Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học tích phân itô - wiener nhiều chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Chuyên ngành: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin dành cho bậc sinh thành và gia đình, những người đã nuôi dưỡng, giáo dục, động viên về tinh thần cũng như vật chất trong suốt quá trình học tập. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn – Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo những khó khăn, trở ngại trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu cùng quý Thầy, Cô trong Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và đặc biệt là các Thầy: TS Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến , GS.TSKH Nguyễn Văn Thu đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian theo học Cao học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn và Thầy phản biện đã đọc và đóng góp cho tôi những ý kiến quý báu. Tôi cũng không thể không kể đến sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn Cao học chuyên ngành Xác Suất Thống Kê khóa 16. Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2009 Tác giả Nguyễn Văn Cần LỜI MỞ ĐẦU 2 Trong luận văn này, chúng ta chủ yếu nghiên cứu về tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều, tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và lớp các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy. Trong đó tích phân ngẫu nhiên Itô - Wiener một chiều và tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều được xây dựng dựa trên các tính chất của quá trình Wiener (hay quá trình chuyển động Brown). Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Phần đầu trình bày về các kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc sử trong các phần tiếp theo của luận văn như là: không gian xác suất cơ sở, quá trình ngẫu nhiên liên tục, quá trình ngẫu nhiên đo được, các định lý hội tụ trong xác suất, vv… . Phần tiếp theo là nội dung nghiên cứu của luận văn, trong phần này ta đi xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ dựa vào việc xấp xỉ hàm bất kỳ đó bởi dãy hàm sơ cấp (hay hàm bậc thang), và trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều. Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất của vi phân ngẫu nhiên Itô, trong phần này ta đưa ra một số công thức vi phân ngẫu nhiên Itô đặc biệt, nó là công cụ tuyệt vời cho việc tính các tích phân ngẫu nhiên hay phương trình vi phân ngẫu nhiên thường gặp trong toán tài chính cũng như trong kĩ thuật bởi ngày nay lý thuyết giải tích ngẫu nhiên đã xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực. Chương II: Phần đầu trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, như vậy để tính tích phân Itô – Wiener nhiều chiều thực chất là tính tích phân Itô lặp. Tiếp theo, trình bày về cách xác định đa thức Hermite và các tính chất quan trọng của nó. Phần cuối là một kết quả rất đặc biệt, đó là mối liên hệ giữa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều. 3 Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá trình Lévy sau đó ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy và đưa ra các tính chất cơ bản của tích phân này. Tiếp theo là trình bày phần ứng dụng của quá trình Lévy trong tài chính bằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất cơ sở P tương đương địa phương độ đo Q theo quá trình mật độ Zt dQ ). dP t 4 Mục luc Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1 Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2 Mục lục…………………………………………………………………… ……….4 Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8 Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều…………………….……..10 §1.1. Những khái niệm cơ bản……………………………………………………10 1.1.1. Định nghĩa đại số…………………………………………….....10 1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất……………………………………..10 1.1.3. Định nghĩa biến ngẫu nhiên………………………………………....11 1.1.4. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên…………………………………….11 1.1.5. Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………………12 1.1.6. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được…………………………...12 1.1.7. Định nghĩa bộ lọc……………………………………………… ……12 1.1.8. Định nghĩa matingale…………………………………………… …..13 1.1.9. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được dần………………………13 1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất……………………………………...14 1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn………………………………… ….14 1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)………………………………..14 §1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều…………......…………………………...15 1.2.1. Định nghĩa lịch sử và tương lai của quá trình Wiener…..…………...15 1.2.2. Định nghĩa……………………………………………… …………...16 1.2.3. Định nghĩa…………………………………………… ……………...16 1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình phương khả tích..………………...16 1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp.……………………………………………...17 5 1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp………………..17 1.2.7. Bổ đề xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp………………….......17 1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ………………..18 1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô…………………………..18 1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21 §1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô……………………………………………………...23 1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ………...23 1.3.2. Định lý công thức vi phân Itô một chiều…………………………….24 1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28 1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên……...28 1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30 1.3.6. Tính chất công thức vi phân…………………………………………31 1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31 1.3.8. Tính chất công thức vi phân…………………………………………32 1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33 1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34 1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34 1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô…………………………….34 1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều………………………...35 §1.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… ...36 1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes………………......37 1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39 1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41 Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều……………………......44 §2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều…..…………………….....44 2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng……………………………………………44 2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… ...44 6 2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45 2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp…………………………………………45 2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều...……………………47 §2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48 2.2.1. Tính chất công thức đa thức hermite………………………………...48 2.2.2. Tính chất đệ qui…………………………………………………… ...49 2.2.3. Tính chất………………………………………………………… ......50 2.2.4. Tính chất trực giao………………………………………………… ...52 2.2.5. Tính chất đa thức Hermite biểu diễn thành tích phân Itô – Wiener nhiều chiều………………………………………………… ……......55 Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhiên…………58 §3.1. Quá trình Levy…………………………………………………………… ...58 3.1.1. Định nghĩa quá trình Levy……………………………………… …...58 3.1.2. Định lý các tính chất của quá trình Levy…………………………….58 3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine………………………………..60 §3.2. Tính chất Markov mạnh của quá trình Levy………………………………..60 3.2.1. Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… ..61 3.2.2. Bổ đề…………………………………………………………… ……61 3.2.3. Bổ đề……………………………………………………… …………62 3.2.4. Tính chất………………………………………………… …………..63 3.2.5. Tính chất……………………………………………… ……………..64 3.2.6. Định lý……………………………………………… ……………….65 §3.3. Tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy………………………………… 66 3.3.1. Định nghĩa tích phân hàm bậc thang………………………………...66 3.3.2. Tính chất……………………………………………… ……………..67 3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy………………69 3.3.4. Tính chất……………………………………………………… ……..69 7 3.3.5. Tính chất công thức tích phân từng phần……………………………70 3.3.6. Ví dụ…………………………………………………………… ……71 §3.