Tài liệu 150 bài tập hình học hay và khó amir hossein parvardi

VÕ QUANG MẪN VẼ ĐẸP HÌNH HỌC NHÀ XUẤT BẢN 55 99/111-99 NXB-00 Mã số: 00000 Lời nói đầu Chương 1. 150 bài toán chọn lọc Chương 2. Lời giải Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, và những người yêu thích toán học phổ thông. Trong biên soạn không thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc đóng góp cho ý kiến. Mọi góp ý gửi về địa chỉ: [email protected], hay * Chợ Nam Phổ , Phú Thượng, Phú vang, Thừa Thiên Huế. Tác giả cảm ơn các đồng nghiệp đã hết sức giúp đỡ để cuốn sách được in ra. Cố Đô, ngày 2 tháng 11 năm 2011 Võ Quang Mẫn Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các bài toán 1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Gợi ý 2.1. Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 3. Các bài hình các nước 2009 - 2011 3.1. Đề thi 5 5 22 22 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 1 Các bài toán 1.1. 150 bài toán đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 5 150 bài toán đẹp . 1.1. Đường tròn W1 , W2 cắt nhau tại P, K. XY là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này mà gần với P và X, Y lần lượt nằm trên W1 , W2 . XP cắt W2 tại điểm thứ hai C và YP cắt W1 tại B. Gọi A là giao điểm của BX và CY. Chứng minh rằng nếu Q là giao điểm thứ hai của những đường tròn ngoại tiếp 4ABC và 4AXY thì ∠QXA = ∠QKP . 1.2. Cho M là điểm tùy ý trên cạnh BC của 4ABC. W là đường tròn mà tiếp xúc với AB và BM tại T và K v à tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∠AM C tại P. Chứng minh rằng nếu TK k AM thì hai đường tròn ngoại tiếp 4APT và 4KPC tiếp xúc lẫn nhau. . 1.3. Cho 4 cân ABC với BC> AB = AC. D, M lần lượt là trung điểm của BC, AB. X là điểm thỏa mãn BX ⊥ AC và XD k AB. BX và AD cắt nhau tại H. Nếu P là giao điểm của DX và đường tròn ngoại tiếp 4AHX thì tiếp tuyến từ A đến đường tròn ngoại tiếp 4AMP k BC. . 1.4. Cho O, H tâm ngoại tiếp và trực tâm của 4ABC. M, N là trung điểm của BH và CH. Xác định điểm B’ trên đường tròn ngoại tiếp 4A BC sao cho BB’ là đường kính. Nếu HONM là tứ giác nội tiếp thì B’N = 1/2 AC. . 1.5. OX, OY vuông góc. Giả sử trên OX ta có hai điểm cố định P, P’trên cùng tia của O. I là điểm thay đổi sao cho IP = IP’. PI, P’I cắt OY tại A và A’. a) Nếu C, C’. Chứng minh I, A, A’, M nằm trên đường tròn mà tiếp xúc với một đường thẳng và tiếp xúc với một đường tròn cố định.. b) Chứng minh rằng IM đi qua một điểm cố định. 6 Các bài toán . 1.6. Cho A, B, C, Q là những điểm cố định . M, N, P là giao điểm của AQ, BQ, CQ với BC, CA, AB. D’, E’, F’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp 4ABC. Các tiếp tuyến vẽ từ M, N, P đối với đường tròn nội tiếp ABC tạo thành 4DEF. Chứng minh rằng DD’, EE’, FF’ cắt nhau tại Q. . 1.7. Cho 4ABC. Wa là đường tròn tâm nằm trên BC đi qua A và trực giao với đường tròn ngoại tiếp ABC. Wb, Wc được định nghĩa tương tự. Chứng minh các tâm Wa, Wb, Wc thẳng hàng. . 1.8. Tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp của bốn mặt bằng nhau. Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện gần đều. (AB = CD, AC = BD và AD = BC) . 1.9. Giả sử M là điểm tùy ý trên cạnh BC cảu 4ABC. B’, C’ là những điểm trên AB, AC sao cho MB = MB’ và MC = MC’. Giả sử H, I là trực tâm của ABC và tâm nội tiếp MB’C’. Chứng minh rằng A. B’, H, I, C’ nằm trên đường tròn. . 1.10. Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc AB, AC tại P, Q. BI, CI giao PQ tại K, L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp IKL tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ABC khi và chỉ khi AB + AC = 3BC. . 1.11. Cho M, N là hai điểm bên trong 4ABC sao cho ∠MAB = ∠NAC và ∠MBA = ∠NBC. Chứng minh rằng: BM.BN CM.CN AM.AN + + = 1. AB.AC BA.BC CA.CB . 1.12. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác ngoài của góc A và C cắt nhau tại P. Các tia phân giác ngoài của góc B và D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giời ta có hai góc mới E và F (∠AED, ∠BFA). Ta cũng xét giao điểm R của những phân giác ngoài những góc này. Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. . 1.13. Cho 4ABC. Những hình vuông ABc Ba C, CAb Ac BvàBCa Cb A bên ngoài 4. Hình vuông Bc Bc0 Ba0 Ba với tâm P ngoài hình vuông ABc Ba C. Chứng minh BP, Ca Ba và Aa Bc đồng quy. . 