Tài liệu Công thức toán luyện thi đại học , THPT quốc gia

PHUØNG VAÊN TOAÙN Chuyên toán luyện thi ĐH – bồi dưỡng kiến thức 10,11, 12 Tel: 0985.62.99.66 ĐC: Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội www.thaytoan.com -----------------***------------------ C«ng thøc TO¸N (THCS – THPT – LUYỆN THI CĐ – ĐH) z c . M (a, b, c) o a x b y (Tái bản lần thứ 7) Họ tên: ………………………………………………… Trường:………………………………………………… Lớp: ………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU Với quãng thời gian dài luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho nhiều thế hệ học sinh, nhận thấy đa số các em cần phải có một cuốn sổ tay để tra cứu cũng như tổng hợp lại kiến thức môn Toán. Tài liệu này được biên soạn với mong muốn tổng hợp toàn bộ lượng kiến môn toán thức từ lớp 7 đến lớp 12 được sử dụng trong kì thi tuyển sinh Cao Đẳng - Đại Học và Tốt nghiệp THPT, những công thức không được dùng trong hai kỳ thi trên sẽ không được đề cập ở trong tài liệu này. Hy vọng rằng quyển sách này sẽ giúp các em học tốt hơn môn Toán trong nhà trường và mong rằng các em sẽ tìm được sự hứng thú, niềm đam mê đối với môn học này. Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã rất cố gắng, nhưng tài liệu cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc. Xin chân thành cám ơn và xin chúc các em luôn đạt được những thành tích cao trong quá trình học tập của mình! Biên soạn: Địa chỉ: Điện thoại: Email: Website: Facebook: Phùng Thanh Toán Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN 0985.62.99.66 luyenthi24h@gmail.com www.thaytoan.com www.facebook.com./luyenthi24h MỤC LỤC STT TRANG Phần I - ĐẠI SỐ 1 Giá trị tuyệt đối 2 Tính chất của hai tỉ số bằng nhau 3 Hằng đẳng thức đẳng thức đáng nhớ 4 Căn bậc hai 5 Tam thức bậc hai 6 Hệ phương trình bậc nhất 7 Phương trình – bất phương trình 8 Bất đẳng thức 9 Cấp số cộng – cấp số nhân 10 Tổ hợp – nhị thức Niutơn 11 Công thức lượng giác 12 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 13 Đạo hàm 14 Nguyên hàm 15 Mũ – logarith 16 Số phức 17 Tập hợp số Phần II - HÌNH HỌC 1 Công thức trong tam giác 2 Công thức trong đường tròn 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 4 Phương pháp tọa độ trong không gian Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Phần I - ĐẠI SỐ 1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa:  x khi x  0 x   x khi x  0 Tính chât: | x | 0, x  R x  x2 a  0 ta có x  a | x | a    x  a | x | a   a  x  a 2 2) TÍNH CHẤT CỦA HAI TỈ SỐ BẰNG NHAU Nếu a c  b d ma  nc a c a  c a  c     ...   b d b  d b  d mb  nd  a c ab a b  ad  bc,  ,   ba cd b b thì 3) HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (a  b) 2  a 2  2ab  b2 a 2  b 2  (a  b)(a  b) (a  b) 2  a 2  2ab  b2 (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 ) Các hằng đằng thức mở rộng (a  b  c) 2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca a n  1  (a  1)(a n1  a n2  ...  a  1) a n  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  ab n2  bn1 ) 4) CĂN BẬC HAI A có nghĩa khi A  0 Điều kiện xác định: Tính chất: A2  A A  0, A  0 Công thức: A2 B | A | B với B  0 A  0 AB  A. B nếu  B  0 A  0 A A  nếu  B B B  0 A  0 AB   A.  B nếu  B  0 A  0 A A  nếu  B B B  0 1 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội 5) TAM THỨC BẬC HAI Cho tam thức bậc hai: f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) . b 2 Đặt b'  ;  '   b '  ac   b 2  4 ac ; 2 1) Nghiệm và dấu 0 NGHIỆM f(x)=0 Vô nghiệm DẤU f(x) Luôn cùng dấu hệ số a 0 Nghiệm kép x   b 2a Luôn cùng dấu hệ số a, x   0 Hai nghiệm x1,2  b   2a Trong khoảng nghiệm trái dấu hệ số a, ngoài khoảng nghiệm cùng dấu hệ số a b 2a Từ đó suy ra a  0 a  0 f ( x )  0, x  R   f ( x)  0, x R     0   0 a  0 a  0 f ( x )  0, x  R   f ( x )  0, x  R     0   0 2) Định lí Vi - ét Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax 2  bx  c  0 b c Định lý Vi-ét: S  x1  x2   P  x1 x2  a a Một số trường hợp áp dụng Vi-ét x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  S 2  2P x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3 x1 x2   S ( S 2  3P ) 2 x14  x24  ( x12  x22 ) 2  2( x1 x2 )2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2   2( x1 x2 )2  (S 2  2 P) 2  2 P 2 | x1  x2 | ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2  S 2  4 P 3) Dấu của nghiệm Phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0 ( a  0 ) có:   0 - Hai nghiệm cùng dấu   - Hai nghiệm trái dấu  P  x1 x2  0 P  x x  0  1 2  0  - Hai nghiệm dương   S  x1  x2  0  P  x .x  0  1 2 4) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai 2  0  - Hai nghiệm âm   S  x1  x2  0  P  x .x  0  1 2 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Cho tam thức bậc hai ax 2  bx  c  0 (a  0) và hai số    x1    x2  af ( )  0    0  x1  x2    af ( )  0 S   2  af ( )  0 x1      x2    af (  )  0    0    x1  x2  af ( )  0 S   2  af ( )  0 x1    x2      af (  )  0 af ( )  0   x1    x2    af (  )  0 0  af ( )  0    x1  x2     af ( )  0    S    2 6) HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  a x  b1 y  c1 Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  1  a2 x  b2 y  c2 a b c b Đặt: D  1 1  a1b2  a2b1 Dx  1 1  c1b2  c2b1 a2 b2 c2 b2 - Nếu D  0 hệ có nghiệm duy nhất x  Dy  a1 a2 c1  a1c2  a2c1 c2 D Dx , y y D D - Nếu D  0 + Với Dx  0 hoặc Dy  0 thì hệ vô nghiệm + Với Dx  Dy  0 thì hệ có vô số nghiệm 7) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1) Phương trình chứa căn B  0 AB 2 A  B  A  0  A  B    B  0 AB  2) Bất phương trình chứa căn A 0  A  B B  0  A  B2  A 0  A  BB  0  A  B2  3 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội A  0  B  0 A  B  A  B2    B  0 A  0  B  0 A  B  A  B2    B  0 B  0 A  B  A  B 3) Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối B  0 AB A  B  A  B A  B 4) Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối B  0 AB  B  A  B B  0  B  0 A  B     A  B     A   B B  0 AB  B  A  B B  0  B  0 A  B    A  B     A   B A  B  A2  B 2 5) Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B2 6) Bất phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B2 A  0 A B  2 A  B 7) Các bất phương trình khác A0 B 0 A.B  0    A  0, B  0   A  0, B  0 A  B  A  B2 A  0 A B  2 A  B B  0  A  A  B 1 1     A  0 A B     B  0 8) BẤT ĐẲNG THỨC 1) Bất đẳng thức Cosi Cho x, y  0 thì x  y  2 xy . Dấu “=” xảy ra  x  y 4 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Mở rộng: Cho x1 , x2 ,..., xn  0 thì x1  x2  ...  