Trang
PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
4
4
I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN
4
B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
13
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
16
I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
16
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
17
III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
29
IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
35
D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ
42
E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
75
F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
92
PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
103
PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM
122
PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ?
133
PHẦN 5. PHỤ LỤC
137
1
A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Hệ phương trình cổ điển:
1/ Phƣơng pháp:
a1x b1y c1
a 2 x b 2 y c 2
Đúng: hpt có vô số nghiệm x R, y R
0 c1
* TH 1: a1 = b1= a2= b2=0, ta có;
Sai: hpt vô nghiệm
0 c2
Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng:
* TH2: a1 b1 a2 b2 0 .
2
Tính: D
1
a1 b1
a2 b2
2
2
; Dx
c1 b1
c2 b2
;
Dy
a1 c1
a2 c2
+ Nếu D 0 : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:
Dx
x
D
y Dy
D
+ Nếu D = 0
Dx 0 hay Dy 0 : hệ phương trình vô nghiệm.
Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: x R , được tính theo x
2/ Ví dụ:
6x 3 2 y
y 1 x 1 5
VD1: Giải hệ phương trình:
4x 2 4 y 2
y 1 x 1
2x 1
y
Đặt u
. Hệ đã cho trở thành
,v
y 1
x 1
u 2
3u 2v 5
1
2u 4v 2
v 2
2x 1
x 0
y 1 2
2 x 2 y 1
Ta được hệ phương trình:
1
x 2 y 1
y 1
y 2
x 1 2
1
Vậy S 0;
2
2
VD2:Định m để hệ vô nghiệm
2
2m x 3 m 1 y 3
m x y y 2
I
2
2m x 3 m 1 y 3
I
mx m 2 y 2
D 2m2 m 2 3m m 1 2m3 7m 2 3m
Ta có
Dx 3 m 2 6 m 1 3m
Hệ đã cho vô nghiệm
D 0
I
Dx 0
m 2m 2 7m 3 0
2m3 7m 2 3m 0
3m 0
m 0
1
2
1
Vậy hệ vô nghiệm khi: m 3 m
2
4 x my m 1
VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:
m 6 x 2 y m 3
2m 2 7 m 3 0 m 3 m
Ta có:
D 8 m m 6 m2 6m 8
Dx 2 m 1 m m 3 m 2 m 2
Dy 4 m 3 m 1 m 6 m2 11m 18
D 0
Hệ có vô số nghiệm Dx 0
D 0
y
m 2 6m 8
m 2 m 4
2
m m 2 m 2 m 1 m 2
m2 11m 18 m 2 m 9
Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2.
VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm
x 2ay b
2
ax 1 a y b
Ta có:
D 1 a 2a 2
1
D 0 2a 2 a 1 0 a 1 a
2
3
Thì hệ luôn có nghiệm
x 2 y b
Khi a = -1, hệ trở thành:
2
x 2 y b
Hệ có nghiệm b b2 b b2 0 b 0 b 1
x y b
1
Khi a , hệ trở thành
2
2
x y 2b
Hệ có nghiệm b 2b2 b 2b 1 0 b 0 b
Vậy hệ có nghiệm với mọi a khi:
b 0 b 1
1 b0
b 0b
2
VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau:
a x 1 by 1
b x 1 ay 1
ax a by 1 ax by a 1
Hệ tương đương:
bx b ay 1 bx ay b 1
Ta có:
D a 2 b 2 a b a b
1
2
Dx a b a b 1
Dy a b
Biện luận:
1/ D 0 a2 b2 0 a b
Hệ có nghiệm duy nhất:
D a b a b 1
x x
D
a b a b
Dy
1
D ab
2/ a b D 0; Dx 0; Dy 0
y
* b 0 : Hệ có vô số nghiệm.