1.14. Cho 4 cân ABC cân tại A. Từ A kẻ đường thẳng l song song với BC. P, Q nằm trên các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ⊥BC. M, N là những điểm trên l sao cho ∠AP M = ∠AQN = π2 . Chứng minh: 1 1 2 + ≤ . AM AN AB c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 7 1.1. 150 bài toán đẹp . 1.15. Trong 4ABC, M là trung điểm của AC, và D là điểm trên BC sao cho DB = DM. Ta biết rằng 2BC 2 − AC 2 = AB.AC. Chứng minh rằng: BD.DC = AC 2 .BC . 2(AB + AC . 1.16. H, I, O, N là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và điểm Nagel của 4ABC. Ia, Ib, Ic là tâm bàng tiếp của ABC. S là điểm sao cho O là trung điểm HS. Chứng minh trọng tâm các 4IaIbIc, SIN trùng nhau. . 1.17. Cho tứ giác lồi ABCD. Ta kẻ các đường chéo của nó thành bốn 4, với P là giao điểm các đường chéo. I1, I2, I3, I4 là tâm bàng tiếp tương ứng tại điểm P của các 4PAD, PAB, PBC, PCD. Chứng minh rằng I1, I2, I3, I4 nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi ABCD là tứ giác tiếp xúc. . 1.18. Trong 4ABC, nếu L, M, N là trung điểm của AB, AC, BC và H là trực tâm ABC, chứng minh: 1 LH 2 + M H 2 + N H 2 ≤ (AB 2 + AC 2 + BC 2 ). 4 . 1.19. Các đường tròn S1, S2 cắt nhau tại P và Q. Hai điểm phân biệt A1 và B1( không trùng P,Q) được chọn nằm trên S1. Những đường thẳng A1P và B1P cắt S2 một lần nữa tại A2 và B2 tương ứng, và các đường thẳng A1B1 và A2B2 cắt nhau tại C. Chứng minh rằng khi A1 và B1 thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp 4A1A2C nằm trên đường tròn cố định. . 1.20. Cho B là điểm trên đường tròn S1 và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến tại B đối với S1. Cho C là điểm không nằm trên S1 sao cho đường thẳng AC căt S1 tại hai điểm phân biệt. S2 là đường tròn tiếp xúc AC tại C và tiếp xúc với S1 tại D nằm trên cạnh đối AC từ B. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC. . 1.21. Các phân giác của góc A, B của 4ABC cắt các cạnh BC, CA tại D và E. Giả sử rằng AE + BD = AB, xác định ∠C. . 1.22. Cho A, B, C, P, Q và R nằm trên đường tròn. Chỉ ra rằng nếu những đường thẳng Simson của P, Q, R tương ứng với 4ABC đồng quy thì những đường thẳng Simson của A, B, C tương ứng với 4PQR đồng quy.Hơn nửa những điểm đồng quy là như nhau. . 1.23. Cho 4ABC, E và F là những điểm nằm trên cạnh BC và CA sao cho CE CF CB + CA = 1 và ∠CEF = ∠CAB. Giả sử M là trung điểm của EF và G là giao điểm giữa CM và AB. Chứng minh rằng các 4FEG và ABC đồng dạng. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 8 Các bài toán . 1.24. Cho 4ABC vuông tại C và CA 6= CB. Gọi CH là đường cao và CL là phân giác trong. Chỉ ra rằng X 6= C nằm trên đường thẳng CL ta có ∠XAC 6= ∠XBC và chỉ ra rằng Y 6= C nằm trên đường thẳng CH ta có ∠Y AC 6= ∠Y BC. . 1.25. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn sao cho AB là đường kính và CD là không. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của hai tiếp tuyến tại C, D và giao điểm AC, BD vuông góc với AB. . 1.26. . 1.27. Cho 4ABC và D là điểm trên cạnh AC sao cho AB = DC, ∠BAC = 600 − 2∠X, ∠BCA = 3∠X. Chứng minh ∠X = 100 . . 1.28. . 1.29. Cho 4ABC. D và E nằm trên AB sao cho DA = BE, AD = AC. Phân giác trong của A, B cắt BC, AC tại P, Q, và đường tròn ngoại tiếp ABC tại M, N. Đường thẳng nối A với tâm ngoại tiếp BEM và đường thẳng nối B với tâm ngoại tiếp AND cắt nhau tại X. Chứng minh CX⊥P Q. . 1.30. Xét đường tròn tâm O và điểm A, B trên nó sao cho AB không là đường kính. Đặt C nằm trên đường tròn sao cho AC chia đôi OB. Gọi AB và OC cắt nhau tại D, BC và AO cắt nhau tại F. Chứng minh AF = CD. . 1.31. Cho ta vàm giác ABC. X, Y là hai điểm trên AC, AB. CY cắt BX tại Z và AZ cắt XY tại H( AZ⊥XY ). BHXC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh XB = XC. . 1.32. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và L, N là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Giả sử đường thẳng BD phân đôi ∠ANC. Chứng minh đường thẳng AC phân đôi ∠BLD. . 1.33. Tam giác ABC có đường phân giác ngoài ∠A cắt những đường thẳng vuông góc với BC mà đi qua B và C lần lượt tại D và E. Chứng minh đường thẳng BE, CD, AO đồng quy, ở đây O là tâm ngoại tiếp ABC. . 1.34. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi O là giao điểm AC và BD. Tìm các vị trí M, N nằm trên AB và CD, O thuộc MN sao cho tổng NC MB + đạt min. MA ND . 