Tài liệu Diện tích hình phẳng

Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 094.673.6868 Lêi Giíi ThiÖu Mục lục MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Lời giới thiệu Phần thứ nhất: Kiến thức cơ bản Phần thứ hai: Các bài toán về diện tích hình phẳng Phần thứ ba: Bài tập minh họa phương pháp Phần thứ tư: Bài tập tự luyện Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. Trang 1 2 6 14 54 Chúc các em học sinh ôn tập thật tốt và dành kết quả thật cao trong hai kỳ thi tới! Trong chương trình toán 12 mà cụ thể là phân môn Giải tích các em học sinh được tiếp cận với bài toán diện tích hình phẳng trong Chương III. Trong bài học đó Sách giáo khoa đề cập đến một số bài toán cơ bản của diện tích hình phẳng. Xong để giải quyết bài toán này mà chỉ biết áp dụng công thức thôi thì chưa đủ, bởi với bài toán tính diện tích của một hình phẳng các em sẽ gặp ở đó những tích phân của các hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, mà việc tính tích phân này không phải dễ dàng gì đối với tất cả các em học sinh. Hơn nữa, thực tế trong những năm gần đây kể từ khi Bộ giáo dục cải tiến phương thức ra đề theo hình thức 3 chung thì câu hỏi về phần tích phân nói chung hay ứng dụng của tích phân nói riêng có xác suất xuất hiện thường xuyên hơn trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học. Với tất cả những lý do trên, cùng với những kinh nghiệm của bản thân đã trực tiếp giảng dạy học sinh lớp 12 và luyện thi Đại học. Tôi mạnh dạn tổng hợp, phân loại và viết bài giảng “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” để trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu giúp các em học sinh ôn luyện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học. Trong bài giảng này tôi đã đề xuất 4 phương pháp để giải quyết bài toán diện tích hình phẳng, đó là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân, phương pháp đồ thị và phương pháp giả định và gần 20 bài tập để minh họa cho cả 4 phương pháp. Sau mỗi lời giải của mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất./. Thạch Thất, ngày 20 tháng 02 năm 2011 Tác giả Nguyễn Văn Dũng Trang 56 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 1 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Phần thứ nhất 21. y = tanx, y = 0, x= 0, x = KIẾN THỨC CƠ BẢN S   f ( x)dx  F ( x) a b a  F (b)  F (a ) (Trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn tập K, với a, b  K) 2. Các tính chất của tích phân. a 2.1).  f ( x)dx  0 a b 2.2).  b 2.3). b c c b b a a b 2.6). b - Hết - a b 2.5).  k . f ( x)dx k  f ( x)dx a x2 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán 2 kính R = 2 2 thành hai phần. Tính tỷ số diện tích của chúng.   f ( x)  g ( x)dx  f ( x)dx   g ( x)dx b 8 3 a b 2.4).  4 Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 + 1 và đường thẳng d: y = mx + 2. 1). Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất. 2). Gọi A(-1;1), B(2; 4) là hai điểm trên (P), tìm điểm M trên cung AB để diện tích tam giác ABM lớn nhất. Bài 3: Parabol y   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a (P) tại M và trục Oy là a f ( x)dx    f ( x )dx a 094.673.6868 22. y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5, y = 1 23. Tìm hoành độ của điểm M trên parabol (P) y = x2 + 2 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), tiếp tuyến của 1. Công thức Niutơn – Laibơnit. b Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. (k  R ) a b b   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a b 2.7). Nếu f(x)  0 trên đoạn [a; b] thì  f ( x)dx  0 a b 2.8). Nếu f(x)  0 trên đoạn [a; b] thì  f ( x)dx  0 a Trang 2 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 55 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Phần thứ tư BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau.  1. y = cos2x, y = 0, x = 0, x  4 2. y = x3 + 3x2, trục hoành, x = - 2, x = -1 2x  1 , trục hoành, trục tung. x 1  3x  1 4. y  , trục hoành, trục tung. x 1 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 3. Một số phương pháp tính tích phân. Ngoài phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân ta còn dụng đến phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần. 3.1. Phương pháp đổi biến số. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], giả sử hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [  ;  ] sao cho u(  ) = a, 3. y  5. y = x2 – 3x + 2, y = x + 1, x = 0 6. y   4  x 2 , x2 + 3y = 0 7. y = x2 + 1(P), trục Oy và tiếp tuyến của (P) tại điểm M(2; 5) 8. y  2 1  x 2 , y = 2(1 – x) 9. y = x2, y  x 10. y = - x2 + 4x , y= x 11. y = ex, y = 2, x = 1 12. y = x2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của nó tại A(1; 2) và B(4; 5) 13. y = 2x2 , y = x4 – 2x2, x  0 x2 14. y = x, y = 1, y  , x  0, y  1 4 15. 16. 17. 18. 19. 20. y = x2 , y = 4x – 4, y = - 4x – 4 y = |lnx|, y = 1 y = sin|x|, y = |x| -  y2 – 2x = 0 , x + y = 0 y2 = 2x, x - 2y + 2 = 0, y = 0, trục Ox y2 = 2x, 27y2 = 8(x – 1)3 094.673.6868  b u(  ) = b và a  u(t)  b, ta có:  f ( x)dx   f u (t ).u ' (t )dt . a  Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép đổi biến - Hàm lũy thừa u  (x)  đặt t = u(x) - Hàm mũ au(x)  đặt t = u(x) - Hàm phân thức  đặt t = mẫu số - Hàm chứa căn  đặt t = căn - Hàm chứa a 2  x2  đặt x = a.sint (a > 0, t  [-  /2;  /2] - Hàm chứa x2  a 2  đặt x = a/sint (a > 0, t  [0;  /2] - Hàm chứa x2  a 2  đặt x = a.tant (a > 0, t  (-  /2;  /2) 3.2. Phương pháp từng phần. Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên b b b [a;b] thì:  u ( x ).v ' ( x).dx  u ( x).v( x)   v( x ).u ' ( x ).dx a a a b b b hay  u.dv  u.v   v..du a a a Chú ý: Một số dấu hiệu dùng phép từng phần Trang 54 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 3 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868  Đặt u = P(x)  P( x). sin f ( x)dx hoặc  P( x ). cos f ( x)dx  P( x).e dx   P( x). ln f ( x)dx  Đặt u = P(x)   Đặt u = ln f(x) f ( x) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải: - Đây là một bài tập tương đối khó vì 2 lí do: thứ nhất đây là bài toán tính diện tích hình phẳng nhưng giả thiết của bài toán chưa được cụ thể, thứ hai đây lại là bài toán cực trị. 4. Giá trị tuyệt đối và tích phân chứa giá trị tuyệt đối. 4.1. Giá trị tuyệt đối.  f ( x ) khi f ( x)  0 f ( x)    f ( x) khi f ( x )  0 Hệ quả: (ý nghĩa hình học): a). Xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] - Nếu (C) nằm trên trục hoành thì f(x)  0 với mọi x  [a; b], khi đó, ta có: |f(x)| = f(x),  x  [a; b]. - Nếu (C) nằm trên dưới hoành thì f(x)  0 với mọi x  [a; b], khi đó, ta có: |f(x)| = - f(x),  x  [a; b]. b). Xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) và đồ thị (D) của hàm số y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. - Nếu (C) nằm trên (D) trên đoạn [a;b] thì f(x)  g(x) trên [a; b] Khi đó, ta có: |f(x) – g(x)| = f(x) – g(x) ,  x  [a; b]. - Nếu (C) nằm dưới (D) trên [a;b] thì f(x)  g(x) trên [a; b] Khi đó, ta có: |f(x) – g(x)| = g(x) – f(x),  x  [a; b]. 4.2. Tích phân chứa giá trị tuyệt đối. b Xét tích phân I   f ( x) dx a b a). Nếu f(x)  0  x  [a; b] thì I =  f ( x)dx  0 a b b). Nếu f(x)  0  x  [a; b] thì I = -  f ( x)dx  0 a c). Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a; b], Trang 4 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 53 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Mặt khác ta có: Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 chẳng hạn f(x)  0  x  [a; c] và f(x)  0  x  [c; b] 2 2 2 2 2 c b c b AB  (b  a )  (b  a )  (b  a) 1  (b  a )  b  a thì ta có: I   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x)dx   f ( x )dx Theo giả thiết AB = 2  0  b – a  2 (2) d). Nếu f(x) giữ nguyên dấu trên [a; b] ta có: a 4 3 b  a  0 a  1 4 Vậy MaxS =    3  b 1 b  a  2  A(- 1; 1) và B( 1; 1) c b Từ (1) và (2)  S  a c b I   f ( x) dx = |  f ( x)dx | a a (Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân) Câu 2: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)  phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B là: y = (b + a)x – ab, (d) Mặt khác ta có: (d) đia qua I(1; 3) nên ta có: 3 = a + b – ab  a + b = 3 + ab (*) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: b S  a b  (b  a ) x 2 x3    abx   (b  a) x  ab  x dx   2 3 a   2   ( a  b) 2 b 2  ab  a 2   (b  a )   ab   3  2   3  b  a S (đvdt) (3) 2 6 Từ (*), ta suy ra: (a + b) = ( 3 + ab)2 2 2 2  (b – a) = 8 + (ab + 1)  (b – a)  8 hay b – a  2 2 (4)  Từ (3) và (4)  S  Vậy MinS = 8 2 3 8 2 3  ab  1  0 a  b  3  ab Đạt được    ab  1    (d) : y = 2x +1 a  b  2 Trang 52 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 5 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Phần thứ hai CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Một số bài toán cơ bản. Bài toán 1: Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Xét hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b. b Ta có: S   f ( x) dx a Chú ý: - Trong thực tế giả thiết của bài toán 1 có thể không cho trước cận lấy tích phân (tức là không cho x = a, x = b). - Cho dù giả thiết cho hay không cho cận lấy tích phân, thì việc đầu tiên ta phải làm là tìm nghiệm của PT f(x) = 0. - Sau đó cần lập công thức tính diện tích của D và sử dụng 1 trong 4 phương pháp sẽ đề cập sau đây để tính diện tích. Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 thẳng qua 2 điểm A, B đạt giá trị lớn nhất. 2). Gọi d là đường thẳng đi qua I(1; 3), tìm phương trình đường thẳng d sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất. Nhận xét trước khi giải. - Đây là một bài toán cực trị về diện tích hình phẳng, nên trước hết ta cần lập công thức tính diện tích S(tức là thiết lập các giả thiết liên quan đến S) - Với câu 1, trước hết ta cần giả thiết về tọa độ A, B  lập phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B  diện tích S. - Với câu 2, thực chất cũng là việc xác định 2 điểm A, B trên (P) với điều kiện I  AB , khác với câu 1 là xác định A, B với điều kiện AB = 2. - Sau khi đã tính được S, ta cần sử dụng phương pháp thích hợp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S. Câu 1: Gọi A(a; a2) , B(b; b2) ( với giả thiết a < b)  phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B là: y = (b + a)x – ab, (d) Bài toán 2: Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: b S  a Trang 6 Bài toán diện tích hình phẳng b  (b  a ) x 2 b  a 3 (1) x3   abx    (b  a) x  ab  x dx   