xn  n. n x1 x2 ... xn Dấu “=” xảy ra  x1  x2  ...  xn 2) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối | x|| y|  | x y|  | x|| y| | x|| y|  | x y|  | x|| y| 9) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa Số hạng thứ n 3 số hạng liên tiếp Tổng n số hạng đầu (un ) là csc, công sai d un1  un  d (un ) là csn, công bội q un1  un .q un  u1  d (n  1) u u un  n1 n1 2 S n  u1  u2  ...  un un  u1.q n1 n(u1  un ) 2 n[2u1  (n  1)d ]  2  10) un2  un 1.un1 S n  u1  u2  ...  un  u1 1  qn 1 q TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIUTƠN  Số các hoán vị Quy ước  Số các chỉnh hợp  Số các tổ hợp Tính chất của tổ hợp n  0, n  N Pn  n!  1.2.3...n 0!  1 n! Ank  (n  k )! n! Ank k Cn   k !(n  k )! Pk k  n; k , n  N k  n; k , n  N Cnk  Cnnk Cnk  Cnk 1  Cnk11 n  Nhị thức Niutơn ( a  b) n  Tính chất n k bk k 0 1 n 1 n  C a  C a b  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn 1ab n1  Cnnb n Số các số hạng trong khai triển là n+1 Số hạng tổng quát Cnk a n k bk Số hạng thứ k trong khai triển là Cnk 1a nk 1bk 1 0 n n k n C a 5 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội 11) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  Công thức cơ bản sin 2 x  cos 2 x  1 1  tan 2 x  tan x  1 cos 2 x sin x cos x 1  cot 2 x  cot x  1 sin 2 x cos x sin x tan x.cot x  1  Công thức nhân đôi 2 tan x sin 2 x  2sin x.cos x tan 2 x  1  tan 2 x cos 2 x  1  2sin 2 x  2cos 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x  Công thức nhân ba sin 3 x  3sin x  4sin 3 x cot 2 x  1 cot 2 x  2cot x cos3 x  4cos3 x  3cos x 3tan x  tan 3 x 3cot x  cot 3 x tan 3 x  cot 3 x  1  3tan 2 x 1  3cot 2 x sin n  2sin(n  1) .cos   sin(n  2) cos n  2cos(n  1) .cos   cos(n  2)  Công thức hạ bậc 1  cos 2 x sin 2 x  2 3sin x  sin 3 x sin 3 x  4 1  cos 2x tan 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x 2 3cos x  cos3 x cos3 x  4 1  cos 2 x cot 2 x  1  cos 2 x cos 2 x   Biểu diễn sin x , cos x , tan x , cot x theo t  tan 2t sin x  1  t2 1 t2 cos x  1 t2 x 2 2t tan x  1 t2 1 t2 cot x  2t  Công thức cộng 6 sin( x  y )  sin x.cos y  cos x.sin y cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y sin( x  y )  sin x.cos y  cos x.sin y tan x  tan y tan( x  y )  1  tan x.tan y tan x  tan y tan( x  y )  1  tan x.tan y cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y cot x.cot y  1 cot( x  y )  cot y  cot x cot x.cot y  1 cot( x  y )  cot y  cot x Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội  Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sin x.sin y  [cos( x  y )  cos( x  y )] 2 1 sin x.cos y  [sin( x  y )  sin( x  y )] 2 tan x  tan y tan x.tan y  cot x  cot y  Công thức biến đổi tổng thành tích x y x y sin x  sin y  2sin cos 2 2 x y x y sin x  sin y  2cos sin 2 2 sin( x  y ) tan x  tan y  cos x.cos y sin( x  y ) tan x  tan y  cos x.cos y 1 cos x.cos y  [cos( x  y )  cos( x  y )] 2 1 cos x.sin y    sin( x  y )  sin( x  y )  2 x y x y cos 2 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 2 sin( x  y ) cot x  cot y  sin x.sin y sin( y  x) cot x  cot y  sin x.sin y cos x  cos y  2cos  