Tài liệu Giáo trình cơ học lý thuyết phần 2

CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 95 7. CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC Yeâu caàu: 1. Naém ñöôïc caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho cô heä chuyeån ñoäng nhö khoái taâm, ñoäng löôïng, xung löôïng cuûa löïc, momen ñoäng löôïng, ñoäng naêng, coâng cuûa löïc. 2. Naém ñöôïc caùc ñònh lyù toång quaùt ñoäng löïc hoïc vaø aùp duïng chuùng giaûi caùc baøi toaùn ñoäng löïc hoïc. 7.1. Ñònh lyù chuyeån ñoäng khoái taâm: 7.1.1. Caùc ñaëc tröng hình hoïc cuûa cô heä: 7.1.1.1. Khoái taâm: 1.- Ñònh nghóa: Khoái taâm laø moät ñieåm hình hoïc cuûa cô heä, kyù hieä u laø C ñöôïc xaùc ñònh nhö sau (Hình 7.1): rC = m r k k (7.1) k M trong ñoù: rC laø vectô ñònh vò khoái taâm C. rk laø vectô ñònh vò chaát ñieåm thöù k. mk laø khoái löôïng chaát ñieåm thöù k. M =  mk laø khoái löôïng cô heä. k Neáu chieáu (7.1) leân heä truïc toïa ñoä Oxyz, ta coù:   mk x k x = k  C M   mk y k  k  yC = M    mk z k z = k  C M  z mk C rk (7.2) rC O x Hình 7.1 (7.2) laø bieåu thöùc xaùc ñònh khoái taâm daïng toïa ñoä Ñeà caùc. y 96 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT 2.- Xaùc ñònh khoái taâm: Neáu cô heä ôû trong tröôøng troïng löïc, chuù yù raèng: P = mg neân trong caùc bieåu thöùc (7.1) vaø (7.2) nhaân töû soá vaø maãu soá vôùi g, ta ñöôïc: rC = P r k k (7.3) k P   Pk xk x = k  C P  k Pk yk   yC = P    Pk zk z = k  C P  (7.4) (7.3) vaø (7.4) chính laø caùc bieåu thöùc xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm. Vaäy trong tröôøng troïng löïc, khoái taâm truøng vôùi troïng taâm cuûa cô heä vaø caùc phöông trình xaùc ñònh troïng taâm seõ ñöôïc söû duïng laïi ñeå tính khoái taâm. Chuù yù: Troïng taâm chæ toàn taïi trong tröôøng troïng löïc, coøn khoái taâm thì luoân luoân toàn taïi khaép moïi nôi. 7.1.1.2. Momen quaùn tính cuûa cô heä: 1.- Ñònh nghóa: • Momen quaùn tính cuûa cô heä ñoái vôùi truïc z laø toång caùc tích khoái löôïng töøng chaát ñieåm cuûa cô heä vôùi bình phöông khoaûng caùch töø chaát ñieåm ñeán truïc z. Kyù hieäu laø J z z zk h k mk (Hình 7.2) J z =  mk hk2 (7.5) k trong ñoù: O ñeán truïc z. yk y xk mk laø khoái löôïng chaát ñieåm thöù k. hk laø khoaûng caùch töø chaát ñieåm thöù k rk x Hình 7.2 • Momen quaùn tính cuûa cô heä ñoái vôùi ñieåm O laø toång caùc tích khoái löôïng töøng chaát ñieåm cuûa cô heä vôùi bình phöông khoaûng caùch töø chaát ñieåm ñeán ñieåm O. Kyù hieäu laø J O (Hình 7.2) J O =  mk rk2 k (7.6) CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 97 Ta coù: J z  0; J O  0 vaø coù thöù nguyeân laø tích khoái löôïng vôùi bình phöông ñoä daøi. Ñôn vò cuûa momen quaùn tính trong heä SI laø kg.m2 Töø Hình 7.2, neáu ta laáy O laøm goác cuûa heä toïa ñoä Oxyz, ta coù: J z =  mk hk2 =  mk ( xk + yk ) k (7.7) 2 k J x =  mk ( yk + zk ) ; J y =  mk ( zk + xk ) Töông töï: 2 k 2 k Töø ñoù suy ra: J x + J y + J z = 2 J O (7.8) Trong kyõ thuaät ngöôøi ta thöôøng bieåu dieãn momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi 1 truïc baèng tích cuûa khoái löôïng vôùi bình phöông baùn kính quaùn tính  : (7.9) Jz = M2 Ngoaøi ra, ngöôøi ta coøn ñöa ra khaùi nieäm tích quaùn tính J xy , J yz , J zx laø nhöõng ñaïi löôïng ñöôïc xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc: J xy =  mk xk yk ; J yz =  mk yk zk ; J zx =  mk zk xk k k k Deã daøng thaáy raèng: J xy = J yx ; J yz = J zy ; J zx = J xz Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi moät truïc ñaëc tröng cho tính quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi chuyeån ñoäng quay quanh truïc. 