Híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n
" chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh"
PhÇn I: ®Æt vÊn ®Ò
1- lÝ do chän ®Ò tµi
H×nh häc lµ m«n häc cã tÝnh tæng hîp cao, ®ßi hái häc sinh kh«ng nh÷ng ph¶i
biÕt n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc, mµ cÇn ph¶i biÕt suy luËn vµ vËn dông kiÕn thøc mét
c¸ch hîp lÝ.
Trong c¸c k× thi häc sinh giái c¸c cÊp, thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng Trung häc
phæ th«ng ë tØnh ta, rÊt nhiÒu n¨m trong bµi tËp h×nh cã yªu cÇu "Chøng minh hä
c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" nh : §Ò thi chän häc sinh giái to¸n 8 cÊp tØnh n¨m
häc 2001-2002; §Ò thi tuyÓn sinh vµo THPT n¨m häc 2000- 2001; Thi tuyÓn sinh
vµo THPT Chuyªn Th¸i B×nh n¨m häc 2003-2004; 2007-2008; §Ò thi chän häc
sinh giái to¸n 7 cÊp huyÖn n¨m häc 2013-2014; ...
"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc lµ mét d¹ng
to¸n t¬ng ®èi khã, bëi d¹ng to¸n nµy rÊt phong phó, nhng kh«ng cã kiÕn thøc riªng
®Ó gi¶i, mµ luyÖn tËp kÜ n¨ng nµy kh«ng ®îc ph©n phèi thµnh tiÕt riªng trong ph©n
phèi ch¬ng tr×nh to¸n cña bé gi¸o dôc ®µo t¹o.
Thùc tr¹ng cßn cã mét bé phËn kh«ng nhá häc sinh häc ng¹i häc m«n h×nh,
mét lÝ do phæ biÕn lµ c¸c em cha cã ph¬ng ph¸p t duy thÝch hîp, nªn hiÖu qu¶ häc
tËp bé m«n nãi chung vµ chuyªn ®Ò "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè
®Þnh " nãi riªng cßn cha cao.
VÊn ®Ò trªn ®Æt ra cho gi¸o viªn cÇn cã gi¶i ph¸p hîp lý c¶ vÒ mÆt thêi gian vµ
ph¬ng ph¸p truyÒn ®¹t nh»m n©ng cao chÊt lîng gi¶ng d¹y nãi riªng , chÊt lîng
gi¸o dôc nãi chung.
1i- môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi
§· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu vÒ ®Ò tµi nµy, nhng phÇn lín chØ ®a ra vÝ dô vµ
lêi gi¶i bµi to¸n, mµ cha chØ râ ®Þnh híng chung ®Ó gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n.
§Ó gióp c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi bµi to¸n "chøng minh hä c¸c ®êng ®i
qua ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc, ®ång thêi ph¸t huy c¸c n¨ng lùc s¸ng t¹o cho
häc sinh, trong ®Ò tµi nµy t«i xin trao ®æi víi c¸c ®ång chÝ ®ång nghiÖp mét gi¶i
ph¸p híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n trªn mµ t«i ®· thö nghiÖm, thÊy cã tÝnh
kh¶ thi vµ bíc ®Çu ®· ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh.
III- ®èi tîng nghiªn cøu
C¸c bµi to¸n " Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " trong h×nh
häc ph¼ng vµ c¸ch tiÕp cËn ®Ó gi¶i quyÕt ®îc bµi to¸n trong ch¬ng tr×nh Trung häc
c¬ së
IV- ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
- Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch, tæng hîp; ®Æc biÖt ho¸; tæng qu¸t ho¸
- Ph¬ng ph¸p tÝch hîp
- Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm
- Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
* §Ó tiÕp tôc hoµn thiÖn h¬n n÷a, t«i rÊt mong ®îc sù gióp ®ì vµ c¸c ý kiÕn ®ãng
gãp ch©n thµnh cña c¸c ®ång chÝ
Xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c ®ång chÝ!
Gi¶i ph¸p :
PhÇn 2: Néi dung
A- C¬ së ®Ò tµi
1. C¬ së lÝ luËn:
- Trong ch¬ng tr×nh gi¸o dôc hiÖn nay ®ßi hái häc häc sinh cÇn ph¶i biÕt tù häc tù
nghiªn cøu rÊt cao, tøc lµ cÇn ph¶i biÕn qu¸ tr×nh gi¸o dôc thµnh qu¸ tr×nh tù gi¸o
dôc. Nh vËy míi ph¸t huy ®îc n¨ng lùc s¸ng t¹o, t duy khoa häc tù xö lÝ ®îc c¸c
t×nh huèng trong thùc tÕ. Trong thùc tÕ vµ khoa häc, viÖc dù ®o¸n mét sù viÖc - hiÖn
-1-
tîng nµo ®ã ®ãng vai trß quan träng hµng ®Çu, viÖc dù ®o¸n chÝnh x¸c lµ kim chØ
nam cho nh÷ng ngêi nghiªn cøu
§Ó gióp häc sinh ®¹t ®îc môc tiªu ®ã th× c¸c m«n häc nãi chung vµ m«n to¸n nãi
riªng cÇn ph¶i khÝch lÖ ®îc häc sinh t×m tßi, nghiªn cøu s©u h¬n, tù gi¶i quyÕt ®îc
vÊn ®Ò t¬ng tù, tõ ®ã thóc ®Èy c¸c em ph¸t hiÖn ra c¸c tri thøc vµ kÜ n¨ng mãi cho
b¶n th©n, yªu thÝch m«n häc vµ say mª nghiªn cøu khoa häc
-"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " còng t¬ng tù, c¸c em cÇn biÕt
dù ®o¸n ®óng ®iÓm cè ®Þnh, tõ ®ã míi cã híng gi¶i quyÕt bµi to¸n.