3/ a b; D 0; Dy 2b
b 0; D 0; Dy 0 hệ vô nghiệm
0.x 0. y 1
hệ vô nghiệm
4/ a b 0 :
0.x 0. y 1
(m 1) x 8 y 4m
có nghiệm duy nhất
mx
(
m
3)
y
3
m
1
VD6: Tìm m để hệ phương trình
Hướng dẫn giải:
Ta có: D
m 1 8
(m 1)(m 3) 8m m2 4m 3
m
m3
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất D 0 m 4m 3 0
2
4
m 1và m 3 .
mx y 2m(1)
VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:
4 x my m 6(2)
Hướng dẫn giải:
Từ (1) suy ra y mx 2m , thay vào (2) ta được:
4 x m(mx 2m) m 6 (4 m)2 x 2m2 m 6
(m2 4) x (m 2)(2m 3) (3)
2
i) m 4 0 m 2 : Hệ có nghiệm duy nhất:
2m 3
2m2 3m
m
x
; y mx 2m
2m
m2
m2
m2
2 x y 4
ii) m=2: Hệ trở thành
2x y 4 .
4 x 2 y 8
Hệ có vô số nghiệm ( x;2 x 4); x R
iii) m=-2:(3) trở thành 0 x 4 :Hệ vô nghiệm.
Bài tập củng cố:
Bài 1:Giải hệ phƣơng trình:
( x 3) y 5) xy
a)
( x 2)( y 5) xy
1 1 3
x y 4
b)
1 1 2
6 x 5 y 15
5 x 4 y 3
c/
7 x 9 y 8
3 x 2 y 7
d/
5 x 3 y 1
3 x 2 y 1
e/
2 2 x 3 y 0
3( x y )
x y 7
f 5x y 5
y x 3
5
6 5
x y 3
g/ 9 10
1
x y
2
6
x 2y x 2y 3
h/
3 4 1
x 2 y x 2 y
1
1
x y x y m
k/
1 1 n
x y x y
4
x
j/ 2
x
1
3
y 1
2
4
y 1
2 x 4 y 1
l/
2 x 4 2 y 5
Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình:
x my 2
mx 4 y m 2
a)
7 x 4 y 2
b) 5 x 3 y 1
mx 3 y m2 6
x my 0
c/
mx y m 1
2ax 3 y 5
d/
(a 1) x y 0
mx y 4 m
e/
2 x (m 1) y m
6
mx 3 y m 1
f/
2 x (m 1) y 3
mx y 1 0
g/
x my 2 0
Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng:
x y 2
mx y 3
mx y 2m
x my m 1
Bài 4: Cho hệ phƣơng trình:
a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập
b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
với m.
x my 3m 0
Bài 5: Cho hệ phƣơng trình:
mx y 2m 1 0
a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất
b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m.
Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên
mx 2 y m
1/
;
(m 1) x (m 1) y 1
mx 2 y m 2
2/
2
2
(m 1) x y m 1
Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm:
2(m 2) x (5m 3) y 2(m 2) 4 x my 1 m
1/
2/
(m 2) x 3my m 2
(m 6) x 2 y 3 m
2 x (m 1) y 2
3/
mx 3 y m 2
Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình.
ap bq x ap 2 bq 2 y ap 3 pq 3 0
2
2
3
3
4
4
ap bq x ap bq y ap bq 0
Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:
5 x 4 y 3
1/
7 x 9 y 8
3x 2 y 7
2/
5 x 3 y 1
3 x 2 y 1
3/
2 2 x 3 y 0
7
2 x 4 y 1
4/
2 x 4 2 y 5
4
x
5/
2
x
6 5
x y 3
7/
9 10 1
x y
2
6
x 2y x 2y 3
8/
3 4 1
x 2 y x 2 y
1
3
y 1
2
4
y 1
3( x y )
x y 7
6/
5x y 5
y x 3
x a 1
9/
y 2 x 5
1
1
x y x y m
x y 2
10/
11/
2 x y 1
1 1 n
x y x y
Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63
km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng
84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô
và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi)
Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng
cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m2. Tính
các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p).
Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:
x my 0
2ax 3 y 5
ax 2 y 1
1/
2/
3/
mx y m 1
(a 1) x y 0
x (a 1) y a
(a 2) x (a 4) y 2
4/
(a 1) x (3a 2) y 1
mx y 4 m
7/
2 x (m 1) y m
a 1 x (2a 3) y a
5/
(a 1) x 3 y 6
3( x y )
x y a
8/
2x y a 1
y x
x my 1
6/
mx 3my 2m 3
6a.x (2 a) y 3
9/
(a 1) x ay 2
x my 1
a.x b. y a 1
mx y 1 0
10/
11/
12/
mx y 2m 1
b.x a. y b 1
x my 2 0
2
a.x y a 2
a.x by a 2 b 2
a.x b. y a b
13/
14/
15/
2
2
bx y b
bx ay 2ab
bx b y 4b
mx 3 y m 1
5 x (a 2) y a
16/
17/
2 x (m 1) y 3
(a 3) x (a 3) y 2a
Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm:
(a 1) x y a 1
(a 2) x 3 y 3a 9
1/
2/
x (a 1) y 2
x (a 4) y 2
ax 2 y a
3/
(a 1) x (a 1) y 1
3x ay 1
4/
ax 3 y a 4
3
a(a 1) x a(a 1) y a 2
5/ 2
3
4
(a 1) x (a 1) y a 1
8
Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
ax by 2
6 x by 4
Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
m2 x (2 m) 4 m
mx my m 1
2m2 x 3(m 1) y 3
1/ 2
2/
3/
5
(m m) x my 2
m( x y ) 2 y 2
mx (2m 1) y m 2
ax by a b
Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm :
bx ay a b
Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm:
2(m 2) x (5m 3) y 2(m 2)
4 x my 1 m
1/
2/
(m 2) x 3my m 2
(m 6) x 2 y 3 m
mx (m 1) y m
3/
3x (5 m) y 2m 1
(1 a) x (a b) y b a
5/
(5 a) x 2(a b) y b 1
2 x (m 1) y 2
4/
mx 3 y m 2
2
2
a x by a b
6/
2
bx by 2 4b
( a 2 b 2 ) x ( a 2 b 2 ) y a 2
7/
( a b ) x ( a b ) y a 1
Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1
2
m (m 1) m 1
y
mx 8 y 4 4m 0
x
1/
2/
(m 1) x (m 2) y 4 3m 0
(m 3) 2 2 2(m 2)
x y
(m 5) x (2m 3) 3m 2
3/
(3m 10) x (5m 6) y 2m 4
2
mx 2 y m
5/ 2
x (m 3) y m 1
x my 1
7/
mx y 2m
m x (m 1)( y 2) m 1
4/
(m 3) x 2( y 2) 2m 4
x 2 y m
6/
mx my m 1
mx y 2m
Bài 19: Cho hệ phương trình :
x my m 1
1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập
với m.
2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên:
mx 2 y m 2
mx 2 y m
1/
2/
2
2
(m 1) x (m 1) y 1
(m 1) x y m 1
Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên:
(m 1) x 2 y m 1
mx y 6 0
1/ 2
2/
2
x my 2m 1 0
m x y m 2m
9
mx y 3m
3/
x my 2m 1
(m 1) x my 3m 1
Bài 22: Cho hệ phƣơng trình:
2 x y m 5
Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x2 + y2 nhỏ nhất
(m 1) x my 2m 1
Bài 23: Cho hệ phƣơng trình
2
mx y m 2
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất.
a.x 2 y 2
Bài 24: Cho hệ phƣơng trình :
x ay 1
1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a.
2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0
Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a:
ax y 3b
2
x ay b b
ax by 2a b
Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình
có vô số nghiệm,
(c 1) x cy 10 a 3b
đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó.
(m 1) x (m 1) y m
Bài 27: Cho hệ phương trình:
(3 m) x 3 y 2
1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các
nghiệm của hệ .
2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m
x my 3m 0
Bài 28: Cho hệ phƣơng trình:
mx y 2m 1 0
1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất
2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m.
B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN:
1. Phƣơng pháp:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng :
10
a1 x b1 y c1 z d1
2
2
2
a2 x b2 y c2 z d 2 , ai bi ci 0, i 1,2,3
a x b y c z d
3
3
3
3
Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế.
2. Ví dụ:
x 3 y z 2(1)
VD1: Giải hệ: 4 x 2 y 3 z 15(2)
2 x y 4 z 7(3)
Hướng dẫn giải:
Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1)
với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được:
x 3 y z 2
7 x 7 y 21(2')
2 x 11y 15(3')
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào
(1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3).
