§¹i häc Quèc gia Hµ Néi
Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn
Ng« Quèc Anh
TÝnh gi¶i ®-îc cña mét líp hÖ ph-¬ng
tr×nh elliptic kh«ng tuyÕn tÝnh
LuËn v¨n Th¹c sÜ Khoa häc
Hµ Néi - 2007
Tãm t¾t
Lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®-îc nghiªn cøu ®Çu
tiªn trong c¸c c«ng tr×nh cña Euler, d'Alembert, Lagrange vµ Laplace nhlµ mét c«ng cô chÝnh ®Ó m« t¶ c¬ häc còng nh- m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt
lý. Vµo gi÷a thÕ kû XIX víi sù xuÊt hiÖn cña c¸c c«ng tr×nh cña Riemann,
lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®· chøng tá lµ mét c«ng
cô thiÕt yÕu cña nhiÒu ngµnh to¸n häc. Cuèi thÕ kû nµy, H. PoincarÐ ®·
chØ ra mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o
hµm riªng vµ c¸c ngµnh to¸n häc kh¸c. Sang thÕ kû XX, lý thuyÕt ph-¬ng
tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ph¸t triÓn v« cïng m¹nh mÏ nhê cã c«ng cô
gi¶i tÝch hµm ®Æc biÖt lµ tõ khi xuÊt hiÖn lý thuyÕt hµm suy réng do S.L.
Sobolev vµ L. Schwartz x©y dùng.
Kh«ng dõng l¹i ë viÖc nghiªn cøu ®Þnh tÝnh hoÆc ®Þnh l-îng c¸c bµi
to¸n ph-¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng cô thÓ, lý thuyÕt ph-¬ng tr×nh
vi ph©n ®¹o hµm riªng cßn nghiªn cøu trªn ph-¬ng diÖn gi¶i tÝch c¸c m«
h×nh trong sinh häc, trong kinh tÕ, trong ho¸ häc vµ vËt lý thiªn v¨n mµ
vÝ dô tiªu biÓu lµ m« h×nh khuyÕch t¸n trong sinh häc vµ trong ho¸ häc.
Khi xÐt mét bµi to¸n ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (cã thÓ ®ã lµ bµi to¸n
biªn, bµi to¸n ®iÒu kiÖn ban ®Çu, bµi to¸n ®iÒu kiÖn hçn hîp,..) ta th-êng
gÆp nh÷ng kh¶ n¨ng kh¸c nhau vÒ nghiÖm cña nã nh-ng nh×n chung c¸c
vÊn ®Ò ®Æt ra ®èi víi nghiÖm cña mét bµi to¸n lµ
? sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n;
? tÝnh duy nhÊt nghiÖm;
? tÝnh tr¬n cña nghiÖm.
M« h×nh ®¬n gi¶n nhÊt cña bµi to¸n khuyÕch t¸n cã d¹ng
∂u
= D∆u + f (x, u)
∂t
x ∈ Ω ⊂ RN
,
,
t > 0,
(1)
ë ®©y u ∈ RN , D lµ ma trËn N × N vµ f lµ mét hµm tr¬n. Khi ®ã nghiÖm
bÒn v÷ng (kh«ng phô thuéc vµo thêi gian) cña bµi to¸n trong tr-êng hîp
1
hai chiÒu víi ma trËn
D=
1
0
0
1
!
dÉn chóng ta ®Õn viÖc nghiªn cøu bµi to¸n ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
cho hÖ elliptic nöa tuyÕn tÝnh víi phÇn chÝnh lµ to¸n tö Laplace sau ®©y
−∆u = λu + δv + f (u, v) trong Ω,
−∆v = θu + γv + g (u, v) trong Ω,
(2)
u = v = 0 trªn ∂Ω,
trong ®ã Ω ⊂ RN (N > 1) lµ miÒn bÞ chÆn víi biªn tr¬n.
V× vËy, trong LuËn v¨n nµy chóng t«i tËp trung nghiªn cøu sù tån t¹i
nghiÖm cña bµi to¸n trªn.
LuËn v¨n bao gåm 3 ch-¬ng chÝnh sau ®©y
1. Ch-¬ng 1
Ch-¬ng 1 dµnh ®Ó tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ c¸c kh«ng
gian Sobolev, c¸c tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña to¸n tö Laplace, nguyªn lý
cùc ®¹i m¹nh,...
2. Ch-¬ng 2
Môc ®Ých chÝnh cña ch-¬ng lµ chøng minh sù tån t¹i vµ tÝnh duy nhÊt
nghiÖm cña bµi to¸n (2) víi ®iÒu kiÖn f, g : Ω × R → R lµ c¸c hµm
Lipschitz theo u, v; nghÜa lµ
|f (u, v) − f (e
u, e
v )| ≤ k1 (|u − u
e| + |v − e
v|),
|g(u, v) − g(e
u, e
v )| ≤ k2 (|u − u
e| + |v − e
v|),
®óng víi mäi u, u
e, v, ve ∈ R.
