LỜI CAM ĐOAN
Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả. Các kết quả
nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố trong
bất kỳ công trình nào.
Xác nhận của Tập thể hướng dẫn
Tác giả luận án
PGS. TS Bùi Khởi Đàm
Phùng Duy Quang
1
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục
ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng
ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân
nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu
cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại
có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời
gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một
trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này,
là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên
tục và rời rạc.
Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại
học Uppsala (Thủy ñiển), ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm.
Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý
tưởng của
Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu
nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào
cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô
hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lunberg.
Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết
liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer –
Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo
hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến
ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của
các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000), Buhlma, H.
(1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C.
(2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J.
(2002), Schmidt, K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên
cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale
ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi
ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J (2002), Cai and
Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and
2
Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G.
S. (2002), Sundt, B. and Teugels, J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H.
(1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003, 2006), …
Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng
tham gia bảo hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu
trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang
ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ
thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm
với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên
ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như
Arbrecher, H. (1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004),
Gerber, H. U. (1979), Muller, A. and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991),
Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006), Yang, H. (1999), Yang, H. and
Zhang, L. H. (2003), …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy
Hoàng (2009) ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô
hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến
ngẫu nhiên m - phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác
suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn.
Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm
nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St.
(2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and Goovaerts, M. J. (1998, 1999),
Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. (1997).
Công trình của Nguyễn Thị Thúy Hồng (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính
chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:
t
t
i =1
i =1
U t = u + ∑ X i − ∑ Yi , với dãy tiền thu bảo hiểm
{ X i }i≥1 , dãy tiền chi trả bảo hiểm
{Yi }i≥1 , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác giả Nguyễn Thị
Thúy Hồng (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn
3
thực hành ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo
hiểm.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là
các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình
bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước
lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là
xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có
tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các
công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả).
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:
a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần
nhất.
Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập
ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại
ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp:
dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần
nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết
quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính
chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của
lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị
dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập
hữu hạn.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn
vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài
chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương.
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
4
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả
về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình
Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến
ngẫu nhiên phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp
Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho
xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong
trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov
thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng
(2013) cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng
ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo
hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả
bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm
trong tập hữu hạn.
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại
- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học
Bách khoa Hà nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (20102014).
- Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH
& CN Việt Nam
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4],
[5], [6], [7](xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
5
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan
trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại
của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất
ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với
dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi
suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới
thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale.
Luận án sẽ tập trung xây dựng bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại trong mô
hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết các dãy biến ngẫu nhiên phụ
thuộc Markov. Hơn nữa, luận án cũng xây dựng các công thức tính chính xác xác suất
thiệt hại trong mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu
bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn và dãy lãi
suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các dãy này ñộc lập cùng phân phối
hoặc ñộc lập không cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Các kết quả chính của
luận án ñược trình bày ở các chương tiếp theo của luận án.
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO
HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại
trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu
nhiên phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem
ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I = { I i }i ≥0 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược
xác ñịnh như sau:
U t = U t −1 (1 + I t ) + X t − Yt , t = 1, 2,...,
U o = u.
6
(2.1)
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước
mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I = {I i }i ≥0 . Khi
ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau
U t = (U t −1 + X t )(1 + I t ) − Yt , t = 1, 2,...,
(2.2)
U o = u.
trong ñó u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥0 ,
dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Y j } j ≥0 , dãy lãi suất I = { I k }k ≥0 và các dãy biến ngẫu
nhiên X , Y , I là ñộc lập với nhau.
Trước hết, ta có mô hình (2.1) và (2.2) lần lượt ñược viết dưới dạng sau
t
t
t
k =1
k =1
j = k +1
U t = u.∏ ( 1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ ( 1 + I j ),
t
t
t
k =1
k =1
j =k +1
(2.3)
Ut = u.∏( 1 + I k ) + ∑[ X k ( 1 + I k ) − Yk ] ∏ ( 1 + I j ) .
b
Ở ñây, ta quy ước
∏ zt = 1 và
t =a
(2.4)
b
∑z
t
= 0 nếu a > b .
t =a
Trong chương này chúng ta xét các giả thiết sau:
Giả thiết 2.1. vốn ban ñầu U o = u > 0 .