1.35. Cho 4ABC, M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AM. E là giao điểm của AC với BP và R là hình chiếu của A trên MN. Chứng minh ∠ERN ≡ ∠CRN. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 9 . 1.36. Gọi X một trong hai giao điểm của hai đường tròn cắt nhau. Tìm Y trên đương tròn này và Z trên đường tròn kia để X, Y, Z thẳng hàng và XY.XZ đạt max. . 1.37. Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường tròn O. Điểm S nằm bên trong (O) có tính chất ∠SAD = ∠SCBvà ∠SDA = ∠SBC. Phân giác ∠ASB cắt đường tròn tại hai điểm P, Q. Chứng minh P S = QS. . 1.38. Cho 4ABC. Gọi G, I, H là trọng tâm, tâm nội tiếp, trực tâm của ABC. Chứng minh ∠GIH > 900 . . 1.39. Cho hai đường thẳng song song k, l và một đường tròn không cắt k. Xét điểm A tùy ý trên k. Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn cắt l tại B, C. Gọi m là đường thẳng đi qua A và trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng mọi đường thẳng m đều đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. . 1.40. Cho tứ giác lồi ABCD với AD ∦ BC. Gọi E là giao điểm của AD với BC và I là giao điểm của AC với DB. Chứng minh hai 4EDC và IAB có cùng trọng tâm khi và chỉ khi AB k CD và IC 2 = IA.AC. . 1.41. Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm AC và DB. Tồn tại một số dương k để mọi điểm M trên cạnh OC có điểm N trên cạnh OD sao cho AM.BN = k 2 . Tìm quỹ tích điểm L, là giao điểm của AN với BM. . 1.42. Xét 4vuông với AB = 1. Phân giác góc ∠ACB cắt các trung tuyến BE và AF tại P và M. Gọi P là giao điểm của AE và BE, xác định giá trị lớn nhất diện tích 4MNP. . 1.43. Cho 4ABC cân tại A. Phân giác BD thỏa BC = BD + AD. Tính ∠A. . 1.44. Cho 4với diện tích S, với các độ dài 3 cạnh a, b, c. Chứng minh a2 + 4b2 + 12c2 ≥ 32S. . 1.45. Trong 4vuông ABC tại A, ta kẻ phân giác AD. Đặt DK⊥AC, DL⊥AB. Đường thẳng BK, CL cắt nhau tại H. Chứng minh AH⊥BC. . 1.46. Cho H là trực tâm 4ABC. Gọi BB’ và CC’ là các đường cao. Đường thẳng l tùy ý đi qua H cắt cạnh [BC’] và [CB’] tại M và N. Những đường thẳng vuông góc với l từ M và N cắt BB’ và CC’ tại P và Q. Tìm quỹ tích trung điểm cạnh PQ. . 1.47. Cho 4ABC với đường cao AH, phân giác trong BE. Nếu ∠BEA = 450 thì ∠EHC =? c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 10 Các bài toán . 1.48. Cho 4nhọn ABC với AB 6= AC. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm của cạnh BC. D là điểm trên cạnh AB và E là điểm trên cạnh BC sao cho AE = AD và các điểm D, H, E thẳng hàng. Chứng minh rằng đường thẳng HM mà vuông góc với dây cung chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC và 4ADE. . 1.49. Cho D nằm trong 4ABC và E trên AD. Đặt w1 , w2 là những đường tròn ngoại tiếp các 4BDE và CDE, hai đường tròn này cắt BC tại những điểm trong F, G. X là giao điểm của DG và AB, Y là giao điểm của DF và AC. Chứng minh rằng XY k BC. . 1.50. Cho 4ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD. BM cắt cạnh AC tại N. Chứng minh rằng AB là tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 4NBC khi và chỉ khi đẳng thức sau đúng: BC 2 BM = . MN BN 2 . 1.51. Cho 4ABC với diện tích K. Chứng minh 27(b2 + c2 − a2 )2 (c2 + a2 − b2 )2 (a2 + b2 − c2 )2 ≤ (4K)6 . 1.52. Cho 4ABC thỏa mãn AC + BC = 3.AB.Đường tròn nội tiếp ABC với tâm I và tiếp xúc BC, CA tại D và E. K, L là điểm đối xứng D, E qua I. Chứng minh A,B,C,K nằm trên đường tròn. . 1.53. Trong 4nhọn ABC có 2AB = AC + BC. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, trung điểm AC, trung điểm BC nội tiếp đường tròn. . 1.54. Cho 4ABC, M là trung điểm của BC. Cho γ là đường tròn nội tiếp. Trung tuyến AM cắt γ tại K, L. Các đường thẳng đi qua K, và L song song BC cắt γ tại X, Y. Giả sử đường thẳng AX, AY cắt BC tại P, Q. Chứng minh BP = CQ. . 1.55. Cho 4ABC, M là điểm bên trong thỏa mãn ∠M AB = 100 , ∠M BA = 200 , ∠M AC = 400 và∠M CA = 300 . Chứng minh rằng 4này là cân. . 1.56. Cho 4vuông ABC tại A. M là trung điểm BC, D là điểm trên đường thẳng BC thỏa ∠BAD = ∠CAD. Chứng minh rằng tồn tại điểm P sao cho P B⊥P M và A P B = P M khia và chỉ khi PP D = 35 . . 1.57. Xét ngũ giác lồi ABCDE sao cho ∠BAC = ∠CAD = ∠DAE và ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE. P là giao điểm của các đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trung điểm của cạnh CD. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 11 √ . 1.58. Chu vi 4ABC bằng 3 + 2 3. Trong mặt phẳng tọa độ, bất kỳ 4đồng quy đối với 4ABC có ít nhất một điểm mạng trong phần trong của nó hoặc trên cạnh của nó. Chứng minh 4ABC là đều. . 1.59. Cho 4ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, và P là điểm bên trong 4. Chứng minh: PB PC 1 PA + + ≥ 2. 2 2 2 BC CA AB R . 1.60. . 1.61. Cho ABCD là tứ giác ngoại tiếp đường tròn, đặt O = AC ∩ BD, và K, L, M, và N là chân đường vuông góc hạ từ O đến các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh: 1 1 1 1 + = + . OK OM OL ON . 1.62. Cho 4ABC. Trên các cạnh kéo dài BC( đối với C), CA( đối với A), AB( đối với B) ta lấy các điểm D, E, F sao cho CD = AE = BF. Chứng minh rằng 4DEF là đều thì 4ABC cũng đều. . 1.63. Cho 4ABC, với tâm I, đường tròn nội tiếp của 4IBC tiếp xúc IB, IC tại Ia , Ia0 , tương tự ta có Ib , Ib0 , Ic , Ic0 và các đường thẳng Ib Ib0 ∩ Ic Ic0 = {A0 } tương tự có B 0 , C 0 Chứng minh hai 4ABC, A’B’C’ được phối cảnh. . 1.64. Cho AA1 , BB1 , CC1 là các đường cao trong 4nhọn ABC, và đặt X là điểm tùy ý. Gọi M, N, P, R, S là chân đường vuông góc hạ từ X xuống các đường thẳng AA1 , BC, BB1 , CA, CC1 , AB. Chứng minh rằng MN, PQ, RS đồng quy. . 1.65. Cho 4ABC và đặt X, Y, Z là điểm trên các cạnh BC, CA, AB, sao cho AX = BY = CZ. và BX = CY AZ. Chứng minh 4ABC là đều. . 1.66. Cho P và P’ là những điểm liên hợp đẳng giác đối với 4ABC. Giả sử các đường thẳng AP, BP, CP cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’ C’. Chứng minh rằng các đối xứng của các đường thẳng AP’, BP’, CP’ đối với các đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đồng quy. . 1.67. trong tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không là phân giác của các góc ∠ABC và ∠CDA. Điểm P bên trong tứ giác thỏa ∠P BC = ∠DBA và ∠P DC = ∠BDA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là nội tiếp khi và chỉ khi AP = CP . 1.68. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại các đỉnh B và C cắt nhau tại X. Thì đường thẳng AX là đường đối trung của 4ABC. ( xem thêm các bổ đề trong hình học phẳng) c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 12 Các bài toán . 1.69. Cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại các đỉnh B và C cắt nhau tại X, và M là trung điểm của cạnh BC. Thì AM = AX| cos A| ( ta không sử dụng góc định hướng ở đây) . 1.70. AB sao 4AN P Cho 4ABC là đều. Đặt M, N. P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA, cho S(ANP) = S(BPM) = S(CMN), ở đây S(.) là diện tích. Chứng minh ∼ = 4BP M ∼ = 4CM N. . 1.71. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng g tùy ý đi qua đỉnh A cắt đường thẳng BC và DC tại X, Y. Gọi K, L là tâm bàng tiếp của các 4ABX, ADY. Chứng minh rằng ∠KCL không phụ thuộc và đường thẳng g. . 1.72. 4QAP có ∠A vuông. Các điểm B, R được chọn trên PA và PQ sao cho BR song song với AQ. Điểm S và T tương ứng trên AQ, BR và AR vuông ∠BS, AT vuông ∠BQ. AR và BS cắt nhau tại U, AT và BQ cắt nhau tại V. Chứng minh (a) các điểm P, S, T thẳng hàng. (b) các điểm P, U, V thẳng hàng. . 1.73. Cho 4ABC và m là đường thẳng mà cắt các cạnh AB và AC tại điểm bên trong D và F. Những đường thẳng song song từ A, B, C đối với m cắt đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại điểm A1 , B1 , C1 . Chứng minh rằng các đường thẳng A1 E, B1 F, C1 D đi qua một điểm cố định. . 1.74. Gọi H là trực tâm của 4ABC. X là điểm tùy ý trên mặt phẳng. Đường tròn đường kính XH cắt các đường thẳng AH, BH, CH tại A1 , B1 , C1 và đường thẳng AX, BX, CX tại A2 , B2 , C2 . Chứng minh các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy. . 1.75. Xác định tính chất của 4ABC sao cho tâm nội tiếp nằm trên HG, ở đây H là trực tâm, G là trọng tâm 4ABC. . 1.76. Cho 4ABC. D là điểm trên đường thẳng AB. (C) là đường tròn nội tiếp 4BDC. Kẻ đường thẳng song song với phân giác ∠ADC, và đi qua I, tâm nội tiếp 4ABC và đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn (C). Chứng minh AD = BD. . 1.77. Cho M, N là trung điểm của BC và AC của 4ABC. và BH là đường cao. Đường thẳng đi qua M, vuông góc phân giác ∠HM N, cắt đường thẳng AC tại P sao cho HP = 21 (AB + BC) và ∠HM N = 450 . Chứng minh rằng ABC cân. . 1.78. Các điểm D, E, F trên cạnh BC, CA, và AB mà thỏa mãn EF k BC, D1 là điểm trên BC. Xây dựng D1 E1 k DE, D1 F1 k DF mà giao điểm AC và AB tại E1 , F1 . Xây dựng 4P BC ∼ 4DEF. Chứng minh rằng E, E1 F1 , P D1 đồng quy. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 13 . 1.79. Cho hình chữ nhật ABCD. Ta chọn bốn điểm P, M, N, Q trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng chu vi của PMNQ nhỏ hơn một nửa chu vi ABCD. . 1.80. Cho ABCDE là ngũ giác lồi. . 1.81. Cho 4ABC. Đường tròn nội tiếp i = C(I, R) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Ta gọi giao điểm thứ hai M, N, P của các đường thẳng AI, BI, CI tương ứng với đường tròn e = C(O, R). Chứng minh rằng các đường thẳng MD, NE, PF đồng quy. . 1.82. Cho 4nhọn ABC với ∠BAC > ∠BCA, và D là điểm trên AC sao cho AB = BD. Hơn nữa đặt F là điểm trên đường tròn ngoại tiếp 4ABC sao cho FD là vuông góc với cạnh BC, và các điểm F, B nằm trên hai bờ của cạnh AC. Chứng minh FB vuông góc với cạnh AC. . 1.83. Cho 4ABC với trực tâm H, tâm nội tiếp I và trọng tâm S, và d là đường kính của đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh bất đẳng thức: 9HS 2 + 4(AH.AI + BH.BI + CH.CI) ≥ 3d2 , và xác định đẳng thức xảy ra khi nào? . 1.84. Cho 4ABC. Một đường tròn đi qua A và B cắt cạnh AC, BC tại D và E. Đường thẳng AB và DF cắt nhau tại F, trong khi đường thẳng BD và CF cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MF = MC khi và chỉ khi M B.M D = M C 2 . . 1.85. 4ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Trên AB ta lấy điểm C’ sao cho AC = AC’ và trên AC ta lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB. Cạnh B’C’ cắt đường tròn tại E, D và cắt BC tại M. Chứng minh rằng khi điểm A di động trên cung BAC thì AM đi qua một điểm. . 1.86. Trong 4nhọn ABC, ta xét chân đường cao Ha và Hb của đường cao hạ từ A, B và các giao điểm Wa và Wb của các phân giác từ A, B với các cạnh đối diện BC, CA. Chỉ ra rằng tâm đường tròn nội tiếp I của 4ABC nằm trên cạnh Ha Hb khi và chỉ khi tâm đường tròn ngoại tiếp O của 4ABC nằm trên cạnh Wa Wb . . 1.87. Cho 4ABC và O là điểm trong mặt phẳng. Các đường thẳng BO, CO cắt các cạnh CA và AB tại M, N. Những đường thẳng song song với CN và BM đi qua điểm M và N cắt nhau điểm khác E, và những đường thẳng song song với CN và BM đi qua điểm B và C cắt nhau điểm khác F. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 14 Các bài toán . 1.88. Trong không gian cho tam giác vuông ABC tại A, và điểm D sao cho đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Ký hiệu d = AB, h = CD, α = ∠DACvà∠DBC. Chứng minh rằng d tan α tan β h= p . tan2 α − tan2 β . 1.89. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng. Phân giác trong của các góc A, B, C của 4ABC cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’. B’ , C’. P là giao điểm của phân giác ∠A với B’C’. Đường thẳng song song BC đi qua P cắt cạnh AB và AC tại M, N. Chứng minh 2M N = BM + CN. . 1.90. trong 4ABC nếu a(1 − 2 cos A) + b(1 − 2 cos B) + c(1 − 2 cos C) = 0, thì 4ABC đều. . 1.91. Các đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B. CD đi qua điểm O1 cắt (O1 ) tại D và tiếp xúc với (O2 ) tại C. AC tiếp xúc (O1 ) tại A. Kẻ AE vuông ∠CD, và AE cắt (O1 ) tại E. Kẻ AF vuông ∠DE, và AF cắt DE tại F. Chứng minh BD chia đôi AF. . 1.92. Trong 4ABC, đặt A1 , B1 , C1 là các tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng AA1 , BB1 , CC1 là độ dài ba cạnh 4. . 1.93. Cho 4nhọn ABC, đặt P, Q là hai cạnh nằm trên BC. Xây đựng điểm C1 thỏa mãn tứ giác AP BC1 nội tiếp, QC1 k CA, và điểm C1 và Q nằm trên hai cạnh đối của bờ AB. Xây đựng điểm B1 thỏa mãn tứ giác AP CB1 nội tiếp, QB1 k BA, và điểm B1 và Q nằm trên hai cạnh đối của bờ AB. Chứng minh bốn điểm B1 , C1 , P, Q nằm trên đường tròn. . 1.94. Cho tứ giác ABCD. Phân giác ngoài của các ∠Avà C cắt nhau tại P; phân giác ngoài các ∠B, D cắt nhau tại Q. Đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E, và đường thẳng BC, DA cắt nhau tại F. Bây giờ ta có hai góc: E ( là ∠AED) và F ( là ∠BF A ). Ta cũng xét điểm điểm R là giao điểm của các phân giác ngoài của hai góc này. Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. . 