Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lêi nãi ®Çu 1 Tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc 5 1.1 M«®un ph©n bËc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc 2 . . . . . . . . . . . 13 §a thøc Hilbert vµ chiÒu Noether cho m«®un Artin 25 2.1 §a thøc Hilbert cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 ChiÒu Noether cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Mét øng dông vµo m«®un c¸c ®a thøc ng­îc . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o 1 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ sù chØ b¶o nghiªm kh¾c cña PGS.TS. Lª Thanh Nhµn. Nh©n dÞp nµy t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi C«. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS.TSKH. NguyÔn Tù C­êng, GS.TSKH. Phïng Hå H¶i, GS.TS. NguyÔn Quèc Th¾ng, TS. Vò ThÕ Kh«i vµ c¸c thÇy c« gi¸o Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i Tr­êng. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n tËp thÓ c¸n bé gi¸o viªn tr­êng PTDT Néi Tró Qu¶n B¹ - TØnh Hµ Giang n¬i t«i ®ang c«ng t¸c, ®· t¹o ®iÒu kiÖn ®Ó t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp. Cuèi cïng, t«i xin c¶m ¬n b¹n bÌ, ng­êi th©n ®· ®éng viªn, ñng hé t«i c¶ vÒ vËt chÊt vµ tinh thÇn ®Ó t«i hoµn thµnh tèt khãa häc cña m×nh. 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lêi nãi ®Çu Mét ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph­¬ng lµ sö dông c¸c kÕt qu¶ t­¬ng øng cña m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh trªn vµnh ph©n bËc Noether. Ch¼ng h¹n, víi mét m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh L Mn trªn mét vµnh ph©n bËc chuÈn Noether n∈Z Rn , n∈Z hµm ®é dµi `R0 (Mn ) lµ ®a thøc khi r»ng nÕu L n ®ñ lín. Tõ ®ã ng­êi ta cã thÓ suy ra (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph­¬ng vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh th× hµm ®é dµi `R (M/qn M ) lµ mét hµm ®a thøc víi mçi i®ªan m-nguyªn s¬ q. H¬n n÷a, chiÒu Krull dim M cña M chÝnh lµ bËc cña ®a thøc `R (M/qn M ) vµ còng lµ sè tù nhiªn t bÐ nhÊt sao cho tån t¹i t phÇn tö x1 , . . . , xt ∈ m ®Ó `(M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞. §èi ngÉu víi kh¸i niÖm chiÒu Krull dim M lµ kh¸i niÖm chiÒu Noether N-dimR A cña mét R-m«®un Artin A. Kh¸i niÖm nµy ®­îc giíi thiÖu bëi R. N. Roberts [Ro] víi tªn gäi ''chiÒu Krull" vµ sau ®ã D. Kirby [K2] ®æi thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn. Trong bµi b¸o [K1], D. Kirby ®· ®­a ra mét tiªu chuÈn Artin cho c¸c m«®un ph©n bËc vµ chøng minh tÝnh chÊt hµm ®a thøc cña c¸c ®é dµi cña c¸c m«®un thµnh phÇn thuÇn nhÊt víi bËc ®ñ nhá. Sö dông kÕt qu¶ nµy, ¤ng ®· chØ ra r»ng víi mçi Artin R-m«®un A trªn vµnh ®Þa ph­¬ng (R, m) vµ víi mçi i®ªan q ⊆ m sao cho `R (0 :A q) < ∞, ®é dµi `R (0 :A qn ) lµ mét ®a thøc khi n ®ñ lín, gäi lµ ®a thøc Hilbert cña A øng víi q. TiÕp theo, trong bµi b¸o [Ro], R. N. Roberts ®· chØ ra r»ng bËc cña ®a thøc nµy chÝnh lµ chiÒu Noether cña vµ lµ sè tù nhiªn A t bÐ nhÊt sao cho tån t¹i t phÇn tö x1 , . . . , xt ∈ m ®Ó `(0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc, ®ång thêi chøng minh l¹i chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ vÒ ®a thøc Hilbert 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 vµ chiÒu Noether cho m«®un Artin trong hai bµi b¸o 1. D. Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart. J. Math. Oxford 24 (1973), 47-57. 2. R. N. Roberts, Krull dimension for artinian modules over quasi local commutative rings, Quart. J. Math. Oxford 26 (1975), 269-273. LuËn v¨n còng tr×nh bµy mét sè øng dông trong viÖc nghiªn cøu tÝnh Artin vµ chiÒu Noether cña m«®un c¸c ®a thøc ng­îc. LuËn v¨n nµy chia lµm 2 ch­¬ng. PhÇn ®Çu cña Ch­¬ng I nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña m«®un ph©n bËc. PhÇn tiÕp theo chøng minh mét tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc. Ch­¬ng II tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ ®a thøc Hilbert vµ chiÒu Noether cho m«®un Artin trªn vµnh ®Þa ph­¬ng, ®ång thêi ®­a ra mét sè øng dông trong viÖc nghiªn cøu tÝnh Artin vµ chiÒu Noether cña m«®un c¸c ®a thøc ng­îc. Th¸i Nguyªn, th¸ng 08 n¨m 2012 T¸c gi¶ Vò ViÖt H­ng 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 Tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc 1.1 M«®un ph©n bËc Môc ®Ých cña tiÕt nµy lµ nh¾c l¹i c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ së cña vµnh vµ m«®un ph©n bËc. 1.1.1 §Þnh nghÜa. lèi céng. Ta nãi bëi Cho A lµ nhãm giao ho¸n víi phÐp to¸n kÝ hiÖu theo A lµ tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con {Ai }i∈I nÕu A sinh S Ai vµ Ai ∩ Li = {0} víi mäi i ∈ I, trong ®ã Li lµ nhãm con cña i∈I S A sinh bëi tËp Aj . NÕu A lµ tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con {Ai }i∈I i6L =j∈I th× ta viÕt A = Ai . i∈I Chó ý r»ng phÇn tö A lµ tæng trùc tiÕp cña hä nhãm con {Ai }i∈I nÕu mçi a ∈ A ®Òu biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt thµnh mét tæng h÷u h¹n a = ai1 + . . . + aik , trong ®ã aij ∈ Aij víi mäi j = 1, . . . , k. S lµ mét vµnh. Ta nãi r»ng S lµ vµnh ph©n bËc L nÕu S cã sù biÓu diÔn thµnh tæng trùc tiÕp S = Sn cña mét hä nhãm 1.1.2 §Þnh nghÜa. Cho n∈Z con {Sn } cña nhãm céng S sao cho Sn Sm ⊆ Sn+m víi mäi m, n ∈ Z. Mçi phÇn tö cña 1.1.3 Bæ ®Ò. con cña S Sn ®­îc gäi lµ phÇn tö thuÇn nhÊt bËc n. L NÕu S = Sn lµ mét vµnh ph©n bËc th× S0 n∈Z vµ Sn lµ S0 -m«®un víi mäi lµ mét vµnh n ∈ Z. 5 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chøng minh. §Ó chøng minh nh©n ®ãng kÝn trong thÓ S0 lµ mét vµnh, ta chØ cÇn chøng minh phÐp S0 . §iÒu nµy suy ra tõ ®Þnh nghÜa vµnh ph©n bËc, cô S0 S0 ⊆ S0 . §Ó chøng minh Sn lµ S0 -m«®un, ta chØ cÇn chØ ra quy t¾c ϕ : S0 × Sn → Sn cho bëi ϕ(a, x) = ax lµ tÝch v« h­íng. §iÒu nµy lµ râ rµng v× tõ ®Þnh nghÜa vµnh ph©n bËc ta cã 1.1.4 §Þnh nghÜa. thêi Gi¶ sö S0 Sn ⊆ Sn . L lµ vµnh. Mét L-®¹i sè lµ mét vµnh S vµ ®ång S lµ mét L-m«®un. Mét L-®¹i sè S ®­îc gäi lµ h÷u h¹n sinh nÕu tån t¹i h÷u h¹n phÇn tö a1 , . . . , an ∈ S sao cho S = {f (a1 , . . . , an ) | f (x1 , . . . , xn ) ∈ L[x1 , . . . , xn ]}, trong ®ã L[x1 , . . . , xn ] lµ vµnh ®a thøc n biÕn víi hÖ sè trong L vµ mçi phÇn tö c ∈ L ®­îc ®ång nhÊt víi phÇn tö c1 ∈ S. Trong tr­êng hîp nµy ta nãi {a1 , . . . , an } lµ mét hÖ sinh cña ®¹i sè S vµ ta viÕt S = L[a1 , . . . , an ]. L Tõ nay ®Õn hÕt ch­¬ng nµy, lu«n gi¶ thiÕt S = Sn lµ mét vµnh ph©n n∈Z bËc. Râ rµng S cã cÊu tróc tù nhiªn lµ mét S0 -®¹i sè. NÕu tån t¹i h÷u h¹n phÇn tö a1 , . . . , an ∈ S1 sao cho S = S0 [a1 , . . . , an ] th× ta nãi S lµ S0 -®¹i sè ph©n bËc chuÈn. 