Giả thiết 2.2. Dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n }n≥0 là xích Markov thuần nhất nhận giá
trị không âm trong E X = { x1 , x2 ,..., xM } với X o = xi ∈ E X ,
M
pij = P X m+1 = x j X m = xi ,( m ∈ N ); xi , x j ∈ E X thỏa mãn 0 ≤ pij ≤ 1; ∑ pij = 1.
j =1
Giả thiết 2.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn }n≥0 là xích Markov thuần nhất nhận
giá trị không âm trong EY = { y1 , y2 ,..., yK } với Yo = yr ∈ EY ,
K
qrs = P Ym+1 = ys Ym = yr ,(m ∈ N ); yr , ys ∈ EY thỏa mãn 0 ≤ qrs ≤ 1, ∑ qrs = 1 .
s =1
Giả thiết 2.4. Dãy lãi suất I = { I n }n≥0 là dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị
không âm, ñộc lập, cùng phân phối với hàm phân phối F (t ) = P ( I o ≤ t ) .
Giả thiết 2.5. X , Y , I là ñộc lập với nhau.
7
Khi ñó, xác suất thiệt hại của mô hình (2.1) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các
giả thiết 2.1-2.5 ñược xác ñịnh tương ứng như sau
t
ψ t(1) (u , xi , yr ) = P(Tu ≤ t ) = P ∪ (U k < 0) U o = u, X o = xi , Yo = yr ,
k =1
+∞
k =1
ψ (1) (u, xi , yr ) = P (Tu < +∞) = limψ t(1) (u, xi , yr ) = P ∪ (U k < 0) U o = u, X o = xi , Yo = yr .
t →∞
Xác suất thiệt hại của mô hình (2.2) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả
thiết 2.1-2.5 ñược xác ñịnh tương ứng như sau
t
ψ t(2) (u , xi , yr ) = P (Tu ≤ t ) = P ∪ (U k < 0) U o = u, X o = xi , Yo = yr ,
k =1
+∞
k =1
ψ (2) (u , xi , yr ) = P(Tu < +∞) = limψ t(2) (u, xi , yr ) = P ∪ (U k < 0) U o = u, X o = xi , Yo = yr .
t →∞
Các kết quả chính của chương 2 gồm.
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy
Định lý 2.1. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì
với mỗi t = 1, 2, …
ψ t(1)+1 (u, xi , yr ) =
y − xj − u
pij qrs F s
∑∑
+
u
j =1 s =1
M
K
+∞
∫
ys − x j −u
u
ψ
(1)
t
( u(1 + x) + x j − ys , x j , ys ) dF ( x) ,
(2.5)
Đặc biệt
M
K
ys − x j − u
,
u
ψ (1) (u , xi , yr ) = ∑∑ pij qrs F
j =1 s =1
(2.6)
Đồng thời
ψ (1) (u , xi , yr ) =
+∞
ys − x j − u
(1)
pij qrs F
∑∑
+ ∫ ψ ( u (1 + x) + x j − ys , x j , ys ) dF ( x) .
u
j =1 s =1
ys − x j − u
u
M
K
8
(2.7)
z
Với quy ước F ( z ) = 0, ∫ dF ( x) = 0 và
+∞
0
∫
+∞
g ( x) dF ( x) =
∫ g ( x)dF ( x) nếu
z < 0.
0
z
Để xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại, cần sử dụng bổ ñề sau
Bổ ñề 2.1. Cho mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1- 2.5. Với mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY , nếu
E (Y1 Yo = yr ) < E ( X1 X o = xi )
,
P
(
Y
−
X
)
>
0
X
=
x
,
Y
=
y
>
0
( 1
1
o
i
o
r)
(2.8)
thì tồn tại duy nhất hằng số Rir > 0 thỏa mãn phương trình
(
)
E e Rir (Y1 − X1 ) X o = xi , Yo = yr = 1.
{
(
Ký hiệu: Ro = min Rir > 0 : E e R
ir
(Y1 − X 1 )
(2.9)
)
}
X o = xi , Yo = yr = 1;( xi ∈ G X , yr ∈ GY ) .