II. Cơ sở thùc tiÔn
- Trong bµi to¸n h×nh, c¸c yÕu tè thêng liªn quan chÆt chÏ víi nhau. Khi mét yÕu tè
trong bµi to¸n di ®éng th× kÐo theo ®êng d nµo ®ã trªn h×nh vÏ còng di ®éng. §êng
d di ®éng nhng lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh th× ë mäi vÞ trÝ d còng ®i qua S, tõ ®ã ta
nghÜ tíi x¸c ®Þnh S lµ giao ®iÓm 2 vÞ trÝ cña d vµ chøng minh S cè ®Þnh
- §iÓm S cè ®Þnh thêng lµ giao ®iÓm cña 2 ®êng cè ®Þnh, tõ ®ã cÇn x¸c định xem
điểm S di động trªn nh÷ng ®êng cè ®Þnh nµo?
§Õn ®©y ta thÊy bµi to¸n "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " cã nÐt
t¬ng ®ång víi bµi to¸n to¸n "t×m tËp hîp ®iÓm".
* Trªn c¬ së ®ã, t«i ®· x©y dùng cho häc sinh híng tiÕp cËn bµi to¸n "Chøng minh
hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh " nh sau:
B/ Néi dung §Ò TµI
I- gi¶i ph¸p Híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n
"Chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh"
§Ó gióp häc sinh tiÕp cËn dÔ dµng h¬n víi bµi to¸n "Chøng minh hä c¸c ®êng ®i
qua ®iÓm cè ®Þnh" trong häc h×nh, t«i híng dÉn häc sinh suy nghÜ vµ lµm theo quy
tr×nh sau:
I-1. NghÜ:
* §iÓm cè ®Þnh thêng n»m trªn nh÷ng ®êng cè ®Þnh, nh vËy nã ph¶i quan hÖ tíi c¸c
yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi trong bµi, nªn ta cÇn
1/ X¸c ®inh yÕu tè cè ®Þnh: Häc sinh tù suy nghÜ vµ tr¶ lêi: Trªn h×nh vÏ cã:
- Nh÷ng ®iÓm nµo cè ®Þnh?
- Nh÷ng ®êng nµo cè ®Þnh?
- Nh÷ng h×nh nµo kh¸c cè ®Þnh? (gãc cè dÞnh; cung trßn cè ®Þnh; ...)
2/ X¸c ®inh yÕu tè kh«ng ®æi: Häc sinh tù suy nghÜ vµ tr¶ lêi: Trªn h×nh vÏ cã
- §o¹n th¼ng nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Gãc nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Cung trßn nµo cã sè ®o kh«ng ®æi.
- Chu vi, diÖn tÝch h×nh nµo kh«ng ®æi.
- Nh÷ng ®¹i lîng nµo kh¸c kh«ng ®æi?
3/ X¸c ®Þnh ®iÓm cÇn chøng minh cè ®Þnh:
Cho yÕu tè di ®éng ch¹y ®Õn vÞ trÝ thø hai (thêng lµ vÞ trÝ ®Æc biÖt), khi ®ã ®êng
d ch¹y ®Õn vÞ trÝ ®Æc biÖt d1 vµ d1 sÏ c¾t d ë vÞ trÝ lóc ®Çu ë ®iÓm S, ta cÇn chøng
minh S lµ ®iÓm cè ®Þnh
-2-
4/ X¸c ®Þnh quan hÖ cña S víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh
- §iÓm cè ®Þnh thêng lµ giao cña 2 ®êng cè ®Þnh, nªn ta cÇn x¸c ®Þnh xem S cã
quan hÖ nh thÕ nµo víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi (gåm c¸c quan hÖ
song song, vu«ng gãc, b»ng nhau, ®ång d¹ng, t¹o thµnh h×nh ®Æc biÖt, c¸ch ®Òu 1
®iÓm hay 1 ®êng cè ®Þnh; ...), tõ ®ã chØ ra S thuéc ®êng d2 cè ®Þnh.
- S lµ giao ®iÓm cña 2 ®êng cè ®Þnh d1 vµ d2 suy ra S cè ®Þnh.
