Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Môn: Giải tích cơ bản
GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa
Đánh máy: NTV
Phiên bản: 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004
HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC
1
Giới hạn liên tục
Định nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, điểm x0 ∈ R được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của I nếu
với mọi δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0 } 6= 0. Cho f : I → R và x0 là điểm giới hạn của I. Ta
nói:
lim f (x) = a ∈ R ⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − a| < ε
x→x0
lim f (x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x−x0 | < δ =⇒ f (x) > A (f (x) < A)
x→x0
Định nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ I, ta nói f liên tục trên I.
f liên tục trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x0 ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <
Ta nói:
f liên tục đều trên I ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x0 ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <
Hàm số liên tục trên một đoạn:
Cho f : [a, b] → R liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên [a, b].
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên [a, b].
Đặt m = min{f (x), x ∈ [a, b]}, M = max{f (x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m, M ] (nghĩa là
f đạt mọi giá trị trung gian giữa m, M).
1
2
Sự khả vi
f (x0 + t) − f (x0 )
t→0
t
Định nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim
tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt
f (x0 + t) − f (x0 )
gọi là đạo hàm của f tại x0
t→0
t
f 0 (x0 ) = lim
Nếu f khả vi tại mọi x ∈ I, ta nói f khả vi trên I.
Định lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Giả sử
f 0 (x) 6= 0 trên (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f 0 (c)[g(b) − g(a)] = g 0 (c)[f (b) − f (a)]
Trường hợp g(x) = x, ta có công thức Lagrange
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a)
Quy tắc Lôpitan: Cho x0 ∈ R hoặc x0 = ±∞, f, g khả vi trong lân cận của x0 . Giả sử g và
g 0 khác không và lim f (x) = lim g(x) = 0 hoặc lim f (x) = lim g(x) = +∞ hoặc −∞.
x→x0
Khi đó: Nếu lim
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= A thì lim
= A (A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn).
0
x→x
g (x)
0 g(x)
Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân:
Cho f liên tục, u, v khả vi. Đặt
Zv(x)
F (x) =
f (t) dt
u(x)
Khi đó: F khả vi và F 0 (x) = v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x)).
3
Vô cùng bé - Vô cùng lớn
Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x → x0 nếu lim f (x) = 0.
x→x0
Cho f, g là hai lượng vô cùng bé khi x → x0 . Giả sử lim
x→x0
f (x)
=k
g(x)
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé tương đương.
- Nếu k 6= 0, k hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé cùng bậc.
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói g là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn f .
- Nếu k = 0, ta nói f là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn g.
2
Bậc của vô cùng bé: Cho f là lượng vô cùng bé khi x → x0 . Giả sử tồn tại k > 0 sao cho
f (x)
lim (x−x
k tồn tại hữu hạn và khác 0, số k > 0, nếu có sẽ duy nhất, được gọi là bậc của vô
0)
x→x0
cùng bé f khi x → x0 .
Hàm f được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim f (x) = +∞ hoặc −∞. Nếu f là vô
x→x0
1
cùng lớn khi x → x0 thì là vô cùng bé khi x → x0 .
f
(x)
Cho f, g là vô cùng lớn khi x → x0 . Giả sử lim fg(x)
= k.
x→x0
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương.
- Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc.
- Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f .
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g.
Cho f là vô cùng lớn khi x → x0 . Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) sao
cho lim (x − x0 )k f (x) tồn tại hữu hạn và khác không.
x→x0
4
Công thức Taylor
Cho f : (a, b) → R có đạo hàm bậc (n + 1). Với x0 , x ∈ (a, b), tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho:
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
Rn (x) =
Hoặc:
1
f (n+1)
(n+1)!
k!
(x − x0 )k +
1
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
(n + 1)!
(x0 + θ(x − x0 )) là dư số Lagrange.
f (x) =
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k + o (|x − x0 |n )
Rn (x) = o (|x − x0 |n ) là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn n, được gọi là dư số Peano. Nếu x0 = 0
ta được công thức Maclaurin:
f (x) =
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk + Rn (x)
. Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp
a) ex = 1 + x +
x2
xn
eθx
+ ··· +
+ Rn (x), Rn (x) =
xn+1 hoặc Rn (x) = o(xn ).
