Tài liệu Bài tập sức bền vật liệu có bài giải và hướng dẫn

Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC A. CÂU HỎI 1.1. Thế nào là nội lực? Phương pháp mặt cắt ñể xác ñịnh nội lực? Những thành phần của nội lực. 1.2. Ngoại lực là gì? Các dạng của ngoại lực, thứ nguyên và ñơn vị của nó 1.3. Vẽ các liên kết và biểu diễn các thành phần phản lực tại các liên kết ñó. 1.4. Quy ước dấu của các thành phần nội lực? Hãy biểu diễn nội lực thông qua một ñoạn thanh. 1.5. Quan hệ giữa lực phân bố q và lực cắt Qy, Mx. Các bước nhảy ở biểu ñồ nội lực Qy và Mx xuất hiện ở ñâu, dấu của bước nhảy ñó. Khi nào thì trên biểu ñồ Mx có cực trị, cách xác ñịnh cực trị ñó. 1.6. Vẽ biểu ñồ Qy, Mx bằng phương pháp nhanh dựa vào các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực và những nhận xét ñã học. B. BÀI TẬP 1.7. Vẽ biểu ñồ nội lực của các dầm cho trên hình 1.1. a) b) c) d) Hình 1.1 Bài giải: Sử dụng phương pháp mặt cắt ta tính ñược nội lực trong các ñoạn dầm Biểu ñồ nội lực của các dầm cho trên Hình 1.1.a, b, c, d, e, f. KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 155 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU a) b) 6qa2 9 d) e) 1.8. Không cần tính ra phản lực, vẽ biểu ñồ nội lực của các dầm cho trên hình 1.2. P = 2qa q 2a 3a P = qa a M= 2 1 qa 2 a a) q 4a b) Hình 1.2 Bài giải: Sử dụng phương pháp mặt cắt ta tính ñược nội lực trong các ñoạn dầm KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 154 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 1.9. Vẽ biểu ñồ nội lực như trên hình 1.3. Hình 1.3 Bài giải: Sử dụng phương pháp mặt cắt ta tính ñược nội lực trong các ñoạn dầm 1.10. Vẽ biểu ñồ nội lực cho hệ khung như trên hình 1.4. KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 155 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU Hình 1.4 Bài giải: KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 156 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU CHƯƠNG 2: KÉO NÉN ðÚNG TÂM A. CÂU HỎI 2.1. Cho một số ví dụ về các thanh chịu kéo và nén ñúng tâm. 2.2. Cách thiết lập công thức tính ứng suất pháp ở mặt cắt ngang và mặt cắt xiên? 2.3. Công thức tính biến dạng, các trường hợp trong thực tế có thể gặp? 2.4. Tóm tắt quá trình xác ñịnh các ñại lượng ñặc trưng cơ học của vật liệu? 2.5. Thế nào là ứng suất nguy hiểm, ứng suất cho phép? 2.6. ðiều kiện bền và ba dạng bài toán cơ bản khi kéo nén ñúng tâm? 2.7. Bài toán siêu tĩnh, cách giải các bài toán siêu tĩnh? B. BÀI TẬP a 2.8. Cho một thanh thẳng có mặt cắt không ñổi chịu lực như trên hình vẽ. Vẽ biểu ñồ lực dọc, biểu ñồ ứng suất và biểu ñồ chuyển vị của các mặt cắt ngang (hình 2.1). Bài giải: P 2a EF P 2a Bằng phương pháp mặt cắt, ta tính ñược nội lực ở bốn ñoạn từ ñầu tự do: N1 = P ; N2 = P – 2P = -P ; 2P a N3 = P – 2P – P = -2P; N4 = P – 3P + P = -P. Ứng suất ở các ñoạn: Pf Pf 2P Pf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f σ1 = ; σ2 = @ ; σ3 = @ ; σ4 = @ F F F F Chuyển vị của các mặt cắt tính theo công thức chung: ∆l = Σ Z P Hình 2.1 1f Ndz f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = Σ Z Ndz EF EF ðoạn 4 ( 0 ≤ z ≤ a): ∆l4 = z 1f f f f f f f f f f EF Σ Z N4 dξ =@ Pz f f f f f f