1.1.5 Bæ ®Ò. Gi¶ sö vµnh ®a thøc trªn S S0 . lµ ®¹i sè ph©n bËc chuÈn. Khi ®ã NÕu thªm gi¶ thiÕt S0 S lµ th­¬ng cña lµ vµnh Noether th× S còng lµ vµnh Noether. Chøng minh. Gi¶ sö S = S0 [a1 , . . . , an ] víi a1 , . . . , an ∈ S1 . Khi ®ã ϕ : S0 [x1 , . . . , xn ] → S cho bëi ϕ(f (x1 , . . . , xn )) = f (a1 , . . . , an ) lµ toµn cÊu vµnh, trong ®ã V× thÕ S0 [x1 , . . . , xn ] lµ vµnh ®a thøc n biÕn trªn S0 . S ∼ = S0 [x1 , . . . , xn ]/ Ker ϕ. V× S0 lµ Noether nªn theo §Þnh lÝ c¬ së Hilbert, S0 [x1 , . . . , xn ] còng lµ vµnh Noether. Do ®ã vµnh th­¬ng S0 [x1 , . . . , xn ]/ Ker ϕ lµ Noether. Suy ra S lµ vµnh Noether. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.1.6 VÝ dô. Cho K lµ mét tr­êng. KÝ hiÖu S = K[x1 , . . . xn ] lµ vµnh ®a α n thøc n biÕn víi hÖ sè trong K . Mét phÇn tö cña S cã d¹ng ax1 1 . . . xα n víi a ∈ K ®­îc gäi lµ mét tö tõ cña S cã bËc α1 + . . . + αn . Ta quy ­íc phÇn 0 cã bËc tuú ý. Hai tõ u = axα1 1 . . . xαnn vµ v = bxβ1 1 . . . xβnn ®­îc gäi lµ ®ång d¹ng nÕu αi = βi víi mäi i = 1, . . . , n. Mét ®a thøc f ∈ S ®­îc gäi lµ thuÇn nhÊt bËc n nÕu f lµ tæng cña h÷u h¹n tõ, mçi tõ ®Òu cã bËc n. Víi mçi n > 0, ®Æt Sn lµ tËp c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc n. §Æt Sn = 0 víi mäi n < 0. Chó ý r»ng mçi ®a thøc trong S ®Òu viÕt ®­îc mét c¸ch duy nhÊt thµnh tæng cña c¸c tõ kh«ng ®ång d¹ng. Do ®ã, b»ng viÖc nhãm c¸c tõ cïng bËc l¹i víi nhau, mçi ®a thøc f ∈ S ®Òu viÕt ®­îc mét c¸ch L duy nhÊt thµnh tæng cña h÷u h¹n ®a thøc thuÇn nhÊt. Suy ra S = Sn . n∈Z DÔ thÊy Sn Sm ⊆ Sn+m víi mäi n, m. V× thÕ S lµ mét vµnh ph©n bËc. Ta gäi c¸ch ph©n bËc nh­ trªn cña L Sn lµ mét vµnh ph©n bËc. Mét i®ªan I cña n∈Z L S ®­îc gäi lµ thuÇn nhÊt hay ph©n bËc nÕu I = (I ∩ Sn ). 1.1.7 §Þnh nghÜa. Cho S lµ ph©n bËc tù nhiªn. S= n∈Z Sau ®©y lµ mét sè tiªu chuÈn ®Ó mét i®ªan trong vµnh ph©n bËc lµ thuÇn nhÊt. 1.1.8 Bæ ®Ò. Cho I lµ i®ªan cña vµnh ph©n bËc L S = Sn . C¸c ph¸t n∈Z biÓu sau lµ t­¬ng ®­¬ng: I lµ i®ªan thuÇn nhÊt. P (ii) fi ∈ I víi fi ∈ Si nÕu vµ chØ nÕu fi ∈ I , víi mäi i. (i) (iii) I cã mét hÖ sinh gåm nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt. P ∈ I , víi mäi i th× râ rµng fi ∈ I . Ng­îc P L l¹i, gi¶ sö f = fi ∈ I víi fi ∈ Si . V× I = (I ∩ Sn ) vµ f ∈ I nªn f n∈Z P cã biÓu diÔn f = gi víi gi ∈ I ∩ Si . V× f chØ cã duy nhÊt mét c¸ch biÓu Chøng minh. (i)⇒(ii). NÕu fi 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 diÔn thµnh tæng cña h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt nªn ta ph¶i cã fi = gi víi mäi i. V× thÕ fi ∈ I ∩ Si víi mäi i. §Æc biÖt, fi ∈ I víi mäi i. P (ii)⇒(iii). Gi¶ sö I = Fj S víi Fj ∈ S. Víi mçi j , biÓu diÔn Fj = j∈J nj P fjk , fjk ∈ Sk thµnh tæng cña h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt. Râ rµng k=−mj I ⊆ (fjk , j ∈ J, k = mj , . . . , nj )S. Theo (ii), fjk ∈ I víi mäi j, k. V× thÕ (fjk , j ∈ J, k = −mj , . . . , nj )S ⊆ I. VËy I = (fjk , j ∈ J, k = −mj , . . . , nj )S , tøc lµ I cã mét hÖ sinh {fjk } víi j ∈ J vµ k = −mj , . . . , nj lµ hÖ gåm nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt. L (iii)⇒(i). Ta chØ cÇn chøng minh I ⊆ (I ∩ Sn ). LÊy f ∈ I . Theo n∈Z gi¶ thiÕt (iii), I cã mét hÖ sinh (fk ) víi fk ∈ Sk . Do ®ã ta cã biÓu diÔn f = fk1 G1 + . . . + fkn Gn víi fki ∈ Ski ∩ I vµ Gi ∈ S. Khai triÓn vÕ ph¶i råi nhãm c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng, ta biÓu diÔn ®­îc phÇn tö thuÇn nhÊt, mçi h¹ng tö ®Òu thuéc f lµ tæng cña c¸c I v× nã lµ mét tæng cña h÷u h¹n c¸c h¹ng tö mµ mçi h¹ng tö ®Òu chøa mét nh©n tö fki nµo ®ã. V× thÕ f∈ L (I ∩ Sn ). n∈Z 1.1.9 Chó ý. (i) NÕu Tõ chøng minh bæ ®Ò trªn ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: S lµ vµnh ph©n bËc Noether th× mét i®ªan I cña S lµ thuÇn nhÊt nÕu vµ chØ nÕu I cã mét hÖ sinh gåm h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt. (ii) Tæng cña hai i®ªan thuÇn nhÊt lµ i®ªan thuÇn nhÊt. (iii) Giao cña hai i®ªan thuÇn nhÊt lµ i®ªan thuÇn nhÊt. PhÇn tiÕp theo, chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña m«®un ph©n bËc. 1.1.10 §Þnh nghÜa. Cho S = L Sn lµ vµnh ph©n bËc. Mét S -m«®un X n∈Z ®­îc gäi lµ ph©n bËc nÕu cã mét hä (Xn )n∈Z c¸c nhãm con cña nhãm 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 céng X tho¶ m·n X = L Xn vµ Sm Xn ⊆ Xm+n víi mäi m, n ∈ Z. Mçi n∈Z phÇn tö cña Xn ®­îc gäi lµ phÇn tö thuÇn nhÊt bËc n. Ta quy ­íc phÇn tö 0 ∈ X cã bËc tuú ý. Tõ nay ®Õn hÕt tiÕt nµy, lu«n gi¶ thiÕt S = L Sn lµ vµnh ph©n bËc. Chó n∈Z ý r»ng nÕu X v× ta cã = L Xn lµ mét S -m«®un ph©n bËc th× mçi Xn lµ S0 -m«®un n∈Z S0 Xn ⊆ Xn . 1.1.11 §Þnh nghÜa. Cho X = L Xn lµ S -m«®un ph©n bËc. Mét m«®un n∈Z con L Y cña X ®­îc gäi lµ m«®un con ph©n bËc hay thuÇn nhÊt nÕu Y = (Y ∩ Xn ). n∈Z T­¬ng tù nh­ ®èi víi i®ªan thuÇn nhÊt, ta cã c¸c ®Æc tr­ng sau ®©y cho c¸c m«®un con thuÇn nhÊt. 1.1.12 Bæ ®Ò. Cho Y lµ mét m«®un con cña S -m«®un ph©n bËc X = L Xn . C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: n∈Z (i) Y lµ thuÇn nhÊt (ii) Víi (iii) Y P fi ∈ Y víi fi ∈ Xi khi vµ chØ khi fi ∈ Y víi mäi i = 0, . . . s. cã mét hÖ sinh gåm nh÷ng phÇn tö thuÇn nhÊt. Tõ bæ ®Ò xÐt trªn ta còng thÊy r»ng tæng cña hai m«®un con thuÇn nhÊt lµ mét m«®un con thuÇn nhÊt; giao cña hai m«®un con thuÇn nhÊt lµ mét m«®un con thuÇn nhÊt. Víi mçi m«®un con thuÇn nhÊt Y cña X , ta cã thÓ x©y dùng cÊu tróc ph©n bËc trªn m«®un th­¬ng 1.1.13 §Þnh nghÜa. X/Y nh­ sau. L Xn lµ mét S -m«®un ph©n bËc vµ Y lµ Cho X = n∈Z m«®un con ph©n bËc cña X . Víi mçi n ∈ N, ®Æt Yn = Y ∩ Xn . Khi ®ã L L Y = Yn . §Æt Z = Zn víi Zn = Xn /Yn . Khi ®ã Z lµ S -m«®un n∈Z n∈Z 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 ph©n bËc víi phÐp céng ®­îc thùc hiÖn trªn tõng thµnh phÇn tÝch v« h­íng cho bëi: víi n P a = Xn /Yn vµ ai ∈ S , trong ®ã ai ∈ Si , vµ víi i=−m f= k P (fj + Yj ) ∈ Z víi fi ∈ Xi ta ®Æt j=−t n+k  X X af =  ai fj + Yk ∈ Z. j=−m−t i+j=k DÔ thÊy ¸nh x¹ ϕ : X/Y → Z cho bëi ϕ( n P fi + Y ) = i=−m mét ®¼ng cÊu. V× thÕ n P (fi + Yi ) lµ i=−m X/Y cã cÊu tróc lµ S -m«®un ph©n bËc. B©y giê ta ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®ång cÊu ph©n bËc. 1.1.14 §Þnh nghÜa. Cho X = L Xn vµ X 0 = n∈Z ph©n bËc vµ gi÷a c¸c k ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. Mét L Xn0 lµ c¸c S -m«®un n∈Z ®ång cÊu ph©n bËc bËc k S -m«®un ph©n bËc X vµ X 0 lµ mét hä (fn )n∈N , trong ®ã mçi 0 fn : Xn → Xn+k lµ mét ®ång cÊu gi÷a c¸c S0 -m«®un. Cho K lµ mét tr­êng vµ S = K[x, y] lµ vµnh ®a thøc hai biÕn trªn K . XÐt cÊu tróc ph©n bËc tù nhiªn trªn Noether. V× cho bëi S , khi ®ã S lµ vµnh ph©n bËc chuÈn x2 ∈ S lµ phÇn tö