2.- Momen quaùn tính cuûa moät soá vaät ñoàng chaát: a.- Thanh ñoàng chaát: Giaû söû thanh AB coù khoái löôïng M, chieàu daøi l, boû qua chieàu daøy vaø chieàu roäng. Töø A ta laäp heä toïa ñoä Ñeà caùc vuoâng goùc Axy vôùi Ax laø truïc doïc theo thanh AB, coøn Ay ⊥ AB (Hình 7.3). y xk mk x x B A l Hình 7.3 Ta chia thanh ra voâ soá phaàn töû, vôùi phaàn töû mk coù chieàu daøi xk, caùch A moät M xk khoaûng xk. Ta coù: mk = l J y =  mk xk2 =  k k M xk . xk2 l Toång naøy caøng chính xaùc khi xk → 0. Cho qua giôùi haïn xk → 0, ta ñöôïc: l M M x3 Ml 2  M  J y = lim   xk . xk2  =  x 2 dx = = xk →0 l 3 0 3  k l  0 l l J z = J y ; J x = 0 (boû qua chieàu daøy vaø chieàu roäng) (7.10) 98 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT b.- Vaønh troøn ñoàng chaát: Giaû söû vaønh troøn ñoàng chaát coù khoái löôïng M, baùn kính R coù taâm O. Ta laäp heä toïa ñoä Oxyz vôùi Ox vaø Oy laø caùc ñöôøng kính vaønh troøn, Oz vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa vaønh troøn. Ñeå tính momen quaùn tính ñoái vôùi truïc z, ta chia vaønh troøn thaønh caùc phaàn töû coù khoái löôïng mk (Hình 7.4). z y O R mk x Hình 7.4 J z =  mk R 2 = R 2  mk = MR 2 k (7.11) k Ñeå tính J x vaø J y , ta coù: 2 J O = J x + J y + J z Chuù yù: J x = J y ; J z = J O Vaäy: 2 J O = J x + J x + J O  J x = J y = J O MR 2 = 2 2 (7.12) c.- Taám troøn ñoàng chaát: Cho taám troøn ñoàng chaát khoái löôïng M, baùn kính R, ñeå tính momen quaùn tính ñoái vôùi truïc Oz ñi qua taâm O vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng taám, ta chia taám ra caùc phaàn töû laø caùc hình vaønh khaên ñoàng taâm O coù khoái löôïng mk, baùn kính rk vaø beà daøy rk (Hình 7.5). mk = z O x y rk mk rk Hình 7.5 M 2M .2 rk rk = 2 rk rk 2 R R J z =  mk rk2 = k 2M R2  r r 3 k k k Cho qua giôùi haïn rk → 0, ta ñöôïc: 2M Jz = 2 R R 2M 3 MR 2 r  r = r dr = k k R2  2 0 3 k Töông töï, ta tính ñöôïc: J x = J y = MR 2 4 (7.13) (7.14) 3.- Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi caùc truïc song song: Ñònh lyù Huygen: Momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi moät truïc naøo ñoù baèng momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc ñi qua khoái taâm song song vôùi truïc aáy coäng vôùi tích khoái löôïng vôùi bình phöông khoaûng caùch 2 truïc. J zO = J zC + M .d 2 (7.15) CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 99 Chöùng minh: Hai truïc caàn laáy momen quaùn tính cuûa vaät song song vôùi nhau, ta choïn 2 heä toïa ñoä Ox’y’z’ vaø Cxyz (C laø khoái taâm vaät) sao cho Oy vaø Cy truøng nhau (Hình 7.6). Theo ñònh nghóa momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi moät truïc, ta coù: z' z d z'k zk h k mk r'k O C rk yk  y'k y y' xk x'k x' x Hình 7.6 J zO =  mk ( xk2 + yk2 ) k J zC =  mk ( xk2 + yk2 ) k  xk = xk Do caùch choïn heä toïa ñoä, ta coù:  (d laø khoaûng caùch 2 truïc).  