Ph-¬ng ph¸p sö dông ë ®©y lµ ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt. ý
t-ëng ë ®©y lµ sö dông ph©n tÝch tæng trùc tiÕp
H01 (Ω) = X ⊕ Y
2
trong ®ã X lµ kh«ng gian mét chiÒu sinh bëi hµm riªng øng víi gi¸
trÞ riªng ®Çu tiªn cña to¸n tö −∆. Víi ph©n tÝch trªn ta quy vÒ xÐt
tÝnh gi¶i ®-îc cña hÖ
u0 = P (−∆)−1[λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)],
(3)
v0 = P (−∆)−1[θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)],
vµ cña hÖ
z = Q(−∆)−1 [λ(u0 + z) + δ(v0 + w) + f (u0 + z, v0 + w)],
w = Q(−∆)−1 [θ(u0 + z) + γ(v0 + w) + g(u0 + z, v0 + w)].
(4)
Trong ®ã P vµ Q lÇn l-ît lµ c¸c phÐp chiÕu tõ H 01 (Ω) lªn X vµ Y .
Víi mçi (u0, v0 ) ∈ X × X cè ®Þnh, ta gi¶i bµi to¸n (4) vµ gi¶ sö
nghiÖm nhËn ®-îc lµ (z0, w0 ) ∈ Y × Y . Thay nghiÖm võa t×m ®-îc
vµo bµi to¸n (3) ®Ó gi¶i vµ gi¶ sö nghiÖm t×m ®-îc cña bµi to¸n (3)
lµ (u0 , v0 ). Khi ®ã nghiÖm cña bµi to¸n (2) sÏ lµ (u 0 + z0 , v0 + w0).
KÕt hîp víi nguyªn lý ¸nh x¹ co, chóng t«i chØ ra ®-îc r»ng víi mçi
(u0 , v0 ) ∈ X × X cè ®Þnh, hÖ (4) cã nghiÖm duy nhÊt nÕu
(|λ| + k1 )2 + (|δ| + k1 )2 + (|θ| + k2 )2 + (|γ| + k2 )2 ≤ λ22 .
NÕu
λ22
(|λ| + k1 ) + (|δ| + k1 ) + (|θ| + k2 ) + (|γ| + k2 ) ≤
2
2
2
2
2
vµ
4(k12 + k22 )((λ1 − λ)2 + (λ1 − γ)2 + θ2 + δ 2 )
4(k12 + k22 )
1+
<1
((λ1 − λ)(λ1 − γ) − θδ)2
λ22 − 2l
th× bµi to¸n (3) cã nghiÖm duy nhÊt trong X × X.
Còng ph¶i nhÊn m¹nh ë ®©y r»ng trong tr-êng hîp ®ang xÐt λ 1 kh«ng
ph¶i lµ gi¸ trÞ riªng cña ma trËn thùc A. §©y lµ kÕt qu¶ míi vµ ®·
®-îc t¸c gi¶ c«ng bè ë Electron. J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11.
3
3. Ch-¬ng 3
Bµi to¸n ®-îc ®Ò cËp trong ch-¬ng 3 lµ
−∆u = λu + δv + f (x, u, v) trong Ω,
−∆v = δu + γv + g (x, u, v) trong Ω,
(5)
u = v = 0 trªn ∂Ω,
ë ®©y f vµ g lµ c¸c hµm CarathÐodory tháa m·n
|f (x, u, v)| + |g (x, u, v)| 6 a (|u| + |v|)σ + b
(6)
trong ®ã a, b > 0, σ lµ c¸c h»ng sè nµo ®ã víi
≤ N + 2 , nÕu N ≥ 3,
N −2
0 ≤σ
< +∞,
nÕu N = 1, 2.
Kh¸c víi ch-¬ng 2, chóng t«i kh«ng gi¶ thiÕt tÝnh Lipschitz ®èi víi
f vµ g tuy nhiªn l¹i cÇn sù tån t¹i hµm F sao cho
∂F
(x, u, v) ,
∂u
∂F
g (x, u, v) =
(x, u, v) .
∂v
f (x, u, v) =
vµ
∇F (x, U)
=0 ,
|U|→+∞
|U|
®óng víi mäi x ∈ Ω.
∀U ∈ R2
lim
(7)
Víi ®iÒu kiÖn (6), phiÕm hµm liªn kÕt
Z
1
2
2
2
2
|∇u(x)| + |∇v(x)| − λu(x) − 2δu(x)v(x) − γv(x) dx
2 Ω
Z
−
F (x, U) dx.
Ω
thuéc líp C 1 . NghiÖm cña bµi to¸n (theo nghÜa yÕu) lµ ®iÓm tíi h¹n
cña phiÕm hµm liªn kÕt trªn.
Víi ®iÒu kiÖn (7) vµ
λ+γ
±
2
s
λ−γ
2
4
2
+ δ 2 6= λj
,
∀j
trong ®ã λj (j ≥ 1) lµ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö −∆ trong
miÒn Ω, chóng t«i chøng minh ®-îc phiÕm hµm liªn kÕt tháa m·n
®iÒu kiÖn Palais-Smale.
B»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp ®Þnh lý ®iÓm yªn ngùa chóng t«i chØ ra
®-îc sù tån t¹i nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (5).
Ngoµi hai ch-¬ng chÝnh ®· nãi ë trªn, LuËn v¨n cßn bao gåm nh÷ng phÇn
phô n÷a nh- lµ Më ®Çu, Lêi c¶m ¬n, Danh môc c¸c ký hiÖu, Môc lôc,...