Công thức đặc biệt khác     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4    x  x 1  sin x  2cos 2    1  sin x  2sin 2     4 2  4 2 1  sin 2 x  (sin x  cos x )2  Các cung liên kết: Đối: x và -x sin( x)   sin x tan( x)   tan x Bù: x và   x sin(  x)  sin x tan(  x)   tan x  Phụ: x và  x 2   sin   x   cos x 2    tan   x   cot x 2  cos( x)  cos x cot( x)   cot x cos(  x)   cos x cot(  x )   cot x   cos   x   sin x 2    cot   x   tan x 2  7 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội  : 2   sin   x   cos x 2    tan   x    cot x 2  Hơn kém  sin(  x)   sin x tan( x   )  tan x Hơn kém   cos   x    sin x 2    cot   x    tan x 2  cos(  x)   cos x cot( x   )   cot x  Công thức nghiệm  x    k 2 sin x  sin     x      k 2 cos x  cos   x    k 2 tan x  tan   x    k cot x  cot   x    k Đặc biệt sin x  0  x  k cos x  0  x    k 2 2  sin x  1  x    k 2 2   k 2 cos x  1  x  k 2 sin x  1  x  cos x  1  x    k 2  Giá trị lượng giác Góc Độ 0 Rad 0 Sin 0 Cos 1 Tan 0 Cot  300  6 1 2 3 2 1 3 3 450  4 2 2 2 2 600  3 3 2 1 2 900  2 1200 2 3 3 2 1 2 1350 3 4 2 2 2 2 1 3  - 3 -1 1 1 3 0 - 1 3 -1 1 0 1500 5 6 1 2 3 2 1 3 1800 - 3  Công thức chuyển đổi đơn vị từ  0 sang x radian và ngược lại 0 x 0 x    1800 0 180  8  0 -1 0 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội 12) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Các công thức phụ cần nhớ Đường thẳng a) Phương trình đường thẳng  Phương trình đường thẳng với hệ số góc k : y  kx  b Chú ý: + Nếu d tạo với chiều dương trục Ox góc  : k d  tan  + Nếu d tạo với trục Ox góc  : kd  tan   Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k: y  k ( x  x0 )  y0 x A  xB y A  y B  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B:  x  xB y  yB b) Các công thức khác  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : ax  by  c  0 ax  byM  c d M /    M a 2  b2  Cho hai đường thẳng  d1  : y  k1 x  b1 và  d2  : y  k2 x  b2 +) k  k d1 / / d 2   1 2 b1  b2 d1  d 2  k1.k2  1 +) Góc  giữa hai đường thẳng: tan   k1  k2 1  k1k2 Vị trí của điểm và đường thẳng Cho đường thẳng (d ) : ax  by  c  0 , và hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Điều kiện để hai điểm trên: Nằm về hai phía trục Ox y A . yB  0  Nằm về hai phía trục Oy x A . xB  0  Nằm về hai phía đường thằng d   axA  by A  c  axB  byB  c   0 Nằm cùng phía trục Ox y A . yB  0  Nằm cùng phía trục Oy x A . xB  0  Nằm cùng phía đường thẳng d   axA  by A  c  axB  byB  c   0 Nằm phía trên trục Ox  Nằm phía dưới trục Ox  Cách đều trục Ox Cách đều trục Oy Cách đều đường thẳng d Cách đều điểm I      y A  yB  0   y A . yB  0  y A  yB  0   y A . yB  0 | y A || yB | | x A || xB | d ( A/d )  d ( B / d ) IA  IB 9 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Đối xứng nhau qua d  Đối xứng nhau qua phân giác I, III Đối xứng nhau qua phân giác II, IV Đối xứng nhau qua điểm M Công thức khác  Góc tạo bởi hai vectơ  I  d     AB  ud  x A  yB    y A  xB   x A   yB   y A   xB  M là trung điểm A, B    u.v cos u , v    u.v    Định lý hàm cos trong tam giác ABC AB 2  AC 2  BC 2 cos A  2. AB. AC  Khoảng cách giữa hai điểm A, B AB  ( xB  x A )2  ( y B  y A )2 2) Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a;b).  