Tài liệu Luận văn ứng dụng thuật toán tiến hóa ước lượng tham số điều khiển con lắc ngược​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM NGUYỄN VĂN HÒA ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN TIẾN HÓA ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Kỹ Thuật Cơ Điện Tử Mã ngành: 60520114 TP. HỒ CHÍ MINH, năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM NGUYỄN VĂN HÒA ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN TIẾN HÓA ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Kỹ Thuật Cơ Điện Tử Mã ngành: 60520114 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THANH DŨNG TP. HỒ CHÍ MINH, năm 2017 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH DŨNG Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Ngô Hà Quang Thịnh Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Võ Hoàng Duy Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Công nghệ TP. HCM ngày 12 tháng 11 năm 2017. Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: TT Họ và tên Chức danh Hội đồng 1 PGS.TS. Nguyễn Thanh Phương Chủ tịch 2 TS. Ngô Hà Quang Thịnh Phản biện 1 3 TS. Võ Hoàng Duy Phản biện 2 4 TS. Nguyễn Hùng Ủy viên 5 TS. Nguyễn Hoài Nhân Ủy viên, Thư ký Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có). Chủ tịch Hội đồng đánh giá Luận văn Khoa quản lý chuyên ngành TRƯỜNG ĐH KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ TP.HCM PHÒNG QLKH – ĐTSĐH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Tp. Hồ Chí Minh, ngày 16 tháng 06 năm 2017 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN VĂN HÒA Giới tính: Nam. Ngày, tháng, năm sinh: 20/10/1983 Nơi sinh: Bắc Ninh Chuyên ngành: Kỹ thuật cơ điện tử MSHV: 1441840009 I. TÊN ĐỀ TÀI Ứng dụng thuật toán tiến hóa ước lượng tham số điều khiển con lắc ngược II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG a. Nhiệm vụ của đề tài  Nghiên cứu các phương pháp điều khiển.  Xác định mô hình toán học của Con lắc ngược quay.  Xây dựng mô hình và thuật toán điều khiển.  Mô phỏng sử dụng Matlab.  Thi công mô hình để kiểm nghiệm thực tế.  Nhận xét kết quả đạt được và so sánh với các kết quả đã được trong và ngoài nước. b. Nội dung của đề tài  Phần 1: Nghiên cứu các phương pháp điều khiển, từ đó đưa ra các vấn đề cần giải quyết để phục vụ cho việc xây dựng mô hình.  Phần 2: Xác định mô hình toán học của Con lắc ngược quay.  Phần 3: Xây dựng mô hình và thuật toán điều khiển, mô phỏng đáp ứng bằng phần mềm Matlab Simulink.  Phần 4: Thi công mô hình thực nghiệm. III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: ngày 23 tháng 01 năm 2016. IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: ngày 16 tháng 06 năm 2017. V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN THANH DŨNG CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên và chữ ký) TS. Nguyễn Thanh Dũng KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng luận văn với nội dung “Ứng dụng thuật toán tiến hóa ước lượng tham số điều khiển con lắc ngược” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Dũng. Các số liệu, kết quả mô phỏng nêu trong luận văn là trung thực, có nguồn trích dẫn và chưa được công bố trong các công trình nghiên cứu khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 16 tháng 06 năm 2017 Người thực hiện luận văn Nguyễn Văn Hòa ii LỜI CẢM ƠN Xin cảm ơn Trường Đại học Công nghệ thành phố Hồ Chí Minh, cùng Quý Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho lớp chúng tôi trong suốt quá trình học cao học. Với lòng tri ân sâu sắc, tôi muốn nói lời cám ơn đến Thầy TS. Nguyễn Thanh Dũng, người đã nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian thực hiện nghiên cứu đề tài này. Cám ơn lãnh đạo Khoa Cơ – Điện – Điện tử và quý Thầy Cô trong khoa đã giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện đề tài. Cám ơn tất cả các bạn trong khóa học, những người cùng chung chí hướng trong con đường tri thức để tất cả chúng ta có được kết quả ngày hôm nay. Cảm ơn gia đình và những người thân đã động viên, hỗ trợ tôi trong suốt thời gian thực hiện nghiên cứu này. Xin trân trọng gửi lòng tri ân và cảm ơn quý Thầy Cô. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 16 tháng 06 năm 2017 Người thực hiện luận văn Nguyễn Văn Hòa iii TÓM TẮT Trong nhiều năm trở lại đây, hệ thống con lắc ngược quay được biết đến là một nền tảng thử nghiệm phổ biến để đánh giá các thuật toán điều khiển khác nhau và là một trong những mô hình cơ bản trong lý thuyết điều khiển do tính chất phi tuyến và không ổn định của nó. Nhiều phương pháp điều khiển từ cổ điển đến hiện đại đã được áp dụng trên hệ thống con lắc ngược quay. Trên cơ sở tìm hiểu về hệ thống con lắc ngược quay, thông qua luận văn này, người thực hiện muốn vận dụng các kiến thức đã được học để chế tạo một mô hình con lắc ngược quay có thể sử dụng trong việc nghiên cứu các thuật toán điều khiển. từ đó có thể ứng dụng các thuật toán này trong các ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực của đời sống. iv ABSTRACT For the past many years till now, the rotary inverted pendulum is known to be a popular basic experiment in oder to evaluate the different control algorithms and be one of the basic model in control theory due to its non - linearity and unstable. Many methods of control from classic to modern have been applied on the rotary inverted pendulum. Based on the learning about it, through this thesis, I want to use the knowledge that I have been studied to model the rotary inverted pendulum which can be used to research in the control algorithms. Hopefully, then comming out of the lab and into the world. v MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii TÓM TẮT .................................................................................................................. iii ABSTRACT ............................................................................................................... iv MỤC LỤC ................................................................................................................... v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................... viii DANH MỤC CÁC BẢNG.......................................................................................... x DANH MỤC HÌNH ẢNH ......................................................................................... xi Chương 1: MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 1.1 Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1 1.2 Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 1.3 Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 1 1.4 Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................ 2 1.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ............................................................................ 2 1.5.1 Ý nghĩa khoa học ........................................................................................... 2 1.5.2 Ý nghĩa thực tiễn............................................................................................ 2 1.6 Bố cục của luận văn............................................................................................ 2 Chương 2: TỔNG QUAN ........................................................................................... 3 2.1 Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược quay ........................................................ 3 2.2 Ứng dụng của hệ thống con lắc ngược quay ...................................................... 4 2.3 Tổng quan về các bài toán trên hệ thống con lắc ngược quay ........................... 4 2.3.1 Swingup (bật lên) ........................................................................................... 4 2.3.2 Cân bằng con lắc ............................................................................................ 4 2.4 Các nghiên cứu trong và ngoài nước công bố .................................................... 5 2.5 Nhiệm vụ và mục tiêu của luận văn. .................................................................. 7 2.5.1 Nhiệm vu........................................................................................................ 7 2.5.2 Mục tiêu ......................................................................................................... 7 Chương 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................ 8 vi 3.1 Giới thiệu sơ lược hệ thống con lắc ngược quay................................................ 8 3.2 Thiết lập mô hình toán học hệ thống con lắc ngược quay ................................. 9 3.2.1 Động cơ DC ................................................................................................... 9 3.2.2 Mô hình hóa hệ thống con lắc ngược quay .................................................. 10 3.3 Tuyến tính hóa từ mô hình phi tuyến ............................................................... 14 3.4 Lý thuyết về giải thuật toán tiến hóa GA (Genetic Algorithm) ....................... 18 3.4.1 Giới thiệu ..................................................................................................... 18 3.4.2 Các tính chất đặc thù của thuật toán di truyền. ............................................ 19 3.4.3 Các phép toán của thuật toán di truyền ........................................................ 19 3.4.3.1 Tái sinh (Reproduction) .........................................................................19 3.4.3.2 Lai ghép (Crossover) .............................................................................22 3.4.3.3 Đột biến (Mutation) ...............................................................................23 3.4.3.4 Hàm thích nghi (Fitness) .......................................................................24 3.4.4 Cấu trúc của thuật toán di truyền tổng quát ................................................. 