LuËn v¨n ®-îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i Khoa To¸n-C¬-Tin häc, §¹i
häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi d-íi sù h-íng dÉn trùc
tiÕp cña PGS.TS. Hoµng Quèc Toµn.
5
1
Mét sè tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña to¸n tö
Laplace trong miÒn bÞ chÆn
1.1
C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Kh«ng gian H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Mét sè bÊt ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2
BÊt ®¼ng thøc Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Nguyªn lý cùc ®¹i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Trong ch-¬ng nµy, chóng ta xÐt c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ phæ cña to¸n
tö −∆ trong miÒn bÞ chÆn.
1.1 C¸c kh«ng gian Sobolev
Gi¶ thiÕt Ω ⊂ RN lµ miÒn më bÞ chÆn víi biªn ∂Ω tr¬n. Ta ®Þnh nghÜa
kh«ng gian Sobolev
W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) |D αu ∈ Lp (Ω) , ∀α : |α| ≤ k }
víi chuÈn t-¬ng øng lµ
kukpW k,p =
X
|α|≤k
|D αu|pp .
§Æc biÖt, H 1(Ω) = W 1,2 (Ω), tøc lµ,
H 1 (Ω) = {u ∈ L2 (Ω)D 1 u ∈ L2 (Ω)}.
Kh«ng gian H 1 (Ω) ®-îc trang bÞ tÝch v« h-íng
1.1. C¸c kh«ng gian Sobolev
3
(u, v) = (u, v)L2
X ∂u ∂v
+
,
∂xk ∂xk L2
1≤k≤N
vµ chuÈn t-¬ng øng
kuk2H 1 =
Z
Ω
|∇u(x)|2 + u(x)2 dx .
Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy H 1 (Ω) lµ kh«ng gian Hilbert.
XÐt C0∞ (Ω) lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n víi gi¸ comp¾c trong
Ω. Ký hiÖu W0k,p (Ω), H01 (Ω) lÇn l-ît lµ bæ sung ®ñ cña C 0∞ (Ω) trong
W k,p (Ω) vµ H 1 (Ω). Kh«ng gian H01 (Ω) ®-îc trang bÞ chuÈn c¶m sinh tõ
kh«ng gian H 1 (Ω). Ngoµi ra H01 (Ω) còng lµ mét kh«ng gian Hilbert ®èi
víi tÝch v« h-íng cña H 1 (Ω).
Còng cÇn ph¶i ph©n biÖt r»ng nÕu Ω ⊂ RN th× nãi chung H01 (Ω) 6=
H 1 (Ω). Tuy nhiªn, nÕu RN \Ω ®ñ máng vµ N > 2 th× H01 (Ω) = H 1 (Ω).
C¸c hµm thuéc H01 (Ω) lµ c¸c hµm thuéc H 1 (Ω) vµ triÖt tiªu trªn biªn ∂Ω,
®Ó minh häa cho ®Æc tr-ng nµy cña c¸c hµm thuéc H 01 (Ω) ta ph¸t biÓu
®Þnh lý sau
§Þnh lý 1.1. Ta gi¶ thiÕt Ω thuéc líp C 1 . Gi¶ sö u ∈ H01 (Ω) ∩ C(Ω). Khi
®ã c¸c tÝnh chÊt sau lµ t-¬ng ®-¬ng
• u = 0 trªn ∂Ω.
• u ∈ H01 (Ω).
Chøng minh cña ®Þnh lý nµy cã thÓ xem trong [6, §Þnh lý IX.17]. Tõ ®Þnh
lý trªn ta cã thÓ thÊy ngay vai trß cña kh«ng gian H 01 (Ω) trong c¸c bµi
to¸n biªn víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet.
§Ó ®¬n gi¶n ta sÏ sö dông c¸c ký hiÖu sau ®©y
L2 (Ω) := L2 (Ω) × L2 (Ω)
,
H10 (Ω) := H01 (Ω) × H01 (Ω) .
Trong kh«ng gian L2 (Ω) ta sö dông chuÈn
|U|22 = |u|22 + |v|22
1.2. Kh«ng gian H −1 (Ω)
4
víi U = (u, v) trong ®ã ký hiÖu | · |2 ®Ó chØ chuÈn trong L2 (Ω). Ta thÊy
to¸n tö
T : H01 (Ω) → L2 (Ω)
u 7→ (u, ∇u)
lµ mét ®¼ng cù, nh- vËy T (H01 (Ω)) lµ mét kh«ng gian con ®ãng trong
kh«ng gian ph¶n x¹ L2 (Ω) nªn T (H01 (Ω)) lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹ vµ
do ®ã H01 (Ω) lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹.
1.2 Kh«ng gian H −1 (Ω)
Kh«ng gian ®èi ngÉu cña H01 (Ω) ®-îc ký hiÖu lµ H −1 (Ω), nãi c¸ch kh¸c,
H −1 (Ω) lµ kh«ng gian c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H 01 (Ω). V×
H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) nªn L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω). H¬n n÷a, víi f ∈ H −1 (Ω) th×
kf kH −1(Ω) = sup |f (u)|,
kuk≤1
trong ®ã ta ký hiÖu f (u) ®Ó chØ gi¸ trÞ cña f ∈ H −1 (Ω) trªn u ∈ H01 (Ω).