2 3 a 6   2  Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 51 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 4x = (4 – x)3  (x – 2)(x2 – 10x + 32) = 0  x = 2 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Xét hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b. b Ta có: S   f ( x)  g ( x) dx a Chú ý: - Nếu trong giả thiết của bài toán 2 ta thay g(x) = 0 thì ta sẽ có bài toán 1. - Trong thực tế giả thiết của bài toán 2 có thể không cho trước cận lấy tích phân (tức là không cho x = a, x = b). - Cho dù giả thiết có cho hay không cho cận lấy tích phân, thì việc đầu tiên ta phải làm là tìm nghiệm của phương trình f(x) – g(x) = 0. - Sau đó cần cần lập công thức tính diện tích của D và sử dụng 1 trong 4 phương pháp đề cập sau đây để tính diện tích S. Với x = 2  y2 = 8  y  2 2 Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, từ hình vẽ ta có: S = S1+S2 = 2S1 2 2 2 2  3 2 y2   33 5 y3   2  4 y  dy 24y  y    152 2 4 12 0 15  5 0  Nhận xét sau lời giải 3: - Từ hình vẽ ta thấy rằng phần hình phẳng cần tính diện tích có trục đối xứng là trục hoành nên ta có thể viết S = S1 + S2, trong đó S1 là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường x  - y2 , x  4  3 y 2 , y = 0, y  2 2 . 4 Từ hình vẽ ta thấy rằng đồ thị của (d): x  4  3 y 2 nằm trên đồ 2 2 S1   0 thị của y2 (P): x  4 nên ta có:  y2   4  3 y 2  dy 4   Bài 16: Cho (P) y = x2 1). Gọi A, B là 2 điểm trên (P) sao cho AB = 2, tìm tọa độ A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường Trang 50 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán 3: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín. Với bài toán này giả thiết có thể cho hình phẳng giới hạn bởi 2 , 3 hay 4 đường cong hoặc nhiều hơn. Khi đó để giải quyết bài toán này ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị để tìm lời giải, ta cần làm theo trật tự sau đây: - Bước 1: Vẽ đồ thị của tất cả các đường đã cho trên cùng 1 hệ trục tọa độ. - Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích. - Bước 3: Tìm hoành độ giao điểm của các đường cong - Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích bởi các đường thẳng x = c ( x = c chính là hoành độ giao điểm của các đường cong tìm được ở bước 3). - Bước 5: Lập công thức và tính diện tích S. 2. Chú ý. Tương tự (bằng cách coi x là hàm, y là biến) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d là: Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 7 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. d S   f ( y )  g ( y ) dy c (trong đó x = f(y), x = g(y) là hai hàm liên tục trên đoạn [c; d]) 3. Một số phương pháp tính diện tích của hình phẳng. Bạn đọc thân mến, bản chất của việc tìm diện tích của một hình phẳng là tính các tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, trong phần này sẽ giới thiệu 4 phương pháp tính tích phân chứa dấu gái trị tuyệt đối đây cũng là 4 phương pháp tính diện tích hình phẳng. Từ y 2  4 x  x  y  2 2 Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có: 2 2 S  2 2  2 Xét tích phân S   f ( x) dx 0 a Thì ta có: S =  b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a Chú ý: - Để có thể lập được bảng xét dấu của biểu thức f(x) như trên, trước tiên ta cần tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 thuộc đoạn [a; b]. - Xét dấu trực tiếp biểu thức f(x) là việc ta sử dụng bảng xét dấu như trên (bảng này xét dấu dựa trên các định lý về dấu của các đa thức ẩn x). y2 4  y  dy  2 4 3 2 2 b  y2 (P) và y 2  4  x 3  x  4  3 y 2 (d) 4 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: 4x = (4 – x)3  (x – 2)(x2 – 10x + 32) = 0  x = 2 Với x = 2  y2 = 8  y  2 2  (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm có tung độ là y  2 2 và Phương pháp 1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Để xét dấu của biểu thức f(x) trên đoạn [a; b] ta có thể sử xét dấu trực tiếp hoặc gián tiếp bằng cách giải các BPT tương ứng. Sau đó tách tích phân I thành tổng của các tích phân trên các đoạn con, mà trên mỗi đoạn con này f(x) không đổi dấu. Chẳng hạn ta có bảng xét dấu của f(x) trên đoạn [a; b] như sau. x a   b f(x) + + 094.673.6868 2 2 2  0 y2 4  y  dy 4 3 2 2 2   y2  3 y3   4  3 y 2  dy  2  4 y  3 y 5   4  5 12  0    28 2  12 2 4 2 152 2   (đvdt) 5 3 15 Lời giải 2: (phương pháp giả định) 2 2 S  2 2 2 2 2  0 y2 4  y  dy  2 4 3 2 2 2  0 y2 4  y  dy 4 3 2 2 2   y2  3 y3   4  3 y 2  dy  2 4 y  3 y 5   4  5 12  0    152 2 15 Nhận xét sau lời giải 2: Sau khi giả định kết quả ta thu được S = 152 2 > 0, nên điều 15 giả định trên là đúng. Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) y2 Từ y  4 x  x  (P) và y 2  4  x 3  x  4  3 y 2 (d) 4 2 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: Trang 8 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 49 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Từ hình vẽ, nếu ta gọi S là diện tích cần tìm thì S = S1 + S2 , trong đó S1 là diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y  5  x , y = 3 – x, x =1, x = 4; và S2 là diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y  5  x , y   5  x , x = 4, x = 5. 