thuÇn nhÊt bËc 2 nªn ¸nh x¹ ϕ : S → S ϕ(f ) = x2 f lµ mét ®ång cÊu ph©n bËc bËc 2. PhÇn cuèi cña tiÕt nµy dµnh ®Ó giíi thiÖu mét sè lo¹i vµnh vµ m«®un ph©n bËc quan träng ®­îc x©y dùng xuÊt ph¸t tõ mét i®ªan I trong vµnh L Rn giao ho¸n R (vµnh R bÊt k×, kh«ng nhÊt thiÕt ph©n bËc). NÕu R = n∈Z lµ vµnh ph©n bËc sao cho Rn = 0 víi mäi n < 0 th× ta gäi R lµ vµnh ∞ L L ph©n bËc kh«ng ©m vµ ta viÕt R = Rn hay R = Rn . T­¬ng tù, nÕu n=0 n≥0 L M = Mn lµ mét R-m«®un ph©n bËc sao cho Mn = 0 víi mäi n < 0 n∈Z th× ta viÕt ∞ L Mn hay M = n=0 L Mn . n≥0 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 1.1.15 §Þnh nghÜa. phÇn tö f= n P Cho I lµ i®ªan cña R. §Æt R(I) = fi vµ g = i=0 m P Khi ®ã I n . Víi hai n=0 gi trong R(I), ta ®Æt f + g = i=0 fg = ∞ L P (fi + gi ) vµ i n+m X X k=0 i+j=k hk víi hk = fi gj . R(I) lµ mét vµnh ph©n bËc víi phÐp céng vµ nh©n ë trªn. R(I) còng lµ mét R-®¹i sè. Vµnh R(I) ®­îc gäi lµ vµnh Ress hay ®¹i sè Ress ∞ L cña R øng víi I. B»ng c¸ch viÕt R(I) = I n tn , ta cã thÓ coi vµnh Ress n=0 R(I) nh­ lµ mét vµnh con cña vµnh ®a thøc R[t]. NÕu M lµ R-m«®un th× ∞ L ta cã m«®un ph©n bËc RI (M ) = I n M trªn vµnh Ress R(I) víi phÐp n=0 céng theo thµnh phÇn vµ tÝch v« h­íng cho bëi: víi trong ®ã ai i ∈ I vµ f = m P a= n P ai ∈ R(I), i=0 fi ∈ RI (M ) trong ®ã fi ∈ I i M, ta ®Æt i=0 af = M«®un ph©n bËc Ress cña n+m X X k=0 i+j=k gk víi gk = RI (M ) = M øng víi I. ∞ L (ai fj ). I n M võa x©y dùng ®­îc gäi lµ m«®un n=0 Tr­íc khi ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm vµnh vµ m«®un ph©n bËc liªn kÕt, chóng ta cÇn x©y ®ùng lo¹i vµnh vµ m«®un ph©n bËc läc. 1.1.16 §Þnh nghÜa. Cho R lµ mét vµnh. Mét d·y gi¶m R = J0 ⊇ J1 ⊇ . . . c¸c i®ªan cña R ®­îc gäi lµ mét läc cña R nÕu Jn Jm ⊆ Jn+m víi mäi n, m. Gi¶ sö R = J0 ⊇ J1 ⊇ . . . lµ mét läc. §Æt Sn = Jn /Jn+1 víi mäi 13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 n ≥ 0, vµ S = trªn ®ã ∞ L Sn . §Þnh nghÜa phÐp céng theo thµnh phÇn vµ phÐp nh©n n=0 S nh­ sau: Víi λ = x + Jn+1 ∈ Sn vµ µ = y + Jm+1 ∈ Sm , trong x ∈ Jn vµ y ∈ Jm , ®Æt λµ = xy + Jn+m+1 . Khi ®ã, víi 2 phÐp to¸n nµy, S lµ mét vµnh ph©n bËc, ®­îc gäi lµ vµnh läc cña R øng víi läc trªn. Hoµn toµn t­¬ng tù, víi mçi R-m«®un M vµ mçi läc R = J0 ⊇ J1 ⊇ . . . c¸c i®ªan cña R, ta cã mét läc M = J0 M ⊇ J1 M ⊇ . . . nh÷ng m«®un ∞ L con cña M. Khi ®ã ta cã m«®un läc ph©n bËc X = Jn M/Jn+1 M trªn vµnh läc S= ∞ L n=0 Jn /Jn+1 . n=0 1.1.17 §Þnh nghÜa. Cho I lµ mét i®ªan cña R. Khi ®ã hä (I n )n≥0 lµm thµnh mét läc. Vµnh läc ph©n bËc cña R øng víi läc nµy ®­îc kÝ hiÖu lµ GI (R), vµ ®­îc gäi lµ vµnh ph©n bËc liªn kÕt cña R øng víi I . Nh­ vËy L n n+1 GI (R) = I /I . T­¬ng tù, nÕu M lµ mét R-m«®un th× ta cã mét läc n>0 n (I M )n≥0 c¸c m«®un con cña M . M«®un ph©n bËc läc cña M øng víi läc nµy ®­îc gäi lµ m«®un ph©n bËc liªn kÕt cña hiÖu lµ GI (M ). Nh­ vËy GI (M ) = L M øng víi I vµ ®­îc kÝ I n M/I n+1 M . n>0 1.1.18 MÖnh ®Ò. Cho M lµ i®ªan cña R vµ lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã (i) Vµnh Ress lµ R lµ vµnh giao ho¸n Noether, I R(I) lµ vµnh ph©n bËc Noether vµ m«®un Ress RI (M ) R(I)-m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh. (ii) Vµnh ph©n bËc liªn kÕt kÕt GI (R) lµ Noether vµ m«®un ph©n bËc liªn GI (M ) lµ GI (R)-m«®un h÷u h¹n sinh. Chøng minh. sinh. Gi¶ sö V× R lµ vµnh Noether theo gi¶ thiÕt nªn I lµ i®ªan h÷u h¹n I = (a1 , . . . , ak )R. Khi ®ã ta cã thÓ kiÓm tra ®­îc R(I) = R[a1 , . . . , ak ]. V× a1 , . . . , ak lµ c¸c phÇn tö bËc 1 nªn R[a1 , . . . , ak ] lµ vµnh ph©n bËc chuÈn h÷u h¹n sinh. Do ®ã nã lµ vµnh Noether. V× thÕ 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 R(I) lµ vµnh Noether. DÔ thÊy ¸nh x¹ ϕ : R(I) → GI (R) cho bëi P P ϕ( ai ) = (ai + I i+1 ) lµ mét toµn cÊu ph©n bËc bËc 0. V× thÕ GI (R) lµ vµnh th­¬ng cña R(I). V× R(I) lµ vµnh Noether nªn GI (R) còng lµ vµnh Noether. Chøng minh tÝnh h÷u h¹n sinh cho m«®un Ress vµ m«®un ph©n bËc liªn kÕt lµ t­¬ng tù. 1.2 Tiªu chuÈn Artin cho m«®un ph©n bËc Trong suèt tiÕt nµy, lu«n gi¶ thiÕt R lµ mét vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ, S = R[x1 , . . . , xs ] lµ vµnh ®a thøc s biÕn víi hÖ sè trong R. XÐt S nh­ lµ L vµnh ph©n bËc chuÈn (víi deg x1 = . . . = deg xs = 1). Cho M = Mn n∈Z lµ mét S -m«®un ph©n bËc. Môc ®Ých cña tiÕt nµy lµ tr×nh bµy mét tiªu chuÈn ®Ó S -m«®un ph©n bËc M lµ Artin. Nh¾c l¹i r»ng M ®­îc gäi lµ m«®un Artin nÕu nã tháa m·n ®iÒu kiÖn mäi d·y gi¶m c¸c m«®un con ®Òu dõng, tøc lµ víi mçi d·y gi¶m c¸c m«®un con tån t¹i chØ sè N0 ⊇ N1 ⊇ . . . cña M lu«n k sao cho Nn = Nk víi mäi n ≥ k. §Þnh lÝ sau ®©y ®­îc viÕt trong bµi b¸o cña D. Kirby [K1], lµ mét trong ba kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n. 1.2.1 §Þnh lý. R[x1 , . . . , xs ]-m«®un ph©n bËc M = L Mn lµ Artin nÕu n∈Z vµ chØ nÕu tån t¹i c¸c sè nguyªn k, p sao cho (a) Mn = 0 víi mäi n > p. (b) (0 :Mn (x1 , . . . , xs )R) = 0 víi mäi n < k. (c) Mn lµ R-m«®un Artin víi mäi k 6 n 6 p. §Ó chøng minh §Þnh lÝ 1.2.1 ta cÇn mét sè bæ ®Ò sau. 1.2.2 Bæ ®Ò. Cho M= L Mn lµ S = R[x1 , . . . , xs ] lµ vµnh ®a thøc s biÕn trªn R vµ S -m«®un ph©n bËc. Khi ®ã n∈Z 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 L (i) Mn lµ m«®un con cña n≥r L (0 :Mn n6−r (iii) Víi mçi n (ii) M víi mäi r ∈ N. (x1 , . . . , xs )R) lµ m«®un con cña M , víi mäi r ∈ N. ∈ Z cho tr­íc vµ víi mçi d·y gi¶m N0 ⊇ N1 ⊇ . . . c¸c R-m«®un con cña Mn , ta cã d·y gi¶m SN0 ⊇ SN1 ⊇ . . . c¸c m«®un con cña M , trong ®ã SNi lµ m«®un con cña M sinh bëi Ni . L Cr = Mn . Cho m, m0 ∈ Cr vµ a ∈ S. BiÓu diÔn P P 0n≥r 0 m = mi vµ m = mi thµnh tæng cña h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt i≥r i≥r P mi , m0i bËc i ≥ r. ViÕt a = ai lµ tæng cña h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt i≥0 P ai bËc i ≥ 0. Khi ®ã m + m0 = (mi + m0i ) lµ tæng cña h÷u h¹n phÇn i≥r P P tö thuÇn nhÊt bËc i ≥ r vµ am = aj mi . V× thÕ m + m0 , am ∈ Cr . Chøng minh. (i) §Æt k≥ri+j=k Do ®ã Cr lµ m«®un con cña M . Chøng minh MÖnh ®Ò (ii) lµ t­¬ng tù. MÖnh ®Ò (iii) lµ hiÓn nhiªn. Cho µ lµ mét líp c¸c R-m«®un. Ta gäi µ lµ mét cña ph¹m trï c¸c ph¹m trï con Serre R-m«®un nÕu nã tháa m·n ®iÒu kiÖn: víi mçi d·y khíp 0 → M 0 → M → M 00 → 0 c¸c R-m«®un, ta cã M ∈ µ nÕu vµ chØ nÕu M 0 , M 00 ∈ µ. 1.2.3 Bæ ®Ò. Gi¶ sö m«®un. Gi¶ sö µ M, N lµ mét ph¹m trï con Serre cña ph¹m trï c¸c lµ c¸c c¸c ®ång cÊu. Khi ®ã (i) NÕu (ii) NÕu M ∈ µ vµ N = N ∈ µ vµ 0 = R-m«®un vµ fi : M → N s P Im fi th× N ∈ µ. Ker fi th× M ∈ µ. i=1 s T víi R- i = 1, . . . , s lµ i=1 Chøng minh. (ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo s. Cho s = 1. §Æt f = f1 . Khi ®ã N = Im f. Chó ý r»ng M ∈ µ. V× thÕ tõ d·y khíp 0 → Ker f → M → Im f → 0 c¸c R-m«®un vµ tõ ®Þnh nghÜa cña 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 0 µ ta suy ra N = Im f ∈ µ. Cho s > 1. §Æt N = s−1 P Im fi . Víi mçi i=1 i ∈ {1, . . . , s − 1}, xÐt t­¬ng øng fi∗ : M → N 0 cho bëi fi∗ (y) = fi (y). Do Im fi ⊆ N 0 víi mäi i = 1, . . . , s − 1 nªn fi∗ lµ ¸nh x¹. DÔ thÊy fi∗ lµ ®ång cÊu. Ta cã Im fi∗ = Im fi víi mäi i = 1, . . . , s − 1. V× thÕ s−1 P Im fi∗ = N 0 . Tõ gi¶ thiÕt M ∈ µ, ¸p dông quy n¹p cho s − 1 ®ång cÊu i=1 fi∗ víi i = 1, . . . , s − 1 ta suy ra N 0 ∈ µ. XÐt ¸nh x¹ f s : M → N/N 0 cho bëi fs∗ (y) = fs (y) + N 0 . DÔ thÊy f s lµ ®ång cÊu c¸c R-m«®un. V× Im fs + N 0 = N nªn ta cã
Im f s = {fs (y) + N 0 | y ∈ M } = Im fs + N 0 /N 0 = N/N 0 . Do ®ã ¸p dông cho tr­êng hîp mét ®ång cÊu vµ f s : M → N/N 0 víi M ∈ µ Im f s = N/N 0 ta suy ra N/N 0 ∈ µ. Do ®ã, tõ d·y khíp 0 → N 0 → N → N/N 0 → 0 c¸c R-m«®un víi N 0 , N/N 0 ∈ µ vµ tõ ®Þnh nghÜa cña µ ta suy ra N ∈ µ. (ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo Khi ®ã ta s. Cho s = 1. §Æt f = f1 . Ker f = 0. Suy ra f : M → N lµ ®¬n cÊu. Ta cã d·y khíp f 0 → M → N → N/M → 0 c¸c R-m«®un. V× N ∈ µ nªn theo ®Þnh nghÜa cña µ ta suy ra M ∈ µ. Cho s > 1 vµ gi¶ thiÕt kÕt qu¶ ®· ®óng cho s−1 T 0 tr­êng hîp s − 1. §Æt M = Ker fj . Râ rµng M 0 lµ m«®un con cña j=1 M . Víi mçi i ∈ {1, . . . , s − 1}, xÐt t­¬ng øng f i : M/M 0 → N cho bëi f i (y + M 0 ) = fi (y). NÕu y + M 0 = z + M 0 th× y − z ∈ M 0 ⊆ Ker fi , do ®ã fi (y − z) = 0 hay fi (y) = fi (z). V× thÕ f i lµ ¸nh x¹. DÔ kiÓm tra ®­îc 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 f i lµ ®èng cÊu c¸c R-m«®un. Ta cã s−1 \ Ker f i = {y + M 0 ∈ M/M 0 | f i (y + M 0 ) = 0, ∀i = 1, . . . , s − 1} i=1 = {y + M 0 ∈ M/M 0 | fi (y) = 0, ∀i = 1, . . . , s − 1} = {y + M 0 ∈ M/M 0 | y ∈ Ker fi , ∀i = 1, . . . , s − 1} = {y + M 0 ∈ M/M 0 | y ∈ M 0 } = 0. V× thÕ, theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã cho bëi fs∗ (y) M/M 0 ∈ µ. XÐt ¸nh x¹ fs∗ : M 0 → N = fs (y) (chó ý r»ng fs∗ lµ h¹n chÕ cña fs trªn m«®un con M 0 cña M ). Râ rµng fs∗ lµ ®ång cÊu c¸c R-m«®un. Theo gi¶ thiÕt ta cã Ker fs∗ = {y ∈ M 0 | fs∗ (y) = fs (y) = 0} = {y ∈ s−1 \ Ker fj | y ∈ Ker fs } j=1 = s \ Ker fj = 0. j=1 V× thÕ ¸p dông tr­êng hîp cho mét ®ång cÊu fs∗ : M 0 → N víi N ∈ µ vµ Ker fs∗ = 0 ta suy ra M 0 ∈ µ. Tõ d·y khíp 0 → M 0 → M → M/M 0 → 0 víi M 0 , M/M 0 ∈ µ vµ tõ ®Þnh nghÜa cña µ ta suy ra M ∈ µ. Gi¶ sö M lµ R-m«®un. §Æt AnnR M = {a ∈ R | aM = 0}. DÔ thÊy AnnR M lµ mét i®ªan cña R. Gi¶ sö I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã M cã cÊu tróc tù nhiªn lµ vµ chØ nÕu R/I -m«®un víi tÝch v« h­íng (r + I)m = rm nÕu I ⊆ AnnR M. ThËt vËy, nÕu M lµ R/I -m«®un th× víi mçi a ∈ I vµ mçi m ∈ M ta cã am = (a + I)m = (0 + I)m = 0, vµ do ®ã a ∈ AnnR M , tøc lµ I ⊆ AnnR M. Ng­îc l¹i, nÕu I ⊆ AnnR M th× t­¬ng øng ϕ : R/I × M → M cho bëi ϕ(r + I, m) = rm lµ ¸nh x¹, vµ ta dÔ kiÓm tra ®­îc M lµ R/I -m«®un víi phÐp céng ®· cã vµ tÝch v« h­íng lµ ¸nh x¹ nµy. 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 1.2.4 Bæ ®Ò. Cho L M = víi t Mn S = R[x1 , . . . , xs ] S -m«®un lµ lµ vµnh ®a thøc ph©n bËc. §Æt s biÕn trªn R vµ t Nt = (0 :M xt+1 s R)/(0 :M xs R) n∈Z ≥ 0. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng (i) Nt lµ mét nhiªn lµ mét S -m«®un ph©n bËc víi mäi t≥0 vµ Nt cã cÊu tróc tù R[x1 , . . . , xs−1 ]-m«®un. (ii) Quy t¾c αt : Nt → Nt−1 cho bëi αt (y + (0 :M xts R)) = xs y + (0 :M xt−1 s R) lµ ®¬n cÊu ph©n bËc bËc (iii) KÝ hiÖu βt : Nt → N0 lµ ®¬n cÊu ph©n bËc bËc Chøng minh. bËc cña sö 1 víi mäi t ≥ 1. lµ ®ång cÊu hîp thµnh α1 . . . αt . Khi ®ã βt t víi mäi t ≥ 1. (i) Tr­íc hÕt ta chøng minh (0 :M xts R) lµ m«®un con ph©n M víi mäi t. Râ rµng (0 :M xts R) lµ mét m«®un con cña M . Gi¶ m = mp + mp+1 + . . . + mk ∈ (0 :M xts R), trong ®ã mi ∈ Mi víi i = p, p + 1, . . . , k. Khi ®ã 0 = xts m = xts mp + xts mp+1 + . . . + xts mk . Chó ý r»ng xts mi ∈ Mi+t víi mäi i = p, p + 1, . . . , k. Do 0 chØ cã mét biÓu diÔn duy nhÊt thµnh tæng cña h÷u h¹n phÇn tö thuÇn nhÊt nªn ta cã víi mäi i = p, p + 1, . . . , k. Suy ra mi ∈ (0 :Mi xts R) ⊆ (0 :M xts R). Theo Bæ ®Ò 1.1.12, (0 :M xts R) lµ m«®un con ph©n bËc cña M . V× (0 :M xts R) lµ m«®un con thuÇn nhÊt cña m«®un ph©n bËc th­¬ng Nt tïy ý xts mi = 0 (0 :M xt+1 s R) nªn m«®un t = (0 :M xt+1 s R)/(0 :M xs R) còng lµ ph©n bËc. LÊy mét phÇn tö t m + (0 :M xts R) ∈ Nt víi m ∈ (0 :M xt+1 s R). Khi ®ã xs (xs m) = 0. Do ®ã xs m ∈ (0 :M xts R). Suy ra xs m + (0 :M xts R) = 0 + (0 :M xts R). V× thÕ xs Nt = 0, tøc lµ xs S ⊆ AnnS Nt . Do ®ã Nt cã cÊu tróc tù nhiªn lµ S/xs S -m«®un. V× S/xs S ∼ = R[x1 , . . . , xs−1 ] nªn Nt cã cÊu tróc lµ R[x1 , . . . , xs−1 ]-m«®un ph©n bËc. (ii) Cho ®ã ta cã y + (0 :M xts R) ∈ Nt , trong ®ã y ∈ (0 :M xt+1 s R). Khi t t 0 = xt+1 s y = xs (xs y). Suy ra xs y ∈ (0 :M xs R). Nªn ta cã 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 xs y + (0 :M xt−1 s R) ∈ Nt−1 . V× vËy, αt lµ ¸nh x¹. DÔ thÊy αt lµ ®ång cÊu ph©n bËc bËc 1. Ngoµi ra, αt lµ ®¬n cÊu. ThËt vËy, gi¶ sö ta cã y + (0 :M xts R) vµ y 0 + (0 : M xts R) lµ 2 phÇn tö cña Nt tho¶ m·n 0 t−1 0 xs y + (0 :M xt−1 s R) = xs y + 0 :M xs R. Khi ®ã xs y − xs y ∈ (0 :M 0 t−1 xt−1 = 0. Suy ra y − y 0 ∈ (0 :M xts R). Nªn s R) hay ta cã xs (y − y ).xs y + (0 :M xts R) = y 0 + (0 :M xts R). (iii) Ta cã nÕu N0 = (0 :M xs R). Râ rµng βt lµ ®ång cÊu ph©n bËc bËc t v× y + (0 :M xts R) ∈ Nt víi y thuÇn nhÊt bËc n th× y ∈ (0 :Mn xt+1 s R), βt (y + (0 :M xts R)) = xts y ∈ (0 :Mn+t xs R) ⊆ N0 , tøc lµ vµ do ®ã βt (y + (0 :M xts R)) lµ phÇn tö thuÇn nhÊt bËc n + t trong N0 . CÇn chó ý r»ng mçi αt lµ ®¬n cÊu vµ do ®ã βt = α1 .....αt lµ ®¬n cÊu ph©n bËc t. S = R[x1 , . . . , xs ] 1.2.5 Bæ ®Ò. Cho M = L Mn lµ n∈Z lÝ 1.2.1. KÝ hiÖu S -m«®un Nt vµ lµ vµnh ®a thøc s biÕn trªn R vµ ph©n bËc tháa m·n ®iÒu kiÖn (a) trong §Þnh αt : Nt → Nt−1 nh­ trong Bæ ®Ò 1.2.4. Víi mçi A cña M vµ mçi t ≥ 0, ®Æt  . t t+1 At = (A + 0 :M xs R) ∩ (0 :M xs R) (0 :M xts R). m«®un con C¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng (i) NÕu A⊆B (ii) NÕu A⊆B (iii) D·y th× At ⊆ Bt víi mäi t ≥ 0. vµ At = Bt víi mäi t ≥ 0 th× A = B. A0 , β1 (A1 ), β2 (A2 ), . . . lµ mét d·y gi¶m c¸c m«®un con cña R[x1 , . . . , xs−1 ]-m«®un N0 . Chøng minh. (i) Víi mçi t ≥ 0, v× A ⊆ B nªn A + (0 :M xts R) ⊆ B + (0 :M xts R). Suy ra At ⊆ Bt . (ii) Cho A ⊆ B vµ At ⊆ Bt víi mäi t. Gi¶ sö A 6= B. Khi ®ã B 6⊆ A. LÊy b ∈ B \ A. Theo gi¶ thiÕt (a) trong §Þnh lÝ 1.2.1, ta cã 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn