Tài liệu Giáo trình xử lý số liệu trắc địa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƯỜNG HÀ NỘI KHOA TRẮC ĐỊA-BẢN ĐỒ GIÁO TRÌNH XỬ LÝ SỐ LIỆU TRẮC ĐỊA PGS.TS. Đặng Nam Chinh (Chủ biên) ThS. Bùi Thị Hồng Thắm Hà Nội, 2012 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình đào tạo kỹ sư trắc địa, sinh viên đã được học môn Lý thuyết sai số là môn học bắt buộc theo chương trình khung của ngành kỹ thuật trắc địa - Bản đồ. Nội dung của môn học Lý thuyết sai số đã cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ sở về sai số trong đo đạc, các tính chất của sai số đo và các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác kết quả đo. Cũng trong môn học này, sinh viên đã được giới thiệu về nguyên lý số bình phương nhỏ nhất - một công cụ toán học quan trọng trong xử lý số liệu đo. Liên quan đến ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất, môn học Lý thuyết sai số cũng đã cung cấp 2 phương pháp bình sai cơ bản là phương pháp bình sai điều kiện và phương pháp bình sai gián tiếp. Trong giáo trình này không đề cập nhiều đến phương pháp bình sai điều kiện vì đã được trình bày trong môn học Lý thuyết sai số và trong trong thực tế hiện nay phương pháp bình sai điều kiện cũng ít được sử dụng. Như vậy, môn học Lý thuyết đã trang bị cho người học kiến thức cơ sở (nền tảng) cho các môn học chuyên môn của ngành trắc địa. Nhờ những kiến thức đó người học nắm bắt và giải quyết được những bài toán thường gặp trong trắc địa như phân tích đánh giá kết quả đo, xử lý bình sai các mạng lưới trắc địa đơn giản thường gặp trong thực tế. Tiếp theo môn học Lý thuyết sai số, mỗi kỹ sư trắc địa cần được trang bị thêm kiến thức về xử lý số liệu, nội dung này được giới thiệu trong môn học Xử lý số liệu trắc địa. Mục đích của môn học này là tiếp tục củng cố những kiến thức lý thuyết đã học trong môn Lý thuyết sai số, vận dụng và mở rộng thêm những kiến thức đó vào giải quyết một số bài toán thường gặp trong trắc địa như bình sai các mạng lưới trắc địa, xử lý các tập hợp dữ liệu đo phân bố trong không gian hay các dữ liệu quan trắc theo chuỗi thời gian và nội suy dựa vào các số liệu đo rời rạc, xác định các tham số của một hàm số theo phương pháp xấp xỉ hàm dựa trên số liệu thực nghiệm. Đây là những bài toán được ứng dụng trong lĩnh vực địa thống kê (Geostatistics). Có thể thấy rằng, xử lý số liệu trắc địa không chỉ là vấn đề bình sai lưới mà còn gồm nhiều nội dung khác gắn với các môn học chuyên ngành thuộc lĩnh vực trắc địa-bản đồ. Với cách tiếp cận đó, trong cuốn giáo trình này, ngoài những nội dung liên quan tới bình sai lưới, chúng tôi trình bày thêm phương pháp xấp xỉ hàm và một số thuật toán nội suy thường sử dụng. Nếu người học nắm vững những kiến thức này, sẽ có thể giải quyết tốt các vấn đề liên quan nằm trong các môn học chuyên ngành của trắc địa-bản đồ cũng như một số nhiệm vụ khác thuộc lĩnh vực khoa học trái đất. Trong thời gian gần đây, khái niệm về trị đo (hay trị quan trắc) liên quan tới các đối tượng động đã được nói đến nhiều hơn. Cụ thể là các trị quan sát vệ 2 tinh nhân tạo phục vụ cho định vị GNSS, các kết quả quan sát mặt đất, mặt đại dương bằng vệ tinh nhân tạo, kết quả quan trắc địa động hay quan trắc biến dạng và chuyển dịch công trình ... đã được đề cập đến trong các tài liệu giáo khoa. Từ thực tế đó, kỹ sư trắc địa cần được trang bị thêm về các dãy số liệu quan trắc theo thời gian và các đặc trưng thống kê của chúng. Trong thực tế, chúng ta có thể đồng thời quan trắc nhiều đối tượng hay nhiều đại lượng khác nhau. Khi đó vấn đề xác định đặc tính tương quan giữa các đối tượng hay đại lượng quan trắc có ý nghĩa trong xử lý và phân tích số liệu. Trong giáo trình này, chúng tôi đặc biệt quan tâm tới phương pháp xấp xỉ hàm, các thuật toán nội suy và các ứng dụng của chúng trong trắc địa địa hình, trắc địa cao cấp và trắc địa công trình. Nếu nắm vững những kỹ năng này, người kỹ sư trắc địa sẽ có thể vận dụng để giải quyết tốt những bài toán đa dạng của thực tiễn. Với tiêu chí nêu