VD 2:Biết rằng hệ phương trình
ax by c
bx cy a
cx ay b
có nghiệm
Hãy chứng minh: a b c 3abc
Hướng dẫn giải:
3
3
3
Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó:
ax by c
bx cy a , suy ra
cx ay b
c 2 (ax by ) c3
2
3
a (bx cy ) a
b 2 (cx ay ) b3
Cộng từng vế ta được: a b c a bx a cy b cx b ay c ax c by
3
3
3
2
2
2
2
2
2
ab(ax by ) bc(bx cy ) ca(cx ay )
abc bca cab 3abc
Bài tập củng cố:
1/Giải hệ phƣơng trình:
11
2 x y z 1
a ) 6 x 3 y 2 z 5
4 x 2 y 3 z 16
3 x 2 y z 5
b) x y z 0
4 x y 5 z 3
2 x y z 5
c ) x 2 y 2 z 5
7 x y z 10
4 x y 4 z 0
d)
x 5 y 2z 3
z 8 y 2 z 1
x y z 11
e) 2 x y z 5
3 x 2 y z 14
x 2 xy xz 2
f) y 2 yz xy 3
z 2 xz yz 4
3 x 2 y z 9
g) 2 x 3 y 2 z 3
4 x 3 y z 11
x 3 y 2 z 2
h) 2 x 5 y z 5
3x 7 y 4 z 8
x 5 y z 2
j) 2 x 9 y 2 z 8
3x 4 y z 5
2/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình theo tham số m,a
x y z 12
a ) ax 5 y 4 z 46
5 x ay 3 z 38
ax y z a 2
b) x ay z 3a
x y az 2
12
x y 2
c) 2 x y 4
x 4 y ( m 1) z m
x y z 1
e) 2 x 3 y mx 3
x my 3 z 2
3/ Giải và biện luận hệ phƣơng trình (với a,b,c là tham số, a+b+c 0)
ax by cz 0
a ) bx cy az 0
cx ay bz 0
ax by cz a b c
b) bx cy az a b c
cx ay bz a b c
(a b)( x y ) cz a b
c) (b c)( y z ) ax b c
(a c)( x z ) by c a
x 2 y 3z a
d) 3 x y 2 z b
x 5 y 8z c
6
xy
x y 5
4
yz
4/ Giải hệ phƣơng trình:1/ y z 3
zx 12
z x 7
xy x y 5
2) yz y z 11
zx z x 7
;
x( y z ) 4
3) y ( z x) 9
z( x y) 1
ax by c
Bài 5: Giả sử hệ : bx cy a có nghiệm
cx ay b
Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc
Bài 6: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 7, b = 5, c = 3.Hãy tìm bán kính đƣờng tròn
tâm A, tâm B, tâm C đôi một tiếp xác nhau.
13
C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN:
I. Hệ phƣơng trình gốm 1 phƣơng trình bậc nhất và 1 phƣơng trình
bậc hai:
1. Phƣơng pháp:
ax by c
Có dạng :
2
2
dx exy fy gx hy k
Từ phương trình bậc nhất, ta tính y theo x ( hay x theo y) và thế vào phương trình
để được phương trình bậc hai theo 1 ẩn x ( hay ẩn y)
bậc hai
2. Ví dụ:
Bài tập củng cố:
Bài 1:Giải các hệ phƣơng trình sau:
2 x 3 y 1
3x 4 y 1 0
1/ 2
2/
xy 3( x y ) 9
x xy 24
2 x 3 y 2
3/
xy x y 6 0
2 x y 5
6/ 2
2
x xy y 7
2 x 3 y 5
y x2 4x
4/
5/ 2
2
3x y 2 y 4
2 x y 5 0
x 2 xy 3 y 2 2 x 5 y 4 0
x y 2
x 2 5 xy y 2 7
7/
8/ 2
9/
2
x 2 y 4
x y 164
2 x y 1
4 x 9 y 6
2 x y 7 0
10/ 2
11/ 2
2
3x 6 xy x 3 y 0
y x 2x 2 y 4 0
2 x 2 xy 3 y 2 7 x 12 y 1
(2 x 3 y 2)( x 5 y 3) 0
12/
13/
x 3y 1
x y 1 0
Bài 2: Giải các hệ phƣơng trình sau:
1 1
1 1
1
1
3x 2 y 3
x 1 y 3
1/
2/
1 1 1
1 1 1
2
2
9 x 4 y
( x 1) 2 y 2 4
4
3x y x y
2
2y
3/ x 1
x y 4
Bài 3: Giải các hệ phƣơng trình :
( x y) 4 4( x y) 2 117 0
1/
x y 25
x y 1
3/ 3
3
x y 7
Bài4: Giải các hệ phƣơng trình:
(18 x 2 18 x 18 y 17)(12 x 2 12 xy 1) 0
2/
3x 4 y 0
( x y )( x 2 y 2 ) 45
4/
x y 5
14
( x a)2 2( y a) 2 ( x a)( y a) 2
1/
x y 2
( x m)2 y 2 y ( x m) 11
2/
x 2 y 7 m
2( x m)2 ( y 2m)2 m 2
3/
x 3 y 2 5m
Bài 5: Giải và biện luận theo tham số a của hệ phƣơng trình:
x y a
4
4
4
x y a
II. Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:
1. Phƣơng pháp:
Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ
không đổi.