x  x2 Nếu  1 x1 , x2  (a; b) thì f ( x) đồng biến trên (a;b) f ( x )  f ( x )  1 2  x  x2 Nếu  1 x1 , x2  (a; b) thì f ( x) nghịch biến trên (a;b) f ( x )  f ( x )  1 2 Định lý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên đoạn (a;b) khi: + Hàm số xác định trên đoạn (a;b) + f '( x )  0 x  (a; b ) , dấu “=” xảy ra tại một số điểm hữu hạn điểm  (a; b) Hàm số y  f ( x) đồng biến trên đoạn (a;b) khi: + Hàm số xác định trên đoạn (a;b) + f '( x )  0 x  (a; b ) , dấu “=” xảy ra tại một số điểm hữu hạn điểm  (a; b) Các trường hợp đặc biệt: ax  b a) Hàm phân thức: y cx  d - TXĐ: D  R \  d c  d  (a; b) - Hàm số đồng biến trên (a;b)   c  y '  0  d  (a; b) - Hàm số nghịch biến trên (a;b)   c  y '  0 b) Hàm số bậc 3 : y  ax 3  bx 2  cx  d   10 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội a  0 - Hàm số đồng biến trên R  y '  0, x  R    y '  0 a 0 - Hàm số nghịch biến trên R  y '  0, x  R    y '  0 - Hàm số đồng biến trên đoạn (a;b)  y '  0, x  (a; b ) - Hàm số nghịch biến trên đoạn (a;b)  y '  0, x  (a; b ) a  0  - Đồng biến trên miền có độ dài bằng d    y '  0  | x  x | d  1 2 a0  - Nghịch biến trên miền có độ dài bằng d    y '  0 | x  x | d  1 2 3) Cực trị  Điểm CỰC TRỊ bao gồm điểm CỰC ĐẠI và điểm CỰC TIỂU  Nếu điểm A( x A ; y A ) là điểm cực trị của hàm số y  f ( x) , khi đó - Điểm A thuộc đồ thị của hàm số y  f ( x) , tức là y A  f ( x A ) . - Hoành độ của điểm A là nghiệm của phương trình y '  0 , tức là y '( x A )  0  Định lý: Cho hàm số y  f ( x)  f '( x0 )  0 - Hàm số đạt cực trị tại x0   (1)  f '( x ) doi dau khi x di qua x0  f '( x0 )  0 - Hàm số đạt cực đại tại x0   (2)  f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0 - Hàm số đạt cực tiểu tại x0   (3) f ''( x )  0  0 Cực trị hàm số bậc ba Xét hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị Tính y ' . Hàm số có hai cực trị  y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Bước 2: Tìm tọa độ các điểm cực trị theo sơ đồ Nghiệm hữu tỉ - Tính các nghiệm x1,2  b   được hoành độ 2 cực trị 2a - Tung độ hai điểm cực trị là y ( x1 ), y ( x2 ) y'  0 - Gọi x1 , x 2 là hoành độ hai điểm cực trị, với x1 , x 2 là hai nghiệm phương trình y '  0 Nghiệm vô tỷ y  (ax  b) y ' g ( x ) . g ( x1 ), g ( x2 ) - Viết hàm số dưới dạng tung độ hai cực trị là Khi đó 11 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Bước 3: Làm theo yêu cầu bài toán. Khi tìm ra m cần so sánh với điều kiện ở bước 1. Cực trị hàm trùng phương Xét hàm số y  ax 4  bx 2  c (a  0) Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị Ta có y '  4ax 3  2bx  2 x (2ax 2  b) .  x0 Do đó y '  0   2 (1)  2ax  b  0 Để hàm số có 3 cực trị  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Bước 2: Tính tất cả các điểm cực trị ra và làm theo yêu cầu bài toán. Chú ý: Nếu gọi A, B, C là ba điểm cực trị với x A  0 , ta có  Tam giác ABC luôn cân tại A. 1 1  Diện tích tam giác ABC: S ABC  . AH .BC  yB  y A 2 xB 2 2  Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính R o Nếu a  0 thì I  0; y A  R  o Nếu a  0 thì I  0; y A  R   Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, có bán kính r o Nếu a  0 thì I  