trên, chúng tôi biên soạn giáo trình này để giảng dạy cho sinh viên năm thứ 3 hệ đại học của ngành trắc địa, sau khi sinh viên đã học môn Lý thuyết sai số. Giáo trình này được biên soạn dựa trên đề cương chi tiết đã được thẩm định và thông qua ở bộ môn Trắc địa cơ sở. Trong môn học này, sinh viên phải làm một số bài tập bắt buộc để củng cố kiến thức lý thuyết và nắm vững các bước trong xử lý số liệu. Để hoàn thành tốt các bài tập, sinh viên cần có kiến thức về tin học và kỹ năng lập trình máy tính. Chính vì thế, môn học này có thể giảng dạy song song (đồng thời) với môn Tin học ứng dụng hay Kỹ thuật lập trình trong trắc địa. Do lần đầu biên soạn, chắc chắn cuốn tài liệu này còn nhiều khiếm khuyết về nội dung và hình thức. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn đọc để chúng tôi có cơ sở tiếp tục hoàn thiện giáo trình này được tốt hơn. Xin trân trọng cảm ơn ! Các tác giả 3 Chương 1 BÌNH SAI TRONG TRẮC ĐỊA 1.1. TÍNH KIỂM TRA KẾT QUẢ ĐO 1.1.1. Trị đo thừa và ý nghĩa của chúng Trong công tác trắc địa nói chung và trong công tác xây dựng các mạng lưới trắc địa nói riêng, người ta không chỉ đo vừa đủ để nhận được yếu tố (giá trị) cần xác định mà thường tiến hành đo thừa (hay đo dư). Khái niệm đo thừa được xét gồm cả giá trị đo thừa và yếu tố đo thừa. Giá trị đo thừa xuất hiện khi thực hiện nhiều lần đo cùng một đại lượng. Ví dụ như khi đo góc, người ta thường đo nhiều lần (nhiều vòng đo). Yếu tố đo thừa xuất hiện khi các yếu tố được đo trong mạng lưới trắc địa vượt quá số lượng (yếu tố) cần thiết tối thiểu của mạng lưới đó. Thí dụ như đo cả 3 góc trong một hình tam giác. Khái niệm yếu tố đo thừa chỉ được xét đến trong một kết cấu hình học lưới, trong đó bao gồm nhiều yếu tố đo (đại lượng đo) được ràng buộc với nhau bởi các mối quan hệ toán học. Trong một số trường hợp người ta gọi chung khái niệm giá trị đo thừa và yếu tố đo thừa đều là trị đo thừa (hay đại lượng đo thừa). Cần lưu ý tới một đặc tính của trị đo là luôn kèm theo sai số đo, do đó sẽ nẩy sinh ra sai số khép trong kết cấu hình học của mạng lưới. Với cách tiếp cận về trị đo thừa nêu trên có thể nhận thấy rằng, trị đo thừa và sai số đo chính là lý do cơ bản dẫn đến bài toán (nhiệm vụ) bình sai trong trắc địa. Trong môn học Lý thuyết sai số đã giới thiệu về bình sai trực tiếp, đây chính là xử lý số liệu đo khi có giá trị đo thừa. Trong môn học đó cũng đã đề cập đến bình sai lưới trắc địa theo phương pháp bình sai điều kiện và bình sai gián tiếp, đó chính là giải quyết (xử lý) yếu tố đo thừa trong lưới trắc địa. Dẫu là xử lý giá trị đo thừa hay yếu tố đo thừa, thông thường người ta vẫn áp dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất. Như đã nói ở trên, nếu như không có trị đo thừa, sẽ không nẩy sinh bài toán bình sai. Số lượng trị đo thừa trong bài toán bình sai lưới được gọi là bậc tự do (Degrees of Freedom), và thường được ký hiệu là r. rnt trong đó: n là tổng số trị đo, t là số ẩn số trong lưới 4 Khi có trị đo thừa, lấy trung bình các giá trị đo cùng một đại lượng sẽ nhận được giá trị (trung bình) với độ chính xác cao hơn độ chính xác của từng trị đo. Công việc này được gọi là bình sai trạm máy, được thực hiện trước khi bình sai lưới. Các yếu tố đo thừa trong mạng lưới trắc địa giúp chúng ta có điều kiện để kiểm tra và đánh giá chất lượng các giá trị đo trong mạng lưới, nhờ đó có thể phát hiện và loại bỏ các sai số thô trong quá trình đo. Các điều kiện kiểm tra lưới chính là các phương trình điều kiện sinh ra do yếu tố đo thừa trong lưới. Nếu như không có trị đo thừa và yếu tố đo thừa thì không thể đánh giá độ chính xác trị đo hay các yếu tố lưới từ các dữ liệu đo ngắm. 1.1.2. Độ chính xác và độ tin cậy Độ chính xác (Accuracy or Precision) của một giá trị đo hay của một yếu tố (đại lượng) nào đó được đặc trưng bởi sai số trung phương của nó. Sai số trung phương càng nhỏ, độ chính xác của giá trị hay yếu tố đó càng cao và ngược lại. Phương pháp tính sai số trung phương của trị đo theo dãy trị đo đã được giới thiệu trong Lý