(2.10)
Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.1 và ñịnh lý 2.1, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng
cho xác suất thiệt hại ψ (1) (u, xi , yr ) của mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1 – 2.5 như
sau
Định lý 2.2. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ
ñề 2.1. Với u > 0 , xi ∈ E X và yr ∈ EY ta có
ψ (1) (u , xi , yr ) ≤ β1.E e − R u (1+ I ) ,
o
(2.11)
1
trong ñó
z
e Rouz ∫ e− Rout dF (t )
β1−1 = inf
0
z >0
u ≥0
F ( z)
,0 ≤ β1 ≤ 1.
(2.12)
Định lý 2.3. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5. Với mỗi t = 1, 2, …
ta có
ψ t(2)
+1 (u , xi , yr ) =
+∞
ys − (u + x j )
pij qrs F
+ ∫ ψ t(2) ( (u + x j )(1 + x) − ys , x j , ys ) dF ( x) ,
∑∑
j =1 s =1
u + xj
ys −(u + x j )
u+ x j
M
K
9
(2.13)
Đặc biệt
ys − (u + x j )
,
u+x
j
(2.14)
+∞
ys − (u + x j )
pij qrs F
+ ∫ ψ (2) ( (u + x j )(1 + x) − ys , x j , ys ) dF ( x) .
∑∑
j =1 s =1
u + xj
ys −(u + x j )
u+ x j
(2.15)
M
K
ψ 1(2) (u , xi , yr ) = ∑∑ pij qrs F
j =1 s =1
Đồng thời
ψ (2) (u, xi , yr ) =
M
K
Để thu ñược bất ñẳng thức ñánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại ψ (2) (u, xi , yr ) của
mô hình (2.2), ta xây dựng bổ ñề sau
Bổ ñề 2.2. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và E ( I1k ) < +∞(k = 1, 2).
Với mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY nếu
E (Y1 − X 1 (1 + I1 ) X o = xi , Yo = yr ) < 0
,
P (Y1 − X 1 (1 + I1 ) > 0 X o = xi , Yo = yr ) > 0
(2.16)
thì tồn tại duy nhất hằng số Rir > 0 thỏa mãn phương trình
(
E e
Ký
Rir [Y1 − X 1 (1+ I1 ) ]
)
{
hiệu:
(2.17)
X o = xi , Yo = yr = 1.
(
R o = min Rir > 0 : E e
Rir [Y1 − X 1 (1+ I1 )]
}
)
X o = xi , Yo = yr = 1( xi ∈ G X , yr ∈ GY ) .
(2.18)
Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.2 và ñịnh lý 2.3, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng
xác suất thiệt hại ψ (2) (u, xi , yr ) của mô hình (2.2) với các giả thiết 2.1 – 2.5
Định lý 2.4. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ
ñề 2.2. Với u > 0 , xi ∈ E X và yr ∈ EY ta có
ψ (2) (u , xi , yr ) ≤ β 2 E e R Y Yo = yr E e− R
o 1
o ( u + X 1 )(1+ I1 )
X o = xi ,
trong ñó
10
(2.19)
z
e Rouz ∫ e − Rout dF (t )
β 2−1 = inf
z >0
u≥0
0
F ( z)
(2.20)
, 0 ≤ β 2 ≤ 1.
Nhận xét 2.1. Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay miền giá trị GX , GY là tập hữu hạn
bởi tập vô hạn ñếm ñược: GX = { x1 , x2 ,..., xm ,...} , GY = { y1 , y2 ,..., yn ,...} . Khi ñó các ñịnh
lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.4 ñược tổng quát trong kết quả [6] (xem danh mục các công trình
của tác giả luận án).
Nhận xét 2.2. Nếu xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy chi trả bảo hiểm và
dãy lãi suất phụ thuộc Markov còn dãy tiền thu bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối,
sử dụng phương pháp Martingale chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước
lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó. Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [2]
(xem danh mục công trình của tác giả luận án).
Nhận xét 2.3. Nếu xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm và
dãy lãi suất phụ thuộc Markov còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là ñộc lập cùng phân
phối, sử dụng phương pháp ñệ quy chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước
lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó. Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [7]
(xem danh mục công trình của tác giả luận án).