I-2. Lµm
1/ CÊp ®é 1: Chøng minh hä ®êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh ®· cã s½n trªn
h×nh vÏ:
C¸ch lµm:
Bíc 1: ChØ ra S thuéc d
Bíc 2: LËp luËn yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi ®Ó suy rs S lµ ®iÓm cè ®Þnh
Bíc 3: KÕt luËn
* Chó ý: NÕu S cha thuéc d, ®Ó lµm bíc 1 ta cã thÓ lµm theo mét trong c¸c ph¬ng
¸n sau:
a/ Ph¬ng ¸n 1: Chøng minh trùc tiÕp ®iÓm S thuéc ®êng d
* NÕu d lµ ®êng th¼ng, ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra S cïng víi 2 ®iÓm kh¸c trªn d lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng
- C¸ch 2: ChØ ra S còng cã tÝnh chÊt cña nh÷ng ®iÓm n»m trªn d (thêng dïng khi d
lµ ®êng ®Æc biÖt nh: ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng; tia ph©n gi¸c cña gãc; ...)
* NÕu d lµ ®êng trßn (O; R) ta cã thÓ chøng minh b»ng 1 trong c¸c c¸ch sau:
- C¸ch 1: ChØ ra OS = R
- C¸ch 2: ChØ ra S cïng víi 3 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c trªn d t¹o thµnh mét tø gi¸c néi
tiÕp
- C¸ch 3: Dùa vµo quü tÝch cung chøa gãc
b/ Ph¬ng ¸n 2: ChØ ra S ®· n»m trªn ®êng d1 cè ®Þnh, gäi giao ®iÓm cña d vµ d 1 lµ
S1 råi ta chøng minh cho S trïng víi S1
c/ Ph¬ng ¸n 3: ChØ ra S lµ giao ®iÓm cña hai ®êng cè ®Þnh d1 vµ d2, råi ta chøng
minh cho d; d1; d2 lµ ba ®êng ®ång quy
2/ CÊp ®é 2: :"Chøng minh hä ®êng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh " mµ S cha
cã trªn h×nh vÏ
- Bíc 1: VÏ ®êng d1 (ë bíc nghÜ thø 3 trªn), ®êng d1 c¾t ®êng d t¹i S
- Bíc 2: ChØ ra quan hÖ cña S víi c¸c yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi ë
bíc nghÜ thø 4 trªn, tõ ®ã suy ra S thuéc ®êng d2
- Bíc 3: LËp luËn yÕu tè cè ®Þnh, yÕu tè kh«ng ®æi suy ra d 1; d2 cè ®Þnh, tõ
®ã suy ra S cè ®Þnh
- Bíc 4: KÕt luËn
* Ngoµi ra ta cã thÓ lÊy S lµ ®iÓm cè ®Þnh tríc råi chøng minh cho S thuéc ®êng
th¼ng d cÇn chøng minh ®i qua ®iÓm cè ®Þnh
II- vÝ dô minh häa
-3-
Bµi 1: Cho ∆ABC c©n t¹i A; trªn c¹nh BC lÊy D (D ≠ b; D ≠ C), trªn tia ®èi cña tia
CB lÊy E sao cho CE = BD. §êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D c¾t AB t¹i M, §êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ E c¾t AC t¹i N. Chøng minh:
a/ DM = EN
b/ MN > BC
c/ Khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®êng trung trùc cña MN lu«n ®i qua mét
®iÓm cè ®Þnh
(TrÝch ®Ò thi häc sinh giái to¸n líp 7 n¨m häc 2013- 2014)
Gi¶i: + C©u a vµ c©u b t«i xin phÐp kh«ng tr×nh bµy ë ®©y
A
a/ Häc sinh dÔ dµng chøng minh ®îc
∆MBD = ∆NCE (g-c-g) → DM = EN
b/ LÊy giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN vµ c¹nh BC
M
dùa vµo quan hÖ ®êng vu«ng gãc- ®êng xiªnh×nh chiÕu vµ®iÓm n»m gi÷a 2 ®iÓm ta
chøng minh ®îc MN > BC.