f f f f EF 0 ðoạn 3 ( a ≤ z ≤ 3a): ∆l3 = h a z i ` a f ` a 1f 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f lZ m f j N 4 dz + Z N 3 dξk = @ Pa @ 2Pz + 2Pa = Pa @ 2Pz EF 0 EF a EF ðoạn 2 ( 3a ≤ z ≤ 5a): ∆l2 = h a EF ` 1f f f f f f f f f f EF i z 1f f f f f f f f f f lZ m j N 4 dz + Z N 3 dz + Z N 2 dξk 0 = 3a 0 3a a @ Pa @ 4Pa @ Pz + 3Pa = KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng ` 1f f f f f f f f f f EF @ 2Pa @ Pz a Trang: 157 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU ðoạn 1 ( 5a ≤ z ≤ 6a): ∆l1 = h a 3a i z 1f f f f f f f f f f lZ m j N 4 dz + Z N 3 dz + Z N 2 dz + Z N1 dξk EF 0 = 5a 0 3a 5a ` 1f f f f f f f f f f a @ Pa @ 4Pa @ 2Pa + Pz @ 5Pa = ` 1f f f f f f f f f f @ 12Pa + Pz EF EF Biểu ñồ lực dọc, ứng suất, chuyển vị xem hình 2.1a, b, c. a O a Pa EF P 2a EF P F P 2P 2P F - 2a P P 5Pa EF P F 2P + a P - 7Pa EF P + F P 6Pa EF (σ) (N) (δ) z a) b) c) Hình 2.1 a, b, c 2.9. Cho hệ thống thanh chịu lực như trên hình 2.2. Tính diện tích mặt cắt ngang các thanh treo biết rằng ứng suất cho phép [σ] = 16000N/cm2. Bài giải: Thanh AB’, CD xem như tuyệt ñối cứng. Cắt thanh treo 1, ký hiệu nội lực ở thanh 1 là N1. Xét sự cân bằng của thanh AB (hình 2.2a). Lấy tổng mômen các lực ñối với ñiểm A ta có: 2 100 kN/m 5 kN.m 3 C D 1m 1,5m 100 kN 1 A B 3m 2m Hình 2.2 N1. 2 – 100 . 1 = 0 100 f f f f f f f f f f f f f = 50 kN ⇒ N1 = 2 Tính F1: KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 158 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU N f f f f f f f f f 50 f f f f f f f f f F1 = @ 1A = = 3,125 cm 2 σ 16 100 kN Tính F2 và F3. Xét sự cân bằng của thanh CD (hình 2.2b) ΣY = 0 N2 @ 2 A 100 @ N1 + N 3 = 0 N2 + N 3 = 250 kN N1 A B 1m 1m Hình 2.2a ΣM A = 0 5N3 @ 5 @ 50 A 2 @ 100.2 A 1 = 0 100 kN/m 5 kN.m N2 N3 = 61 kN N3 C N2 = 250 – N3 = 250 – 61 = 189 kN N f f f f f f f f f 189 f f f f f f f f f f f f f F2 = @ 2A = = 11,8 cm 2 σ 16 D N1 3m 2m N f f f f f f f f f 61 f f f f f f f f F3 = @ 3A = = 3,18 cm 2 σ 16 Hình 2.2b 2.10. Cột bêtông có mặt cắt ngang hình tròn, chịu nén ñúng tâm bởi lực P = 4000kN (hình 2.3). Xác ñịnh kích thước của mặt cắt ngang và so sánh thể tích của cột ñó có các dạng sau: a) Mặt cắt ngang không thay ñổi b) Mặt cắt ngang thay ñổi theo 3 bậc c) Mặt cắt ngang thay ñổi theo bậc nhất. d) Mặt cắt ngang bị nén ñều Trọng lượng riêng của bêtông γ = 22 kN/m3, ứng suất cho phép của bêtông [σ] = 1200 kN/cm2. 9m 9m 9m 9m 9m h = 27 m l z b) a) P 9m P c) 9m P 9m P 9m P d) Hình 2.3b Bài giải: a) Cột có mặt cắt ngang không ñổi: KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 159 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU N max = P + γhF @ A N f f f f f f f f f f f f f f f f Pf f f f f max = + γh ≤ σ F F P 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f F≥@ A = = 6,6 m 2 σ @ γh 1200 @ 22 A 27 σ max = d = 2,9 m Thể tích: V = F.h = 6,6 . 