2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất ψ n(1) (u, xi , yr ) và ψ (1) (u, xi , yr )
bằng phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.3. Giả sử mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5.Với
mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY ,
E (Y1 Yo = yr ) < E ( X 1 X o = xi )
(
)
và P (Y1 − X 1 )(1 + I1 )−1 > 0 X o = xi , Yo = yr > 0 ,
(2.21)
thì tồn tại duy nhất hằng số dương Rir thỏa mãn
(
)
−1
E e Rir (Y1 − X1 )(1+ I1 ) X o = xi , Yo = yr = 1.
11
(2.22)
{
(
Đặt: Ro = min Rir > 0 : E e R
ir
}
)
(Y1 − X 1 )(1+ I1 ) −1
X o = xi , Yo = yr = 1, xi ∈ G X , yr ∈ GY .
Dùng bổ ñề 2.3 ta thu ñược các bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất ψ (1) (u, xi , yr )
bằng phương pháp Martingale.
Định lý 2.5. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 và các giả thiết của
bổ ñề 2.5. Với mỗi u > 0 , xi ∈ E X , yr ∈ EY , ta có
ψ (1) (u, xi , ir ) ≤ e − R u .
(2.23)
o
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất ψ t(2) (u, xi , yr ) và ψ (2) (u, xi , yr )
bằng phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.4. Giả sử mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1 - 2.5. Với mỗi
xi ∈ GX , yr ∈ GY , nếu
E Y1 Yo = yr < E ( X 1 X o = xi ) và
(
)
P Y1 (1 + I1 ) −1 − X 1 > 0 X o = xi , Yo = yr > 0,
(2.24)
thì tồn tại hằng số dương Rir duy nhất thỏa mãn
E e
{
(
Rir Y1 (1+ I1 ) −1 − X1
ir ( Y1 (1+ I1 )
Đặt: R o = min Rir > 0 : E e R
−1
X o = xi , Yo = yr = 1.
)
− X1 )
(2.25)
}
X o = xi , Yo = yr = 1, xi ∈ GX , yr ∈ GY .
Dùng kết quả của bổ ñề 2.4 và phương pháp chứng minh tương tự ñịnh lý 2.5 ta thu
ñược bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất ψ (2) (u, xi , yr ) bằng phương pháp
Martingale.
Định lý 2.6. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và các giả thiết của
bổ ñề 2.5. Với mọi u > 0 , xi ∈ E X , yr ∈ EY , ta có
ψ (2) (u , xi , yr ) ≤ e − R u .
(2.26)
o
12
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương 2 của luận án, xét mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất với dãy biến
ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Luận án sử dụng phương pháp ñệ quy và
phương pháp Martingale ñã xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng xác suất
thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất
trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥0 và dãy tiền chi trả bảo hiểm
Y = {Y j } j ≥0 là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất I = { I k }k ≥0 là dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập cùng phân phối.
Các công trình ñã công bố trước ñây chỉ dừng lại xét các dãy X = { X i }i ≥0 và
Y = {Yi }i ≥0 là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập hoặc phụ thuộc hồi quy. Đây là lần ñầu tiên
xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng Lundberg tổng quát cho mô hình bảo
hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm
X = { X i }i ≥0 và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yi }i ≥0 là các xích Markov thuần nhất còn
dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
Các kết quả chính của chương 2 là các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.6. Kết quả số
minh họa cho ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại cho mô hình tổng quát với
dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất cũng ñược ñưa ra trong chương 2.
Chương 3 của luận án sẽ xây dựng công thức tính xác suất thiệt hại cho các mô
hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất.
13
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI
TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM
Trong công trình của Nguyễn Thị Thúy Hồng (2013), tác giả ñã xây dựng ñược công
thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình
t
t
i =1
i =1
U t = u + ∑ X i − ∑ Yi
Với giả thiết: u, t, X i ,Yi nhận giá trị nguyên dương (dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i≥1 ,
dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Y j } j ≥1 ).
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng (2013),
luận án xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) trong
mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy
tiền chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất ñộc lập cùng phân phối hoặc không cùng phân
phối hoặc phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất (với lãi suất là hằng số) với vốn
của công ty bảo hiểm ở thời kỳ t là:
t
t
i =1
i =1
U t = u (1 + r )t + ∑ X i (1 + r )t −i +1 − ∑ Yi (1 + r )t −i ,
(3.1)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, r > 0 là lãi gộp và là hằng
số, dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i≥1 , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Y j } j ≥1 và các dãy
biến ngẫu nhiên X , Y là ñộc lập với nhau.