24 3.4.5 Kết luận ........................................................................................................ 25 3.5 Tối ưu hóa bộ điều khiển PID bằng giải thuật di truyền .................................. 26 3.6 Thiết kế bộ điều khiển LQR ............................................................................. 30 3.6.1 Giả thiết........................................................................................................ 30 3.6.2 Thiết kế dùng Matlab ................................................................................... 31 Chương 4: MÔ PHỎNG ........................................................................................... 32 4.1 Hệ phương trình RIP (Rotary Inverted Pendulum). ......................................... 32 4.2 Xây dựng mô hình - Mô phỏng RIP ................................................................. 32 4.2.1 Xây dựng mô hình RIP ................................................................................ 32 4.2.2 Kết quả mô phỏng ........................................................................................ 33 4.2.3 Mô phỏng RIP (Rotary Inverted Pendulum) dùng thuật toán LQR. ........... 35 4.2.3.1 Mô hình Matlab Simulink ......................................................................35 4.2.4 Mô phỏng RIP (Rotary Inverted Pendulum) dùng thuật toán GA-PID. ...... 38 4.2.4.1 Xây dựng file Init.m...............................................................................38 4.2.4.2 Xây dựng fileMutate_Random.m ..........................................................38 4.2.4.3 Xây dựng file “Mutate_Uniform.m” .....................................................38 vii 4.2.4.4 Xây dựng file GA-PID.m.......................................................................39 4.2.4.5 Mô hình Matlab Simulink ......................................................................45 4.2.4.6 Thông số PID tìm được sau khi chạy 20000 thế hệ ...............................45 Chương 5: THIẾT KẾ VÀ THI CÔNG .................................................................... 48 5.1 Thiết kế mô hình RIP (Rotary Inverted Inverted) ............................................ 48 5.1.1 Mô hình RIP................................................................................................. 48 5.1.2 Thiết kế con lắc (Pendulum) ........................................................................ 48 5.1.3 Tấm đế dưới ................................................................................................. 50 5.1.4 Trụ đỡ đế trên và đế dưới............................................................................. 51 5.1.5 Tấm đế trên .................................................................................................. 51 5.1.6 Cánh tay con lắc ........................................................................................... 52 5.2 Thiết kế điện mô hình RIP ............................................................................... 53 5.2.1 Sơ đồ khối .................................................................................................... 53 5.2.2 Sơ đồ nguyên lý – chức năng các khối ........................................................ 53 Chương 6: TỔNG KẾT ............................................................................................. 58 6.1 Kết quả đạt được............................................................................................... 58 6.2 Hạn chế và hướng khắc phục ........................................................................... 58 6.3 Hướng phát triển của đề tài .............................................................................. 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 59 viii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT RIP (Rotary Inverted Pendulum) Con lắc ngược quay PID (Proportional Integral Derivative) Bộ điều khiển vi tích phân tỉ lệ LQR (Linear Quadratic Regulator) Bộ điều khiển bậc hai tuyến tính GA (Genetic Algorithm) Thuật toán di truyền NST Nhiễm sắc thể DC (Direct current) Dòng điện một chiều Ax Thành phần X của lực tác động lên con lắc ở điểm A Ay Thành phần Y của lực tác động lên con lắc ở điểm A Α Vị trí của con lắc ̇ Tốc độ của con lắc ̈ Gia tốc của con lắc Beq Hệ số ma sát nhớt G Gia tốc trọng trường Im Dòng điện vào mạch phần ứng động cơ DC JB Là moment quán tính của con lắc quy về trọng tâm Jeq Là moment quán tính của cánh tay và con lắc về trục của Jm Moment quán tính của động cơ DC Kg Tỉ số truyền từ động cơ qua tải Km Hằng số phản hồi L ½ chiều dài con lắc Lm Điện cảm phần ứng M Khối lượng của con lăc R Bán kính quay của cánh tay Rm Điện trở phần ứng Tl Moment xoay của tải Tm Moment xoay của động cơ Vị trí góc của cánh tay và của trục tải ̇ Vộc tốc của trục tải ix ̈ Gia tốc của trục tải Vị trí của trục động cơ Vemf Điện áp phản hồi Vm Điện áp vào phần ứng Là hiệu suất của bộ truyền ̇ Vận tốc của con lắc ở trọng tâm theo hướng x ̇ ̈ Vận tốc của con lắc ở trọng tâm theo hướng y ̈ Gia tốc của con lắc ở trọng tâm theo hướng x Gia tốc của con lắc ở trọng tâm theo hướng y x DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Thông số hệ thống .................................................................................... 