thuyết sai số. Độ tin cậy (Realbility) của một giá trị hay của một yếu tố (đại lượng) nào đó là khả năng phát hiện sai số thô (do nhầm lẫn) của trị đo hay của yếu tố cần xác định. Độ tin cậy liên quan trực tiếp đến trị đo thừa, cụ thể là liên quan đến số lượng trị đo thừa và phân bố của yếu tố đo thừa trong một mạng lưới. Để hiểu rõ vấn đề này, cần tìm hiểu thêm về ước lượng vững còn gọi là ước lượng ổn định (Robust Estimation) [24]. Ví dụ: có 2 tam giác, tam giác thứ nhất có 3 góc được đo với sai số trung phương đo góc là 30”, tam giác thứ hai có 2 góc được đo với sai số trung phương là 1”. Như vậy có thể nói rằng, độ chính xác đo góc trong tam giác thứ nhất thấp hơn tam giác thứ hai, nhưng ngược lại độ tin cậy của kết quả đo trong tam giác thứ nhất lại cao hơn tam giác thứ hai. Những dạng đồ hình lưới trắc địa có độ tin cậy thấp như dạng đường chuyền treo, giao hội xác định điểm đo 2 góc hoặc đo 2 cạnh ... Như vậy, trị đo thừa và yếu tố đo thừa vừa có tác dụng nâng cao độ chính xác kết quả đo vừa có tác dụng nâng cao độ tin cậy của các yếu tố trong mạng lưới trắc địa. Ví dụ: Độ chính xác và độ tin cậy khi định vị GPS (3D) được nâng cao khi số vệ tinh quan sát nhiều hơn 4. Trong giao hội thuận (2D), người ta bố trí giao hội từ 3 điểm gốc cũng với mục đích nâng cao độ chính xác và độ tin cậy của kết quả xác định tọa độ điểm giao hội. 5 1.1.3. Số liệu gốc và ảnh hưởng của sai số số liệu gốc Số liệu gốc hay số liệu khởi tính của một mạng lưới trắc địa là những số liệu cần để xác định vị trí kích thước và hướng của một mạng lưới (mặt bằng) trong hệ quy chiếu. Số liệu gốc bao gồm số liệu gốc cần thiết (tối thiểu) và số liệu gốc thừa. Đối với lưới mặt bằng, thông thường số liệu gốc là tọa độ x,y của các điểm hạng cao, tuy nhiên cũng có thể coi chiều dài cạnh khởi đầu (của lưới tam giác đo góc) được đo với độ chính xác cao là số liệu gốc. Căn cứ vào số liệu gốc của mạng lưới trắc địa, có thể chia thành các trường hợp sau: 1. Lưới có thừa số liệu gốc 2. Lưới có số liệu gốc vừa đủ 3. Lưới thiếu hoàn toàn hoặc thiếu một phần số liệu gốc Theo nguyên tắc phân cấp hạng lưới trắc địa, các trị đo trong lưới cấp cao có độ chính xác cao hơn lưới cấp thấp (độ chính xác hơn kém nhau khoảng 2 lần), vì vậy, trên thực tế khi bình sai các mạng lưới trắc địa, sai số số liệu gốc được bỏ qua, tức là coi số liệu gốc là những đại lượng không có sai số. Tất nhiên, về bản chất, số liệu gốc vẫn chứa sai số và nó có ảnh hưởng đến kết quả bình sai lưới. Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc thừa, số liệu gốc thừa có tác dụng kiểm tra kết quả đo, kiểm tra số liệu gốc, đồng thời được sử dụng để bình sai ràng buộc (Constrained Adjustment) nhằm nhận được kết quả bình sai với độ chính xác và độ tin cậy cao. Trong kết quả bình sai ràng buộc thường có thêm ảnh hưởng của sai số số liệu gốc nếu như sai số số liệu gốc là đáng kể. Trong trường hợp mạng lưới có số liệu gốc vừa đủ, mạng lưới sẽ được bình sai theo phương pháp ràng buộc tối thiểu (Minimally Constrained Adjustment). Lưới có số liệu gốc vừa đủ còn được gọi là lưới tự do không số khuyết (d = 0). Trong trường hợp mạng lưới thiếu hoàn toàn số liệu gốc hoặc thiếu một phần số liệu gốc, mạng lưới sẽ được bình sai tự do (Free Adjustment), cũng có nghĩa là chỉ ràng buộc bên trong (Inner Constraints). Trong trường hợp này gọi là lưới tự do có số khuyết hay lưới có ma trận hệ phương trình chuẩn khuyết hạng (d > 0) [16]. Trong kết quả đánh giá độ chính xác khi bình sai lưới tự do có số khuyết và bình sai lưới với số liệu gốc vừa đủ (không số khuyết) không chịu ảnh hưởng của sai số số liệu gốc mà chỉ thể hiện ảnh hưởng của sai số đo đạc. 1.1.4. Sai số khép giới hạn của các phương trình điều kiện 6 1.1.4.1. Cơ sở lý thuyết Khi lập các phương trình điều kiện, chúng ta phải tính giá trị các số hạng tự do wi, còn gọi là sai số khép các phương trình điều kiện. Độ lớn trị tuyệt đối của các sai số khép phản ánh chất lượng đo trong lưới. Nếu trong các trị đo không tồn tại sai số thô (sai