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, vốn của kỳ trước ñược ñem
ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I = {I i }i ≥1 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác
ñịnh như sau
U t = U t −1 (1 + I t ) + X t − Yt ; t = 1, 2,...
14
(3.2)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm
X = { X i }i≥1 , dãy tiền ñòi trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥1
, dãy lãi suất I = {I k }k ≥1 và các dãy
biến ngẫu nhiên X , Y , I là ñộc lập với nhau.
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, không những vốn của kỳ trước
mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I = {I i }i ≥1 . Khi ñó,
vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau
U t = (U t −1 + X t )(1 + I t ) − Yt ; t = 1, 2,...
(3.3)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm
X = { X i }i≥1 , dãy tiền ñòi trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥1
, dãy lãi suất I = {I k }k ≥1 và các dãy
biến ngẫu nhiên X , Y , I là ñộc lập với nhau.
Kết quả mở rộng cho mô hình (3.1) ñược công bố trong công trình [4] (xem danh
mục các công trình của tác giả luận án). Trong chương này, luận án chỉ trình bày các
kết quả mở rộng cho mô hình (3.2) và (3.3).
Để xây dựng công thức, chúng ta xét các giả thiết sau
Giả thiết 3.1. vốn ban ñầu U o = u , thời gian t nhận giá trị nguyên dương.
Giả thiết 3.2. Dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i≥1 nhận giá trị dương trong
GX = { x1 , x2 , ...., xM } ,(0 < x1 < x2 < .... < xM ), X là xích Markov thuần nhất với ma trận
xác suất chuyển sau 1 bước: P = pij MxM
M
pij = P X n+1 = x j X n = xi (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ pij ≤ 1; ∀xi , x j ∈ GX : ∑ pij = 1 .
(
)
j =1
M
Phân phối ban ñầu: P ( X 1 = xi ) = pi ( xi ∈ GX ),0 ≤ pi ≤ 1, ∑ pi = 1 .
i =1
Giả thiết 3.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yi }i ≥1 nhận giá trị dương trong
GY = { y1 , y2 ,...., y N } ,(0 < y1 < y2 < .... < yN ), Y là xích Markov thuần nhất với ma trận
xác suất chuyển sau 1 bước: Q = qij NxN
N
qij = P Yn +1 = y j Yn = yi (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ qij ≤ 1; ∀yi , y j ∈ GY : ∑ qij = 1 .
(
)
j =1
15
N
Phân phối ban ñầu: P (Y1 = yi ) = qi ( yi ∈ GY ), 0 ≤ qi ≤ 1, ∑ qi = 1 .
i =1
Giả thiết 3.4. Dãy lãi suất I = {I n }n≥1 là nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn
GI = {i1 , i2 ,..., iR } (0 ≤ i1 < i2 < ... < iR ), I là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất
chuyển sau 1 bước: H = rkj RxR
R
rkj = P I n+1 = i j I n = ik (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ rkj ≤ 1; ∀i j , ik ∈ GI : ∑ rkj = 1 .
(
)
j =1
R
Phân phối ban ñầu: P (Y1 = ik ) = rk (ik ∈ GI ),0 ≤ rk ≤ 1, ∑ rk = 1 .
k =1
Giả thiết 3.5. X , Y , I là ñộc lập với nhau.
Các giả thiết 3.6-3.10 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến
ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân
phối. Còn các giả thiết 3.11-3.15 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp
thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập.
Khi ñó, xác suất thiệt hại, không thiệt hại của mô hình (3.2) ñến thời ñiểm t lần lượt
ñược xác ñịnh như sau
t
ψ t(1) (u ) = P (Tu ≤ t ) = P ∪ (U j < 0) ,
j =1
t
ϕt(1) (u ) = 1 −ψ t(1) (u ) = P(Tu ≥ t + 1) = P ∩ (U j ≥ 0) .
j =1
Xác suất thiệt hại của mô hình (3.3) ñến thời ñiểm t lần lượt xác ñịnh như sau
t
ψ t(2) (u ) = P (Tu ≤ t ) = P ∪ (U j < 0) ,
j =1
t
ϕt(2) (u ) = 1 −ψ t(2) (u ) = P(Tu ≥ t + 1) = P ∩ (U j ≥ 0) .
j =1
Các kết quả của chương 3 là các Bổ ñề, ñịnh lý và hệ quả sau.
t
t
Bổ ñề 3.1. Với mọi số dương u , các dãy số dương { xi }i =1 , { yi }i =1 và dãy số không âm
t
{i }
j
j =1
.