f ( x; y ) 0
g ( x; y ) 0
Cho hệ đối xứng loại 1: (I)
- Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P :
F ( S ; P) 0
G ( S ; P) 0
(II)
Giải hệ (II) để tính S và P.
2
Điều kiện để tồn tại x, y là S0 4 P0 0
Với mỗi cặp nghiệm ( S0 ; P0) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X2 – S0P + P0 = 0.
Ngoài ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó
ta cần lưu ý đến điều kiện.
* Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng :
- Nếu ( xo ; y0) là một nghiệm thì ( x0 ; y0) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó, nếu hệ có
nghiệm duy nhất ( x0 ; y0) thì nghiệm đó cũng là ( y0 ; x0), suy ra x0 = y0.
2. Ví dụ:
VD1: Giải hpt sau:
x y xy 3
2
2
x y y x 2
Đây là hpt đối xứng loại 1
x y xy 3
I
xy x y 2
S x y
Đặt:
với S 2 4P 0
P xy
Hpt đã cho trở thành:
I
15
S P 3
SP 2
S 1
P 2
l
S 2
P 1
x y 2
S 2
Với
thì
xy 1
P 1
x 1
y 1
Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1
VD2:
Giải hệ phương trình:
2
2
x y x y 8
2
2
x y xy 7
Hướng dẫn giải:
2
2
( x y )2 xy x y 8
x y x y 8
Ta có
2
2
2
( x y ) xy 7
x y xy 7
S 2 2P S 8
S x y
Có dạng
với
2
P xy
S P7
S 2 2( S 2 7) S 8
P S2 7
thoả S2 – 4P 0
S x y 2
x 3
x 1
hay
Với
y 1
y 3
P xy 3
S x y 3 x 1
x 2
hay
Với
P xy 2
y 1
y 2
VD3:
Giải hệ phương trình:
x xy y 2 3 2
2
2
x y 6
Hướng dẫn giải:
Đặt S x y ; P xy , ta có hệ:
2
2
S 2 2S 10 6 2
S P 2 3 2
( S 1) (3 2)
2
S 2P 6
S P 2 3 2
P 2 3 2 S
16
S 2 2
P 2 2
S 4 2
P 6 4 2
Với S 2 2 ; P 2 2 ; x,y là nghiệm phương trình:
X 2
X 2 (2 2) X 2 2 0
X 2
Với S 4 2 ; P 6 4 2 ;x,y là nghiệm phương trình:
X 2 (4 2) X 6 4 2 0 : vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm: (2; 2) và ( 2;2) .
VD4:
Giải hệ phương trình:
x3 y 3 2
xy ( x y ) 2
Hướng dẫn giải:
x3 y 3 2
( x y )3 3xy ( x y ) 2
xy
(
x
y
)
2
xy ( x y ) 2
Đặt: u x y; v xy
u 3 3uv 2 u 3 6 2
Ta có
uv 2
uv 2
u 2
u 2
uv 2 v 1
x y 2
xy 1
Vậy
x,y là nghiệm của phương trình X 2 X 1 0
2
X 1
Vậy nghiệm ( x; y) của hệ đã cho là (1;1) .
VD5: Cho hệ phương trình:
x y xy m
2
2
x y m
1/ Giải hệ với m=5
2/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?