0; yB  r  o Nếu a  0 thì I (0; yB  r ) 4) Tiệm cận Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ĐN: Cho hàm số f  f ( x) có đồ thị (C) + Đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C) nếu lim f ( x)  y0 hoặc lim f ( x)  y0 x  x  + Đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C) nếu lim f ( x)   hoặc lim f ( x )   x  x0 x  x0 Tiệm cận xiên ĐN: Cho hàm số f  f ( x) có đồ thị (C). Đường thẳng y  ax  b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) nếu lim  f ( x)  (ax  b)   0 hoặc lim  f ( x)  (ax  b)   0 x  x  Chú ý: Có thể xác định a, b theo cách sau f ( x) a  lim và b  lim  f ( x )  ax  x  x  x Hoặc f ( x) a  lim và b  lim  f ( x )  ax  x  x  x Dấu hiệu nhận biết: 12 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội P( x) có đồ thị (C) Q( x) o Nếu phương trình Q( x )  0 có nghiệm x0 thì (C) x  x0 có thể là TCĐ o Nếu bậc( P ( x ) )  bậc( Q( x) ) thì (C) có TCN. o Nếu bậc( P ( x ) ) = bậc( Q( x) )+1 thì (C) có TCX. Nhận xét: Tiệm cận ngang và tiệm cận xiên không tồn tại cùng một lúc.  Hàm số y  n f ( x) chỉ có tiệm cận xiên.  Hàm số f ( x)   Hàm số y  ax  b  mx 2  nx  p o Nếu a  0 : x   : TCN o Nếu a  0 : x   : TCX x   : TCX x   : TCN 5) Tiếp tuyến  Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Trong đó f '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M  Điều kiện để đồ thị 2 hàm số y  f ( x) và y  g ( x ) tiếp xúc nhau là hệ  f ( x )  g ( x) phương trình sau có nghiệm   f '( x)  g '( x) 6) Các bước vẽ đồ thị của hàm số Tập xác định Sự biến thiên + Tính y ' , giải phương trình y '  0 (nếu có nghiệm), xét dấu của y ' + Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên + Tìm các cực trị + Xét tính đồng biến, nghịch biến Vẽ đồ thị + Tìm giao điểm với trục Ox (nếu có), Oy . + Tìm điểm uốn + Biểu diễn các điểm cực trị, giao điểm với Ox , Oy , điểm uốn, tiệm cận và vẽ đồ thị. 7) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  Dạng 1: Dựa vào đồ thị của hàm số (C ) : y  f ( x) . Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C1): y1  f ( x) y Ta có (C1 ) : y1 | y |   y neu y  0 neu y  0 13 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội Do đó đồ thị (C1 ) : y1  f ( x) gồm 2 phần đồ thị: + Phần 1: Là phần đồ thị (C ) : y  f ( x) nằm phía trên Ox + Phần 2: Là phần đồ thị (C ) : y  f ( x) nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox  Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số (C): y  f ( x) . Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C2 ) : y2  f (| x |) Nhận xét: (C2 ) : y2  f (| x |) là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng  f ( x) neu x  0 Ta có: (C2 ) : y2  f (| x |)    f ( x) neu x  0 Do đó (C2 ) : y2  f (| x |) có 2 phần đồ thị: + Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y  f ( x) nằm bên phải Oy + Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Oy  Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) suy ra đồ thị của hàm số (C3 ) : y3  f ( x) Nhận xét: Nếu M ( x0 ; y0 )  (C3 )  M ( x0 ;  y0 )  (C3 ) Nên (C3 ) : y3  f ( x) nhận Ox làm trục đối xứng Ta có (C3 ) : y3  y  y3  y nếu y  0 Do đó đồ thì (C3 ) gồm có 2 phần đồ thị + Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y  f ( x) nằm phía trên Ox + Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Ox khi x  a  f ( x)  Dạng 4: Nếu g ( x)   thì đồ thị của g(x) bao gồm hai  f ( x ) khi x  a  phần đồ thị: + Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y  f ( x) nằm bên phải đường x  a + Phần 2: Là phần đồ thị của (C ) : y  f ( x) nàm bên trái của đường thẳng x  a lấy đối xứng qua Ox. 14 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội 13) ĐẠO HÀM  Các quy tắc tính đạo hàm c '  0 (c là hằng số) (u  v )'  u ' v '  cu   c.u  c  const  (u  v )'  u ' v ' ' (u.v)'  u ' v  uv '  u  u ' v  uv '    v2 v  Bảng đạo hàm ( x n )'  nx n1 1 x ' 2 x 1 1  '   2 x x (sin x )'  cos x (cos x )'   sin x   1 cos 2 x 1 (cot x)'   2 sin x x x (e )'  e (u n )'  nu n 1.u ' u' u ' 2 u u' 1  '   2 u u (sin u )'  u '.cos u (cos u )'  u '.sin u   u' cos 2 u u' (cot u )'   2 sin u u u (e )'  e .u ' (tan x)'  (tan u )'  (a x )'  a x .ln a 1 (ln x)'  x 1 (log a x)'  x ln a (au )'  u '.a u .ln a u' (ln u )'  u u' (log a u )'  u ln a 15 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội 14) NGUYÊN HÀM  Định nghĩa Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu F ( x)  f ( x ) x   a, b  . Ký hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C (C là hằng số)  Tính chất  kf ( x)dx  k  f ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx b b b Công thức tích phân từng phần  udv  uv    vdu a a a  Bảng nguyên hàm x n 1  x dx  n  1  C 1  x dx  ln | x | C n (n  1)  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C 1  sin 2 x dx   cot x  C 1  cos2 x dx  tan x  C x  e dx  e x C ax  a dx  ln a  C x 1 (ax  b)n1  (ax  b) dx  a n  1  C (n  1) 1 1 dx   ax  b a ln | ax  b | C 1 sin( ax  b ) dx   cos(ax  b)  C  a 1 cos( ax  b ) dx  sin(ax  b)  C  a 1 1 dx   cot(ax  b)  C  sin 2 (ax  b) a 1 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 ax b ax  b  e dx  a e  C 1 a mx n ( mx  n )  a dx  m ln a  C n Bảng nguyên hàm mở rộng dx 1 x  x 2  a 2  a arcTan a  c dx x  arcSin c  a2  x2 a dx 2  x2  h  ln x  x  h  c 16  a 2  x 2 dx   x 2  h dx  x 2 a2 x a  x 2  arcSin  c 2 2 a x 2 h x  h  Ln x  x 2  h  c 2 2 dx 1 xa  ln 2  x  a 2a x  a  C 2 Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội  Ứng dụng của tích phân Diện tích hình phẳng Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). y f(x) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và g(x) hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: a O b b x S   f  x   g  x  dx a Thể tích Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox được tính bởi công thức: b y y d f(x) 2 V     f  x   dx (x) a O a b x Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức: d c x O 2 V      y   dy c Thể tích tròn xoay do hinh phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức: b  2 2  V     f  x     g  x   dx . a 15) MŨ - LOGARIT Kí hiệu viết tắt x nm n  m x   xn  log na x   log a x  m n lg x  log x  log10 x ln x  log e x lg10n  log10n  ln e n  n Từ đó: 1) Công thức mũ Điều kiện xác định: x n xác định  x  0 0 x  1, x x n 1  n x n m (x )  x n .m n n n ( xy )  x . y n x xn  y   yn   n m x .x  x n m 1 n x nx xn  x nm m x 17