16
Với mỗi p nguyên dương mà (1 ≤ p ≤ t − 1) thỏa mãn
p
p −1
p
k =1
k =1
j = k +1
y p ≤ u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p ,
(3.4)
thì
p +1
p
p +1
k =1
k =1
j = k +1
u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p +1 > 0.
(3.5)
Định lý 3.1. Nếu mô hình (3.2) thỏa mãn các giả thiết 3.1 – 3.5 thì xác suất không
thiệt hại ñến thời ñiểm t ñược tính theo công thức
rc1 rc1c2 ...rct −1ct pm1 pm1m2 ... pmt −1mt ∑ ∑ ... ∑ qn1 qn1n2 ...qnt −1nt ,
c1 ,c2 ,..,ct =1 x1, x2 ,..., xt =1
1≤n1≤g1 1≤n2 ≤g2 1≤nt ≤gt
R
(1)
t
ϕ (u) =
M
∑
∑
(3.6)
trong ñó
1
g1 = max n1 : yn1 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + xm1 , y N ,
k =1
2
1
2
g 2 = max n2 : yn2 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xm2 , y N ,
k =1
j = k +1
k =1
...
t
t −1
t
g t = max nt : ynt ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk − ymk ) ∏ (1 + ic j ) +xmt , y N .
k =1
j = k +1
k =1
Hệ quả 3.1. Xác suất thiệt hại ñến thời ñiểm t của mô hình (3.2) với các giả thiết
3.1-3.5 là:
ψ t(1) (u) = 1− ϕt(1) (u) =
rc1 rc1c2 ...rct −1ct pm1 pm1m2 ... pmt −1mt ∑ ∑ ... ∑ qn1 qn1n2 ...qnt −1nt .
c1 ,c2 ,..,ct =1 m1 ,m2 ,...,mt =1
1≤n1≤g1 1≤n2 ≤g2 1≤nt ≤gt
R
1−
∑
M
∑
t
t
(3.7)
Bồ ñề 3.2. Với mọi số dương u , các dãy số dương { xi }i =1 , { yi }i =1 và dãy số không
t
âm {i j } j =1 .
Với mỗi p nguyên dương mà (1 ≤ p ≤ t − 1) thỏa mãn
17
p
p −1
p
k =1
k =1
j = k +1
y p ≤ u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk (1 + ik ) − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p (1 + i p ),
(3.8)
thì
p +1
p
p
k =1
k =1
j = k +1
u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk (1 + ik ) − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p +1 (1 + i p +1 ) > 0.
(3.9)
Định lý 3.2. Nếu mô hình (3.3) thỏa mãn các giả thiết 3.1- 3.5 thì xác suất không
thiệt hại ñến thời ñiểm t ñược tính theo công thức
(rc1rc1c2 ...rct −1ct ).( pm1 pmm
...
p
)
...
q
q
...
q
∑
∑
∑
mt −1mt
n1 n1n2
nt −1nt ,
1 2
c1,c2 ,..,ct =1 m1,m2 ,...,mt =1
1≤n1≤g1 1≤n2≤g2 1≤nt ≤gt
R
(2)
t
ϕ (u) =
M
∑
∑
(3.10)
trong ñó,
1
g1 = max n1 : yn1 ≤ min u∏ (1 + ick ) + xm1 (1 + ic1 ), y N ,
k =1
2
1
2
g 2 = max n2 : yn2 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk (1 + ick ) − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xm2 (1 + ic2 ), y N ,
k =1
j = k +1
k =1
...
t
t −1
t
g t = max nt : ynt ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk (1 + ick ) − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xmt (1 + ict ), y N .
k =1
j = k +1
k =1
Hệ quả 3.2. Xác suất thiệt hại ñến thời ñiểm t của mô hình (3.3) với các giả thiết
3.1-3.5 là:
ψt(2) (u) = 1−ϕt(2) (u) =
(rc1rc1c2 ...rct−1ct ).( pm1 pmm
...
p
)
∑ ∑ ... ∑ qn1qn1n2 ...qnt −1nt
m
m
1 2
t −1 t
c1,c2 ,..,ct =1m1,m2 ,...,mt =1
1≤n1≤g1 1≤n2≤g2 1≤nt ≤gt
R
=1−
∑
M
∑
.