2!
n!
(n + 1)!
x3
x5
x2n−1
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ R2n , R2n = (−1)n cos θx.
hoặc
3!
5!
(2n − 1)!
(2n + 1)!
= o(x2n ).
b) sin x = x −
R2n
x2 x4
x2n
x2n+2
+
+ · · · + (−1)n
+ R2n+1 , R2n+1 = (−1)n+1 cos θx.
hoặc
2!
4!
(2n)!
(2n + 2)!
= o(x2n+1 ).
c) cos x = 1 −
R2n+1
3
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
αx α(α − 1) 2
+
x + ··· +
x + Rn , (x > −1).
1!
2!
n!
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
Rn =
(1 + θx)α−n+1 .xn+1 hoặc Rn = o(xn ).
n!
d) (1 + x)α = 1 +
e) ln(1 + x) = x −
f) arctgx = x −
5
xn
x2 x3
+
+ · · · + (−1)n+1 + o(xn ), x > −1
2
3
n
x2n−1
x3 x5
+
+ · · · + (−1)n+1
+ o(x2n )
3
5
2n − 1
Các giới hạn cơ bản
sin t
tgt
arctgt
arcsint
ln (1 + t)
et − 1
1. lim
= lim
= lim
= lim
= lim
= lim
t→0 t
t→0 t
t→0
t→0
t→0
t→0
t
t
t
t
(1 + t)a − 1
2. lim
= a.
t→0
t
1 − cos t
1
= .
2
t→0
t
2
3. lim
tp
= 0 ∀p.
t→∞ et
4. lim
lnp t
= 0, α > 0, ∀p.
t→∞ tα
5. lim
Thí dụ:
Tính các giới hạn sau:
√
m
(1 + t)1/m − 1
n
x−1
1. lim √
=
lim
= .
n
1/n
x→1
t→0 (1 + t)
−1
m
x−1
√
√
√
1 − (1 + t)1/2 . 1 − (1 + t)1/3 . . . 1 − (1 + t)1/n
(1 − x)(1 − 3 x) . . . (1 − n x)
lim
= lim
t→0
(1 − x)n−1
(−t)n−1
2. x→1
1 1
1
1
= . ... =
2 3
n
n!
x2
x→0
1 + 5x − (1 + x)
5
5
Đặt t = 1 + 5x hay x = t 5−1
x2
(t5 − 1)2
(t5 − 1)2
Suy ra : √
=
−
=
−
5
5(t5 − t + 4)
5(t − 1)2 (t3 + 2t2 + 3t − 4)
1 + 5x − (1 + x)
Vậy I = − 25
x
1
e −1
1
4. lim
ln
= lim
ln(ex − 1) − ln x = 1
x→+∞ x
x→+∞ x
x
3. I = lim √
n
ln(cos x)
ln[1 + (cos x − 1)]
cos x − 1
1
= lim
= lim
=−
2
2
2
x→0
x→0
x→0
x
x
x
2
1
1 − cos x
x2
6. lim
− cotg x = lim
= lim
=0
x→0
x→0
x→0 2x
sin x
sin x
5. lim
4
√
3
7. lim
x→0
cos x −
x2
√
cos x
= lim
x2
1−
2
x→0
2
13
x2
− 1−
2
2
x
12
−
= lim
x→0
x2 x2
+
6
4 = 1
2
x
12
α
x
(1 + t) − 1
, lim
=α)
t→0
2
t
√
√
√
√
√
√
x+1− x
x+1+ x
8. lim sin x + 1 − sin x = lim 2 sin
. cos
=0
x→∞
x→∞
2
2
(dùng 1 − cos x ∼
Tính lim u(x)v(x)
x→x0
Đặt y = uv ⇒ ln y = v ln u.