E
c/ Híng dÉn ph©n tÝch
C
1- X¸c ®Þnh yÕu tè cè ®Þnh:
D
B
I
+ §iÓm cè ®Þnh: A; B; C
+ §êng cè ®Þnh: ®êng th¼ng AB; BC; AC vµ
N
c¸c ®êng chñ yÕu trong ∆ABC (®êng cao;®êng trung trùc; ®êng trung tuyÕ; ®êng
S
ph©n gi¸c cña ∆ABC)
2- X¸c ®Þnh yÕu tè kh«ng ®æi
+ §é dµi c¸c c¹nh vµ ®é lín c¸c gãc cña ∆ABC
+ C¸c gãc 900
3- X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN ®i qua
V× D di ®éng trªn c¹nh BC (D ≠ b; D ≠ C), ta cã thÓ cho D ®Õn vÞ trÝ ®Æc biÖt lµ
trung ®iÓm c¹nh BC
* NÕu cho D trïng víi trung ®iÓm cña c¹nh BC th× M ≡ A → MB = AB
Do BM = CN (v× ∆MBD = ∆NCE) )vµ ∆ABC c©n → AB = AC nªn ta suy ra ®îc
AC = CN → C lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AN → ®êng trung trùc d cña ®o¹n
th¼ng MN khi ®ã trïng víi ®êng th¼ng Cx vu«ng gãc víi AC t¹i C
- NÕu ®æi chç cña B vµ C (V× B; C cã vai trß nh nhau) th× ta còng thÊy ®êng th¼ng
By vu«ng gãc víi AB t¹i B còng lµ mét vÞ trÝ cña d
- NÕu gäi S lµ giao ®iÓm cña Cx vµ By th× ta dÔ dµng chøng minh ®îc
∆ABS = ∆ACS → SB = SC vµ tõ ®ã chøng minh ®îc ∆MBS = ∆NCS (c-g-c)
→ SM = SN→ S thuéc ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng MN
+ Vãi sù ph©n tÝch trªn ta cã híng gi¶i quyÕt sau:
C¸ch 1: KÎ Cx ┴ AC t¹i C; KÎ By ┴ AB t¹i B;
A
gäi giao ®iÓm cña Cx vµ By lµ S ABS ACS 90 0 (1)
XÐt ∆ABS vµ ∆ACS cã:
M
0(theo c¸ch vÏ)
ABS ACS 90
(V× ∆ABC c©n t¹i A (gt))
AB AC
C¹nh huyÒn AS chung
C
B
→ ∆ABS = ∆ACS (c¹nh huyÒn-c¹nh gãc vu«ng)
→ SB = SC (2) (2 c¹nh t¬ng øng)
-4-
D
E
I
S
N
SB SC (theo(2)) (theo c¸ch vÏ)
∆MBD 0
XÐt ∆MBS vµ ∆NCS cã: MBS (v×SCN 90 = ∆NCE)
MB NC
→ ∆MBS = ∆NCS (c-g-c) → SM = SN (3)(2 c¹nh t¬ng øng)
Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MN → IM = IN (4)
SM SN (theo(3))
XÐt ∆MIS vµ ∆NIS cã: C¹nh SI IN (theo(4))
IM chung
→ ∆MIS = ∆NIS (c-c-c) MIS NIS (5) (2 gãc t¬ng øng)
Mµ MIS NIS 180 0 (6) (Tæng 2 gãc kÒ bï)
Tõ (5); (6) MIS NIS 900 → SI ┴ MN t¹i trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN
→ SI lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN
V× A; B; C cè ®Þnh → ®êng th¼ng AC vµ ®êng th¼ng BC cè ®Þnh
→ By vµ Cx cè ®Þnh (V× Cx ┴ AC t¹i C; By ┴ AB t¹i B)
→ S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña Cx vµ By).
VËy khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN lu«n ®i
qua ®iÓm S cè ®Þnh
* NÕu ®Æc biÖt ho¸ cho D ≡ B th×
M B
E N C
→ ®êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng
MN trïng víi ®êng trung trùc d1 cña ®o¹n th¼ng BC, tõ ®ã ta nghÜ tíi vÏ thªm ®êng
trung trùc d1 cña ®o¹n th¼ng BC; d1 c¾t ®êng trung trùc d cña ®o¹n
SM SN
th¼ng MN t¹i S, dÔ thÊy ®îc SB SC
ABS ACS ABS ACS (*)
Tõ ®ã → ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) MBS NCS
ACS NCS 90 0 (theo (*) vµ cã ACS NCS 180 0 )
→ CS ┴ AC, v× AC cè ®Þnh → S cè ®Þnh. Ta cã c¸ch chøng minh thø hai
C¸ch 2: T«i xin phÐp ®îc tr×nh bµy tãm t¾t nh sau:
- VÏ d1 lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC, d1 c¾t ®êng trung trùc d cña ®o¹n
th¼ng MN t¹i S . Gäi I; K thø tù lµ trung ®iÓm c¸c
®o¹n th¼ng MN vµ CB
- Chøng minh ∆MIS = ∆NIS (c-g-c) → MS = NS
A
- Chøng minh ∆BKS = ∆CKS (c-g-c) → BS = CS
- Chøng minh ∆MBS = ∆NCS (c-c-c) MBS NCS (1)
M
- Chøng minh:∆ABS = ∆ACS (c-c-c)
ABS ACS NCS ACS (theo (1))
Mµ NCS ACS 180 0 (Tæng 2 gãc kÒ bï)
C
E
NCS ACS 90 0 → CS ┴ AC
B
D
K I
- V× A; B; C cè ®Þnh → ®êng trung trùc d1
d1 d
cña ®o¹n th¼ng BC cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng
-5N
S
CS vu«ng gãc víi AC t¹i C cè ®Þnh
→ S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña d1 vµ CS).