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… ...71 3.4.1. Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72 3.4.2. Tính chất…………………………………………………………… ..73 3.4.3. Tính chất………………………………………………………… …..74 3.4.4. Tính chất……………………………………………………… ……..76 3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ………..78 Kết luận………………………………………………………………………… ...80 Tài liệu tham khảo..................................................................................................81 8 BẢNG KÝ HIỆU d P không gian Euclide d chiều d Borel đại số của d hội tụ theo xác suất hcc. . hầu chắc chắn bằng nhau theo phân phối d exp x ex 1A x hàm chỉ tiêu: = 1 nếu x A = 0 nếu x A t trường sinh bởi biến ngẫu nhiên Xt X , tX X s ,0 s t toán tử Laplace: f d xi i toán tử Gradient: f f f 2 2 f, , x1 o t t0 hàm vô cùng bé có bậc cao hơn bậc của t t0 xd 9 trường tích nhỏ nhất chứa các tập có dạng 0,t A với t ,A chuẩn trong không gian Banach loc tương đương địa phương mgf hàm sinh moment ˆz hàm đặc trưng của phân phối Thời điểm dừng: : t t , t 0, kết thúc một chứng minh . Chương I Lu10 ận văn thạc sĩ toán học CHƯƠNG I TÍCH PHÂN ITÔ - WIENER MỘT CHIỀU §1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn, ta nhắc lại những kiến thức cơ bản dưới dạng kết quả mà không chứng minh. Đây là những kiến thức cần thiết sử dụng cho các phần tiếp theo của luận văn này. Định nghĩa 1.1.1: σ − đại số Giả sử A là lớp nào đấy các tập con của Ω , khi đó A được gọi là σ − đại số (hay σ− trường) nếu: (i) Ω∈A ; (ii) A∈A⇒Ac ∈A; ∞ ∈A, k =1,2,⇒ k ∪ =1 (iii) Ak Ak ∈A . Định nghĩa 1.1.2: Không gian xác suất Cho Ω là một tập hợp, F là một σ − đại số của các tập con trong Ω , và P là một độ đo trên F . Khi đó bộ ba (Ω,F,P) được gọi là một không gian đo. Nếu P(Ω) =1 thì (Ω,F,P) được gọi là không gian xác suất. Chương I Lu11 ận văn thạc sĩ toán học Cho không gian xác suất (Ω,F,P), bất kỳ tập A∈F được gọi là biến cố (hay sự kiện) và P[A] được gọi là xác suất của biến cố A. Tập hợp tất cả những tập ( ) được gọi là Borel σ − đại số của . Một hàm thực f (x) trên được gọi là đo được nếu nó là B( )− đo được. Ta nói F là độ đo xác suất trên nếu F là một độ đo xác suất trên ( ,B( )). Borel trên d , ký hiệu là B d d d d d d d Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên Cho (Ω,F,P) là không gian xác suất, một ánh xạ X :Ω → d là một biến ngẫu nhiên trên d nếu nó là F − đo được, tức là {ω: X (ω)∈B}∈F cho mỗi B∈B B ( ) là Borel σ− đại số của d Cho B∈B trên B d ( ), ta viết P⎡ω⎣ : X (ω)∈B⎤⎦ tương đương P(X ∈B). Độ đo xác suất d d . Nếu hai biến ngẫu nhiên X,Y d trên d d . ( ) được gọi là phân phối trên d ( ), trong đó có cùng phân phối, tức là PX = PY thì ta viết X =Y . Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên Chương I Lu12 ận văn thạc sĩ toán học Họ các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên d : {Xt :t ≥ 0} xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω,F ,P) được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Để đơn giản ta thường ký hiệu nó là Xt (hoặc bằng các ký hiệu sau: X (t), Xt (ω), X (t,ω)). • Nếu cố định các thời điểm t, 0 ≤ t1 < t2 < ...< tm khi đó: P⎡⎣X (t1 )∈B1,..., X (tm )∈Bm ⎤⎦ sẽ xác định một độ đo xác suất trên B (( ) ). d m • Họ của các độ đo xác suất trên với mọi cách chọn t1,...,tm; m∈ N , được gọi là phân phối hữu hạn chiều của quá trình Xt . Ta ký hiệu nó là: Ft1,...,tm (x1,...,xm )= P⎡⎣X (t1 )< x1,..., X (tm )< xm ⎤⎦ . (1.1) Định nghĩa 1.1.5: Liên tục ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Xt được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu: lim P (X s − Xt>ε) = 0; ∀ε> 0; ∀t ∈[0,∞) s→t Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo được Ta nói rằng quá trình Xt là đo được nếu ánh xạ: (1.2) Chương I Xt : ( + ×Ω,B+ ⊗F Lu13 ận văn thạc sĩ toán học ) → ( ,B) là đo được đối với σ− trường tích B + ⊗F . Trong đó B+ ⊗F là