lầm, sai số hệ thống lớn…) thì các sai số khép của phương trình điều kiện mang tính chất của sai số ngẫu nhiên và có trị tuyệt đối không vượt quá một giới hạn nhất định. Có thể ước lượng được giá trị giới hạn của trị tuyệt đối sai số khép để sự xuất hiện của sai số khép luôn nhỏ hơn nó với xác suất định trước (thường là 95% hoặc lớn hơn). Giá trị giới hạn đó được gọi là sai số khép giới hạn. Việc kiểm tra trị đo trước khi bình sai nhờ sai số khép giới hạn nhằm phát hiện để loại bỏ sai số thô. Đây là một công việc quan trọng cần được tiến hành trước khi bình sai lưới để công tác bình sai cho kết quả chính xác và tin cậy. Như đã biết, sai số khép của phương trình điều kiện thực chất là sai số thực của hàm các đại lượng đo, tuy nhiên trong một số dạng phương trình điều kiện (như điều kiện chiều dài, góc định hướng, toạ độ) sai số của hàm không chỉ chịu ảnh hưởng của sai số đo mà còn chịu ảnh hưởng của cả sai số số liệu gốc (chiều dài khởi tính, góc định hướng khởi tính, toạ độ khởi tính). Để ước lượng sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện, trước hết phải tính sai số trung phương của sai số khép, nếu biết sai số trung phương của các trị đo và sai số số liệu gốc [2]. Xuất phát từ công thức tổng quát tính sai số khép wi của các phương trình điều kiện wi   i (l '1 , l ' 2 ,..., l ' n , G1 , G2 ,..., Gk ) i = 1, 2, …, r (1.1.1) trong đó: l1' .l '2 ...l 'n là các trị đo, G1, G2, …, Gk là số liệu gốc. Ký hiệu m1, m2, …, mn là sai số trung phương của các trị đo, m G1 , m G 2 ,...m G K là sai số trung phương của các số liệu gốc, sai số trung phương của sai số khép wi được tính theo công thức sai số trung phương của hàm như sau:  w m w2i    i  j 1  l j n  2  2 k  wi  .m j      j 1  G j 0 2  2  .mGj  0 (1.1.2)  w Ký hiệu  i   aij . a ij chính là hệ số của phương trình điều kiện.  l j  0 7 Như vậy sai số trung phương của sai số khép được viết dưới dạng: n k 2 wi 2 ij 2 j 2 m   a m   Aij2 mGj j 1 (1.1.3) j 1 trong đó:  w Aij   i  G j     0 Nếu các trị đo cùng độ chính xác m1 = m2 = … = mn = mo, thì đối với phương trình điều kiện không có sự tham gia của sai số số liệu gốc, sai số trung phương của sai số khép được tính theo công thức: (1.1.4) m Wi  m o [aa ] Sai số trung phương sai số khép của phương trình điều kiện có sự tham gia của số liệu gốc được tính theo công thức:  mwi  mo2 aa  A 2 mG2  (1.1.5) Nếu wi mang tính chất của sai số ngẫu nhiên nó sẽ tuân theo quy luật phân bố chuẩn, từ đó có thể tính được giá trị giới hạn của sai số khép để sự xuất hiện sai số khép có trị tuyệt đối luôn nhỏ hơn giá trị giới hạn đó với một xác suất P biết trước. Giá trị giới hạn đó được tính theo công thức: wi gh  t.mw (1.1.6) i Với giá trị này, trị tuyệt đối của sai số khép sẽ thoả mãn bất đẳng thức wi  wi  gh với xác suất P tính theo công thức:   P wi  t.mwi  2  t e  x2 2 dx (1.1.7) 0 Một số giá trị của t và xác suất P tương ứng được trình bầy trong bảng 1.1. Bảng 1.1. Sai số giới hạn và xác suất t 2 2.5 3 Xác suất P 0.955 0.988 0.997 Thông thường người ta lấy t bằng 2 để tính sai số khép giới hạn, tức là: 8 (wi)gh = 2.mwi (1.1.8) Với giới hạn này xác suất để wi  (wi)gh là 0.955. Trong trường hợp nới rộng hạn sai, người ta lấy t = 2.5, khi đó xác suất để wi  (wi)gh là 0.988. Từ cơ sở nêu trên, công thức tổng quát dùng để tính sai số khép giới hạn phương trình điều kiện như sau: wi gh   2 m02 aa   A 2 mG2  (1.1.9) Đối với các phương trình điều kiện không có số liệu gốc tham gia sẽ không có thành phần thứ hai trong dấu căn của biểu thức (1.1.9). 1.1.4.2. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới mặt bằng Lưới mặt bằng là lưới 2 chiều (2D) gồm các lưới tam giác đo góc (hoặc đo hướng), lưới tam giác đo cạnh, lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác. Trong phần này sẽ giới thiệu các công thức tính sai số khép giới hạn cho một số dạng phương trình điều kiện thường gặp trong các mạng lưới trắc địa mặt bằng. Cần lưu ý rằng, khi so sánh sai số khép với sai số khép giới hạn, sai số khép các phương trình điều kiện phải được tính theo các trị đo đã tính chuyển lên mặt phẳng chiếu nhờ một vài số cải chính [5, 11], trong đó lưu ý tới số cải chính vào chiều dài cạnh đo khi sử dụng phép chiếu UTM tính theo công thức: Ym2 S  S  (m 0  1  )S' 2 2R m ' (1.1.10) trong đó: S' là chiều dài đo, Ym là hoành độ trung bình của cạnh đo, Rm là bán kính trung bình của Trái đất ( Rm=6371km), m 0 là tỷ lệ chiều dài trên kinh tuyến trung ương. Khi sử dụng múi chiếu UTM 6 o , giá trị mo = 0,9996, khi sử dụng phép chiếu UTM 3o , giá trị mo = 0,9999. Công thức (1.1.10) chỉ áp dụng cho chiều dài cạnh nhỏ hơn 10 km, nếu chiều dài cạnh lớn hơn 10 km cần áp dụng công thức đầy đủ hơn. Trong trường hợp cạnh đo trên vùng núi có độ cao (H) lớn, cần tính hiệu chỉnh vào chiều dài số cải chính do độ cao theo công thức sau: H   H S' Rm (1.1.11) Ví dụ: H=100m, S’=300m, tính được  H  5mm . 9 Đối với các mạng lưới tam giác hạng cao (hạng I, II quốc gia) cần phải tính đến các số cải chính vào hướng và góc đo ... 1. Phương trình điều kiện hình Phương trình điều kiện hình có hệ số a = +1, không có sự tham gia của số liệu gốc, do đó sai số khép giới hạn hình tam giác sẽ là: wi gh (1.1.12)  2.m0 . 3 trong đó: mo là sai số trung phương đo góc. Sai số khép hình đa giác n góc là: wi gh (1.1.13)  2.m0 n 2. Phương trình điều kiện vòng Hệ số aij trong phương trình điều kiện vòng bằng +1, do đó sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện vòng được tính: w2 gh (1.1.14)  2.m0 n trong đó n là số góc tham gia trong phương trình điều kiện vòng. 3. Phương trình điều kiện cực Sai số khép giới hạn của phương trình được tính như sau: wC gh  2.m0 cot g 2 A  cot g 2 B  (1.1.15) Nếu phương trình điều kiện cực được lập ở dạng logarit, sai số khép giới hạn của phương trình được tính: wC gh   2.m0  A2   B2  (1.1.16) 4. Phương trình điều kiện góc định hướng Khi tính sai số khép của phương trình điều kiện góc định hướng, có sự tham gia của hai góc định hướng khởi tính là đ, c, do đó khi tính sai số khép giới hạn cho phương trình điều kiện góc định hướng cần xét đến sai số của các góc định hướng khởi tính. Ký hiệu m là sai số trung phương của các góc định hướng khởi tính, sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện góc định hướng được tính: w gh  2. n.m02  2.m2 (1.1.17) trong đó: n là số góc ngoặt tham gia vào việc tính chuyền góc định hướng. 10 Ví dụ: Chuỗi tam giác hạng I gồm 15 hình tam giác, sai số trung phương đo góc tam giác là 0.7”, hai đầu của chuỗi có các phương vị Laplace với sai số trung phương 0.5”. Hãy tính sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện trong chuỗi. Sử dụng công thức (1.1.17) ta có: w gh  2. 15.(0.7) 2  2.(0.5) 2  5.6 5. Phương trình điều kiện chiều dài Trong phương trình điều kiện chiều dài có sự tham gia của hai chiều dài khởi tính là SAB và SCD với sai số trung phương tương ứng là mAB và mCD. Sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện chiều dài là: wS gh 2 2 S CD .m02 2   2 . cot g 2 A  cot g 2 B  m AB . 2 S CD 2  mCD 2 S AB (1.1.18) Ví dụ: Tính sai số khép phương trình điều kiện chiều dài cho một chuỗi tam giác hạng I gồm 15 tam giác đều. Hai cạnh khởi tính ở đầu chuỗi có chiều dài 20 km và được đo với sai số trung phương là 0.03 m. Tam giác đều có các góc A, B bằng 600, cot g 60 0  1 / 3 , sai số trung phương đo góc tam giác hạng I là 0.7”. Áp dụng công thức (1.1.18) ta có: wS gh  2. 20000 2 x0.7 2 x15 x(2 / 3)  2.