VËy khi D thay ®æi trªn c¹nh BC th× ®êng trung trùc
cña ®o¹n th¼ng MN lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh
Bµi 2: Cho gãc nhän xOy. Hai ®iÓm A; B lÇn lît di chuyÓn trªn tia Ox vµ tia Oy
sao cho 1 1 1 . Chøng minh ®êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
OA OB 3
(TrÝch ®Ò thi HSG líp 8 cÊp tØnh 2001-2002)
x
* Híng dÉn ph©n tÝch
A C
1- X¸c ®Þnh yÕu tè cè ®Þnh:
E
- Gãc xOy cè ®Þnh, tia ph©n gi¸c cña gãc xOy
2- YÕu tè kh«ng ®æi:
S
- Sè ®o gãc xOy
O
- §¼ng thøc gi¶ thiÕt cho: 1 1 1
OA OB 3
F
3- X¸c ®Þnh ®iÓm cÇn chøng minh cè ®Þnh
V× A; B cã vai trß nh nhau, nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta
D
B
1
1
0 (1)
y
gi¶ sö 0 < OA ≤ OB OA OB
Tõ gi¶ thiÕt
1
1
1
OA OB 3
1 1 2
0 OA 3 OA
vµ (1)
0 2 1
OB 3
3 OA 6(dvdd )
OB 6(dvdd )
(®v®d - ®¬n vÞ ®é dµi)
Trªn tia Ox tø tù lÊy E; C sao cho OE = 3 ®v®d; OC = 6 ®v®d, theo nhËn xÐt trªn
th× A chØ di ®éng tõ E ®Õn C trªn tia Ox
- NÕu cho A ≡ C → AB ≡ CD víi D thuéc tia Oy sao cho OD = 6 ®v®d
CD c¾t AB t¹i S, ta cÇn chøng minh S lµ ®iÓm cè ®Þnh
- NÕu cho A tiÕn ®Õn E th× B tiÕn tíi ®iÓm xa v« cïng trªn tia Oy, khi ®ã AB tiÕn tíi
®êng th¼ng qua E vµ song song víi Oy, mµ AB ®i qua ®iÓm cè ®Þnh S
→ ES // Oy, mµ E lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OC → S lµ trung ®iÓm cña ®o¹n
th¼ng CD → OS lµ ®êng ph©n gi¸c cña ∆DCO (v× ∆DCO c©n t¹i O)
(Chän OS lµ ®êng ph©n gi¸c cña ∆DCO v× tia ph©n gi¸c cña xOy lµ tia cè ®Þnh)
Tõ sù ph©n tÝch trªn ta nªn lÊy S lµ giao ®iÓm tia ph©n gi¸c cña xOy cè ®Þnh vµ
®êng th¼ng ES cè ®Þnh → S cè ®Þnh. Ta cã c¸ch chøng minh sau
Chøng minh:
Gäi giao ®iÓm cña AB vãi tia ph©n gi¸c Ot cña xOy lµ S
Tõ S kÎ SE // Oy (E € tia Ox); kÎ SF // Ox (F € tia Oy)
Theo c¸ch vÏ ta cã
OE // SF
OF // SE
x
E
→ Tø gi¸c OESF lµ h×nh b×nh hµnh
Mµ cã tia OS lµ tia ph©n gi¸c cña xOy
→ h×nh b×nh hµnh OESF lµ h×nh thoi
→ SE = SF = OE (1)
A
S
O
t
F
B
y
-6-
E OA; S AB; F OB
XÐt AOB cã SE // OB
SF // OA
(theo c¸ch vÏ h×nh vµ A €tia Ox; B €tia Oy)
SE AS
OB AB
(theo hÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta LÐt)
SF SB
OA AB
SE SF
AS BS
AS BS AB
1 (v× S n»m gi÷a A vµ B→ AS + BS = AB)
OB OA AB AB
AB
AB
1
1
1
1
1
1
OE (
) 1 (theo(1)) OE. 1 (V× theo gt cã
)→OE =
OB OA
3
OA OB 3
3
(®v®d)
V× E € tia Ox cè ®Þnh vµ OE = 3 ®v®d → E cè ®Þnh
V× xOy cè ®Þnh; E cè ®Þnh vµ ES // Oy → tia ph©n gi¸c Ot cña xOy cè ®Þnh vµ
®êng th¼ng ES cè ®Þnh → S cè ®Þnh (V× S lµ giao ®iÓm cña Ot vµ ES)
VËy ®êng th¼ng AB lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh
Bµi 3: Cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh BA. §iÓm M
thuéc cung AC, trªn d©y BM lÊy N sao cho BN = AM. KÎ ®êng th¼ng d vu«ng gãc
víi BM t¹i N, chøng minh r»ng d lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn
cung AC
(TrÝch ý d bµi thi tuyÓn sinh vµo THPT Chuyªn Th¸i B×nh n¨m häc 2002 - 2003)
* Ph©n tÝch bµi to¸n:
S 1- YÕu tè cè ®Þnh:
C
M
A
N
B
O
+ §iÓm cè ®Þnh: A; B; C; O
+ §êng cè ®Þnh: AB; CB; AC; CO;
(O); tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i A;
B; C vµ c¸c ®êng chñ yÕu cña ∆ABC
2- YÕu tè kh«ng ®æi:
- C¸c gãc 900; gãc 450 (gãc néi tiÕp
ch¾n cung AC; cung BC)
- Sè ®o c¸c ®o¹n th¼ng AB; AC; CO;
AO; BO; CB
3- X¸c ®Þnh cè ®Þnh mµ d ®i qua
M di ®éng trªn cung AC, ta cã thÓ
cho M ®Õn A hoÆc ®Õn C
* NÕu M ≡ A→ BM ≡ BA vµ N ≡ B
+ V× d ┴ BM t¹i N→ d ≡ tia Bx- lµ tia tiÕp tuyÕn cña nöa ®êng trßn (O) t¹i B
-7-
+ VÏ tia Bx lµ tia tiÕp tuyÕn cña nöa ®êng trßn (O) t¹i tiÕp ®iÓm B, tia Bx c¾t d t¹i S
AMB ABS 90 0
, ta dÔ dµng thÊy
MAB SBN
Tõ ®ã → ∆ABM = ∆BSN (g-c-g) → SB = AB
Do A; B; (O) cè ®Þnh → tia Bx cè ®Þnh vµ ®o¹n th¼ng AB cã ®é dµi kh«ng ®æi
→ S cè ®Þnh. Tõ ph©n tÝch trªn ta cã c¸ch chøng minh sau
S
Chøng minh:
C
M
A
N
B
O
Cã M thuéc nöa ®êng trßn (O)- ®êng kÝnh AB (gt)
AMB 90 0 (1) (theo hÖ qu¶ gãc néi tiÕp)
VÏ tia tiÕp tuyÕn Bx t¹i tiÕp ®iÓm B cña nöa ®êng trßn (O)- ®êng kÝnh AB, Bx c¾t d
t¹i S MAB NBS (2) (theo hÖ qu¶ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y xÐt trªn
(O))
AMB BNS 90 0 (theo(1); BN SN ( gt ))
XÐt ∆AMB vµ ∆BNS cã: AM BN ( gt )
MAB NBS (theo(2))
→ ∆AMB = ∆BNS (g-c-g) → AB = BS
V× A; B; (O) cè ®Þnh → tia tiÕp tuyÕn Bx cè ®Þnh vµ ®é dµi ®o¹n th¼ng AB kh«ng
®æi, mµ S thuéc tia Bx cè ®Þnh vµ BS = AB kh«ng ®æi → S lµ ®iÓm cè ®Þnh
VËy khi M di ®éng trªn cung AC th× ®êng th¼ng d lu«n ®i qua ®iÓm S cè ®Þnh
* NÕu cho M ≡ C → BM ≡ BC vµ N ≡ C → d ≡ AC
Gäi giao ®iÓm cña d víi AC lµ S:
- ta dÔ dµng thÊy tø gi¸c BNCS néi tiÕp NSC NBC (1)
- ∆AMC = ∆BNC(c-g-c) →
MC = NC vµ MCA NCB
MCB NCS ( 2)
→ ∆CMB = ∆CNS (g-c-g) → CS = BC
Do A; B; (O) cè ®Þnh → AC cè ®Þnh vµ ®o¹n BC cã ®é dµi kh«ng ®æi → S cè ®Þnh
Tõ ®ã ta cã c¸ch chøng minh thø hai. T«i xin phÐp kh«ng tr×nh bµy c¸ch 2 ë ®©y
III- C¸c bµi tËp ®Ò nghÞ
-8-
Bµi 1: Tõ A ngoµi (O) kÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB; AC víi (O) (B; C lµ 2 tiÕp ®iÓm,
B ≠ C). §iÓm M thuéc cung nhá BC (M ≠ C; M ≠ B). Gäi H; I; K thø tù lµ h×nh
chiÕu cña M trªn CB; BA; AC. BiÕt MB c¾t IH t¹i E; MC c¾t IK t¹i F
1/ C/minh: a/ MI2 = MH. MK
b/ EF ┴ MI
2/ §êng trßn ngo¹i tiÕp ∆MFK c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆MEH t¹i ®iÓm thø hai lµ
N, chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn cung BC nhá th× ®êng th¼ng MN lu«n ®i
qua mét ®iÓm cè ®Þnh
(TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh THPT Chuyªn Th¸i B×nh 2007-2008)
Bµi 2: H×nh vu«ng ABCD, ®iÓm P n»m trong ∆ABC
a/ Gi¶ sö cho gãc BPC = 1350, chøng minh: 2PB2 + PC2 = PA2
b/ AP; CP thø tù c¾t BC; AB t¹i M; N. Gäi Q ®èi xøng víi B qua trung ®iÓm cña
MN. Chøng minh khi P thay ®æi trong ∆ABC th× PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
(TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 Chuyªn - §¹i häc Quèc gia Hµ néi 2006)
Bµi 3: Tõ C n»m ngoµi (O; R) vÏ c¸t tuyÕn CAB tíi (O). VÏ ®êng kÝnh MN vu«ng
gãc víi d©y AB t¹i trung ®iÓm D cña d©y AB (M thuéc cung AB lín). MC c¾t (O)
t¹i ®iÓm thø hai lµ I, AB c¾t NI t¹i K.
