xk k . Tên hàm Tên viết tắt Multiquadric MQ Inverse multiquadric IMQ Gaussian Gauss Cauchy Cauchy Định nghĩa √ φmq (r) = 1 + r2 1 φimq (r) = √ 1 + r2 2 φg (r) = e−r 1 φc (r) = 1 + r2 Bảng 1.1: Bảng một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn. Hàm cơ sở bán kính φ(x) là xác định dương nếu ta nhân r với một số dương ε thì φ(rε) vẫn là xác định dương. Khi các mốc nội suy xác định thì giải pháp tối ưu là đưa vào hàm Φk một tham số hình dạng εk . Như vậy ta cần tìm εk để bài toán thỏa mãn điều kiện nội suy, đồng thời chất lượng nội suy là tốt nhất. Khi đó εk còn gọi là tham số tỉ lệ (scaling) của hàm cơ sở bán kính vì nó dùng để điều chỉnh độ rộng của miền ảnh hưởng của hàm cơ sở φ. Khi ||x − xk || > ε − εk thì giá trị hàm Φk (x) là rất nhỏ không có ý nghĩa vì nó gần triệt tiêu. Vì vậy ta nói hàm bán kính này chỉ có ảnh hưởng địa 9 phương. * Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính [10]. Tên hàm Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng √ Multiquadric MQ φmq (εr) = ε2 + r2 1 Inverse mulhquadric IMQ φimq (εr) = √ ε2 + r 2 2 Gaussian Gauss φg (εr) = e−(εr) 1 Cauchy Cauchy φc (εr) = 2 ε + r2 Bảng 1.2: Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0. Cho miền Ω trong không gian Euclide Rd với biên ∂Ω. Ta sẽ dùng thuật ngữ "Tâm" như là một điểm thuộc miền Ω. Định nghĩa 1.2.11 (Véc tơ trọng số (Stencil)) Cho D là toán tử vi phân tuyến tính và X = {x1 , x2 . . . , xn } là bộ tâm phân tán đã được chọn trong không gian Rd . Một xấp xỉ của toán tử D, Du(x) ≈ n X wi (x)u(xi ), (1.8) i=1 được xác định bởi các trọng số wi = wi (x). Khi đó w = [w1 , w2 . . . , wn ]T được gọi là véctơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi phân D. Định nghĩa 1.2.12 (Bộ tâm nằm trong miền Ξint ) Ξint là bộ tâm nằm trong miền được định nghĩa bởi Ξint = Ξ \ ∂Ξ, trong đó, Ξ là các tâm trên toàn bộ miền và ∂Ξ là các tâm nằm trên biên. Định nghĩa 1.2.13 (Bộ tâm hỗ trợ cho véctơ trọng số Ξζ ) Với mỗi ζ ∈ Ξint , ta chọn bộ tâm bao gồm ζ và các tâm nằm trong lân cận địa phương của nó. Bộ tâm này được gọi là bộ tâm để tính véctơ trọng số và được kí hiệu là Ξζ . 10 1.3 Lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian 3 chiều Bài toán truyền nhiệt dừng trong không gian 3 chiều Cho các số a, b, c, d, e, f với a < b, c < d, e < f. Xét trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz một khối hộp chữ nhật Ω có các mặt song song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Ω = {(x, y, z)|a < x < b, c < y < d, e < z < f } có mặt biên khép kín và ký hiệu là ∂Ω. Xét bài toán: Tìm hàm số u(x, y, z) thỏa mãn phương trình Poission: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u ≡ 2 + 2 + 2 = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω ∂x ∂y ∂z (1.9) và điều kiện biên u(x, y, z) = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ ∂Ω (1.10) trong đó f (x, y, z) và g(x, y, z) là các hàm số cho trước. Giả sử bài toán (1.9) – (1.10) có nghiệm duy nhất u = u(x, y, z) đủ trơn trong Ω = Ω ∪ ∂Ω. Bước 1: Xây dựng lưới sai phân và hàm lưới *) Chọn các số nguyên N > 1, M > 1, P > 1, đặt h = theo x, k = d−c M gọi là bước đi theo y, p = xi = a + ih, yj = c + jk, zn = e + np. f −e P b−a N là bước đi là bước đi theo z. Đặt Mỗi điểm (xi , yj , zn ) gọi là một nút lưới, còn được ký hiệu là (i, j, n). Tập Ωhkp = {(xi , yj , zn )|1 ≤ i ≤ N − 1, 1 ≤ j ≤ M − 1, 1 ≤ n ≤ P − 1} gọi là tập các nút trong. Tập ∂Ωhkp = {(x0 , yj , zn ), (xN , yj , zn ), (xi , y0 , zn ), (xi , yM , zn ), (xi , yj , z0 ), . . . (xi , yj , zP )} gọi là tập các nút biên. Tập Ωhkp = Ωhkp ∪ ∂Ωhkp gọi là một lưới sai phân trên Ω. *) Hàm số v xác định tại mọi nút của lưới Ωhkp gọi là một hàm lưới trên Ωhkp . Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j, n) viết là vijn . *) Đạo hàm cấp 1 tiến, đạo hàm cấp 1 lùi của hàm lưới v xác định trên Ωhkp : 11 vx xác định bởi (vx )nij n n − vijn vi+1j vijn − vi−1j n = ; vx xác định bởi (vx )ij = h h vy xác định bởi (vy )nij n n − vijn vij+1 vijn − vij−1 n = ; vy xác định bởi (vy )ij = k k vijn+1 − vijn vijn − vijn−1 n vz xác định bởi = ; vz xác định bởi (vz )ij = p p *) Đạo hàm cấp 2 của hàm lưới v xác định trên Ωhkp : (vz )nij (vx )ni+1j − (vx )nij 1 n n = = = 2 [vi+1j − 2vijn + vi−1j ] h h (vy )nij+1 − (vy )nij 1 n n n n (vyy )ij = ((vy )y )ij = = 2 [vij+1 − 2vijn + vij−1 ] k k n (vz )n+1 1 ij − (vz )ij n n (vzz )ij = ((vz )z )ij = = 2 [vijn+1 − 2vijn + vijn−1 ] p p (vxx )nij ((vx )x )nij Ta sẽ tính gần đúng giá trị của nghiệm u(x, y, z) tại các nút (xi , yj , zn ) và kí hiệu giá trị gần đúng đó là vijn : vijn ≈ u(xi , yj , zn ) Bước 2: Xây dựng bài toán sai phân Áp dụng công thức khai triển Taylor cho: u(xi+1 , yj , zn ) = u(xi + h, yj , zn ) ∂u h2 ∂ 2 u h3 ∂ 3 u + + + 0(h4 ) = u(xi , yj , zn ) + h 2 3 ∂x 2! ∂x 3! ∂x u(xi−1 , yj , zn ) = u(xi − h, yj , zn ) ∂u h2 ∂ 2 u h3 ∂ 3 u = u(xi , yj , zn ) − h + − + 0(h4 ) 2 3 ∂x 2! ∂x 3! ∂x Vậy có: u(xi+1 , yj , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi−1 , yj , zn ) ∂ 2 u = 2 + 0(h2 ) 2 h ∂x Một cách tương tự: u(xi , yj+1 , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj−1 , zn ) ∂ 2 u = 2 + 0(k 2 ) 2 k ∂y u(xi , yj , zn+1 ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj , zn−1 ) ∂ 2 u = 2 + 0(p2 ) 2 p ∂z 12 Vậy có: u(xi+1 , yj , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi−1 , yj , zn ) + h2 u(xi , yj+1 , zn ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj−1 , zn ) + + k2 u(xi , yj , zn+1 ) − 2u(xi , yj , zn ) + u(xi , yj , zn−1 ) = ∆u + 0(h2 + k 2 + p2 ) p2 (1.11) Gọi v là một hàm lưới xác định tại mọi nút của lưới Ωhkp . Ta đặt: ∆hkp n n n n vijn+1 − 2vijn + vijn−1 − 2vijn + vi−1j − 2vijn + vij−1 vi+1j vij+1 ≡ + + h2 k2 p2 (1.12) Khi đó (1.11) chứng tỏ: ∆hkp u = ∆u + 0(h2 + k 2 + p2 ) (1.13) Số hạng 0(h2 + k 2 + p2 ) là một vô cùng bé. Ta nói toán tử ∆hkp xấp xỉ toán tử ∆. Do đó khiến ta thay phương trình vi phân (1.9) - (1.10) bằng phương trình sai phân sau: ∆hkp v = fijn , fijn = f (xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ Ωhkp (1.14) Tức là: n n n n vijn+1 − 2vijn + vijn−1 vi+1j − 2vijn + vi−1j vij+1 − 2vijn + vij−1 + + h2 k2 p2 = f (xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ Ωhkp (1.15) và thay điều kiện biên (1.10) bằng điều kiện: vijn = g(xi , yj , zn ), (xi , yj , zn ) ∈ ∂Ωhkp (1.16) chúng ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: Tìm hàm lưới v = v(xi , yj , zn ) thỏa mãn phương trình sai phân (1.15) – (1.16). Bước 3: Giải bài toán sai phân (1.15) – (1.16) Có rất nhiều phương pháp để giải hệ phương trình đại số tuyến tính (1.15) – (1.16), ví dụ như phương pháp Gauss, phương pháp luân phương 13 ẩn, phương pháp nhẩy ô, phương pháp một chiều địa phương, phương pháp sai phân hiện, phương pháp sai phân ẩn,.... n n n n Trong hệ phương trình (1.15) có tới 7 ẩn vi+1j , vi−1j , vij+1 , vij−1 , vijn+1 , vijn−1 , vijn nên việc giải nghiệm đúng là vô cùng phức tạp, do đó ta chỉ có thể chọn phương pháp giải nghiệm gần đúng, tức là tìm được các nghiệm xấp xỉ vijn tại các nút trong (i, j, n) của nghiệm chính xác u = u(x, y, z). 14 1.4 Kết luận Trong chương này, chúng tôi đã trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức liên qua đến luận văn: Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; nội suy với dữ liệu phân tán; khái niệm về ma trận xác định dương; hàm xác định dương; hàm bán kính; hàm bán kính xác định dương; hàm bán kính xác định dương có điều kiện; khái niệm về hàm cơ sở bán kính (RBF); khái niệm về véctơ trọng số(stencil); khái niệm về bộ tâm nằm trong miền Ξint ; khái niệm về bộ tâm hỗ trợ cho véctơ trọng số Ξζ . Trình bày lại lược đồ phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong không gian ba chiều.