27 = 178,2 m3 b) Mặt cắt ngang thay ñổi theo từng bậc: P 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f F1 = @ A = = 4 m 2 ; d1 = 2,26 m hf f f f 1200 @ 22 A 9 σ @γ 3 f f f f Pf +f γf Ff 1f Af Af + 22 9f 4f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 3f F2 = @ A = = 4,8 m 2 ; d2 = 2,47 m hf f f f 1200 @ 22 A 9 σ @γ h 3 f f f f f f f f Pf +f γf F +f γf F 1f 2f Af Af Af Af + 22 9f 4f +f 22 9f 4,8 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 3f 3f F2 = = = 5,8 m 2 ; d2 = 2,72 m @ A hf f f f A 1200 @ 22 9 σ @γ h h 3 Thể tích: ch b f f f f f b V = F1 + F2 + F3 c = 4 + 4,8 + 5,8 A 9 = 131,4 m 3 3 c) Mặt cắt ngang thay ñổi bậc nhất: Diện tích ở ñỉnh: P f f f f f f f f f 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f Fo = @ A = = 3,33 m 2 ; do = 2,06 m σ 1200 Gọi R là bán kính của ñáy, thì ở mặt ñáy: Hay G + P = F . [σ] b c @ A hπ f f f f f f f f f 2 γ R + r 2o + Rr o + P = σ πR 2 3 b c @ A γh f f f f f f f f πR 2 + πr 2o + πRr o + P = σ πR 2 3 b c 22 A 9 πR 2 + 3,34 + πR A 1,03 + 4000 = 1200 A πR 2 b c 2 π 1002R @ 204R @ 1485 = 0 Rút ra: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w q204 2 + 4 A 1002 A 1485 q5,99 A10 2 204 F 204 F f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f R= = 2 A 1002 2004 R = 1,33 (chỉ lấy nghiệm dương). KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 160 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU D = 2,66m ; F = 5,55 m2 Thể tích: V= @ A σ F @ Pf @ 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1200.5,55 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = γ = 121 m 3 22 d) Cột chịu nén ñều: Như trên Fo = 3,33 m2 ; do = 2,06 m. γff f f f f f @ AA h F = Fo e σ 22 f f f f f f f f f f f f = 3,33 Ae 1200 A 27 = 3,33 e 0,495 = 5,46 m2 D = 2,64 m Thể tích: γ = 22 = 117 m 3 2.11. Vẽ biểu ñồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị của thanh bị ngàm hai ñầu và chịu lực như trên hình 2.4. Cho E = 2.104 kN/cm2. A a V= @ A σ F @ Pf @ 4000 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1200.5,46 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2EF Bài giải: P a Loại bỏ ngàm B, giả sử phản lực VB có chiều như hình 2.4a a EF Phương trình biến dạng là ∆lB = 0 a P Từ ñó rút ra ñược: Af Af 2a 2a Af Af Pf af 2a f f f f f f f f f f f Pf f f f f f f f f f f f f f f f f Pa f f f f f f f f f f V f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f V f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + + @ B @ B =0 2EF 2EF EF EF 2EF B Rút ra: Hình 2.4 5f f f f VB = P 6 Sau khi tìm ñược VB, những phần còn lại tính như ñối với thanh tĩnh ñịnh. Biểu ñồ lực dọc N, ứng suất pháp σ và chuyển vị δ như trên hình 2.4b,c,d. A a + 2EF 7 6P + P a 1 P 12 F 1 6P a EF a P VB a) 5 6P - 7 P 12 F 7 Pa 12 EF + 1 P 6 F 5 P 6 F 10 Pa 12 EF - (N) (σ) b) c) 8 Pa 12 EF (δ) d) Hình 2.4a, b, c, d KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 161 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT A. CÂU HỎI 3.1. Thế nào là trạng thái ứng suất tại một ñiểm? 3.2. Hai ñiểm như thế nào ñược coi là có trạng thái chịu lực như nhau? 3.3. Thế nào là mặt chính, phương chính, ứng suất chính? Có bao nhiêu mặt chính, phương chính, ứng suất chính? 3.4. Phân biệt các trạng thái ứng suất ñơn, trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối? 3.5. Khi sử dụng các công thức tính ứng suất trên mặt cắt xiên thì dấu các ñại lượng ñó phụ thuộc vào yếu tố nào? 3.6. Chứng minh rằng: Trên các mặt chính thì ứng suất của nó có giá trị cực trị. 3.7. Xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất ñối với trạng thái ứng suất phẳng và cho biết các phương chính, mặt chính và giá trị ứng suất chính. 