Giải:
1/Với m=5, ta có:
17
S 3
SP5
P 2S
x y xy 5
x y xy 5
P 2
2
2
2
2
2
S 5
x y 5
( x y ) 2 xy 5
S 2 P 5 S 2S 15 0
P 10
S 3
Ta chỉ nhận
thoả S2- 4P 0
P 2
S 3
Ta chỉ nhận
thoả S2 – 4P 0 nên x,y là nghiệm của phương trình X2 – 3X +2 =0
P
2
X 1
X 2
x 1
x 2
hay
Vậy
y 1
y 2
2/ Giá trị của m để hệ có nghiệm
Ta có:
x y xy m
S P m(1)
với
2
2
2
S 2 P m(2)
x y m
S x y
P xy
P mS
S 2 3S 3m 0
2
S 2(m S ) m
S1 1 1 3m
P1 m S1
1
( với điều kiện 1+3m 0 m - )
3
S 2 1 1 3m
P m S
2
2
1
Với m - hệ phương trình sẽ có nghiệm nếu S2 4P hay:
3
2
(1 1 3m ) 2 4(m 1 1 3m )
S1 4 P1
2
2
(1 1 3m ) 4(m 1 1 3m )
S2 4 P2
1 1 3m 2 1 3m 4m 4 4 1 3m
1 1 3m 2 1 3m 4m 4 1 3m
2 1 3m (m 2)
1
(loại vì m - )
3
2 1 3m m 2 0
1
( với m - )
3
2
4(1+3m) m +4m+4
m2-8m 0 m 0;8
Vậy m 0;8
Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình:
18
x y 2a 1
VD6:Cho hệ phƣơng trình 2
2
2
x y a 2a 3
Xác định a để tích xy nhỏ nhất
Giải
Ta có:
S 2s 1
S 2a 1
2
3a 2
2
S
2
P
a
2
a
3
3a 2
P
2
3a 2
- 3a + 2) 0
2
2
2
-2a + 8a -7 0 a 2
;2
2
2
Để phương trình có nghiệm thì :S2 - 2P 0 (2a – 1)2-4(
3a 2
P = xy =
3a 2 là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1 22
2
2
2
Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=22
x y xy a
VD7: Cho hệ phương trình 2
2
x y xy 3a 8
7
a/ Giải hệ với a =
2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm
Giải
a/ Ta có :
x y xy a
2
2
x y xy 3a 8
x y xy 7
2
5
x 2 y xy 2
2
S 1
7
P 5
S P 2
2
S .P 5
S 5
2
2
P 1
5
S
2
Ta chỉ nhận
2 thoả điểu kiện S – 4P 0 và x, y là nghiệm của phương trình
P 1
19
X 2
5
X + 1= 0
X 1
2
2
x 2
1
x
Vậy
2
1 hay
y 2
y 2
X2 -
SPa
b/ Trường hợp tổng quát
thì S,P là nghiệm của phương trình X2 – aX +3a – 8
S
.
P
3
a
8
=0 (1)
Phương trình có nghiệm khi a 2 4(3a 8) 0
a 4
a 2 12a 32 0
a 8
Với điều kiện đó phương trình (1) có nghiệm
X1
a a 2 12a 32
2
X2
a a 2 12a 32
2
Nếu chọn S=
a a 2 12a 32
a a 2 12a 32
và P=
thì hệ có nghiệm khi
2
2
S2 – 4P 0 ( a a 2 12a 32 )2 8( a a 2 12a 32 )
a2 – 10a +16 (a+4)
(a - 2)(a – 8) (a+4)
a 2 12a 32
(a 4)(a 8) (2)
a a 2 12a 32
a a 2 12a 32
Nếu chọn S=
và P=
thì hệ có nghiệm khi:
2
2
S2 – 4P 0 (a – 2)(a – 8) -(a+4)
(a 4)(a 8) (3)
Từ (2) va (3) suy ra:
(a – 2)(a – 8) - a 4
(a 4)(a 8) (4)
a 2
Vì (a – 2)(a – 8) 0
thì thỏa (4)
a
8
Do đó với a 2; 4 thì (a – 2)(a – 8) < 0 nên
20
- Xem thêm -
.PDF 
134 
133 
65 