Ta ®ång nhÊt L2 (Ω) víi kh«ng gian ®èi ngÉu cña nã vµ v× vËy cã s¬ ®å
sau
H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω)
víi c¸c phÐp nhóng liªn tôc vµ chøa trong trï mËt.
§Þnh lý sau nªu bËt lªn ®Æc tr-ng cña c¸c phÇn tö trong H −1 (Ω).
§Þnh lý 1.2. NÕu f ∈ H −1 (Ω) th× tån t¹i f0, f1 , ..., fN ∈ L2 (Ω) sao cho
Z
N Z
X
∂u
hf, ui =
f0 (x)u(x) dx +
fk (x)
(x) dx , ∀u ∈ H01 (Ω)
∂xk
Ω
Ω
k=1
vµ
max |fk |2 = kf kH −1 .
0≤k≤N
Chøng minh cña ®Þnh lý nµy cã thÓ xem trong [6, §Þnh lý IX.20].
1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
5
1.3 Mét sè bÊt ®¼ng thøc
Sau ®©y ta liÖt kª mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng sÏ dïng trong c¸c
chøng minh sau nµy.
1.3.1 BÊt ®¼ng thøc PoincarÐ
Gi¶ sö Ω ⊂ RN lµ miÒn bÞ chÆn. Khi ®ã tån t¹i h»ng sè c > 0 sao cho bÊt
®¼ng thøc sau
Z
Ω
u(x)2 dx ≤ c
®óng víi mäi u ∈ H01 (Ω).
Z
Ω
|∇u(x)|2 dx
(1.1)
1.3.2 BÊt ®¼ng thøc Hölder
Gi¶ sö 1 ≤ p ≤ +∞ vµ q lµ sè mò liªn hîp cña p, tøc lµ
-íc
1
∞
1
p
+
1
q
= 0). Gi¶ thiÕt Ω ⊂ RN lµ miÒn bÞ chÆn. Khi ®ã ta cã
Z
1p Z
1q
Z
p
q
|f (x)g(x)| dx ≤
|f (x)| dx
|g(x)| dx .
Ω
Ω
= 1 (quy
(1.2)
Ω
1.4 To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
Ta ký hiÖu −∆ lµ to¸n tö
−∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω)
(1.3)
x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
(−∆u, v) = (∇u, ∇v)
,
∀u, v ∈ H01 (Ω) .
(1.4)
Ta chó ý r»ng, víi mäi u, v ∈ C0∞ (Ω) th×
Z
(−∆u, v) =
∇u∇vdx
Ω
n Z
n Z
X
X
∂u ∂v
∂
∂u
∂ 2u
=
dx =
v
− v 2 dx
∂x
∂x
∂x
∂x
∂xi
i
i
i
i
Ω
Ω
i=1
i=1
1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
n Z
X
6
n
X
∂2u
=−
v 2 dx +
∂xi
i=1 Ω
i=1
Z
n
X
∂2u
v 2 dx.
=−
∂xi
i=1 Ω
Tõ ®ã suy ra
∆u =
Z
∂Ω
∂
v cos (xi , v) ds
∂xi
n
X
∂ 2u
i=1
∂x2i
lµ to¸n tö Laplace. To¸n tö −∆ ®-îc x¸c ®Þnh bëi (1.3) vµ (1.4) ®-îc gäi
lµ to¸n tö cña bµi to¸n Dirichlet víi ®iÒu kiÖn biªn thuÇn nhÊt ®èi víi
ph-¬ng tr×nh Laplace
−∆u = f (x) trong Ω,
u = 0 trªn ∂Ω.
(1.5)
§Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö f (x) ∈ L2 (Ω). Hµm u(x) ∈ H01 (Ω) ®-îc gäi lµ
nghiÖm suy réng cña bµi to¸n Dirichlet (1.5) nÕu nã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
(∇u, ∇v) = (f, v)
,
∀v ∈ C0∞ (Ω) .
NhËn xÐt. NÕu nghiÖm suy réng u cña bµi to¸n Dirichlet (1.5) tho¶ m·n
®iÒu kiÖn u ∈ H01 (Ω) ∩ C 2 (Ω) th×
• u ∈ H01 (Ω) cho ta (∇u, ∇v) = (f, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω).
• u ∈ C 2 (Ω) cho ta (∇u, ∇v) = (−∆u, v), ∀v ∈ C0∞ (Ω).
NghÜa lµ
(−∆u, v) = (f, v)
,
∀v ∈ C0∞ (Ω) .
Hay −∆u = f trong Ω. VËy u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña bµi to¸n.
XÐt u ∈ H01 (Ω) bÊt kú. Tõ ®Þnh nghÜa (1.4) cña to¸n tö −∆ ta cã
(−∆u, u) = (∇u, ∇u) = kuk2 .
(1.6)
(−∆u, u) ≤ k−∆ukH −1(Ω) kuk.
(1.7)
H¬n thÕ n÷a
1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
7
Do ®ã
kuk2 ≤ k−∆ukH −1(Ω) kuk .
V× vËy ta cã kh¼ng ®Þnh
(1.8)
kuk ≤ k−∆ukH −1(Ω) .
Ta ®i ®Õn ®Þnh lý.