y = y + d  k k 2 Vaäy: J zO =  mk  xk2 + ( yk + d )  =  mk ( xk2 + yk2 ) +  mk d 2 +  mk 2d . yk   k k k k Chuù yù:  m 2d . y k k = 2d  mk . yk = 2d .M . yC (vôùi yC laø toïa ñoä cuûa khoái taâm C k k treân truïc y ñoái vôùi heä truïc Cxyz neân yC = 0 . Vaäy: J zO = J zC + M .d 2 Töø ñònh lyù Huygen, ta nhaän thaáy momen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi caùc truïc song song thì momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc ñi qua khoái taâm laø nhoû nhaát Ngöôøi ta aùp duïng ñònh lyù Huygen (coâng thöùc (7.15)) ñeå tính momen quaùn tính ñoái vôùi truïc khi momen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc song song vôùi noù. Ví duï: Trong ví duï tính momen quaùn tính cuûa thanh ñoàng chaát, ta ñaõ tính ñöôïc momen quaùn tính cuûa thanh ñoái vôùi truïc ñi qua ñaàu thanh laø Ml 3 Jy = 3 y' y C l 2 x l 2 Hình 7.7 x' 100 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Töø ñoù ta deã daøng suy ra coâng thöùc tính momen quaùn tính cuûa thanh ñoái vôùi truïc vuoâng goùc ñi qua ñieåm giöõa cuûa thanh (khoái taâm C) (Hình 7.7). Theo ñònh lyù Huygen, ta coù: l +M  2 J y = J C y 2 2 Suy ra: J C y Ml 2 Ml 2 Ml 2 l = J y − M   = − = 3 4 12 2 4.- Momen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc baát kyø qua goác toïa ñoä: Cho vaät raén vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeà caùc vuoâng goùc Oxyz. Ta caàn tính momen quaùn tính cuûa noù ñoái vôùi truïc O (Hình 7.8). Theo ñònh nghóa (7.5), ta coù: z  zk J  =  mk hk2 Hk k vôùi:   hk laø khoaûng caùch töø chaát ñieåm mk ñeán truïc O ( OM2k = OMk ) 2 2 k 2 k xk = ( rk ) = xk2 + yk2 + zk2 2 x + y + z = (x + y + z 2 k   hk2 = OMk2 − OHk2 Chuù yù: 2 k 2 k 2 k )( cos  + cos 2 2 vôùi: rk y yk C x  + cos  ) OH = ( rk ,  ) = ( xk cos  + yk cos  + zk cos  ) 2 2 k Mk 2 Hình 7.8 2  laø vectô chæ phöông cuûa truïc     , laø goùc giöõa truïc  vaø Ox, Oy, Oz Vaäy: 2 J  =  mk ( xk2 + yk2 + zk2 )( cos2  + cos2  + cos2  ) − ( xk cos  + yk cos  + zk cos  )    k =  mk ( yk2 + zk2 ) cos2  +  mk ( zk2 + xk2 ) cos2  +  mk ( xk2 + yk2 ) cos2  k k k − 2 mk xk yk cos  cos  −2 mk yk zk cos  cos  − 2 mk zk xk cos  cos  k k k = J x cos  + J y cos  + J z cos  − 2 J xy cos  cos  − 2 J yz cos  cos  − 2 J zx cos  cos  2 2 2 Töø ñoù, ta coù ñònh lyù sau: Momen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc  baát kyø qua goác toïa ñoä ñöôïc xaùc ñònh baèng bieåu thöùc: J  = J x cos2  + J y cos2  + J z cos2  − −2 J xy cos cos  − 2 J yz cos  cos  − 2 J zx cos  cos  trong ñoù:    , laø goùc chæ phöông cuûa truïc  trong heä toïa ñoä Oxyz (7.16) CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 101 5.- Momen quaùn tính cuûa tieát dieän phaúng: Trong moät soá tröôøng hôïp, ta caàn tính momen quaùn tính cuûa tieát dieän phaúng ñoái vôùi moät truïc naøo, khi ñoù ta coi tieát dieän coù khoái löôïng treân moät ñôn vò dieän tích laø ñôn vò neân ta coù theå thay khoái löôïng M trong caùc coâng thöùc tính momen quaùn tính baèng dieän tích S cuûa tieát dieän. Ví duï: Momen quaùn tính cuûa tieát dieän troøn ñoái vôùi truïc Oz vuoâng goùc vôùi dieän tích ñi qua taâm O cuûa noù ñöôïc tính baèng coâng thöùc: MR 2 SR 2 ( R ) R  R4 = = = = 2 2 2 2 2 Theo (7.13): J Oz 2 Bảng 7.1: Momen quaùn tính moät soá vaät ñoàng chaát Daïng Vaät ñoàng chaát Thanh maûnh khoái löôïng M, daøi l Momen quaùn tính ñoái vôùi truïc Ml 2 Jx = Jz = 12 Jy = 0 lz y C x z Vaønh troøn khoái löôïng M, baùn kính R MR 2 Jx = Jy = 2 2 J z = MR y O R x z Maët troøn khoái löôïng M, baùn kính R MR 2 Jx = Jy = 4 2 MR Jz = 2 y O R x y Taám chöõ nhaät khoái löôïng M, kích thöôùc a×b b 2 b 2 x O a 2 z Truï troøn khoái x löôïng M, baùn kính R, cao h b2 a2 ; Jy = M 12 12 2 2 a +b Jz = M 12 Jx = M a 2 R R Truïc ñaëc: J y = x h 2 z z M Jx = Jz = 4  2 h2  R + 3    Truïc roãng moûng: J y = MR 2 h 2 Jx = Jz = y MR 2 12 y M 2  2 h2  R + 6    102 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Daïng Vaät ñoàng chaát Quaû caàu khoái löôïng M, baùn kính R Momen quaùn tính ñoái vôùi truïc Quaû caàu ñaëc: z z Jx = J y = Jz = O x y O x y 2 MR 2 5 Voû quaû caàu moûng: Jx = J y = Jz = 2 MR 2 3 6.