1.95. Cho I là tâm nội tiếp của 4ABC và 4A1 B1 C1 là 4trung bình ( tức là A1 là trung điểm của cạnh BC, vv...). Chứng minh rằng các tâm của những đường tròn chín điểm Euler các 4BIC, CIA, AIB các phân giác của 4trung bình A1 B1 C1 . . 1.96. Xét ba đường tròn bằng nhau có cùng bán kính R và có chung điểm H. giao điểm chung của chúng là A, B, C. chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC cung bằng R. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 15 . 1.97. Ba đường tròn đồng quy G1 , G2 , G3 có chung điểm P. Hơn nữa ta Định nghĩa G2 ∩ G3 = {A, P }, G3 ∩ G1 = {B, P }, G1 ∩ G2 = {C, P }. 1. Chứng minh rằng điểm P là trực tâm của 4ABC. 2. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp 4ABC đồng quy với các đường tròn G1 , G2 , G3 . . 1.98. Cho ABXY là hình thang sao cho BX k AY . Ta gọi C là trung điểm của XY, và ký hiệu P, Q là trung điểm của BC, CA. XP, YQ cắt nhau tại N. Chứng minh 1 BX rằng N nằm trong hoặc trên biên của tam giác ABC khi và chỉ khi ≤ ≤ 3. 3 AY . 1.99. Cho P là điểm cố định trên một conic, M, N là hai điểm tùy ý trên đó sao cho P M ⊥P N . Chứng minh MN đi qua một điểm cố định. . 1.100. Cho 4ABC. L là điểm Lemoine và F là điểm Fermat( hay diểm Torricelli). H là trực tâmvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Gọi l là dường thẳng Euler và l’ là đối xứng của l qua AB. D là giao điểm của l’ với đường tròn ngoại tiếp , E là giao điểm cảu FL và OD. Gọi G là điểm khác H sao cho tam giác thủy túc( tam giác bàn chân) của G là đồng dạng với 4cevian của G( đối với 4ABC). Chứng minh rằng hai góc ACB, GCE hoặc chung hoặc những phân giác vuông góc nhau. . 1.101. Cho 4ABC với diện tích S, P là điểm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng √ √ 4 AP + BP + CP ≥ 2 3 S. . 1.102. M là điểm trên cạnh AB của 4ABC sao cho đường tròn nội tiếp của 4AMC và 4BMC có cùng bán kính. hai đường tròn, tâm tại O1 , O2 , cắt AB tại P và Q. biết rằng dt 4ABC bằng 6 lần dt tứ giác P QO1 O2 . Xác định giá trị của AC + BC . AB . 1.103. Cho AB1 C1 , AB2 C2 , AB3 C3 là những tam giác đều đồng quy. Chứng minh rằng các cặp giao điểm của những đường tròn ngoại tiếp của các 4AB1 C2 , AB2 C3 , AB3 C1 từ một tam giác đều với ba cái đầu. . 1.104. Cho tam giác nhọn, các trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại P. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2( + + )≤ + + AP BP CP PD PE PF . 1.105. Cho 4ABC. Gọi O là tâm ngoại tiếp. Đặt H, K, L là chân đường cao hạ từ A, B, C của 4ABC. Ký hiệu A0 , B0 , C0 là trung điểm các đường cao AH, BK, CL. I là tâm nội tiếp và tiếp điểm tại các cạnh BC, CA, AB là D, E, F. Chứng minh A0 D, B0 E, C0 F, OI đồng quy. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 16 Các bài toán . 1.106. Cho tam giác đều ABC và M là điểm trong mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua A, B, C. 1. Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm P cách đều từ A và B’, từ B và C’, từ C và A’. 2. Gọi D là trung điểm của AB. Khi M thay đổi( không trùng D) chứng minh đường tròn ngoại tiếp 4MNP (N là giao điểm của DM và AP) đi qua một điểm cố định. . 1.107. Cho hình vuông ABCD, và (C) là đường tròn đương kính AB. Gọi Q là điểm tùy ý trên CD. Ta biết QA cắt (C) tại E và BQ cắt (C) tại F. Cũng có CF và DE cắt nhau tại M. Chứng minh M phụ thuộc đối với (C). . 1.108. Trong tam giác ABC ta có: ( b c a 2 ) + ( )2 + ( )2 ≥ 4. ha hb hc . 1.109. Cho 4ABC. X trên AC. Một đường tròn đi qua X, tiếp xúc cạnh AC và cắt đường tròn ngoại tiếp 4ABC tại M và N sao cho cạnh MN phân đôi BX và cắt AB, BC tại P, Q. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp 4PBQ đi qua điểm cố định khác B. . 1.110. Cho 4ABC cân với ∠ACB = π2 , và P là điểm bên trong nó. 1. Chứng minh ∠P AB + ∠P BC ≥ min(∠P CA, ∠P CB); 2. Đẳng thức xảy ra khi nào? . 1.111. Cho tứ diện đều ABCD với độ dài cạnh 1 và P là điểm bên trong nó. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức |P A| + |P B| + |P C| + |P D|. . 1.112. Cho tứ diện ABCD. Các đỉnh A, B, C nằm trên phần dương của trục x, y, z. và AB = 2l − 1, BC = 2l, CA = 2l + 1, ở đây l > 2. Gọi thể tích của tứ diện là V (l). Tìm V (l) lim √ . l→2 l−2 . 1.113. Cho 4ABC. M, N, P là trung điểm của BC, CA, AB. a) d1 , d2 , d3 là ba đường thẳng đi qua M, N, P và chia chu vi 4ABC thành hai phần bằng nhau. Chứng minh d1 , d2 , d3 đồng quy tại K. KA KB KC b) Trong các tỷ số , , tồn tại ít nhất một tỷ số ≥ √13 . BC AC AB c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 17 . 