4   Ta có S1   5  x  (3  x) dx  1 5  19 (đvdt) 6 4 (đvdt) 3 19 4 9 Vậy S = S1 + S2 =   (đvdt) 6 3 2  S2   5  x  ( 5  x ) dx = 4 Nhận xét sau lời giải 5: - Bằng việc coi x là biến, y là hàm ta cũng đã giải quyết xong bài toán bằng phương pháp đồ thị, xong vẫn còn hơi dài và chưa sáng sủa. - Tóm lại khi gặp các bài toán dạng này ta nên sử dụng phương pháp đồ thị. Bài 15: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2  4 x , y 2  4  x 3 Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài toán này cho cả hai hàm số y 2  4 x , 3 y 2  4  x  (có bậc hai đối với y, còn bậc của x là lẻ) nên ta sẽ coi x là hàm và y là biến. Tức là từ giả thiết ta phải rút x theo y. - Việc coi x là hàm và y là biến không hề ảnh hưởng đến kết quả bài toán diện tích hình phẳng. - Ta sẽ giải bài toán này theo phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài và giả định. Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài) Trang 48 Bài toán diện tích hình phẳng Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 - Xét dấu gián tiếp được thực hiện khi việc xét dấu trực tiếp không thực hiện được (ví dụ với biểu thức f(x) = ex – e- x + 2 ta không thể dùng bảng để xét dấu). Khi đó ta đi giải Bất phương trình f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0). Phương pháp 2: Dùng đồ thị của hàm số. Trong phương pháp này ta cần ghi nhớ các kết quả sau Kết quả 1: Nếu trên y đoạn [a; b] đồ thị y = f(x) của hàm số y = f(x) liên tục và nằm trên trục hoành thì ta có: a O b x b S   f ( x) dx a b =  f ( x)dx a Kết quả 2: Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục và nằm dưới trục hoành thì ta có: y a b x O b S   f ( x) dx y = f(x) a b = -  f ( x)dx a Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 9 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. Kết quả 3: Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục và nằm trên đồ thị hàm số y = g(x) thì ta có: y 094.673.6868 2 y = f(x)  O x 1   f ( x)  g ( x) dx a Kết quả 4: Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục và nằm dưới đồ thị hàm số y = g(x) thì ta có: y y = g(x) b a O x y = f(x) b  g ( x)  f ( x) dx a Để thực hiện được theo phương pháp này, ta cần tiến hành theo các bước sau:  Bước 1: Vẽ đồ thị của các hàm số trong giả thiết trên cùng hệ trục tọa độ.  Bước 2: Xác định phần hình phẳng cần tính diện tích.  Bước 3: Tìm hoành độ giao điểm của các đường cong tự cắt.  Bước 4: Chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích bởi các đường thẳng x = c (x = c chính là hoành độ giao điểm của các đường cong tìm được ở bước 3).  Bước 5: Lập công thức và tính diện tích S. Trang 10 1 2  y3 y 2  9    y 2  y  2 dy      2 y   (đvdt) 2 1  3  1 2 b a 2 2 a b  S   f ( y)  g( y) dy    y 2  y  2 dy b S   f ( x)  g ( x) dx = 2 2 Lời giải 4: (phương pháp giả định) 2 y = g(x) 094.673.6868  y3 y 2  9  y  y  2 dy      2 y   2  3  1 2  1 b a S   f ( x)  g ( x) dx = Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. Bài toán diện tích hình phẳng ( Kết quả S > 0, chứng tỏ điều giả định trên là đúng) Nhận xét sau khi giải. - Đây là một bài toán đặc biệt mà ta coi y là biến, x là hằng  lời giải sẽ gọn gàng và sáng sủa. - Một lời khuyên nhỏ là khi gặp các hàm số mà bậc của y khác 1 thì ta nên coi y là biến và x là hàm. - Tất nhiên bài này ta vẫn có thể coi x là biến, y là hàm được, nhưng lời giải có thể không đẹp bằng các cách trên. Lời giải 5: (coi x là biến, y là hàm) Nhận xét trước khi giải. - Trước hết lưu ý rằng: y2 + x – 5 = 0  y   5  x  giả thiết cho 3 đường y  sử dụng phương pháp đồ thị. - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y = 3 – x và y  5  x là nghiệm của phương trình: 3 – x  5  x  x = 1. - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y  5  x và y   5  x là nghiệm của phương trình: 5  x   5  x  x = 5. - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y = 3 – x và y   5  x là nghiệm của phương trình: 3 – x   5  x  x = 4. Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 47 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 5 – y2 = 3 – y  y = - 1 hoặc y = 2 Đặt f(y) = 5 - y2 và g(y) = 3 – y, ta có: f(y) – g(y) = - y2 + y + 2. Ta có bảng xét dấu của f(y) – g(y) là y -1 f(y) – g(y) + - b S 2  f ( y )  g ( y ) dy   1 1 a 2  y3 y2  9  y 2  y  2 dy      2 y   2  3  1 2  b S   f ( x) dx = |  f ( x)dx |” Diện tích của hình phẳng cần tìm là: 2 094.673.6868 Phương pháp 3: Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân. Đôi khi việc xét dấu của biểu thức f(x) trên [a; b] thực sự không đơn giản, bởi trên mặt bằng lí thuyết các em chỉ được học cách xét dấu của các đa thức ẩn x mà thôi, khi đó ta sử dụng kết quả sau: “Nếu f(x) giữa nguyên dấu trên [a; b] ta có: 2 - Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng.  a Để thực hiện được theo phương pháp này, ta tiến hành theo các bước sau:  Bước 1: Tìm các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) = 0. Lời giải 2: (phương pháp đồ thị) b  Bước 2: Tách tích phân S   f ( x) dx thành tổng của các tích a phân trên các đoạn con, chẳng hạn:   b b S   f ( x) dx =  | f ( x) | dx   | f ( x ) | dx   | f ( x) | dx  a a  (trong đó  ,  là các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) = 0)  Bước 3: Đưa dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân ra bên ngoài dấu tích phân, chẳng hạn:   Từ hình vẽ trên, nếu gọi S là diện tích cần tìm, ta có: 2 S  5  y  3  y dy 2 1 2      y 2  y  2 dy  1 9 (đvdt) 2 Lời giải 3: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài) 2 S  1 Trang 46 2 f ( y )  g ( y ) dy  y 2  y  2 dy 1 Bài toán diện tích hình phẳng S=  a f ( x )dx   b f ( x )dx    f ( x)dx  Bước 4: Tính toán và ra kết quả. Phương pháp 4: Phương pháp giả định. Trong phương pháp 3 ta đã đề cập đến việc đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân, điều này có thể hơi “cồng kềnh” vì khi tích phân ta tính luôn có dấu trị tuyệt đối bên ngoài kèm theo. Để khắc phục nhược điểm này ta có thể sử dụng phương pháp giả định sau đây. Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 11 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 b Giả sử ta phải tính tích phân S   f ( x) dx ( với điều kiện biểu a thức f(x) không đổi dấu trên [a; b]), khi đó ta có thể giả sử: b S=  f ( x)dx - b  Vậy S = -  f ( x)dx =-m a Để thực hiện được theo phương pháp này, ta tiến hành theo các bước sau: - Bước 1: Tìm các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) = 0. b - Bước 2: Tách tích phân S   f ( x) dx thành tổng của các tích a phân trên các đoạn con, chẳng hạn:   b b S   f ( x) dx =  | f ( x) | dx   | f ( x ) | dx   | f ( x) | dx  a a  (trong đó  ,  là các nghiệm thuộc đoạn [a; b] của PT f(x) = 0 và hiển nhiên rằng trên các đoạn con [a;  ], [  ;  ], [  ; b] biểu thức f(x) không đổi dấu, tức là f(x) luôn không âm, hoặc không dương ) - Bước 3: Bỏ dấu || trong tất cả các tích phân và thay vào đó là các dấu cộng (+) và trừ (-) xen kẽ nhau ( nếu  ,  là các nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ). Trong trường hợp nếu cận nào đó là nghiệm bội chẵn thì 2 tích phân chung cận đó có cùng một dấu, chẳng hạn:  S=  a Trang 12  b f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x)dx (1)  Ta có : 1  1  2 S 3   x  5  ( x  1) dx   0 3 Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = k > 0 thì điều giả định là đúng  Vậy S = k. Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = m < 0 thì điều giả định là sai 094.673.6868 0 1  x3 x 2  29 x  x  4 dx     4 x   2  3 0 6  2  Và (1) a - Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng.   2 3 S 4   x  5  ( x  1) dx   1 1 3  x3 x2  22  x  x  6 dx      6 x   2 3  3 1  2   29 22  73   (đvdt) 3  3  6 Vậy S  2 Nhận xét sau lời giải: - Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản. - Tương tự như bài 10, bài 11- 12, ta không nên sử dụng các phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định để giải bài này. Bài 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2 + x – 5 = 0 và x + y – 3 = 0 Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài toán này cho hàm số y2 + x – 5 = 0 (có bậc hai đối với y và bậc một đối với x) nên ta sẽ coi x là hàm và y là biến. - Việc coi x là hàm và y là biến không hề ảnh hưởng đến kết quả bài toán diện tích hình phẳng. - Ta sẽ giải bài toán này theo cả 4 phương pháp. Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Từ giả thiết: y2 + x – 5 = 0  x = 5 - y2 (P) và x + y – 3 = 0  x = 3 – y (d) Khi đó phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) là:  Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 45 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Lưu ý rằng: 2  x  1, khi x  (;1]  [1;) ( P1 ) y  x2  1   2 ( P2 )  x  1, khi x  (1;1) ( d1 )  x  5, khi x  0 Và y | x | 5    x  5, khi x  0 (d 2 ) Với các lưu ý trên ta thấy rằng bài toán này thuộc bài toán 3, nên ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị để giải. Lời giải: (phương pháp đồ thị) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 - Bước 4: Kiểm tra kết quả sau khi tính S  Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = k > 0 thì điều giả định là đúng  Vậy S = k.  Nếu kết quả của (1) dẫn đến S = m < 0 thì điều giả định là sai, khi đó quay lại bước 3 và đổi dấu cộng (+) thành trừ (-) và trừ (-)thành cộng (+)  S = - m. 4. Một số chú ý khi giải bài toán diện tích hình phẳng: - Trong thực tế có rất nhiều bài tập để việc tính toán bớt phức tạp và trở nên đơn giản ta thường thay đổi vai trò của x và y cho nhau, tức là x là hàm số và y là biến số, khi đó công thức tính diện tích hình phẳng D của bài toán 1 và bài toán 2 là: b b S   f ( y ) dy hoặc S   f ( y )  g ( y ) dy a a - Phải điền kí hiệu “đvdt” (đơn vị diện tích) vào kết quả cuối cùng trong các bài toán diện tích hình phẳng. - Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y  x 2  1 , y | x | 5 là: x 2  1 | x | 5  x = - 3 và x = 3. Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, từ đồ thị đã thì phần gạch chéo chính là phần hình phẳng mà ta cần tính diện tích ( phần hình phẳng này đối xứng nhau qua Oy). Gọi S là diện tích cần tìm, ta có: S = S1 + S2 = 2S2 = 2(S3 + S4) Trong đó S3 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x  5 , y = - x2 + 1, x = 0, x = 1 và S4 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x + 5, y = x2 - 1, x = 1, x = 3. Trang 44 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 13 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Phần thứ ba BÀI TẬP MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP Trong phần này sẽ tập trung giới thiệu một số bài tập về diện tích hình phẳng, với sự đa dạng về giả thiết của bài toán và được giải bằng cả 4 phương pháp đã trình bày ở trên. Tuy nhiên tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể ta sẽ có những nhận xét về sự lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất. Bài 1:( Ví dụ 1 – SGK Giải tích 12- trang 115). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2. Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài 1 này có đủ giả thiết của bài toán 1. - Đây là bài toán đã được đề cập đến trong phần khảo sát thực tế, ở đó bài toán này được giải bằng phương pháp xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối. - Bây giờ ta sẽ giải bài toán này bằng 3 phương pháp nữa, đó là: phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ra ngoài, phương pháp đồ thị và phương pháp giả định. Lời giải 1: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài) Ta có x3 = 0  x = 0  [- 1; 2], khi đó hình phẳng có diện tích là: 2 0 S   x dx   | x |dx   | x 3 |dx 0 x4 0 x4 2 1 17   x dx   x dx    4 (đvdt)  1 0 4 4 4 4 1 0 2 3 2  S = S1 + S2    x 2  dx  x 3  2 3 Nhận xét sau lời giải 1: - Sau khi tách tích phân ta nhận thấy rằng biểu thức f(x) = x3 luôn xác định dấu trên các đoạn [- 1; 0] và [0; 2], nên ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài. 3 32  2  8 x2    dx  4 ln 2 (đvdt) x 4  Nhận xét sau lời giải: - Từ hình vẽ ta thấy rằng phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn bởi 4 đường tự cắt) phải được chia nhỏ thành 2 phần có diện tích tương ứng S1 và S2, trong đó S1 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x2 , y  2 ,x= x 3 2 , x = 2 và S2 là phần hình phẳng x2 8 được giới hạn bởi các đường y  , y  , x = 2, x = 4 x 3 32 . 3 1 0 2 2 3 1 Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm là: Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản. - Tương tự như bài 10, bài 11, ta không nên sử dụng các phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định để giải bài này. Bài 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , y | x | 5 - Nhận xét trước khi giải. Trang 14 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 43 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 x2 , x = 0, x = 2 và S2 là phần hình phẳng 8 x2 8 được giới hạn bởi các đường y  , y  , x = 2, x = 4. 8 x y  x2 , y  - - Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản. Bài tập này không nên sử dụng các phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định. Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Lời giải sẽ sai nếu như ta không tách tích phân mà đưa ngay dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài sau khi lập S, tức là - 2 2 viết S   x 3 dx   x 3dx , bởi biểu thức f(x) = x3 chưa xác 1 1 định dấu trên đoạn [- 1; 2]. Lời giải 2: (phương pháp đồ thị) Ta có x3 = 0  x = 0  [- 1; 2], Từ hình vẽ ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Ta có 0 2 S = S1 + S2 =   x 3 dx   x 3 dx = 1 0 1 17  4  (đvdt) 4 4 Bài 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 8 x2 2 hàm số y  x , y  , y  , y  . x 4 x 2 Nhận xét trước khi giải. - Bài tập này ở dạng bài toán 3 ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải. Lời giải : (phương pháp đồ thị) - PT hoành độ giao điểm của ĐTHS y  x 2 và y   x= 3 2 2 là:  x2 x x 2 - PT hoành độ giao điểm của ĐTHS y  x 2 và y  8 8 là:  x2 x x  x=2 - PT hoành độ giao điểm của ĐTHS y  x2 2 và y  là: 4 x 2 x2   x=2 x 4 - PT hoành độ giao điểm của ĐTHS y  8 x2   x= x 4 Trang 42 3 x2 8 và y  là: 4 x Nhận xét sau lời giải 2: Phần hình phẳng cần tính có diện tích S được tách thành tổng của 2 phần hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2. Trong đó S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, y = 0, x= -1, x = 0( phần nằm dưới trục hoành) và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, y = 0, x= 0, x = 2( phần nằm trên trục hoành). Lời giải 3: (phương pháp giả định) Ta có x3 = 0  x = 0  [- 1; 2], khi đó hình phẳng có diện tích là: 2 0 2 1 1 0 2 1 0 1 17  4 (???) 4 4 32 Bài toán diện tích hình phẳng 0 S   x 3 dx   | x 3 |dx   | x 3 |dx   x 3dx   x 3dx Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 15 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải trên: - Sau khi tách thành 2 tích phân, ta đã tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối với sự giả định rằng tích phân đầu tiên mang 0 dấu cộng (tức là | x 0 3 1 |dx   x 3dx ) và tích phân thứ hai 1 2 2 mang dấu trừ (tức là:  | x 3 |dx    x 3dx ). 0 - - 17 ( do diện tích luôn dương). Do vậy ta cần thêm dấu 4 trừ (-) vào sau tất cả các dấu bằng(=) bắt đầu từ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bây giờ ta sẽ trình bày lại như sau: 2 0 094.673.6868 - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y  x 2 và y  x2 là nghiệm 8 x2 của phương trình:  x2  x = 0 8 - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y  x 2 và y  8 là nghiệm x của phương trình: 0 Nhưng điều giả định trên đây đã sai vì kết quả diện tích S = Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 8  x2  x = 2 x - Hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS y  của phương trình : x2 8 và y  là nghiệm 8 x 8 x2   x =4 x 8 2 0 3   S   x dx   | x |dx   | x |dx    x dx   x 3 dx  1 1 0 0  1  4 4  x 0 x 2     1  4    17 (đvdt)     4  4   4 1 4 0 3 2 3 3 Bài 2:(Bài 26 – SGK Giải tích 12 Nâng cao – trang 167). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 7 y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = . 6 Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài 2 này có đủ giả thiết của bài toán 1. - Bây giờ ta sẽ giải bài toán này bằng cả 4 phương pháp nữa, đó là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ra ngoài, phương pháp đồ thị và phương pháp giả định. Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Trang 16 Bài toán diện tích hình phẳng Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 2 2 4 4   2 x2   8 x2  7 x3 x3    8 ln | x |    8 ln 2    x  dx     dx  8  x 8  24 0  24  2 0 2 Nhận xét sau lời giải: - Từ hình vẽ ta thấy rằng phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn bởi 3 đường tự cắt) phải được chia nhỏ thành 2 phần có diện tích tương ứng S1 và S2, trong đó S1 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 41 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 2   4  094.673.6868    x  2 x  2   2 x  2 dx   x 2  2 x  2  6 x  14  dx 2 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng.  Ta có sinx + 1 = 0  sinx = - 1  x = - + k2  (k  Z)  2 2 0 16 (đvdt)   x dx   x  8 x  16 dx  3 0 2 2 4 2 2 Nhận xét sau lời giải: - Qua bài tập trên ta thấy rằng, có những bài tập về tính diện tích hình phẳng thường giả thiết của bài toán là chưa cụ thể, nên trước khi lựa chọn phương pháp giải ta phải cụ thể hóa giả thiết của bài toán. - Từ hình vẽ ta thấy rằng phần hình phẳng cần tính diện tích (được giới hạn bởi 3 đường tự cắt) phải được chia nhỏ thành 2 phần có diện tích tương ứng S1 và S2, trong đó S1 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x + 2, y = - 2x + 2, x = 0, x = 2 và S2 là phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x + 2, y = 6x -14, x = 2, x = 4. - Mới đầu nhìn bài toán có thể thấy hơi khó, nhưng sau khi cụ thể giả thiết và vẽ đồ thị của các hàm số, ta thấy bài toán thật đơn giản. - Bài tập này không nên sử dụng các phương pháp: xét dấu, đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định. Bài 11: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 8 x2 hàm số y  x , y  , y  . x 8 2 094.673.6868 không có nghiệm thuộc đoạn [0; 7 ]. 6 Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là: 7 6 S   | sin x  1 | dx = 0 7 6  (sin x  1)dx = 0 7 3   1 (đvdt) 6 2 Nhận xét sau lời giải 1: - Trong lời giải trên ta đã sử dụng một kết quả cơ bản của toán lượng giác, đó là: sinx  -1  sinx + 1  0  |sinx +1| = sinx + 1 Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài) 7 6 S   | sin x  1 | dx 0 7 6  7  (sin x  1 |)dx  ( cos x  x) 06  0 7 3   1 (đvdt) 6 2 Nhận xét sau lời giải 2: - Do biểu thức f(x) = sinx + 1 xác định dấu trên đoạn [0; 7 ], 6 nên ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra bên ngoài dấu tích phân. Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nhận xét trước khi giải. - Bài tập này ở dạng bài toán 3 ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải. Lời giải : (phương pháp đồ thị) Trang 40 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 17 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Từ hình vẽ trên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Ta có 7 6 S  (sin x  1)dx  0 7 3   1 (đvdt) 6 2 Nhận xét sau lời giải 3: - Vẽ đồ thị hàm số lượng giác là một việc tương đối khó, xong cũng không phức tạp lắm trong bài toán này. - Đồ thị hàm số y = sinx + 1 được suy từ đồ thị hàm số y= sinx bằng cách tịnh tiến đồ hàm số này song song với trục Oy theo vectơ tịnh tiến OM =(0; 1). - Với học sinh trung bình khá trở xuống có thể không thực hiện được theo phương pháp này. - Do phần hình phẳng nằm trên trục hoành nên 7 6 7 6 S   | sin x  1 | dx   (sin x  1)dx 0 0 Lời giải 4: (phương pháp giả định) 7 6 7 6 S   | sin x  1 | dx   (sin x  1)dx  0 0 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) y = x2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2; -2). Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài toán này chưa cụ thể, do vậy việc đầu tiên ta cần cụ thể hóa giả thiết, tức là phải viết phương trình tiếp tuyến của (P) qua A(2; -2). - Sau khi cụ thể hóa giả thiết ta sẽ thấy rằng bài này thuộc vào bài toán 3. - Với bài tập ở dạng bài toán 3 ta nên sử dụng phương pháp đồ thị để giải. Lời giải: (phương pháp đồ thị) Phương trình các tiếp tuyến của (P) qua điểm A(2; - 2) là d1: y = - 2x + 2 và d2 : y = 6x – 14. - Hoành độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của phương trình: - 2x + 2 = 6x – 14  x = 2 - Hoành độ giao điểm của (P) và d1 là nghiệm của phương trình - 2x + 2 = x2 – 2x + 2  x = 0 - Hoành độ giao điểm của (P) và d2 là nghiện của phương trình x2 – 2x + 2 = 6x – 14  x = 4 7 3   1 (đvdt). 