Sau đó tính lim v ln u
x→x0
Nếu lim v ln u = a thì lim uv = ea
x→x0
9. lim
x→+∞
x+2
x−3
x→x0
3x+4
3x+4
x+2
x+2
⇒ ln y = (3x + 4) ln
Đặt y = lim
x→+∞
x−3
x−3
5
⇒ ln y = (3x + 4) ln 1 +
x−3
5
Vậy lim ln y = lim (3x + 4).
= 15
x→∞
x→∞
x−3
Suy ra lim y = e15
x→∞
1
1 + tg x sin x
10. lim
x→0
1 + sin x
1
1 + tg x sin x
Đặt y =
1 + sin x
1 + tg x
1
tg x − sin x
1
ln
=
ln 1 +
⇒ ln y =
sin x
1 + sin x
sin x
1 + sin x
(dùng ln(1 + t) ∼ t)
1
−1
tg x − sin x
⇒ lim ln y = lim
= lim cos x
=0
x→0
x→0 sin x(1 + sin x)
x→0 1 + sin x
Vậy lim y = 1
x→0
Chứng minh các lượng vô cùng bé sau tương đương khi x → 0:
1. f (x) = x sin2 x, g(x) = x2 sin x
f (x)
x sin2 x
= lim 2
=1
x→0 g(x)
x→0 x sin x
lim
5
2. f (x) = e2x − ex , g(x) = sin 2x − x
f (x)
e2x − ex
2e2x − ex
= lim
= lim
=1
x→0 g(x)
x→0 sin 2x − x
x→0 2 cos 2x − 1
lim
So sánh các vô cùng bé khi x → 0
1. f (x) = 1 − cos3 x, g(x) = x sin x
f (x)
1 − cos3 x
(1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x)
3
= lim
= lim
=
2
x→0 g(x)
x→0
x→0
x sin x
x
2
(thay sin t ∼ t)
lim
Vậy f , g là vô cùng bé cùng bậc.
3
2. f (x) = cos x − cos 2x, g(x) = x 2
f (x)
cos x − cos 2x
(cos x − 1) + (1 − cos 2x)
= lim
= lim
=0
3
3
x→0 g(x)
x→0
x→0
x2
x2
lim
Vậy f là vô cùng bé bậc lớn hơn g.
Tìm bậc của các vô cùng bé sau khi x → 0
√
√
1. f (x) = cos x − 3 cos x
1
1
x2 2
x2 3
√
√
1−
− 1−
f (x)
1
cos x − 3 cos x
2
2
lim
= lim
= lim
=−
nếu k = 2
k
k
x→0 xk
x→0
x→0
x
x
12
Vậy f là vô cùng bé bậc 2.
2. f (x) = x sin x − sin2 x
Ta có: f (x) = sin x(x − sin x) ∼ x
x3
3!
x4
=
(dùng khai triển Taylor)
3!
Vậy f là vô cùng bé bậc 4.
p
√
3. Tìm bậc của vô cùng lớn f (x) = 1 + x khi x → +∞
q
p
p
√
−1
−1
1
1
f (x) = 1 + x = x 2 (1 + x 2 ) = x 4 1 + x 2
Vậy f là vô cùng lớn bậc
1
4
Lưu ý. Để tìm bậc của vô cùng lớn khi x → +∞, ta tìm số k > 0 sao cho lim
x→∞
tại hữu hạn và khác không.
4. Tìm lượng tương đương của f (x) = x[
p
x2 +
√
√
x4 + 1 − x 2]
khi x → +∞
Dùng (1 + t)α ) − 1 ∼ αt khi t → 0, ta có
"
#
21 ! 12
12
√
√
1
1
f (x) = x2 1 + 1 + 4
− 2 ∼ x2
2+ 4
− 2
x
2x
6
f (x)
tồn
xk
∼x
√
2
"
2
1
1+ 4
4x
12
√
x2 2
−1 ∼
8x4
#
√
Vậy f là vô cùng bé tương đương với g(x) =
2
khi x → +∞
8x2
5. Cho n là số tự nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa thức sao cho
fn (x)enx + fn−1 (x)e(n−1)x + · · · + f0 (x) = 0
với mọi x lớn bất kỳ.