a/ Chøng minh tø gi¸c MDIK néi tiÕp
b/ Chøng minh CI. CM = CK. CD ; AI. BC = AC.BI
c/ Cho A; B; C cè ®Þnh, ®êng trong (O) thay ®æi nhng vÉn qua A; B. Chøng minh NI
lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
(TrÝch ®Ò thi cuèi n¨m to¸n 9 cña SGD Th¸i B×nh 2003-2004)
Bµi 4: Cho A; C; B th¼ng hµng theo thø tù ®ã, trªn tia Cx vu«ng gãc víi AB lÊy D;
E sao cho CE CA 3 . §êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ADC vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp
CB
CD
∆BCE c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai lµ H kh¸c C.
a/ C/m: A; D; H vµ B; H; E th¼ng hµng
b/ C thay ®æi trªn c¹nh AB th× HC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
Bµi 5: Cho ∆ABC; trªn c¹nh AB lÊy M, trªn c¹nh AC lÊy N sao cho BM = CN.
Chøng minh: MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M; N di ®éng
Bµi 6: Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, cạnh BC cố định. Các
đường cao
của tam giác ABC là AD, BE, CF. Đường thẳng EF cắt BC tại P.
Đường thẳng đi
qua D song song EF cắt AC tại R và cắt AB ở Q. Chứng minh
đường tròn ngoại
tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định khi điểm A di ®éng
Bµi 7: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B theo thứ tự di chuyển
trên các tia
Ox và Oy sao cho OA + OB = k (k không đổi). Vẽ các đường tròn
(A; OB), và (B;
OA). Gọi M, N là các giao điểm của (A) và (B). Chứng minh đường
thẳng MN
luôn đi qua một điểm cố định
Bµi 8: Cho ∆ABC. M trªn BC, §êng trßn qua M tiÕp xóc víi BA t¹i B vµ ®êng
trßn qua M tiÕp xóc víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i P. Chøng minh PM ®i qua mét ®iÓm
cè ®Þnh khi M thay ®æi trªn BC
Bµi 9: Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy điểm E trên dây
cung AB (E
-9-
khác A và B). Qua E vẽ dây cung CD của đường tròn (O). Trên hai
tia DA, DB lấy
hai điểm P, Q đối xứng qua E. Chứng minh rằng đường tròn (I)
tiếp xúc với PQ tại
E và đi qua C luôn đi qua một điểm cố định khi E di động trên dây
cung AB.
A- KÕt qu¶ thùc hiÖn
PhÇn 3: kÕt luËn
Tríc ®©y khi cha híng dÉn häc sinh theo quy tr×nh trªn viÖc d¹y häc chøng
minh "Hä c¸c ®êng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh" trong h×nh häc t«i gÆp rÊt nhiÒu
khã kh¨n, häc sinh thêng tiÕp thu mét c¸ch thô ®éng, gÇn nh bÞ ¸p ®Æt theo lêi gi¶i
cã s½n, nªn ®a sè c¸c em hay n¶n, dÉn ®Õn kÕt qu¶ häc tËp cha cao .
Sau khi t×m tßi häc hái t«i ®· x©y dùng cho häc sinh quy tr×nh suy nghÜ nh
trªn , qua qu¸ tr×nh thùc nghiÖm t«i ®· thu ®îc mét sè kÕt qu¶ nh sau:
- N¨m häc 2011 – 2012 t«i ®îc ph©n c«ng båi dìng ®éi tuyÓn to¸n 9 cña
trêng, cã 4 häc sinh giái cÊp huyÖn, ®iÓm b×nh qu©n xÕp thø Ba toµn huyÖn, cã 2
em ®¹t häc sinh giái to¸n cÊp tØnh.
- N¨m häc 2013 – 2014 t«i ®îc ph©n c«ng båi dìng ®éi tuyÓn to¸n 8 cña
trêng, trong k× thi häc sinh giái to¸n 8 cÊp huyÖn võa qua ®· cã 5 häc sinh giái cÊp
huyÖn, ®iÓm b×nh qu©n xÕp thø NhÊt toµn huyÖn, cã 1 em ®¹t thñ khoa
- Líp t«i phô tr¸ch cã trªn 90% häc sinh ®· cã kÜ n¨ng ph©n tÝch t×m híng
gi¶i quyÕt bµi to¸n, cã kh¶ n¨ng tù häc, tù kiÓm tra vµ cã thãi quen x©y dùng ch¬ng
tr×nh häc to¸n víi c¸c chuyªn dÒ kh¸c, biÕt khai th¸c bµi to¸n theo c¸c c¸ch kh¸c
nhau, trong c¸c giê häc gi¸o viªn chØ ®ãng vai trß lµ ngêi tæ chøc, cè vÊn.