1.114. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB = a, BC = b) tìm quỹ tích điểm M, để các điểm đối xứng của M qua các cạnh nằm trên một đường tròn . . 1.115. Một đường tròn nội tiếp 4ABC tiếp xúc các cạnh AB, BC, CA tại C’, A’, B’. Đường thẳng A’C’ cắt các đương thẳng MN, KL tại E và F; A’B’ và MN cắt nhau tại P; B’C’ và LK cắt nhau tại Q. Gọi ΩA , ΩC là các đường tròn bên ngoài các 4AEP, FCQ. a) Gọi l1 và l2 là tiếp tuyến chung của Gọi ΩA , ΩC . Chứng minh các đường thẳng l1 , l2 , EF P Q đồng quy. b) Giả sử ΩA , ΩC cắt nhau tại X, Y. Chứng minh X, Y, B nằm trên đường thẳng. . 1.116. hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt nhau tại A, B. Gọi M là điểm di đông trên (O1 ). K là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O1 ) tại A và B. MK cắt (O1 ) tại C. AC cắt (O2 ) tại Q. MA cắt (O2 ) tại P. a) Chứng minh đường thẳng KM phân đôi cạnh PQ. b) Khi M di động trên (O1 ), chứng minh PQ đi qua điểm cố định. . 1.117. Cho n hình cầu B1 , B2 , . . . , Bn với bán kính R1 , R2 , . . . , Rn trong không gian. Giả sử không tồn tại bất kỳ mặt phẳng nào tách n hình cầu này.Chứng minh rằng tồn tại hình cầu bán kính R1 + R2 + . . . + Rn mà phủ tất cả n hình cầu này. . 1.118. Cho 4ABC, và dựng đứng ba hình chữ nhật ABB1 A2 , BCC1 B2 , CAA1 C2 ở ngoài trên ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh các đương trung trực của các cạnh A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy. . 1.119. Trên đường thẳng cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB = CD. Ta có thể tìm trung điểm của BC bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ. . 1.120. Cho 4ABC, D, E, F là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với BC, CA, AB. Đường thẳng song song AB đi qua E cắt DF tại Q, đường thẳng song song AB đi qua D cắt DF tại T. Chứng minh CF, DE, QT đồng quy. . 1.121. Cho 4ABC. I, N là tâm đường tròn nội tiếp và điểm Nagel của 4ABC, r là bán kính nội tiếp. Chứng minh IN = r ⇔ a + b = 3choặc b + c = 3ahoặc c + a = 3b . 1.122. Các tâm của ba đường tròn bảo toàn thứ tự với các đường tròn Apollonuyt của 4ABC xác định vị trí trên đương thẳng vuông góc với đường thẳng Euler của 4ABC. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 18 Các bài toán . 1.123. Cho 4ABC, M và M’ là hai điểm trong mặt phẳng. Đặt X và X’ trên BC, Y, Y’ trên CA, Z, Z’ trên AB. giả sử M 0 X k AM, M 0 Y k BM, M 0 Z k CM, M X 0 k AM 0 , M Y 0 k BM 0 , M Z 0 k CM 0 . Chứng minh các đường thẳng AX, BY, CZ đồng quy khi và chỉ khi các đường thẳng AX 0 , BY 0 , CZ 0 đồng quy. . 1.124. Chúng ta gọi một bộ-sáu( sextuple) của các điểm (A, B, C, D, E, F ) trong mặt phẳng là bộ-sáu Pascal khi và chỉ khi các giao diểm AB ∩ DE, BC ∩ EF, CD ∩ F A thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu một bộ Pascal thì mọi hoán vị của bộ này đều là Pascal. ("Tức là định lý Pascal dúng cho cả thuận và đảo"). . 1.125. Nếu P là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp 4ABC và K là điểm Lemoine. Chứng minh rằng PK sẽ cắt các cạnh BC, CA, AB tại X, Y, Z sao cho 1 1 1 3 = + . PK PX PY PZ . 1.126. Cho bốn điểm phân biệt A1 , A2 , B1 , B2 trong mặt phẳng. Chứng minh rằng nếu mọi đường tròn đi qua A1 , A2 cắt mọi đường tròn đi qua B1 , B2 thì A1 , A2 , B1 , B2 hoặc thẳng hàng hoặc nội tiếp đường tròn . . 1.127. ABCD là tứ giác lồi sao cho AB và CD không song song. Đường tròn đi qua A, B tiếp xúc CD tại X, và một đường tròn đi qua C, D tiếp xúc AB tại Y. Hai đường tròn này cắt nhau tại U, V. Chứng minh AD k BC khi và chỉ khi U V phân đôi XY. . 1.128. Cho R, r, hãy dựng những đường tròn với các bán kinh R, r sao cho khoảng cách hai tâm bằng dây cung chung của chúng. . 1.129. Dựng 4ABC, được cho bởi trung điểm M của BC, trung điểm N của AH ( H là trực tâm), và điểm A’ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC. . 1.130. Cho A’, B’, C’ là điểm đối xứng của A, B, C qua các cạnh BC, CA, AB. O là tâm ngoại tiếp. Chứng minh các đường tròn (AOA’), (BOB’), (COC’) đồng quy tại P, mà là nghịch đảo đối với đường tròn ngoại tiếp của liên hiệp đẳng giác của tâm đường tròn chín điểm. . 1.131. Cho 4ABC cân với ∠ACB = π2 , và P là điểm bên trong nó. 1. Chứng minh ∠P AB + ∠P BC ≥ min(∠P CA, ∠P CB); 2. Đẳng thức xảy ra khi nào? . 