§Þnh lý 1.3. To¸n tö −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) lµ ¸nh x¹ mét-mét vµ lªn.
Chøng minh. Tõ bÊt ®¼ng thøc (1.8) ta suy ra −∆ lµ ¸nh x¹ mét-mét víi
miÒn gi¸ trÞ ®ãng. Ta cßn ph¶i chøng minh −∆ lµ ¸nh x¹ lªn. Gi¶ sö tån
t¹i phÇn tö u0 ∈ H01 (Ω) trùc giao víi miÒn gi¸ trÞ R (−∆) ⊂ H −1 (Ω),
nghÜa lµ
∀u ∈ H01 (Ω) .
(−∆u, u0 ) = 0 ,
§Æt u = u0 ta cã (−∆u0 , u0 ) = 0. Tõ ®ã, nhê bÊt ®¼ng thøc (1.7) ta suy ra
u0 = 0. VËy −∆ lµ ¸nh x¹ lªn, tøc lµ R (−∆) = H −1 (Ω).
HÖ qu¶ 1.1. Víi mäi f (x) ∈ L2 (Ω), bµi to¸n Dirichlet (1.5) tån t¹i duy
nhÊt nghiÖm suy réng u0 ∈ H01 (Ω).
Chøng minh. Gi¶ sö f (x) ∈ L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω). Theo ®Þnh lý trªn, tån t¹i
duy nhÊt u0 ∈ H01 (Ω) sao cho
(−∆u0 , v) = (∇u0 , ∇v) = (f, v)
,
∀v ∈ C0∞ (Ω) .
§iÒu ®ã chøng tá u0 lµ nghiÖm suy réng cña bµi to¸n (1.5).
Ký hiÖu T : H −1 (Ω) → H01 (Ω) lµ to¸n tö nghÞch ®¶o cña to¸n tö −∆.
Gi¶ sö u, v ∈ H01 (Ω). Ta ®Æt φ = −∆u, ψ = ∆v. Khi ®ã
(T φ, ψ) = (T (−∆) u, −∆v) = (u, −∆v)
= (∇u, ∇v) = (−∆u, v) = (φ, T ψ) .
Tõ ®ã suy ra
(T φ, ψ) = (φ, T ψ)
,
∀φ, ψ ∈ L2 (Ω) .
1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
8
§iÒu nµy chøng tá h¹n chÕ cña to¸n tö T trªn kh«ng gian L2 (Ω) lµ to¸n
tö tù liªn hîp, tøc lµ T = T ∗ . Ta ®· biÕt phÐp nhóng H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) lµ
comp¾c cho nªn to¸n tö T h¹n chÕ trªn L 2 (Ω)
T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω)
lµ to¸n tö comp¾c, tù liªn hîp trong L 2 (Ω). VËy ta ®i ®Õn ®Þnh lý.
§Þnh lý 1.4. To¸n tö nghÞch ®¶o T cña to¸n tö −∆ lµ comp¾c, x¸c ®Þnh
d-¬ng vµ tù liªn hîp trong L2 (Ω).
Tõ §Þnh lý 1.4 ta suy ra tån t¹i mét c¬ së trùc giao trong L2 (Ω), ký
hiÖu lµ {ϕi }∞
i=1 , gåm c¸c hµm riªng cña to¸n tö T øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng
{µi }∞
i=1 trong ®ã µi & 0 khi j → +∞. H¬n n÷a, v×
T : L2 (Ω) → H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω)
nªn ϕi ∈ H01 (Ω) víi mäi i = 1, 2, ... MÆt kh¸c
ϕi = T −1 (T ϕi ) = T −1 (µiϕi ) = µi (−∆ϕi ) .
Do ®ã
1
ϕi.
µi
§iÒu ®ã chøng tá r»ng to¸n tö −∆ cã d·y c¸c hµm riªng {ϕi } trong H01 (Ω)
−∆ϕi =
t-¬ng øng víi d·y c¸c gi¸ trÞ riªng {λi }∞
i=1 ®¬n ®iÖu t¨ng khi i → +∞,
nghÜa lµ
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λi ≤ ...
,
λi → +∞ (i → +∞).
V× {ϕi }i≥1 còng lµ c¸c hµm riªng cña T nªn ta ®i ®Õn kh¼ng ®Þnh sau
§Þnh lý 1.5. Tån t¹i mét c¬ së Hilbert gåm nh÷ng hµm riªng {ϕi }i≥1 cña
to¸n tö −∆ t-¬ng øng víi d·y c¸c gi¸ trÞ riªng {λi } ®¬n ®iÖu t¨ng khi
i → +∞.
Liªn quan ®Õn gi¸ trÞ riªng ®Çu tiªn λ1 cña to¸n tö −∆ ta cã ®Þnh lý
sau.
1.4. To¸n tö −∆ vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã
9
§Þnh lý 1.6. NÕu λ1 lµ gi¸ trÞ riªng ®¬n ®Çu tiªn cña to¸n tö −∆ th×
k(−∆)−1 k =
1
.