.- C¸ch tiÕp cËn trªn cã thÓ ¸p dông ®îc víi häc sinh toµn cÊp häc THCS
B- Bµi häc kinh nghiÖm:
1- D¹y to¸n lµ d¹y c¸c ho¹t ®éng to¸n häc, ®ã chÝnh lµ c¸c thao t¸c t duy,
c¸c tri thøc vÒ ph¬ng ph¸p häc tËp ®Ó häc sinh cã thÓ tù m×nh t×m tßi ph¸t hiÖn vÊn
®Ò, cao h¬n n÷a lµ ph¸t triÓn vÊn ®Ò.
2- Ngêi thÇy cÇn x©y dùng cho häc sinh c¸c thñ thuËt t duy. Tõ ®ã c¸c em
cã ph¬ng ph¸p häc tËp bé m«n vµ ¸p dông linh ho¹t.
3- CÇn tËp dît cho c¸c em kh¶ n¨ng ph©n tÝch, suy luËn bµi to¸n. C¸c ph©n
tÝch suy luËn hîp lÝ, c¸c mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè t¹o nªn bµi to¸n lµ c¬ së t×m
ra lêi gi¶i bµi to¸n.
4- CÇn tËp dît cho häc sinh kh¶ n¨ng s¸ng t¹o vµ linh ho¹t trong gi¶i to¸n,
s¸ng t¹o trong tiÕp thu, s¸ng t¹o trong vËn dông. Sau mçi bµi to¸n nªn khuyÕn
khÝch häc sinh suy nghÜ s©u h¬n hay t×m thªm c¸ch gi¶i kh¸c, ...
5- §èi víi mçi chuyªn ®Ò gi¸o viªn cÇn cã sù tæng hîp c¸c kiÕn thøc, ph©n
lo¹i c¸c d¹ng to¸n vµ x©y dùng c¸c kÜ n¨ng gi¶i to¸n, ®Þnh híng ph¬ng ph¸p suy
nghÜ cho häc sinh.
* Trªn ®©y t«i ®· tr×nh bµy gi¶i ph¸p: Híng dÉn häc sinh tiÕp cËn bµi to¸n
“chøng minh hä c¸c ®êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh” trong h×nh häc ph¼ng trong ch¬ng tr×nh THSC vµ c¸c bµi häc rót ra trong qu¸ tr×nh d¹y to¸n nãi chung.
Do b¶n th©n cßn cã nh÷ng h¹n chÕ nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt,
T«i rÊt mong ®îc sù gióp ®ì vµ gãp ý ch©n thµnh cña ®ång chÝ!
Mét lÇn n÷a xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c ®ång chÝ!
- 10 -
Tµi liÖu tham kh¶o
1. S¸ch gi¸o khoa; s¸ch bµi tËp vµ s¸ch híng dÉn gi¶ng d¹y to¸n líp 7 - 8 - 9
(Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc - 2011)
2. Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò To¸n 7- 8- 9
(Bïi V¨n Tuyªn- Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc - n¨m 2006)
3. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò h×nh häc 7- 8- 9
(Vò D¬ng Thuþ- NguyÔn Ngäc §¹m- NXBGD- n¨m 2009)
4. To¸n bçi dìng häc sinh líp 9
(Vò H÷u B×nh- NXBGD- n¨m 2004)
5. N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 7- 8- 9
(Vò H÷u B×nh- NXBGD- n¨m 2007)
6. Bçi dìng To¸n líp 7- 8- 9
(§ç §øc Th¸i- §ç thÞ Hång Thuý- NXBGD- n¨m 2005)
7. Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái To¸n 7- 8- 9
(§inh Vò Nh©n- Vâ ThÞ ¸i N¬ng- Hoµng Chóng- NXBGD)
8. Häc tèt To¸n 7- 8- 9
(NguyÔn §øc TÊn- §Æng §øc Träng- Vò Minh NghÜa- NguyÔn §øc
Hoµ- NguyÔn Minh S¬n - NXB ®¹i häc quèc gia TPHCM- 2005)
9. ¤n kiÕn thøc luyÖn kÜ n¨ng h×nh 7- 8- 9
(T«n Th©n- Vò H÷u B×nh- Vò Quèc L¬ng- Bïi V¨n Tuyªn NXBGD- 2008)
10. Bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao To¸n THCS
(Phan V¨n §øc- NguyÔn Hoµng Khanh- Lª V¨n Trêng- NXB §µ
N½ng- n¨m 2005)
11- B¸o To¸n häc tuæi trÎ- To¸n tuæi th¬ 2
12- C¸c ®Ò thi chän HSG; ®Ò thi tuyÓn sinh THPT; tuyÓn sinh THPT Chuyªn
cña tØnh Th¸i B×nh c¸c n¨m
13. C¸c chuyªn ®Ò h×nh häc båi dìng häc sinh giái THCS
(TrÇn V¨n TÊn - nhãm GV chuyªn to¸n §HSPHN- NXBGD- 2008)
14. TuyÓn chän vµ ph©n lo¹i nh÷ng bµi to¸n h×nh häc hay
(NguyÔn TiÕn Quang- NXBGD - n¨m 1997)
15. Nh÷ng bµi to¸n tæng hîp vÒ ®êng trßn
(NguyÔn TiÕn Quang- NXBGD - n¨m 2005)
- 11 -
- Xem thêm -