1.132. Cho S là tập tất cả các bề mặt đa giác trong mắt phẳng ( một bề mặt đa giác là phần trong của biên của các cạnh; tức là các đa giác không nhất thiết lồi). Chứng minh ta có thể tìm một hàm f : S → (0, 1) sao cho, nếu S1 , S2 , S1 ∪ S2 , ∈ S, và phần giao của S1 , S2 rời nhau thì f (S1 ∪ S2 ) = f (S1 ) + f (S2 ). c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 1.1. 150 bài toán đẹp 19 . 1.133. Cho A’B’C’ là tam giác trực tâm của tam giác ABC, đặt A”, B”, C” là trực tâm của AB’C’, A’BC’, A’B’C. Chứng ming hai tam giác A’B’C’ và A”B”C” đồng dạng. . 1.134. Cho O là trung điểm của dây cung AB của một ellip. Qua O ta vẽ dây cung PQ khác của ellip. Các tiếp tuyến tại P, Q cắt AB tại S, T. Chứng minh AS = BT. . 1.135. Cho hình bình hành ABCD với AB < BC, chỉ ra rằng các đường tròn ngoại tiếp 4APQ mà có một điểm chung thứ hai khi P, Q di động trên BC, CD tương ứng, thì khi đó CP = CQ. . 1.136. Cho tam giác nhọn ABC, và AA0 , BB 0 là các đường cao. Điểm D được chọn trên cung ACB của đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Nếu P = AA0 ∩ BD, Q = BB 0 ∩ AD, Chứng minh trung điểm của P Q nằm trên AA0 . . 1.137. Gọi (I), (O) là đường tròn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F. Ta cũng gọi ba đường tròn wa , wb , wc tiếp xúc với (I), (O) tại D, K ( đối với wa ), tại E, M ( đối với wb ), tại F, N ( đối với wc ). a) Chứng ming DK, EM, FN đồng quy tại điểm P. b) Chứng minh trực tâm 4DEF nằm trên OP. . 1.138. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng và điểm P khác, các đối cực của P đối với conic đi qua bốn điểm A, B, C, D đi qua một điểm cố định. ( khá hay, trừ khi P là một trong các giao điểm của AB ∩ CD, AD ∩ BC, AC ∩ BD, trong trường hợp đó đường đối cực là côc định). . 1.139. Chứng minh rằng nếu một lục giác ABCDEF có tất cả các cạnh có độ dài ≤ 1 thì có ít nhất một trong các đường chéo AD, BE, CF có độ dài ≤ 2. . 1.140. Tìm số k > 0 lớn nhất có tính chất mọi đa giác lồi có diện tích S và bất kỳ đương thẳng l trong mặt phẳng, ta có thể nội tiếp một tam giác với diện tích geqkS và một cạnh song song với l nằm trong đa giác. . 1.141. Cho một số hữu hạn của các cạnh song song trong mặt phẳng thỏa mãn mỗi ba cạnh đó tồn tại một đường thẳng cắt chúng, chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt tất cả các cạnh đó. . 1.142. Cho A0 A1 . . . An là một dơn hình n- chiều, và đặt r, R là bán kính nội tiếp và ngoại tiếp. Chứng minh R ≥ nr. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright 20 Các bài toán . 1.143. Tìm các số n ≥ 2 thảo mãn các tính chất sau: với mọi n + 2 điểm P1 , . . . , Pn+2 ∈ Rn , không có ba điểm nào trên một đường thẳng, ta có thể tìm i 6= j ∈ 1, n + 2 sao cho Pi Pj không là một cạnh của bao lồi của của những điểm Pi . . 1.144. Cho n + 1 đa diện lồi trong Rn , chứng minh hai khẳng định sau là tương đương: a) Không tồn tại siêu phẳng mà cắt tất cả n + 1 đa diện. b) Mọi đa diện có thể được tách từ n cái khác bởi một siêu phẳng. . 1.145. Tìm các đa diện lồi mà có thể được phủ bởi hoàn toàn 3 ảnh đồng dạng nhỏ nhất của chúng ( tức là những ảnh thông qua các phép vị tự với tỷ số trong khoảng (0, 1)). . 1.146. Cho P là điểm bên trong 4ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Chứng minh: PB PC 1 PA + + ≥ . 2 2 2 BC CA AB R . 1.147. Tồn tại một số lẻ của các chiến binh, các khoảng cách giữa tất cả của họ tất cả là riêng biệt ( distinct, rõ nhìn), mà đang huấn luyện như sau: Mỗi một trong họ đang nhìn một hạn chế nhất trong họ. Chỉ ra rằng tồn tại một chiến binh mà không ai đang nhìn. . 1.148. Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Gọi BB’ và CC’ là đường cao. Một đường thẳng l tùy ý đi qua H cắt các cạnh BC’ và CB’ tại M và N. Những đương thẳng vuông góc với l qua M, N cắt BB’, CC’ tại P, Q. Tìm quỹ tích trung điểm của cạnh PQ. . 1.149. Chứng minh rằng không tồn tại những đa giác đều với hơn 4 cạnh được nội tiếp một ellip. . 1.150. Cho một cyclic 2n-gon với đường tròn ngoại tiếp cố định sao cho 2n-1 các cạnh của nó đi qua 2n-1 điểm ccos định nằm trên l, chứng minh 2n cạnh cũng đi qua một điểm cố định trên l. . 1.151. . 1.152. . 1.153. . 1.154. . 1.155. c Võ Quang Mẫn Bài giảng được soạn trên Latex, copyright