- Truïc quaùn tính chính vaø truïc quaùn tính chính trung taâm: Ñònh nghóa: Truïc Oz ñöôïc goïi laø quaùn tính chính taïi O neáu thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau: J zx = J zy = 0 Truïc Oz ñöôïc goïi laø quaùn tính chính trung taâm neáu noù laø truïc quaùn tính chính vaø ñi qua khoái taâm. Chuù yù: Neáu 2 truïc Ox vaø Oy vuoâng goùc laø caùc truïc quaùn tính chính thì truïc Oz vuoâng goùc vôùi chuùng cuõng laø truïc quaùn tính chính. ➢ Tính chaát truïc quaùn tính chính: – Ngöôøi ta cuõng chöùng minh raèng taïi moãi ñieåm cuûa vaät raén toàn taïi 3 truïc quaùn tính chính vuoâng goùc vôùi nhau. – Vaät raén ñoàng chaát coù truïc ñoái xöùng thì truïc ñoù laø truïc quaùn tính chính trung taâm. – Vaät raén ñoàng chaát coù maët phaúng ñoái xöùng thì truïc baát kyø thaúng goùc vôùi maët phaúng ñoái xöùng laø truïc quaùn tính chính taïi ñieåm giao cuû a maët phaúng ñoái xöùng vaø truïc. Chuù yù: Vì khoái taâm cuûa vaät raén coù maët phaúng ñoái xöùng naèm ngay treân maët phaúng ñoái xöùng neân truïc quaùn tính chính trung taâm laø truïc thaúng goùc vôùi maët phaúng ñoái xöùng qua khoái taâm. Töø nhöõng tính chaát neâu treân, ta thaáy ñeå tính momen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc baát kyø thì ta chæ caàn bieát momen quaùn tính cuûa noù ñoái vôùi 3 truïc quaùn tính chính vuoâng goùc taïi khoái taâm (töùc heä truïc quaùn tính chính trung taâm). Trong soå tay kyõ thuaät ngöôøi ta thöôøng cho saün caùc giaù trò momen quaùn tính cuûa vaät raén ñoái vôùi truïc quaùn tính chính trung taâm. CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 103 7.1.2. Ñònh lyù chuyeån ñoäng khoái taâm: 7.1.2.1. Ñònh lyù: Khoái taâm cuûa moät cô heä chuyeån ñoäng nhö moät chaát ñieåm taïi ñoù taäp trung khoái löôïng toaøn boä cô heä döôùi taùc ñoäng cuûa löïc baèng vectô chính caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä. Chöùng minh: Giaû söû cô heä coù n chaát ñieåm khoái löôïng m1 , m2 ,..., mn . Moãi chaát ñieåm chòu taùc duïng cuûa ngoaïi löïc Fke vaø noäi löïc Fki . AÙp duïng ñònh luaät 2 Newton cho moãi chaát ñieåm: (k = 1, n ) mk ak = Fke + Fki (*) Laáy toång 2 veá ñaúng thöùc (*) töø 1 ñeán n : m a =  F +  F k e k k k k i k k Chuù yù: Töø M .rC =  mk rk suy ra M .aC =  mk ak vaø k k F i k = 0 (vì noäi löïc trong k cô heä töøng caëp baèng nhau vaø ngöôïc chieàu) neân ta coù: M .aC =  Fke (7.17) k Ñònh lyù ñaõ ñöôïc chöùng minh. 7.1.2.2. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng khoái taâm: 1.- Chieáu phöông trình vectô (7.17) leân caùc truïc cuûa heä toïa ñoä Oxyz:  e  M . xC =  Fk x k  e  M . yC =  Fk y k   M . zC =  Fke z  k (7.18) (7.18) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng khoái taâm daïng toïa ñoä Ñeà caùc. Noù ñöôïc giaûi vôùi caùc ñieàu kieän ñaàu cuûa khoái taâm C: 0 0 0   xC = xC ; yC = yC ; zC = zC t = 0:  0 0 0   xC = xC ; yC = yC ; zC = zC (7.19) 2.- Trong tröôøng hôïp bieát quyõ ñaïo chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm, ta coù theå chieáu phöông trình (7.17) leân caùc truïc cuûa heä toïa ñoä töï nhieân C nb: 104 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT  d 2 xC e  M dt 2 =  Fk x k  2  VC =  Fken M k   e 0 =  F kb  k  (7.20) (7.20) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng khoái taâm daïng toïa ñoä töï nhieân. 7.1.2.3. Ñònh lyù baûo toaøn chuyeån ñoäng khoái taâm: 1.