λ1
Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh cña ®Þnh lý t-¬ng ®-¬ng víi viÖc chøng minh
kT k = µ1 . ThËt vËy, v× {ϕi }i≥1 lµ c¬ së trùc giao cña kh«ng gian L2 (Ω)
nªn cã thÓ x©y dùng ®-îc mét c¬ së trùc chuÈn cña L 2 (Ω) gåm c¸c
vÐc t¬ riªng, vÉn ký hiÖu lµ {ϕi }i≥1 , cña to¸n tö −∆ øng víi c¸c gi¸ trÞ
riªng λi (i = 1, 2, ..). Khi ®ã, víi mçi u ∈ L2 (Ω) ta ®Òu cã biÓu diÔn
P
u = (u, ϕi ) ϕi . Do ®ã
i
Tu = T
X
(u, ϕi ) ϕi =
i
X
(u, ϕi ) T ϕi =
i
X
µi (u, ϕi ) ϕi .
i
Nªn ta cã ®¸nh gi¸
X
X
kT uk2 =
µ2i k(u, ϕi )k2 ≤ µ21
k(u, ϕi )k2 = µ21 kuk2 .
i
i
NghÜa lµ kT uk ≤ |µ1 | kµ1 k. Tõ ®ã suy ra kT k ≤ |µ1 |. MÆt kh¸c, ta l¹i cã
T u1 = µ1 u1 nªn |µ1 | ≤ kT k. KÕt hîp l¹i ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
HÖ qu¶ 1.2. Hµm riªng ϕ1 cña to¸n tö −∆ tho¶ m·n |∇ϕ1|22 = λ1 .
Chøng minh. Tõ (1.6) ta thÊy
|∇ϕ1|22 = (∇ϕ1 , ∇ϕ1 ) = (−∆ϕ1 , ϕ1 ) = (λ1 ϕ1 , ϕ1 ) = λ1 |ϕ1 |22.
Nh- vËy |∇ϕ1 |22 = λ1 vµ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
KÕt qu¶ sau ®Ò cËp ®Õn tÝnh tr¬n cña bµi to¸n Dirichlet (1.5). Chøng
minh chi tiÕt cña ®Þnh lý cã thÓ t×m thÊy trong [26, §Þnh lý 1.3, trang 304].
XÐt to¸n tö vi ph©n L d¹ng
Lu = −∆u + Xu,
trong ®ã X lµ to¸n tö vi ph©n cÊp 1 víi hÖ sè tr¬n trong Ω.
1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i
10
§Þnh lý 1.7. Cho f ∈ H k−1 (Ω) víi k = 0, 1, 2, ... Khi ®ã, nghiÖm u0 ∈
H01 (Ω) cña ph-¬ng tr×nh Lu = f thuéc H k+1 (Ω). H¬n n÷a, ta cã -íc
l-îng tiªn nghiÖm
kuk2H k+1(Ω)
≤c
kLuk2H k−1(Ω)
+ kuk2H k (Ω)
,
trong ®ã c lµ mét h»ng sè d-¬ng nµo ®ã vµ u ∈ H k+1 (Ω) ∩ H01 (Ω) bÊt kú.
HÖ qu¶ 1.3. Hµm riªng ϕi (i = 1, 2, ..) cña to¸n tö −∆ thuéc C ∞ Ω ∩
H01 (Ω).
Chøng minh. ThËt vËy, xÐt to¸n tö L d-íi d¹ng L = −∆ − λi . Khi ®ã ta
cã ®¸nh gi¸
Lϕi = (−∆ − λi) ϕi = −∆ϕi − λi ϕi = 0.
Do 0 ∈ H01 (Ω) nªn theo ®Þnh lý trªn ta ®i ®Õn kÕt luËn ϕ i ∈ C ∞ Ω ∩
H01 (Ω).
1.5 Nguyªn lý cùc ®¹i
Trong Ω ta xÐt to¸n tö vi ph©n elliptic cÊp hai L cã d¹ng sau
L=
N
X
gij (x)∂i∂j +
i,j=1
trong ®ã ∂i =
∂
∂xi
N
X
bi(x)∂i ,
i=1
víi i = 1, 2, .., N vµ gij , bi lµ c¸c hµm thùc ®ñ tr¬n trong
Ω víi gij = gji , thªm n÷a
n
X
i,j=1
gij (x)ξiξj 6= 0 ,
∀x ∈ Ω
,
∀ξ = (ξ1, .., ξn ) ∈ RN
,
ξ 6= 0.
§Þnh lý 1.8 (Nguyªn lý cùc ®¹i). NÕu u ∈ C Ω ∩ C 2 (Ω) vµ Lu(x) ≥ 0
trong Ω th×
sup u(x) = sup u(y).
x∈Ω
y∈∂Ω
H¬n n÷a, nÕu Lu(x) = 0 trong Ω th× sup |u(x)| = sup |u (y)|.
x∈Ω
y∈∂Ω
1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i
11
Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chó ý r»ng nÕu Lu(x) > 0 trong Ω th× u(x)
kh«ng thÓ ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®iÓm trong Ω v× r»ng nÕu u(x) ®¹t cùc ®¹i
t¹i u0 (x) ∈ Ω th× t¹i ®ã
∂u
(x0 ) = 0 ,
∂xi
H¬n n÷a, ma trËn
∀i = 1, 2, .., N.