Chứng minh f0 , f1 , . . . , fn đồng nhất bằng 0.
Giả sử fn không đồng nhất triệt tiêu
fn (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a0 ,
ak 6= 0
xp
= 0 với a > 0, ∀p, ta được ak = 0.
x→∞ eax
Chia hai vế cho xk enx , cho x → ∞, áp dụng lim
Mâu thuẫn.
Vậy fn ≡ 0. Tương tự cho fn−1 , . . . , f1 đồng nhất triệt tiêu.
Khi đó, f0 (x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ. Vậy f0 ≡ 0.
6. Cho n là số tự nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa thức sao cho
fn (x)(ln x)n + fn−1 (x)(ln x)n−1 + · · · + f0 (x) = 0
với mọi x > 0.
Chứng minh f0 , f1 , . . . , fn đồng nhất triệt tiêu.
Đặt x = ey và viết biểu thức vế trái dưới dạng
gk (y)eky + gn−1 (y)e(k−1)y + · · · + g0 (y) = 0
với mọi y, trong đó k là số tự nhiên.
Làm tương tự như bài (5), ta có gk , . . . , g0 đồng nhất triệt tiêu. Vậy f0 , f1 , . . . , fn đồng
nhất triệt tiêu.
6
Bài tập
1. Tính các giới hạn sau
tg3 x − 3 tg x
π
x→ 3
cos x +
6
(b) lim x[ln(x + a) − ln x]
(a) limπ
x→∞
x2 − 1
x→1 x ln x
√
√
3
(d) lim
x3 + 3x2 − x2 − 2x
(c) lim
x→+∞
1
(e) lim (cos x) x2
x→0
1
(f) lim (sin x + cos x) x
x→0
7
2. Tính các giới hạn sau bằng thay các vô cùng bé tương đương.
Các lượng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0:
t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1)
t2
2
α
(1 + t) ∼ 1 + αt
(1 − cos t) ∼
ln(1 + 2x sin x)
x→0
tg2 x
sin2 3x
(b) lim 2
x→0 ln (1 − 2x)
√
1 + cos 2x
√
(c) lim
√
π±
x→ 2
π − 2x
(a) lim
ln(cos x)
x→0 ln(1 + x2 )
(d) lim
3. Dùng công thức Taylor tính các giới hạn sau:
1
2
(a) lim x − x ln 1 +
x→∞
x
1 − (cos x)sin x
x→0
x3
Hướng dẫn:
sin x. ln(cos x) = sin x. ln[1 + (cos x − 1)] ∼ sin x.(cos x − 1)
2
x3
x
x3
∼ x−
+ ...
− − ... ∼ −
3!
2
2
x3
x3
1 − (cos x)sin x = 1 − esin x. ln(cos x) ∼ 1 − e− 2 ∼
2
1 − (cos x)sin x
1
Vậy lim
=
x→0
x3
2
x
(1 + x) − 1
(c) lim
x→0
sin2 x
1
e − (1 + x) 2
(d) lim
x→0
x
(b) lim
4. Dùng quy tắc L’Hopital tính các giới hạn sau
ex − e−x − 2x
x→0
x − sin x
x
xe 2
(b) lim
x→∞ x + ex
ln x
(c) lim+
x→0 1 + 2 ln(sin x)
π − 2 arctg x
(d) lim
x→∞
1
ln 1 +
x
(a) lim
8
5. Dùng quy tắc L’Hopital khử các dạng vô định
(a) lim+ ln x. ln(x − 1)
x→1
1
1
(b) lim
−
x→0
x ex − 1
(c) lim (1 + x)ln x
x→0+
1
tg x x2
(d) lim
x→0
x
(e) lim+ (x)sin x
x→0
(f) lim
(π − 2x)cos x
π−
x→ 2
Hướng dẫn: Đặt x =
π
+t
2
9
- Xem thêm -