- Töø (7.17), ta nhaän thaáy neáu vectô chính heä ngoaïi löïc baèng 0: F e k = 0 thì: k aC = 0  vC = const = vC0 hoaëc vC = 0 (7.21) Töùc laø: khoái taâm cô heä chuyeån ñoäng thaúng ñeàu hoaëc ñöùng yeân. 2.- Töø (7.17), ta nhaän thaáy neáu hình chieáu vectô chính heä ngoaïi löïc leân moät truïc toïa ñoä naøo ñoù baèng 0, ví duï:  Fkex = 0 thì theo truïc ñoù khoái taâm chuyeån ñoäng thaúng k ñeàu hoaëc ñöùng yeân: xC = 0  xC = const = xC0 hoaëc xC = 0 (7.22) 7.1.3. AÙp duïng: y Ví duï 7.1: Xaùc ñònh phaûn löïc cuûa neàn leân truïc quay cuûa moät moâ tô ñöôïc moâ hình baèng khoái löôïng leäch taâm moät ñoaïn OM = e vôùi khoái löôïng leäch taâm laø m2. Voû moâ tô coù khoái löôïng m1. Truïc quay ñang quay ñeàu vôùi vaän toác goùc . Baøi giaûi: Do phaûn löïc ñoäng cô gaén chaët vôùi neàn coù caùc phaûn löïc N x vaø N y  O  b P2 x2 P1 Ny Nx A (Hình 7.9). Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa ñoäng cô: P1 , P2 , N x , N y ( M y2 ) x a Hình 7.9 Chuù yù: P1 = m1 g ; P2 = m2 g laø troïng löôïng voû ñoäng cô vaø khoái löôïng leäch taâm. AÙp duïng ñònh lyù chuyeån ñoäng khoái taâm (7.18):  M . xC = N x   M . yC = N y − P1 − P2 (a) CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 105 Maø theo (7.2):   M . xC = m1 x1 + m2 x2 = m1a + m2 ( a + e cos )    M . yC = m1 y1 + m2 y2 = m1a + m2 ( a + e sin  )   M . xC = m1a + m2 ( a + e cos t ) Hay:    M . yC = m1a + m2 ( a + e sin t ) vôùi a,b laø toïa ñoä taâm O vaø laø caùc haèng soá;  = .t 2   M . xC = −m2 e cos t   2   M . yC = −m2 e sin t (b) Töø (a) vaø (b) ta coù:  N = Mx = −m e 2 cos t C 2  x 2  N y = MyC + P1 + P2 = −m2 e cos t + m1 g + m2 g  = m1 g + m2 ( g − e 2 cos t )  Ví duï 7.2: Tìm chuyeån ñoäng. Chieác thuyeàn coù chieàu daøi AB = l, troïng löôïng Q ñang ñaäu treân maët nöôùc. Ñaàu thuyeàn coù moät ngöôøi troïng löôïng P ñöùng (Hình 7.10). Hoûi thuyeàn dòch chuyeån moät ñoaïn bao nhieâu neáu ngöôøi ñoù ñi töø ñaàu thuyeàn ñeán cuoái thuyeàn. Boû qua söùc caûn cuûa nöôùc. l N A B P Q A B P Baøi giaûi: x Xeùt heä goàm thuyeàn vaø ngöôøi. Löïc taùc ñoäng leân heä: P, Q , N ( N O a ) Q x b Hình 7.10 N laø phaûn löïc cuûa nöôùc coù phöông vuoâng goùc maët nöôùc do boû qua löïc caûn. Choïn truïc Ox naèm ngang. Ta nhaän thaáy: F e kx = 0 (toång hình chieáu caùc ngoaïi löïc leân truïc Ox baèng 0). k Theo (7.1.2.3), vaän toác khoái taâm heä theo phöông x ñöôïc baûo toaøn, töùc: xC = xC ( 0) Vì luùc ñaàu heä ñöùng yeân neân: xC (0) = 0 . Vaäy: xC = 0  xC = xC ( 0) , töùc toïa ñoä khoái taâm heä theo truïc x laø khoâng ñoåi. xC ( 0) laø toïa ñoä x cuûa khoái taâm taïi thôøi ñieåm ñaàu, noù baèng: 106 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT MxC = mP xP ( 0 ) + mQ xQ ( 0 ) = P Q a+ b g g xC laø toïa ñoä x cuûa khoái taâm taïi thôøi ñieåm ngöôøi ñi ñeán B. Giaû söû luùc ñoù thuyeàn ñi ñöôïc moät ñoaïn laø x MxC = mP xP + mQ xQ = Suy ra: P Q ( a + l − x ) + (b + x ) g g P Q P Q a + b = (a + l − x ) + (b + x ) g g g g Giaûi ra: x = − P l P +Q Thuyeàn ñi ngöôïc moät ñoaïn: P l P+Q 7.2. Ñònh lyù bieán thieân ñoäng löôïng: 7.2.1. Ñoäng löôïng: 7.2.1.1. Ñoäng löôïng chaát ñieåm laø moät ñaïi löôïng vectô baèng tích khoái löôïng chaá t ñieåm vôùi vaän toác cuûa noù: m.v 7.2.1.2. Ñoäng löôïng cô heä baèng toång ñoäng löôïng caùc chaát ñieåm. Kyù hieäu ñoäng löôïng cô heä laø Q , ta coù: Q =  mk vk k 7.2.1.3. Coâng thöùc tính ñoäng löôïng cô heä: Chuù yù: Töø MrC =  mk vk , ta coù: MVC =  mk vk = Q . Vaäy ñoäng löôïng cô heä k k