∂ 2u
(x0 )
∂xi ∂xj
i=1,2,..,N
j=1,2,..,N
lµ nöa x¸c ®Þnh ©m. Do ®ã Lu(x 0 ) ≤ 0. Tõ ®ã suy ra
sup u(x) = u(x0 ) = sup u(y).
x∈Ω
y∈∂Ω
B©y giê xÐt γ > 0 nµo ®ã, ®Æt v(x) = eγx1 . Khi ®ã
Lv(x) = Leγx1 = γ 2 g11(x) + γb1 (x) eγx1 .
Do ®ã víi γ ®ñ lín th× Leγx1 > 0. Theo gi¶ thiÕt Lu(x) ≥ 0 trong Ω nªn
víi mäi ε > 0 ta cã L (u + εeγx1 ) > 0 trong Ω. Vµ v× vËy
sup {u(x) + εeγx1 } = sup {u(y) + εeγy1 } .
x∈Ω
y∈∂Ω
Cho ε → 0 ta cã
sup u(x) = sup u(y).
x∈Ω
y∈∂Ω
Trong tr-êng hîp nÕu Lu(x) = 0 trong Ω th× ta còng cã L (−u(x)) = 0
trong Ω, tøc lµ
sup {−u(x)} = sup {−u(y)}.
x∈Ω
Do ®ã sup |u(x)| = sup |u(y)|.
x∈Ω
y∈∂Ω
y∈∂Ω
HÖ qu¶ 1.4. Gi¶ sö u ∈ C Ω ∩ C 2 (Ω). NÕu ∆u(x) ≥ 0 trong Ω vµ u ≡ 0
trªn ∂Ω th× u(x) ≤ 0 trong Ω.
§Þnh lý 1.9. Hµm riªng ϕ1 ∈ H01 (Ω) cña to¸n tö −∆ øng víi gi¸ trÞ riªng
λ1 kh«ng ®æi dÊu trong Ω.
1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i
12
Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt ϕ1 ∈ H01 (Ω) lµ hµm riªng cña to¸n tö −∆ theo
HÖ qu¶ 1.3 ta suy ra ϕ1 ∈ C ∞ Ω ∩ H01 (Ω). Víi x ∈ Ω ta ký hiÖu
ϕ+
1 (x) = max {ϕ1 (x), 0} ,
ϕ−
1 (x) = min {ϕ1 (x), 0} .
−
1
Khi ®ã ϕ+
1 (x), ϕ1 (x) ∈ H0 (Ω), ngoµi ra ta cßn cã
Z
+ 2
+ 2
∇ϕ dx = |∇ϕ1 |2 2 + ,
|∇ϕ1 |L2(Ω +) =
1
L (Ω )
ZΩ +
− 2
2
∇ϕ dx = |∇ϕ1|2 2 − ,
|
=
|∇ϕ−
2
−
1 L (Ω )
1
L (Ω )
Ω−
trong ®ã Ω ± = {x ∈ Ω | ±ϕ1 (x) > 0}. V× ϕ1 lµ tr¬n trong Ω nªn Ω + vµ
Ω − lµ nh÷ng tËp con më trong Ω. XÐt c¸c tr-êng hîp sau ®©y
+
1. NÕu Ω + 6= ∅ th× tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy ϕ +
1 ≡ ϕ1 , h¬n n÷a trong Ω th×
+
−∆ϕ+
1 = −∆ϕ1 = λ1 ϕ1 = λ1 ϕ1 .
§iÒu nµy chøng tá λ1 lµ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö −∆ trªn miÒn Ω +
+ 2
+
øng víi hµm riªng ϕ+
1 , vµ ta cã |∇ϕ1 |L2 (Ω + ) = λ1 . Tõ ®ã ta suy ra ϕ1
lµ hµm riªng cña to¸n tö −∆ trong Ω øng víi gi¸ trÞ riªng λ1 . Do ®ã
+
+
∞
ϕ+
∈
C
Ω
vµ −∆ϕ+
1
1 = λ1 ϕ1 trong Ω. V× λ1 > 0, ϕ1 ≥ 0 trong Ω
nªn
+
+
−∆ϕ+
=
∆
−ϕ
1
1 = λ1 ϕ1 ≥ 0 trong Ω
+
vµ ϕ+
1 = 0 trªn ∂Ω. Theo nguyªn lý cùc ®¹i ta suy ra −ϕ 1 < 0, ∀x ∈ Ω.
NghÜa lµ ϕ+
1 > 0, ∀x ∈ Ω. Khi ®ã
ϕ+
1 (x) ≡ ϕ1 (x)
,
∀x ∈ Ω.
Vµ do ®ã Ω − = ∅, tøc lµ ϕ1 mang dÊu d-¬ng trong Ω.
2. Chøng minh t-¬ng tù cho tr-êng hîp Ω− 6= ∅ ta ®i ®Õn Ω + = ∅, tøc
lµ ϕ1 mang dÊu ©m trong Ω.
Ta kÕt thóc chøng minh ®Þnh lý ë ®©y.
1.5. Nguyªn lý cùc ®¹i
13
HÖ qu¶ sau lµ mét tÝnh chÊt rÊt ®Æc biÖt vÒ sè chiÒu cña kh«ng gian con
sinh bëi hµm riªng ϕ1 . Ta sÏ sö dông kÕt qu¶ nµy trong c¸c chøng minh
ë Ch-¬ng 2 vµ Ch-¬ng 3.