σ− trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0,t]× A với t∈ +, A∈F . • Mọi quá trình Xt liên tục đều đo được. Định nghĩa 1.1.7: Bộ lọc (1) Họ các σ− trường con Ft ⊂ F được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa các điều kiện sau: i. Fs ⊂ Ft ∀0 ≤ s ≤ t < ∞ (họ luôn tăng) ii. Ft Ft (1.3) (họ liên tục phải) (1.4) iii. Nếu A∈F và P(A) = 0 ⇒ A∈F0 (1.5) (2) Khi bổ sung vào không gian xác suất bộ lọc {Ft} ta gọi đó là không gian được lọc và ký hiệu là (Ω,F ,(Ft ),P). (3) Quá trình ngẫu nhiên {Xt :t ≥ 0} được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft :t ≥ 0} nếu với mỗi t ≥ 0, Xt là Ft − đo được. Đị nh nghĩa 1.1.8: Matingale Chương I Lu14 ận văn thạc sĩ toán học Cho quá trình ngẫu nhiên {Mt ,t ≥ 0} thích nghi với bộ lọc {Ft :t ≥ 0} thỏa các điều kiện sau: E Mt < ∞ ∀t ≥ 0 (1.6) h.c E(Mt / Fs ) = M s ∀0≤s≤t<∞ (1.7) Khi đó Mt được gọi là Mactingale đối với bộ lọc Ft = σ(M s,0 ≤ s ≤ t) = FtM . Định nghĩa 1.1.9: Quá trình ngẫu nhiên đo được dần (i) Ta nói rằng quá trình Xt là đo được dần nếu với mỗi t ≥ 0 nó đo được với σ− trường tích B FtX , trong đó: B[0,t] là σ− trường Borel trên đoạn [0,t], FtX là σ− trường sinh bởi biến ngẫu nhiên Xt (ω), FtX =σ(X s, 0 ≤ s ≤ t) (ii) { } (1.8) Họ σ− trường FtX :t ≥ 0 thường được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình Xt , hay là lịch sử của Xt . Chương I Lu15 ận văn thạc sĩ toán học • Về σ− trường FtX ta có thể hiểu như tập hợp của tất cả các biến cố mà có thể nhận biết được sự xuất hiện của chúng nhờ quan sát hàm ngẫu nhiên của ta cho đến thời điểm t . Định nghĩa 1.1.10: Hội tụ theo xác suất Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn : n =1,2, } trên d được gọi là hội tụ ngẫu nhiên hay hội tụ theo xác suất đến X nếu cho mỗi ε> limn→∞P⎡⎣Xn 0, − X>ε⎤⎦= 0. (1.9) P Ký hiệu là: Xn → X . Định nghĩa 1.1.11: Hội tụ hầu chắc chắn Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến X , ký hiệu: Xn → X hcc. . nếu P⎡limn→∞ Xn (ω) = X (ω)⎤⎦ =1. ⎣ Định lý 1.1.12: Hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội) (1.10) Chương I Lu16 ận văn thạc sĩ toán học Nếu tất cả Xn , với mọi ω, bị trội trong giá trị tuyệt đối bởi một biến ngẫu nhiên dương Y có kỳ vọng hữu hạn: Xn ≤Y ∀n, E(Y)<∞ Z hcc. . thì E(Xn ) → E(Z) khi n → ∞. (1.11) và Xn → (1.12) §1.2 TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER MỘT CHIỀU Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích b phân có dạng tạm ký hiệu là I = ∫ f (t,ω)dWt , trong đó f (t,ω) là một hàm ngẫu a nhiên (hay quá trình ngẫu nhiên), còn Wt là một quá trình Wiener. Do nhu cầu đó mà vào khoảng năm 1940 – 1941, nhà toán học K. Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc “ ánh xạ đẳng cự “, và tích phân này mang tên ông. Sau này tích phân ngẫu nhiên Itô đã được các nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu về nó và đặc biệt là ứng dụng của nó trong lĩnh vực tài chính, chứng khoán, vv… Năm 2006, K. Itô đã được hội toán học thế giới tặng giải thưởng Gauss. Để xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều thì trước tiên ta định nghĩa tích phân Itô cho một hàm sơ cấp trong L2 (0,T ), tiếp theo ta xấp xỉ một hàm ngẫu nhiên bất kỳ trong L2 (0,T ) bởi một dãy hàm sơ cấp trong L2 (0,T ), sau đó qua phép toán lấy giới hạn ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ trong L2 (0,T ). Cho W (•) là quá trình Wiener xác định trên không gian xác suất (Ω,F,P). Chương I Lu17 ận văn thạc sĩ toán học Định nghĩa 1.2.1: Lịch sử và tương lai của quá trình Wiener σ− đại số W (t):= F (W (s)| 0 ≤ s ≤ t) gọi là lịch sử của quá trình Wiener (i) theo thời gian t . (ii) σ− đại số W + (t) := F (W (s) −W (t) | s ≥ t) gọi là tương lai của quá trình Wiener theo thời gian t . Định nghĩa 1.2.2: Họ F (•) của σ−đại số ⊆ F gọi là thích nghi (đối với W (•)) nếu: F (t) ⊇F (s) (1.13) (i) F (t) ⊇W(t) (ii) (iii) ∀t ≥ s ≥ 0 ∀t ≥ 0 F (t) là độc lập của W + (t) (1.14) ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.3: Quá trình ngẫu nhiên thực G(•) gọi là thích nghi (đối với F (•)) nếu mỗi t ≥0, G(•) là F (t) đo được.