baèng khoái löôïng nhaân vôùi vaän toác khoái taâm: Q = MVC (7.23) 7.2.2. Xung löôïng cuûa löïc: 7.2.2.1. Xung löôïng nguyeân toá: Xung löôïng nguyeân toá laø ñaïi löôïng baèng tích cuûa löïc nhaân vôùi vi phaân thôøi gian dt: ds = Fdt bieåu thò taùc duïng cuûa löïc trong khoaûng thôøi gian dt. 7.2.2.2. Xung löôïng höõu haïn: Xung löôïng höõu haïn baèng toång caùc xung löôïng nguyeân toá. t1 S =  d S =  Fdt t0 bieåu thò taùc duïng cuûa löïc trong khoaûng thôøi gian ( t0 , t1 ) (7.24) CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 107 7.2.3. Ñònh lyù bieán thieân ñoäng löôïng: 7.2.3.1. Ñònh lyù 1: Ñaïo haøm ñoäng löôïng cuûa cô heä theo thôøi gian baèng vectô chính caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä. dQ =  Fke dt k (7.25) Chöùng minh: Giaû söû cô heä coù n chaát ñieåm coù khoái löôïng m1 , m2 ,..., mn chòu taùc duïng cuûa caùc löïc F1e , F2e ,..., Fne . AÙp duïng ñònh luaät II Newton cho töøng chaát ñieåm: (k = 1, n ) mk ak = Fke + Fki trong ñoù: Fki laø noäi löïc taùc duïng leân chaát ñieåm thöù k. Laáy toång 2 veá phöông trình treân theo k: m a =  F +  F k e k k k i k k Do tính chaát noäi löïc: k F i k = 0 vaø chuù yù ak = k m k k dvk , ta coù: dt dvk =  Fke dt k Hay: d mk vk =  Fke  dt k k Hay: d Q =  Fke dt k 7.2.3.2. Ñònh lyù 2: Bieán thieân ñoäng löôïng trong khoaûng thôøi gian ( t0 , t1 ) baèng toång xung löôïng caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân heä trong khoaûng thôøi gian ñoù. t1 Q1 − Q0 =  S =   Fke dt e k k Chöùng minh: Töø (7.25), ta coù: dQ =  Fke dt k t0 (7.26) 108 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Laáy tích phaân 2 veá töø t0 ñeán t1 : t1 t1  dQ =   F dt e k t0 k t0 t1 Hay: Q1 − Q0 =   Fke dt =  Ske k t0 k 7.2.4. Ñònh lyù baûo toaøn ñoäng löôïng: 7.2.4.1. Ñònh lyù 3: Neáu vectô chính caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä baèng 0, ñoäng löôïng cô heä baûo toaøn (khoâng ñoåi). F e k = 0  Q = const = Q ( 0) k Chöùng minh: Ñònh lyù ñöôïc suy ra tröïc tieáp töø (7.26) 7.2.4.2. Ñònh lyù 4: Neáu hình chieáu vectô chính caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä chieáu leân moät truïc naøo ñoù baèng 0, theo truïc ñoù ñoäng löôïng baûo toaøn. Chöùng minh: Töø (7.25) vaø (7.26) chieáu leân caùc truïc cuûa heä toïa ñoä Ñeà caùc vuoâng goùc, ta coù  dQx e  dt =  Fk x k   dQ y =  Fkey  k  dt  dQz =  Fkez  k  dt (a) t1  e Q − Q = S =  x1 k kx k  Fkex dt x0  t0  t1  e Q − Q = S =  y1 k k y k  Fkey dt y0 t0   t1 Q − Q = S e = Fkez dt   z1 z0 kz   k k t0  (b) Töø (a) vaø (b), giaû söû F e kx k = 0 , suy ra: Qx1 − Qx0 = const CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 109 7.2.5. AÙp duïng: Ví duï 7.3: Moät chieác xe khoái löôïng M ñang ñöùng yeân. Moät vieân ñaïn bay ngang vôùi vaän toác v ñaäp vaøo xe (Hình 7.11). Hoûi xe chuyeån ñoäng theá naøo, bieát khoái löôïng vieân ñaïn laø m vaø boû qua ma saùt giöõa xe vaø maët ñöôøng, giaû söû sau khi vieân ñaïn ñaäp vaøo xe noù cuøng vôùi xe chuyeån ñoäng. Baøi giaûi: Khaûo saùt xe vaø vieân ñaïn. v Caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân heä: ( mg , Mg , N , N ) 1 N1 N2 m.g 2 Ta choïn truïc Ox naèm ngang (Hình 7.11), nhaän thaáy:  Fkex = 0 x O M.g Hình 7.11 k Theo ñònh lyù baûo toaøn ñoäng löôïng, ta coù: (*) Qx1 = Qx0 vôùi: Qx1 laø hình chieáu vectô ñoäng löôïng cuûa heä leân truïc x sau khi vieân ñaïn ñaäp vaøo xe. Giaû söû khi ñoù vaän toác xe laø vectô, ta coù: Qx1 = ( m + M ) v1 Qx0 laø hình chieáu vectô ñoäng löôïng