3.8. Trình bày các thuyết bền thường dùng hiện nay và cách sử dụng chúng. B. CÂU HỎI 3.9. Tìm ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trong trạng thái ứng suất vẽ trên hình 3.1 bằng phương pháp giải tích và phương pháp ñồ thị. 3 kN/cm2 3 kN/cm2 Bài giải: Phương pháp giải tích 2 kN/cm2 Ta có: σx = 3 kN/cm2 ; σy = 3 kN/cm2 ; Hình 3.1 τxy = - 2 kN/cm2 Những ứng suất chính bằng: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w σf + σ `w aw 2 xf yf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f 2 q σ max +min = F σ x @ σ y + 4τ xy 2 2 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w aw `w aw 3f + 3f 2 2 f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f q = F 3@3 + 4 @2 2 2 σmax = 5 kN/cm2 σmin = 1 kN/cm2 Phương chính tính theo công thức: tg2α = Hay ` a @ 2τ Af 2f @ 2f xy f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f@ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f σx @ σ y = 3@3 =@1 2α = - 90o α1 = 45o α2 = - 45o Phương pháp ñồ thị: (xem hình 3.1a). KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 162 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU σmax = σ1 = 5 kN/cm2 σmin = σ2 = 1 kN/cm2 τ 3 kN/cm2 σ1 σ1 σ2 τ xy 0 σmin -1 α2 2 kN/cm2 C M 1 2 -2 σ2 α1 3 kN/cm2 N 3 σ 5 4 σmaxD Hình 3.1a 3.10. Tại một ñiểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta ño ñược biến dạng tỉ ñối theo các phương om, on, ou như sau: @4 ε m = 2,81 A10 @4 ; ε n = @ 2,81 A10 @4 ; ε u = @ 1,625 A10 Xác ñịnh phương chính và ứng suất chính tại ñiểm ñó. Cho biết: µ = 0,3 ; E = 2.104 kN/cm2 (hình 3.2) Bài giải: Từ ñịnh luật Hooke ta rút ra ñược các ứng suất pháp theo phương m và n: u n 4 45° 5° m O Hình 3.2 b c ` a f 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @4 σ m @ µσ n = σ @ 0,3σ m n = 2,81 A10 E 2.10 4 b c ` a f 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @4 ε n = σ n @ µσ m = σ @ 0,3σ n m = @ 2,81 A10 4 E 2.10 εm = Vậy: σm = 4,32 kN/cm2 σn = - 4,32 kN/cm2 Viết biến dạng theo phương u, ta có: B ` aC 1f f f f f f sε u = σ u @ µ σ m + σ n @ σ u ED b cE 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f = σ u @ 0,3 4,32 @ 4,32 @σ u = 1,625 A10@ 4 2.10 4 Từ ñó rút ra: σu = 2,5 kN/cm2 ứng suất tiếp τmn tính ñược từ công thức: σf +f σ @ σ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f σf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f nf nf σu = m + m cos 2α @ τ mn sin 2α 2 2 KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 163 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU Hay: 2,5 = 4,32 @ 4,32 +f 4,32 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 4,32 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + cos 2 A 45o @ τ mn sin 2 A 45 o 2 2 τmn = - 2,5 kN/cm2 Giá trị ứng suất chính tại ñiểm cho trước: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w aw σf +f σ 2 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f m nf 2 q σ max +min = F σ m @ σ n + 4τ mn 2 2 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w b cw bw c 2 2 4,32 @ 4,32 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f = F r 4,32 + 4,32 + 4 @ 2,5 2 2 σmax = 5 kN/cm2 σmin = - 5 kN/cm2 Phương chính: tg 2α = @ α1 = 15o Af 2τ 2f 2,5 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f mn w w w w w w = =p σ m @ σ n 4,32 + 4,32 3 α2 = 105o a 1 1 p 1 a Bài giải: x 2 a 3.11. Một trụ tròn bằng thép (µ = 0,3) ñặt khít giữa hai tường cứng như trên hình vẽ 3.3. Phần giữa của trụ chịu áp lực p phân bố ñều. Tính ứng suất theo lý thuyết thế năng biến ñổi hình dạng ở phần giữa và phần ñầu của hình trụ. 1 Ứng suất theo phương y và z ở ñoạn 1 và ñoạn 2: ðoạn 1: σ y 1 = σ z1 = 0 ðoạn 2: σ y 2 = σ z2 = @ P Ứng suất σx ở hai ñoạn tính dựa vào ñịnh luật Hooke và sự so sánh biến dạng của hai ñoạn: Ở ñoạn 1: D b cE σ x 1f f f f f f f f f f f f f f f f ε x 1 = σ x 1 @ µ σ y 1 + σ z1 = 1 E E p y (a) Ở ñoạn 2: D b cE 1 b c 1f f f f f f f f f f f f ε x 2 = σ x 2 @ µ σ y 2 + σ z2 = σ x 2 + 2µP (b) E E Tổng biến dạng theo trục x của cả ba ñoạn bằng 0, tức là: 2∆l1 + ∆l2 = 0 ⇒ 1-1 z Hình 3.3 2ε x1 a + εx2 a = 0 KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 164 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU ⇒ 2ε x1 + ε x2 = 0 Thay giá trị ở (a) và (b), ta ñược: b c 2σ xf f f f f f f f f f f f f 1f f f f f f 1f + σ x 2 + 2µp = 0 E E 2f f f f σ x 1 = σ x 2 = @ µp Vì σ x 1 =σ x 2 nên 3 σ y 1 = σ z1 =σ1 = σ 2 = 0 Như vậy ở ñoạn 1: Ở ñoạn 2: 2f f f f σ x 1 = σ 3 = @ µp = @ 0,2p 3 σ y 2 = σ z2 = σ 2 = σ 3 = @ p 2f f f f σ x 1 = σ1 = @ µp = @ 0,2p 3 Ứng suất tính theo lý thuyết bền biến ñạng thế năng biến dạng (thuyết bền thứ IV): ðoạn 1: σ td = 0,2p ðoạn 2: σ td = qσ12 + σ 22 + σ 23 @ σ1 σ 2 @ σ 2 σ 3 @ σ 3 σ1 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w q = p 0,04 + 1 + 1 @ 0,2 @ 1 @ 0,2 = 0,8p KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 165 Chương 1: Lý thuyết về nội lực BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU CHƯƠNG 4: ðẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG PHẲNG A. CÂU HỎI 4.1. Các ñại lượng nào ñược gọi là ñặc trưng hình học của diện tích phẳng? 4.2. Cách xác ñịnh trọng tâm của một hình ghép từ các hình ñơn giản? 4.3. Trên một hình phẳng, những trục nào có giá trị mômen tĩnh ñối với nó bằng 0? Những trục ñó gọi là gì và giao ñiểm của nó ở ñâu? 4.4. Cách xác ñịnh các trục quán tính chính trung tâm ñối với một hình ghép từ các hình ñơn giản. 4.5. Công thức chuyển trục song song? 4.6. Công thức xoay trục? 4.7. Sự giống nhau và khác nhau giữa việc xác ñịnh phương chính, ứng suất chính ñối với trạng thái ứng suất và trục quán tính chính cũng như giá trị của mômen quán tính chính ñối với hình phẳng? B. CÂU HỎI 4.8. Xác ñịnh chiều cao h của mặt cắt ngang hình chữ T sao cho trục trung tâm Cx ở vị trí cách ñáy bằng h/4. Biết b = 20cm và t = 1cm. y 2t x b Sx = SxI + SxII = 0 Hình 4.1 Hay: @ 2bt C 2t Ta chia hình chữ T thành hai hình chữ nhật. Nếu trục Cx là trục trung tâm thì mômen tĩnh của diện tích hình chữ T ñối với trục Cx: h/4 Vì hình có trục y là trục ñối xứng nên trọng tâm hình nằm trên trục này. h Bài giải: f H I f g a hf hf hf @ 2t f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ t + 2t h @ 2t J + 2t @ K= 0 g 4 ` 2 4 Thay bằng số ta ñược: hf f f f f f f @ 10h + 40 + + h @ 4 = 0 2 2 Hay: hf f f f f f f @ 9h + 36 = 0 2 Giải phương trình ta ñược hai kết quả: 2 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w T p 9f F 81 @ 72 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 12 cm h= = 6 cm 1 KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 166 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 4.9. Tính mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình vẽ 4.2. r Bài giải: Ta chia mặt cắt thành hai hình như trên hình và chọn hệ trục ban ñầu là C1x1y. 2r Vì trục y là trục ñối xứng nên xo = 0 yC xác ñịnh bằng công thức: Sf f f f f f f yC = x F Trong ñó: 4f 1f f f f f f f f f f f f Sx = πr 2 r+r 2 3π f r Hình 4.2 g = 0,712πr3 F= 2 πr f f f f f f f f f f f + 2r A r = 3,5708 r 2 2 Vậy: yC = 3 0,712πr f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2 = 0,627 r 3,5708 r y II Mômen quán tính chính trung tâm của hình: Jx = J + J r I x II x 4r 3π Trong ñó; I x I x1 2 O1 x C1 x1 y 2r a3 b c2 rf 2r f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = + 0,627r 2r 2 = 1,456 r 4 12 ` x2 C J =J +a F C2 2 J IIx = J IIx 2 + b F I Với: r g2 1f 4f f f fπd f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f J = @ r 2 64 3π 4 II x2 f 2 πr f f f f f f f f f f f ≈ 0,035πr 4 2 Hình 4.2a Nên: b J IIx = 0,035πr 4 + 0,797 r c2 πr 2 f f f f f f f f f f f 2 = 2,566 r 4 Vậy: J x = 1,456 r 4 + 1,11 r 4 = 2,566 r 4 3 Af 1f rf f f fπd f f f f f f f f f f f f 2r f f f f f f f f f f f f f f f f Jy = + = 0,566 r 4 2 64 10 4.10. Xác ñịnh mômen quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt như hình vẽ 4.3. 4 KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 167 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU Bài giải: 1. Mômen quán tính trung tâm Jx, Jy, Jxy: 50 mm g2 3 A10 0,6 9,1 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f A 0,9 A 4,4 = 214,5 cm 4 Jx = + 2A 12 2 f I y II y Jy =J + J + J 6 mm III y 3 3 Af Af 0,6 0,9 4,4 10 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2 A 2,5 A 0,9 A 4,4 = 62,34 cm 4 + 2A 12 12 f g 9 mm Jy = J xy = J Ixy + J IIxy + J III xy 50 mm = - 2 . 2,5 . 4,55 . 4,4 . 0,9 = - 90,1 cm4 2. Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm: tg2α = @ 100 mm 9 mm J x = J Ix + J IIx + J III x 2J xy f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Jx @ J y =@ b c 2 @ 90,1 Hình 4.3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 214,5 @ 62,34 = 1,189 2α = 49o50’ ± k.180o; α1 = 24o55’; α2 = 114o55’ 3. Mômen quán tính chính trung tâm: v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u g2 uf Jf + Jf @ Jf xf yf xf yf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f u Jf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f J max +min = Ft + J 2xy 2 2 v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u g2 b uf c 2 214,5 +f 62,34 @ 62,34 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f u 214,5 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = Ft + @ 90,1 2 2 Jmax = 252 cm4 ; Jmin = 25 cm4 Vòng tròn Mohr quán tính cho trên hình Hình 4.3a y Juv 9 mm 50 mm Jmin I III 50 mm Jxy= 90,1 Ju o Jmin=25 114 55' o 24 55' Jy = 62,34 9 mm II 6 mm 100 mm O C O o 114 55' 24o55' x Jmax D Jx = 214,5 J max = 252 Hình 4.3a KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 168 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU 4.11. Một thanh ghép gồm hai thanh ñịnh hình có mặt cắt ngang như trên hình 4.4. 100x63x10 [ sô 20 Xác ñịnh các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Bài giải: Số liệu về ñặc trưng hình học của thép chữ [ số 20 và thép góc L100x63x10. [ số 20: h = 200 mm, Jx = 1520 cm4, F = 23,4 cm2, Jy = 113 cm4, Zo = 2,07 cm, 11 Hình 4.4 L100x63x10: F = 15,5 cm2, Jx = 47,1 cm4, xo = 3,4 cm, Jy = 154 cm4, yo = 1,58 cm, Ju = Jmin = 28,3 cm4, Ta có ñối với thép góc: J v = J max = J x + J y @ J min = 47,1 + 154 @ 28,3 = 172,8 cm 4 Mômen quan tính li tâm Jxy có thể tính ra từ công thức quan hệ: d e Jf Jf πf xy xy f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f tgα1 = ; tgα 2 = tg + α1 = J y @ J max 2 J y @ J min Hay: Jf xy f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f cb c 2 tgα1 A tgα 2 = @ 1 = b J y @ J max J y @ J min w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w b c bw c J xy = @ r@ J y @ J max J y @ J min J xy w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w b c bw c =@ r@ 154 @ 172,8 154 @ 28,3 = @ 48,7 cm 4 (Lấy dấu trừ cho Jxy vì trục chính max nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba) 1. Xác ñịnh trọng tâm mặt cắt: Sf Af xf 8,42 15,5 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f yo = 1 = = 2,15 cm, F 22 + 15,5 + 23,4 b c Af Af 2,62 23,4 +f @ 3,95 15,5 Sf yf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f xo = 1 = ≈ 0 cm F 22 + 15,5 + 23,4 Tọa ñộ trọng tâm của các hình thành phần với hệ trục trung tâm: Hình I: x=0 y = -2,15 cm Hình II: x = 2,62 cm y = -2,15 cm KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 169 Câu hỏi ôn tập và bài tập áp dụng BÀI GIẢNG SỨC BỀN VẬT LIỆU Hình III: x = -3,95 cm y = 6,27 cm 2. Mômen quán tính ñối với hệ trục trung tâm: 3 A20 1,1 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + 2,612 A 1,1 A 10 + 1520 + 2,612 A 23,4 + 47,1 + 5,812 A 15,5 12 = 3055 cm4, J x = ΣJ ix = b c b c J xy = ΣJ ixy = 0 + 2,62 A @ 2,15 A 23,4 + @ 3,95 A 6,27 A 15,5 @ 48,7 = @ 566 cm 4 3. Phương của hệ trục quán tính chính: 2J 2.566 xy f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f tg2α = @ =@ = 0,475 Jx @ J y 3055 @ 670 2α = 25o24’ ± k.180o; α1 = 12o42’; α2 = 102o42’ 4. Mômen quán tính chính: v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u g2 uf + Jf @ Jf Jf xf yf xf yf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f u Jf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f J max +min = Ft + J 2xy 2 2 v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u g2 uf a2 3055 +f 670 @ 670 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f u 3055 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` = Ft + @ 566 2 2 Jmax = 3183 cm4 ; Jmin = 543 cm4 Vòng tròn Mohr quán tính cho trên hình 4.4a v u o x3 x 102 42' 12o42' x C O1 v α2 O x1 x2 O2 u C α1 v y Juv O3 2,15 O3 y2 1,58 III x u y1 y3 Jxy y Jmin Jy Ju D Jx J max I II 11 Hình 4.4a KS. Lê Thị Hà Linh – Khoa Xây dựng Trang: 170