(0.03) 2  0.437 m 206265 2 Trên đây đã giới thiệu các công thức tính sai số khép giới hạn cho các phương trình điều kiện thường gặp. Đối với các phương trình khác trong lưới đo góc, đo cạnh hay đo góc - cạnh, cần áp dụng công thức tổng quát (1.1.9) và (1.1.8) để tính sai số khép giới hạn. Để tính sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện toạ độ trong lưới tam giác đo góc chúng ta có công thức: w X gh  2. m02 .a X a X   m2X (1.1.19) wY gh  2. m02 .aY aY   m2Y (1.1.20) trong đó: aX, aY là hệ số của phương trình điều kiện toạ độ X và Y; mX, mY là sai số trung phương gia số toạ độ của hai điểm khởi tính được sử dụng để lập các phương trình điều kiện toạ độ. 11 Sai số khép giới hạn của phương trình điều kiện toạ độ trong lưới đường chuyền hay lưới tam giác đo góc - cạnh được tính theo công thức sau: (fx ) gh  2  (fy) gh  2  m S2 .Cos 2  m S2 .Sin 2  m 2  " (Y 2 C  Yi ) 2  m 2X  (1.1.21) C  X i ) 2  m 2Y  (1.1.22) 2 TH (1.1.23) m 2  " (X 2 Sai số khép giới hạn vị trí điểm được tính: (fs)gh  2. m 2   " D  m m S2 2 2 i ,C trong đó: mS là sai số trung phương đo chiều dài Si  là góc định hướng của các cạnh tính chuyền toạ độ XC, YC là toạ độ của điểm cuối gốc Xi, Yi là toạ độ của các điểm đỉnh góc ngoặt trên đường tính chuyền toạ độ. D i ,C được tính theo công thức: D i2,C  (X C  X i ) 2  (YC  Yi ) 2 (1.1.24) m TH là sai số trung phương tương hỗ giữa điểm đầu và điểm cuối tuyến được tính theo công thức: 2 m TH  m 2X  m 2Y (1.1.25) 1.1.4.3. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới độ cao Trong mạng lưới độ cao có 2 dạng phương trình điều kiện là: - Phương trình điều kiện lập trong các tuyến đo khép kín - Phương trình điều kiện lập trong các tuyến đo từ mốc hạng cao này đến mốc hạng cao khác. Ví dụ: Cho mạng lưới độ cao như hình (1.1), trong đó có 9 đoạn đo (Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8, Z9), 5 mốc cần xác định (R1, R2, R3, R4, R5) và 3 mốc gốc (MC-1, MC-2, MC-3) [2]. Mạng lưới độ cao trên có 4 phương trình điều kiện gồm: 2 phương trình lập trong 2 vòng khép kín và 2 phương trình điều kiện lập từ mốc gốc này đến mốc gốc khác. 12 Hình 1.1. Mạng lưới độ cao 1. Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện trong vòng khép kín Sai số khép phương trình điều kiện lập trong vòng khép kín được tính: n W   Zi (1.1.26) i 1 trong đó: Z i là hiệu độ cao đo của đoạn i trong vòng khép n là số đoạn đo trong vòng khép Từ (1.1.26) có thể dẫn đến công thức tính sai số trung phương của sai số khép như sau: m 2W  m o2 (L1  L 2  ...  L n ) (1.1.27) trong đó: Li là chiều dài đoạn đo tính ở đơn vị km; mo là sai số trung phương đo cao trên 1 km chiều dài. Nếu lấy sai số giới hạn bằng 2 lần sai số trung phương, công thức tính sai số khép giới hạn cho phương trình điều kiện trong vòng thủy chuẩn khép kín như sau: WGH  2.m o [L] (1.1.28) Như vậy, trong vòng khép kín, sai số số liệu gốc không ảnh hưởng đến sai số khép phương trình điều kiện, do đó trong sai số khép giới hạn cũng không cần xét đến ảnh hưởng này. 2. Sai số khép giới hạn phương trình điều kiện từ mốc gốc này đến mốc gốc khác Sai số khép của phương trình điều kiện lập trong tuyến đo từ mốc gốc này đến mốc gốc khác được tính: 13 m (1.1.29) W  H DAU   Z i  H CUOI i 1 trong đó: m là số đoạn đo trong tuyến thủy chuẩn Zi là chênh cao đo đoạn i; HDAU và HCUOI là độ cao tương ứng của mốc gốc đầu tuyến và mốc gốc cuối tuyến. Từ (1.1.29) ta có công thức tính sai số trung phương của sai số khép W: m 2W  m o2 (L1  L 2  ....  L m )  m 2H (1.1.30) trong đó: mo là sai số trung phương đo cao trên 1 km chiều dài Li là chiều dài đoạn đo tính ở đơn vị km; m H là sai số trung phương hiệu độ cao của hai mốc gốc đầu và cuối. Từ công thức (1.1.30), công thức tính sai số khép giới hạn phương trình điều kiện lập trong tuyến đo từ mốc gốc này đến mốc gốc khác như sau: Wgh  2 m o2 [L]  m 2H (1.1.31) Nhận thấy rằng, trong công thức (1.1.31) có xét đến ảnh hưởng của sai số số liệu gốc, đây chính là điểm khác biệt với công thức (1.1.28) xét cho phương trình trong vòng khép kín. Trong quy trình xây dựng lưới độ cao các cấp, người ta cho rằng có thể bỏ qua sai số số liệu gốc, tức là không cần xét đến ảnh hưởng của sai số số liệu gốc khi bình sai lưới cấp thấp. Như vậy cho cả hai trường hợp, công thức chung để tính sai số khép giới hạn phương trình điều kiện trong lưới độ cao là công thức (1.1.28): (1.1.32) Wgh  2.m o [L] trong đó [L] là tổng chiều dài đoạn đo, đơn vị tính là km. Đối với vùng núi, điều kiện đo đạc khó khăn, hạn sai cho các cấp hạng lưới độ cao được quy định như sau: Bảng 1.2. Quy định hạn sai