cuûa heä leân truïc x tröôùc khi vieân ñaïn ñaäp vaøo xe: Qx0 = m.v Vaäy, töø (*), ta coù: ( M + m ) v1 = m.v  v1 = m v m+M Ví duï 7.4: Doøng nöôùc chaûy töø voøi phun naèm ngang vôùi vaän toác v = 10 m vaø ñaäp vaøo töôøng chaén thaúng s ñöùng. Bieát ñöôøng kính cuûa ñaàu voøi phun d = 4cm . Boû qua söï neùn cuûa doøng nöôùc vaø giaû söû sau khi ñaäp vaøo töôøng, nöôùc chaûy doïc theo töôøng. Xaùc ñònh aùp löïc cuûa doøng nöôùc leân töôøng chaén (Hình 7.12). a b' b' b b a' x N O a P vdt a' Baøi giaûi: Hình 7.12 c c c' c' 110 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Xeùt khoái nöôùc aabbcc vôùi caùc maët caét bb vaø cc baét ñaàu chaûy doïc theo töôøng. Giaû söû sau thôøi gian dt khoái nöôùc chaûy ñeán vò trí aabbcc . AÙp duïng ñònh lyù bieán thieân ñoäng löôïng cho khoái nöôùc aabbcc, ta coù: Q1 − Q0 =  S =  e k k vôùi: k t0 +dt  (a) Fke dt t0 Q0 laø ñoäng löôïng khoái nöôùc taïi thôøi ñieåm t0: Q0 = Qaaaa + Qaabbcc laø Q1 ñoäng löôïng khoái nöôùc taïi thôøi ñieåm t0+dt: Q1 = Qaabbcc + Qbbbbcccc Suy ra: Q1 − Q0 = Qbbbbcccc − Qaaaa Löïc taùc duïng leân khoái nöôùc goàm troïng löôïng P vaø phaûn löïc N . Chieáu ñaúng thöùc (a) leân truïc x, ta coù: −Qaaaa = t0 +dt  (b) − Ndt = − Ndt t0 Ta coù: Qaaaa = maaaav vôùi: maaaa =  .Vaaaa ,  laø khoái löôïng rieâng cuûa nöôùc; 2 Vaaaa laø theå tích khoái nöôùc aaaa: Vaaaa d  =    vdt 2   d 2  d2 2 v Thay vaøo (b): −    vdt  .v = − N .dt  N =  . 4   2   Thay soá: N = 125,6 ( N ) 7.3. Ñònh lyù bieán thieân momen ñoäng löôïng: 7.3.1. Momen ñoäng löôïng: 7.3.1.1. Momen ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi moät ñieåm O (hoaëc ñoái vôùi truïc z) laø momen cuûa vectô ñoäng löôïng cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi ñieåm (hoaëc truïc) ñoù. lO = mO ( mv ) lz = mz ( mv ) 7.3.1.2. Momen ñoäng löôïng cuûa cô heä ñoái vôùi 1 ñieåm O (hoaëc ñoái vôùi truïc z) baèng toång momen ñoäng löôïng cuûa caùc chaát ñieåm cuûa cô heä ñoái vôùi ñieåm (hoaëc truïc) ñoù. LO =  mO ( mk vk ) k Lz =  mz ( mk vk ) k CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 7.3.1.3. Tính momen ñoäng löôïng cuûa vaät raén quay quanh truïc coá ñònh: 111 z Giaû söû vaän toác goùc laø  (Hình 7.13): Lz =  mz ( mk vk ) =  hk . ( mk hk  ) =   mk hk2 = J z k k k Vaäy: Lz = J z (7.27) vk hk mk 7.3.2. Ñònh lyù bieán thieân momen ñoäng löôïng: 7.3.2.1. Ñònh lyù 1: Ñaïo haøm theo thôøi gian vectô momen ñoäng löôïng cuûa cô heä ñoái vôùi ñieåm O baèng toång vectô momen caùc ngoaïi löïc ñoái vôùi ñieåm ñoù: ( ) d LO =  mO Fke dt k   Hình 7.13 (7.28) 7.3.2.2. Ñònh lyù 2: Ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa cuûa momen ñoäng löôïng cô heä ñoái vôùi truïc z baèng toång momen caùc ngoaïi löïc ñoái vôùi truïc ñoù: ( ) d Lz =  mz Fke dt k (7.29) Chöùng minh: Tröôùc heát ta chöùng minh ñaúng thöùc (7.28). Giaû söû heä coù n chaát ñieåm, aùp duïng ñònh luaät II Newton cho töøng chaát ñieåm: (k = 1, n ) mk ak = Fke + Fki Hay: mk ( k = 1, n ) dvk = Fke + Fki dt Nhaân höõu höôùng 2 veá vôùi vectô ñònh vò chaát ñieåm rk , ta coù: rk  mk dvk = rk  Fke + rk  Fki dt ( k = 1, n ) Laáy toång ñoái vôùi caùc chaát ñieåm: dvk =  rk  Fke +  rk  Fki dt k k ( k = 1, n ) d rk  mk vk =  rk  Fke +  rk  Fki  dt k k k ( k = 1, n ) r  m k k k Do tính chaát noäi löïc: r  F k k i k =0 112 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Chuù yù: r m v k k k = LO vaø k Vaäy: r  F k e k ( ) =  mO Fke k k ( ) d LO =  mO Fke dt k Ñeå chöùng minh ñònh lyù 2, ta chieáu 2 veá cuûa (7.28) leân truïc Oz: ( ) dL    hcz  O  = hcz   mO Fke   k   dt  Hay: ( ) d Lz =  mz Fke dt k 7.3.2.3. Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vaät raén quay quanh truïc coá ñònh: Vaät raén quay quanh truïc coá ñònh z, ta coù (7.27): Lz = J z Thay vaøo (7.29), ta ñöôïc: d ( J z ) =  mz Fke dt k ( ) J  = m (F ) z z e k k Chuù yù:  =  , vaäy, ta coù: ( ) J z =  mz Fke k (7.30) 7.3.3. Ñònh lyù baûo toaøn momen ñoäng löôïng: 7.3.3.1. Ñònh lyù 3: Neáu toång momen caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä ñoái vôùi ñieåm O baèng 0 thì momen ñoäng löôïng cô heä ñoái vôùi ñieåm ñoù baûo toaøn (khoâng ñoåi). Chöùng minh: Töø (7.28), neáu cho m O k Hay: LO = const = LO ( 0) ( F ) = 0 thì: ddtL e k O =0 (7.31) 7.3.3.2. Ñònh lyù 4: Neáu toång momen caùc ngoaïi löïc taùc duïng leân cô heä ñoái vôùi truïc z baèng 0 thì momen ñoäng löôïng cô heä ñoái vôùi truïc ñoù baûo toaøn. CHÖÔNG VII: CAÙC ÑÒNH LYÙ TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 113 Chöùng minh: Töø (7.29), neáu cho m (F z k e k ) = 0 thì: ddtL z =0 Hay: Lz = const = Lz ( 0) (7.32) 7.3.4. AÙp duïng: Ví duï 7.5: Vieát phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng con laéc vaät lyù coù khoái löôïng M, momen quaùn tính ñoái vôùi truïc quay laø J vaø khoaûng caùch töø khoái taâm ñeán truïc quay laø a (Hình 7.14). O Baøi giaûi: RO a C ~ Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa con laéc vaät lyù. M.g Caùc löïc taùc duïng: M .g, RO Hình 7.14 AÙp duïng ñònh lyù momen ñoäng löôïng ñoái vôùi truïc ñi qua O vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa löïc (7.30): ( ) J Oz =  mOz Fke k J  = − Mg.a sin  Giaû söû  beù (xeùt chuyeån ñoäng beù cuûa con laéc quay quanh O) thì sin   , ta coù: J  + Mga = 0 Hay:  + Mga  =0 J Ñaët: Mga = k2 J 0 Ta coù:  + k 2 = 0 , nghieäm cuûa noù coù daïng:  = Asin ( kt +  ) vôùi A,  laø caùc haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu:  =  O t = 0:   =  O (*) laø phöông trình moâ taû dao ñoäng con laéc vôùi: A laø bieân ñoä cöïc ñaïi cuûa dao ñoäng; k= Mga laø taàn soá voøng. J Chu kyø dao ñoäng: T = 2 J = 2 k Mga (*) 114 CÔ HOÏC LYÙ THUYEÁT Ví duï 7.6: Taám phaúng coù daïng hình troøn ñöôïc xem laø ñóa troøn ñoàng chaát coù khoái löôïng M, baùn kính R coù theå quay quanh truïc thaúng ñöùng ñi qua taâm O. Xaùc ñònh vaän toác goùc cuûa ñóa quay quanh O khi treân ñóa coù ngöôøi khoái löôïng m ñi doïc theo chu vi ñóa vôùi vaän toác v. Bieát luùc ñaàu heä ñöùng yeân (Hình 7.15). Baøi giaûi: Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa heä goàm ñóa vaø ngöôøi. ( Caùc löïc taùc duïng: mg , Mg , R1 , R2 m Ta nhaän thaáy: k z ) z R 2 v O M.g m.g ~ R1 Hình 7.15 (F ) = 0 e k Suy ra theo ñònh luaät baûo toaøn momen ñoäng löôïng: Lz = Lz ( 0) Luùc ñaàu, heä ñöùng yeân: Lz ( 0) = 0 . Tính Lz : giaû söû khi ngöôøi ñi vaän toác v, ñóa coù vaän toác goùc , ta coù: Lz = J z + m ( v + R ) R ; J z = MR 2 2 MR 2 m v  + mvR + mR 2 = 0   = − Vaäy: . M 2 +m R 2 Ñóa quay theo chieàu ngöôïc laïi chieàu choïn treân hình veõ vôùi vaän toác goùc: = 2m v . M + 2m R 7.4. Ñònh lyù bieán thieân ñoäng naêng: 7.4.1. Ñoäng naêng: 7.4.1.1. Ñoäng naêng cuûa chaát ñieåm: Ñoäng naêng cuûa chaát ñieåm laø ñaïi löôïng voâ höôùng baèng ½ tích khoái löôïng chaát 1 ñieåm vôùi bình phöông vaän toác cuûa noù: mv 2 2 7.4.1.2. Ñoäng naêng cô heä: Ñoäng naêng cuûa cô heä baèng toång ñoäng naêng caùc chaát ñieåm. Kyù hieäu ñoäng naêng T, ta coù: T =  mk k vk2 2 (7.33)