6 2 Nhận xét sau lời giải 4: - Do phương trình sinx + 1 = 0 không có nghiệm thuộc đoạn [0; 7 ], nên ta không cần phải tách tích phân mà tiến hành bỏ dấu 6 giá trị tuyệt đối luôn với sự giả định là dấu cộng (+) trước dấu tích phân. 7 3 - Kết quả sau khi tính S    1 > 0 nên việc giả định về 6 2 Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 Bài toán diện tích hình phẳng Bài toán diện tích hình phẳng. dấu ở trên là đúng. Trang 18 Trang 39 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Từ hình vẽ bên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = S1 + S2 + S3 1  3      x  3  ( x 2  4 x  3) dx   x  3  ( x 2  4 x  3) dx 1 0 5     x  3  ( x 2  4 x  3) dx 3 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Bài 3:( Câu I.3 – Đề thi TN THPT năm 2006 – Phân ban). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 và trục hoành. Nhận xét trước khi giải. - Bài 3 này thuộc vào dạng của bài toán 1 nhưng còn thiếu giả thiết là cận lấy tích phân. - Ta sẽ giải bài toán này bằng cả 4 phương pháp nữa, đó là: phương pháp xét dấu, phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt ra ngoài, phương pháp đồ thị và phương pháp giả định. Lời giải 1: (phương pháp xét dấu) Ta có phương trình: - x3 + 3x2 = 0 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3. Và có bảng xét dấu của f(x) = - x3 + 3x2 như sau. x 0 3 f(x) + + Vậy hình phẳng đã cho có diện tích là: 3 3 3  x3 5x 2  1  x3 3x 2  3  x 3 5 x 2  5 109           6 x      ( đvdt) 2  0  3 2 2  3 6  3 1  3  x4  27 S   |  x  3 x | dx   ( x  3x )dx     x 3   (đvdt)  4 0 4 0 0 Nhận xét sau lời giải 2: - Trên đây ta đã sử dụng phương pháp đồ thị để giải bài tập 9, nhận thấy rằng phương pháp rất hay, lời giải sáng sủa mà không phải sử dụng cách đánh giá như trong phần khảo sát thực tế. - Trong cách giải này ta đã tách diện tích S thành tổng của 3 phần có diện tích tương ứng là S1, S2, S3 bởi các đường thẳng x =1 và x= 3; với S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 - 4x + 3 , y = x + 3, x=0, x =1; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=- x2+4x- 3 y = x + 3, x=1, x= 3 và S3 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 - 4x + 3 , y = x + 3, x= 3, x = 5. Nhận xét sau lời giải 1: - Việc xét dấu biểu thức f(x) = - x3 + 3x2 là không khó khăn gì bởi f(x) là một đa thức bậc 3 đối với x. - Ta cũng có thể nhận xét f(x) = - x3 + 3x2 = x2(3 – x)  0 ,  x  [0; 3] Trang 38 Bài toán diện tích hình phẳng. Bài toán diện tích hình phẳng 3 2 3 2 Lời giải 2: (phương pháp đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài) Phương trình: - x3 + 3x2 = 0 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3. 3 2  biểu thức f(x) = - x + 3x xác định dấu trên đoạn [0; 3], nên diện tích của hình phẳng cần tìm là. 3 3 3  x4  27 S   |  x  3 x | dx   ( x  3 x )dx     x 3   (đvdt) 4  4 0 0 0 3 2 3 2 Trang 19 Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. 094.673.6868 Nhận xét sau lời giải 2: - Do biểu thức f(x) = - x3 + 3x2 luôn xác định dấu trên đoạn [0; 3], nên ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra bên ngoài dấu tích phân. Lời giải 3: (phương pháp đồ thị) Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng. - Trong lời giải trên, sau khi xác định cận tích phân và lập công thức tính S, ta đã tiến hành bỏ dấu giá trị tuyệt đối với sự giả định rằng dấu cộng (+) trước dấu tích phân. - Nhưng điều giả sử này là sai vì kết quả của S =  - diện tích luôn dương). Do vậy ta cần thêm dấu trừ (-) vào sau tất cả các dấu bằng(=) bắt đầu từ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bây giờ ta sẽ trình bày lại như sau: 1 1 3 S   x  x dx    0 Từ hình vẽ trên ta có phần gạch chéo chính là phần hình phẳng cần tính diện tích. Ta có 3 3 3  x4  27     x 3    4 0 4 2 S   ( x  3x )dx 0 (đvdt) Nhận xét sau lời giải 3: - Đây là một câu hỏi phụ kèm theo một bài toán khảo sát hàm số nên thường các em đều sử dụng phương pháp đồ thị để giải, bởi rất dễ dàng các em có thể xác định được phần hình phẳng cần tính diện tích. - Do phần hình phẳng nằm trên trục hoành nên ta sẽ có. 3 3 S   |  x 3  3 x 2 | dx   ( x 3  3x 2 )dx 0 0 Lời giải 4: (phương pháp giả định) Ta có phương trình: - x3 + 3x2 = 0 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3. Khi đó hình phẳng cần tìm có diện tích là 3 3 3  x4  27 (đvdt) S   |  x  3 x | dx   ( x  3x )dx     x 3    4 0 4 0 0 3 2 3 2 Nhận xét sau lời giải 4: Trang 20 Bài toán diện tích hình phẳng 094.673.6868  1 ( do 12  x  3 x dx 0 1 2 3 33 4  2 3 1   x  x       4 3 0  3 4  12 Nhận xét sau khi giải. - Sau khi sử dụng cả 4 phương pháp trên ta thấy rằng, ta nên sử dụng 2 phương pháp: đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài và phương pháp giả định để giải bài tập này. Bài 9:( Câu III.2 – Đại học khối A năm2002). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 – 4x + 3| và y = x + 3. Nhận xét trước khi giải. - Giả thiết của bài toán này thuộc dạng của vào bài toán 3 bởi với hàm số y = |x2 – 4x + 3| sẽ tương đương với 2 hàm số là: y = x2 – 4x + 3 ( khi x  (-  ; 1)  (3; +  ) và y = - x2 + 4x - 3 (khi x  (1; 3). - Đây là bài tập mà ta đã đề cập đến trong phần khảo sát thực tế và đã sử dụng phương pháp xét dấu để tìm diện tích. Bây giờ ta sẽ sử dụng thêm phương pháp đồ thị để giải bài toán này. Lời giải 2: (phương pháp đồ thị) Ta xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 ĐTHS đã cho là: |x2 – 4x + 3| = x + 3  x = 0 hoặc x = 5 (xem hình vẽ) Bài toán diện tích hình phẳng. Trang 37