trong các tuyến đo cao TT 1 2 Cấp hạng Hạng I Vùng đồng bằng 2mm [L] Vùng núi 3mm [L] Hạng II 4mm [L] 5mm [L] 14 3 Hạng III 10mm [L] 12mm [L] 4 Hạng IV 20mm [L] 25mm [L] 1.1.4.4. Sai số khép giới hạn các phương trình điều kiện trong lưới GPS Khi bình sai lưới GPS theo phương pháp điều kiện, trong lưới GPS sẽ có hai dạng phương trình điều kiện là: - Phương trình điều kiện lập cho các véc tơ cạnh trong hình khép kín. - Phương trình điều kiện lập cho các véc tơ cạnh kết nối từ điểm gốc này đến điểm gốc khác. Sau đây ta xét cách tính sai số khép giới hạn cho phương trình điều kiện lập theo hình khép kín được tạo bởi các cạnh độc lập. Sai số khép phương trình điều kiện trong hình khép kín được tính: n WX   X i i 1 n (1.1.33) WY   Yi i 1 n WZ   Z i i 1 trong đó: X i , Yi , Z i là các gia số tọa độ không gian của véc tơ cạnh i tham gia trong hình khép kín. n là số lượng véc tơ cạnh trong hình khép kín. Từ (1.1.33), công thức tính sai số trung phương tương ứng là: n m 2WX   m 2Xi i 1 n m 2WY   m 2Yi (1.1.34) i 1 n m 2WZ   m 2Zi i 1 Nếu lấy sai số giới hạn bằng 2 lần sai số trung phương, từ (1.1.34) có công thức tính sai số khép giới hạn: n WX gh  2.  m 2x i i 1 15 n WY gh  2.  m 2Yi (1.1.35) i 1 n WZ gh  2.  m 2Zi i 1 Vấn đề là trước khi bình sai, xác định các sai số trung phương gia số tọa độ của các véc tơ cạnh như thế nào ? Đây là vấn đề không đơn giản, tuy nhiên có thể ước lượng một cách gần đúng các giá trị đó dựa vào tham số kỹ thuật của máy thu GPS là độ chính xác đo chiều dài véc tơ cạnh được tính theo công thức: m 2D  a 2  (b.D) 2 (1.1.36) Trong công thức trên D là chiều dài véc tơ cạnh tính ở đơn vị km. Bỏ qua mối tương quan giữa các gia số tọa độ N và E trong hệ tọa độ địa diện chân trời của khu đo, ta có thể viết: m 2N  m 2E  m 2D (1.1.37) trong đó m N và m E là sai số trung phương của các gia số tọa độ mặt bằng N (theo hướng Bắc) và E (theo hướng Đông). Thông thường, độ chính xác hiệu độ cao trắc địa kém hơn độ chính xác chiều dài D khoảng 2 lần, tức là: m H  2.m D hay m 2H  4.m 2D (1.1.38) Sai số vị trí tương hỗ trong hệ không gian địa diện sẽ là: m 2N  m 2E  m 2H  5.m 2D (1.1.39) Do tính chất trực giao của ma trận xoay R (dùng để tính chuyển các yếu tố của véc tơ cạnh GPS từ hệ địa tâm sang hệ địa diện) cho nên sai số tương hỗ trong hệ địa tâm và hệ địa diện là như nhau, như vậy có thể viết: m 2X  m 2Y  m 2Z  m 2N  m 2E  m 2H  5.m 2D (1.1.40) Theo nguyên tắc đồng ảnh hưởng, coi sai số gia số tọa độ theo các trục của hệ vuông góc không gian địa tâm là như nhau, tức là: m 2X  m 2Y  m 2Z  m 2 Như vậy, biểu thức (1.1.40) sẽ được viết: 3.m 2  5.m 2D  5[a 2  (b.D) 2 ] (1.1.41) (1.1.42) Từ đó suy ra công thức: 16 5 m 2  [a 2  (b.D) 2 ] 3 (1.1.43) Thay (1.1.43) vào (1.1.35) ta được: n WX gh  WY gh  WZ gh  2.  m 2 (1.1.44) i 1 Hoặc viết ở dạng: WX gh  WY gh  WZ gh  2. 5 n 2  [a  (b.D i ) 2 ] 3 i 1 (1.1.45) Sau khi biến đổi, ta được: WX gh  WY gh  WZ gh  2. 5 n.a 2  (b) 2 [D 2 ] 3 (1.1.46) Như vậy sai số khép giới hạn của vòng khép GPS phụ thuộc vào các tham số a, b của máy, số lượng véc tơ cạnh (n) và tổng chiều dài véc tơ cạnh [D] trong vòng khép. Trong trường hợp các cạnh xấp xỉ nhau và bằng D, ta có công thức tính sai số khép giới hạn các thành phần tọa độ như sau: WX gh  WY gh  WZ gh  2. 5n 3 a 2  (b.D) 2 (1.1.47) Từ đó lập được công thức tính sai số khép giới hạn tổng hợp: W( X ,Y ,Z ) gh  2. 5.n a 2  ( b.D )2 (1.1.48) Từ công thức (1.1.48), sẽ có công thức tính sai số khép tương đối giới hạn như sau:  W( X ,Y ,Z ) gh  20.[ a 2  ( b.D )2 ] 1     TGH n .D  [ D]  (1.1.49) Theo công thức (1.1.48), ta tính cho một số trường hợp với các tham số độ chính xác của máy thu là a = 5mm, b = 1 mm/km và áp dụng cho lưới GPS cạnh ngắn (chiều dài cạnh D từ 0,1 km đến 5 km) là loại lưới thường gặp trong công tác trắc địa công trình. Bảng 1.3. Sai số khép giới hạn W( X ,Y ,Z ) gh cho vòng khép lưới GPS (mm) n \ D 3 0,1 km 0,2 km 0,5 km 1,0 km 2,0 km 3,0 km 4,0 km 5,0 km 38.7 38.8 38.9 39.5 41.7 45.2 49.6 54.8 17 4 5 6 44.7 50.0 54.8 44.8 50.0 54.8 44.9 50.2 55.0 45.6 51.0 55.9 48.2 53.9 59.0 52.2 58.3 63.9 57.3 64.0 70.1 63.2 70.7 77.5 Sai số khép giới hạn ở bảng 1.3 được tính với giới hạn bằng 2 lần sai số trung phương (xác suất 95,5%). Nếu lấy giới hạn bằng 3 lần sai số trung phương (xác suất 99,7%) thì sai số khép giới hạn sẽ lớn hơn so với các giá trị đã tính ở trong bảng 1.3. 