HÖ qu¶ 1.5. Gi¸ trÞ riªng nhá nhÊt λ1 cña to¸n tö −∆ víi ®iÒu kiÖn Dirich-
let cã sè béi b»ng 1, h¬n n÷a, kh«ng gian con riªng L {ϕ1 } sinh bëi hµm riªng
ϕ1 t-¬ng øng víi gi¸ trÞ riªng λ1 cã sè chiÒu b»ng 1.
e1 lµ hai hµm riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña to¸n
Chøng minh. Gi¶ sö ϕ1 vµ ϕ
tö −∆ øng víi cïng mét gi¸ trÞ riªng λ1 . Ta cã thÓ gi¶ thiÕt ϕ1 vµ ϕ
e1 lµ
trùc giao víi nhau, nghÜa lµ
Z
Ω
ϕ1 (x)ϕ
e1 (x) dx = 0.
Theo §Þnh lý 1.9 ta thÊy ϕ 1 vµ ϕ
e1 kh«ng ®æi dÊu trong Ω tõ ®ã suy ra
Z
ϕ1 (x)ϕ
e1 (x) dx 6= 0.
Ω
M©u thuÉn nµy chøng tá kh«ng gian con riªng L {ϕ1 } sinh bëi hµm riªng
ϕ1 cã sè chiÒu b»ng 1. HÖ qu¶ ®-îc chøng minh.
2
Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt vµ hÖ
ph-¬ng tr×nh elliptic cÊp hai nöa tuyÕn tÝnh
trong miÒn bÞ chÆn víi phÇn chÝnh lµ to¸n tö
Laplace
2.1
Mét sè ký hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
Mét tr-êng hîp riªng cña bµi to¸n (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4
KÕt qu¶ chÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5
Mét sè vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1
Tr-êng hîp mét chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2
Tr-êng hîp nhiÒu chiÒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Trong ch-¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i nghiÖm
cña bµi to¸n biªn Dirichlet sau ®©y
−∆u = λu + δv + f (u, v) trong Ω,
−∆v = θu + γv + g(u, v) trong Ω,
(2.1)
u = v = 0 trªn ∂Ω,
trong ®ã Ω ⊂ RN (N ≥ 3) lµ miÒn bÞ chÆn víi biªn tr¬n,
λ δ
A=
θ γ
lµ ma trËn c¸c sè thùc, f, g : R × R → R lµ c¸c hµm Lipschitz theo u, v;
nghÜa lµ
|f (u, v) − f (e
u, ve)| ≤ k1 (|u − u
e| + |v − e
v |),
|g(u, v) − g(e
u, ve)| ≤ k2 (|u − u
e| + |v − e
v |),
®óng víi mäi u, u
e, v, ve ∈ R.
2.2. Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt
15
§©y lµ kÕt qu¶ ®· ®-îc t¸c gi¶ c«ng bè trong bµi b¸o: An application of
the Lyapunov-Schmidt method to semilinear elliptic problems, Electron.
J. Diff. Eqns., 129 (2005), 1-11.
2.1 Mét sè ký hiÖu
§Ó ®¬n gi¶n vÒ mÆt ký hiÖu chóng ta sÏ sö dông | · |2 ®Ó ký hiÖu chuÈn
trong kh«ng gian L2(Ω) hoÆc chuÈn trong kh«ng gian L2(Ω).
NghiÖm cña bµi to¸n (2.1)
Chóng ta nãi r»ng U ∈ H10 (Ω) lµ nghiÖm cña (2.1) nÕu
U = (−∆)−1 (AU + G(U )),
(2.2)
ë ®©y G(U ) = (f (u, v), g(u, v)). Râ rµng to¸n tö (−∆)−1 : L2 (Ω) → H10 (Ω)
lµ tuyÕn tÝnh, tù liªn hîp, liªn tôc vµ lµ song ¸nh. H¬n n÷a, phÐp nhóng
H10 (Ω) ,→ L2 (Ω) lµ comp¾c, do ®ã to¸n tö (−∆)−1 : L2(Ω) → L2 (Ω) còng
comp¾c, tù liªn hîp vµ ®¬n ¸nh. VËy to¸n tö x¸c ®Þnh tõ vÕ ph¶i cña (2.2)
còng comp¾c.
2.2 Ph-¬ng ph¸p Lyapunov-Schmidt
Ký hiÖu X lµ kh«ng gian con mét chiÒu cña H01 (Ω) sinh bëi hµm ϕ1 , tøc
lµ X = {tϕ1 : t ∈ R}. Ký hiÖu Y = X ⊥ = hϕ1 i⊥. Khi ®ã ta cã thÓ viÕt
H01 (Ω) = X ⊕ Y.
Vµ do ®ã víi mäi U = (u, v) ∈ H10 (Ω) ta cã biÓu diÔn
u = u0 + z, u0 ∈ X, z ∈ Y,
v = v0 + w, v0 ∈ X, w ∈ Y,
ë ®©y u, v ∈ H01 (Ω). Ký hiÖu P vµ Q lÇn l-ît lµ c¸c phÐp chiÕu lªn X and
Y . Khi ®ã chiÕu 2 vÕ cña (2.2) ta nhËn ®-îc
- Xem thêm -