(3.11)
Từ các ñịnh lý 3.1 và ñịnh lý 3.2 suy ra các công thức tính chính xác xác suất không
thiệt hại (thiệt hại) của mô hình (3.2) và (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng
phân phối và ñộc lập không cùng phân phối.
18
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương 3 của luận án, chúng tôi ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác
xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suấtvới
dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n } , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn } nhận giá trị dương
trong tập hữu hạn, dãy lãi suất I = {I n } nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn, các
dãy X ,Y ,I là ñộc lập. Các công thức này cũng ñược mở rộng ñối với dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc ñộc lập không cùng phân phối, hoặc phụ thuộc
Markov. Các kết quả số cũng ñược ñưa ra ñể minh họa cho công thức lý thuyết. Kết
quả của chương 3 của luận án có những ñiểm mới so với các công trình ñã công bố về
tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại), thể hiện ở những ñiểm sau ñây
1) Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ñều là các mô hình bảo
hiểm có tác ñộng của lãi suất tái ñầu tư tín dụng. Đây là tình huống thường gặp
trong thực tế. Các công trình trước ñây ñã công bố chưa xét tới các mô hình bảo
hiểm có tác ñộng của lãi suất như mô hình (3.1), (3.2) và (3.3). Đây cũng là lần ñầu
tiên xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (xác suất không thiệt hại)
cho mô hình bảo hiểm tổng quát (3.1), (3.2), (3.3).
2) Để thiết lập ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho
các mô hình (3.2) và (3.3) cần phải sử dụng kết quả của Bổ ñề 3.1 và Bổ ñề 3.2.
3) Các công trình ñã công bố chỉ dừng lại ở việc xét mô hình không có tác ñộng của
lãi suất tái ñầu tư tín dụng với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm.
Luận án ñã xây dựng ñược các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không
thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) có tác ñộng của lãi suất mở rộng cho dãy biến
ngẫu nhiên nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. Kết quả này tạo cơ sở lý
thuyết ñể mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của
các mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương trong
tập hữu hạn.
19
KẾT LUẬN CHUNG
Trong luận án, chúng tôi ñã thu ñược các kết quả mới chủ yếu sau ñây:
1.Trong chương 2 của luận án, chúng tôi nghiên cứu mô hình bảo hiểm tổng quát với
dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Các công trình trước ñây chỉ dừng lại
xây dựng bất ñẳng thức Lundberg tổng quát cho mô hình này với dãy tiền thu bảo
hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối
hoặc dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc hồi quy. Sử dụng phương pháp ñệ quy và
phương pháp Martingale, luận án lần ñầu tiên xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước
lượng xác suất thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác
ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n } , dãy tiền chi trả
bảo hiểm Y = {Yn } là các xích Markov thuần nhất không âm, còn dãy lãi suất I = {I n }
là dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm, ñộc lập, cùng phân phối, các
dãy X ,Y ,I ñều ñộc lập với nhau. Kết quả số minh họa cho các ước lượng chặn trên
cho các xác suất thiệt hại của các mô hình ñó cũng ñược giới thiệu trong chương này.
Kết quả chính của chương này là các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.6.
2.Trong chương 3 của luận án, chúng tôi ñã mở rộng ñược các kết quả của Nguyễn
Thị Thúy Hồng [33], luận án lần ñầu tiên xây dựng ñược công thức tính chính xác
xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất bất
kỳ với dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n } , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn } nhận giá trị
dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất I = {I n } nhận giá trị không âm trong tập hữu
hạn, các dãy
X ,Y ,I là ñộc lập. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại
(không thiệt hại) ñược ñưa ra trong luận án ñều xem xét ñối với các trường hợp: dãy
biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc ñộc lập không cùng phân phối, hoặc
phụ thuộc Markov. Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ñều là
các mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất tái ñầu tư tín dụng. Đây là tình huống
thường gặp trong thực tế. Bên cạnh ñó, các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại
(không thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) ñược mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên
20
- Xem thêm -