1.1.5. Phát hiện sai số thô trong lưới đường chuyền Lưới đường chuyền là dạng lưới thường sử dụng để lập các mạng lưới khống chế tăng dày dựa vào các điểm tọa độ quốc gia, phục vụ cho công tác đo vẽ bản đồ địa hình, bản đồ địa chính, ... Sai số thô trong lưới đường chuyền có thể là sai số trong quá trình đo ngắm (đo góc ngoặt hay đo chiều dài cạnh, ...), và cũng có thể do lỗi vào số liệu (từ bàn phím) để tính toán bình sai lưới. Khi có sai số thô trong trị đo, các giá trị sai số khép của các phương trình điều kiện sẽ vượt hạn sai. Vấn đề đặt ra ở đây là làm sao nhanh chóng phát hiện được góc nào hay cạnh nào trong mạng lưới chứa sai số thô. Trong phần này sẽ giới thiệu nguyên tắc xác định trị đo có sai số thô trong đường chuyền phù hợp gối giữa hai điểm cấp cao và hai góc định hướng khởi tính (hình 1.2). Hình 1.2. Đường chuyền phù hợp Đối với đường chuyền phù hợp, sai số thô có thể được phát hiện nếu chỉ có một góc hay một cạnh chứa sai số thô. Nguyên tắc phát hiện như sau: 1.1.5.1. Nếu chỉ có một góc ngoặt chứa sai số thô Trong trường hợp đường chuyền phù hợp chỉ có 1 góc chứa sai số thô, thì sai số thô sẽ được phát hiện nhờ sai số khép góc định hướng. Trong trường hợp này sai số khép góc định hướng thường vượt hạn sai tính theo công thức (1.1.17). Không những thế, nếu sai số thô khá lớn, chúng ta còn có thể chỉ ra góc nào trong đường chuyền chứa sai số thô bằng cách tính tọa độ theo hai 18 chiều thuận và ngược, sau đó so sánh tọa độ tính theo chiều thuận và chiều ngược với nhau. Sai lệch tọa độ theo hai chiều thuận và ngược được tính: x i  X iT  X iN (1.1.50) y i  YiT  YiN (1.1.51) trong đó: X iT , YiT là tọa độ điểm i tính theo chiều thuận. X iN , YiN là tọa độ điểm i tính theo chiều ngược. Sai lệch vị trí của các điểm đường chuyền được tính: Pi  (x i ) 2  (y i ) 2 (1.1.52) Điểm nào có sai lệch vị trí P nhỏ nhất, thì góc tại chính điểm đó có chứa sai số thô. Tính chất này được mô tả trên hình 1.3. Hình 1.3. Sai số thô trong góc đo Trên hình 1.3. góc đo tại điểm 2 có chứa sai số thô (có dấu +) làm cho góc lớn lên. Hình 1.4. Đường chuyền phù hợp 19 Ví dụ: Để minh họa cho phương pháp tính toán kiểm tra lưới đường chuyền, xét một đường chuyền phù hợp (hình 1.4), trong đó có một góc chứa sai số thô (sai số thô là 1’). Nhiệm vụ là phải tìm góc chứa sai số thô đó. Tọa độ các điểm khởi tính cho trong bảng 1.4. Bảng 1.4. Tọa độ các điểm khởi tính ╔════╤═════════╤════════════╤═════════════╗ ║ TT │ KI HIEU │ X(m) │ Y(m) ║ ╟────┼─────────┼────────────┼─────────────╢ ║ 1 │ GPS-01 │ 2317383.347│ 689989.373 ║ ║ 2 │ GPS-02 │ 2316391.243│ 693430.108 ║ ║ 3 │ GPS-03 │ 2316551.432│ 690108.033 ║ ║ 4 │ GPS-04 │ 2317327.719│ 693276.198 ║ ╚════╧═════════╧════════════╧═════════════╝ Trong lưới có 8 góc đo với sai số trung phương đo góc là m   5" . Bảng 1.5 là giá trị các góc đo, trong đó đã chủ động cho góc tại trạm GT-04 sai đi một giá trị là +1’. Bảng 1.5. Giá trị góc đo TT TRAI PHAI GIUA GOC DO 1 2 3 4 5 6 7 8 GPS-01 GPS-03 GT-01 GT-02 GT-03 GT-04 GT-05 GT-06 GT-01 GT-02 GT-03 GT-04 GT-05 GT-06 GPS-04 GPS-02 GPS-03 GT-01 GT-02 GT-03 GT-04 GT-05 GT-06 GPS-04 56 160 261 233 133 116 202 275 03 06 44 00 23 48 29 10 40.26 01.35 34.07 28.76 50.53 51.14 48.54 54.27 Đường chuyền có 7 cạnh đo với sai số trung phương đo cạnh là: m D   a 2  (b.10 6 D) 2 , trong đó: a = 5mm, b = 3 mm/km. Trong bảng 1.6. là giá trị chiều dài của các cạnh đường chuyền. Bảng 1.6. Giá trị chiều dài cạnh TT DAU CUOI CHIEU DAI CANH(m) 1 2 3 4 5 6 7 GPS-03 GT-01 GT-02 GT-03 GT-04 GT-05 GT-06 GT-01 GT-02 GT-03 GT-04 GT-05 GT-06 GPS-04 698,045 749,757 583,362 473,837 497,869 546,472 748,980 20