17 Bảng 3.2 Các nhiễm sắc thể và các giá trị thích nghi. ............................................. 20 Bảng 3.3 Kết quả tính toán cho các nhiễm sắc thể. ................................................. 21 Bảng 3.4 Quần thể mới ............................................................................................ 21 Bảng 3.5 So sánh thông số của bộ điều khiển PID theo các tiêu chuẩn thiết kế ...... 29 Bảng 3.6 So sánh các chỉ tiêu chất lượng điều khiển ................................................ 30 xi DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1 Mô hình con lắc ............................................................................................ 3 Hình 2.2 Các vị trí đặc biệt của con lắc ...................................................................... 5 Hình 2.3 Hệ thống KRi – PP300 ................................................................................. 6 Hình 3.1 Mô hình hệ thống con lắc ngược quay ........................................................ 8 Hình 3.2 Sơ đồ mạch điện tương đương của động cơ DC ......................................... 9 Hình 3.3 Cấu trúc hình học hệ con lắc ngược quay .................................................. 11 Hình 3.4 Sơ đồ phân tích lực của hệ con lắc ngược quay ......................................... 11 Hình 3.5 Bánh xe Roulette ....................................................................................... 21 Hình 3.6 Số pos cho biết vị trí của điểm lai ............................................................. 22 Hình 3.7 Chuyển đổi các gen nằm sau vị trí lai ........................................................ 23 Hình 3.8 Cấu trúc của thuật toán di truyền .............................................................. 25 Hình 3.9 Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển ........................................................... 26 Hình 3.10 Lưu đồ tiến trình GA xác định thông số bộ điều khiển PID .................... 28 Hình 3.11 Đáp ứng bước đơn vị, ứng với 4 bộ điều khiển PID ............................... 29 Hình 3.12 Đáp ứng đơn vị biên độ bậc thang .......................................................... 30 Hình 4.1 Khối RIP trong Simulink .......................................................................... 32 Hình 4.2 Các khối chức năng trong khối RIP trong Simulink ................................. 32 Hình 4.3 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ............................................................... 33 Hình 4.4 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ................................................................. 33 Hình 4.5 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ................................................................ 33 Hình 4.6 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ................................................................. 33 Hình 4.7 Đáp ứng vận tốc của cánh tay (màu đen) .................................................. 34 Hình 4.8 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ................................................................ 34 Hình 4.9 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ................................................................. 34 Hình 4.10 Đáp ứng vận tốc của cánh tay (màu đỏ) .................................................. 35 Hình 4.11 Mô hình Simulink RIP - LQR .................................................................. 35 Hình 4.12 Mô phỏng tín hiệu ra của góc .............................................................. 36 Hình 4.13 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ............................................................... 36 xii Hình 4.14 Đáp ứng vận tốc của cánh tay (màu đỏ) .................................................. 36 Hình 4.15 Mô phỏng tín hiệu ra của góc .............................................................. 37 Hình 4.16 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ............................................................... 37 Hình 4.17 Đáp ứng vận tốc của cánh tay (màu đỏ) .................................................. 37 Hình 4.18 Mô hình Simulink RIP GA-PID............................................................... 45 Hình 4.19 Mô phỏng tín hiệu ra của góc .............................................................. 46 Hình 4.20 Mô phỏng tín hiệu ra của góc ............................................................... 47 Hình 5.1 Mô hình RIP ............................................................................................... 48 Hình 5.2 Con lắc ....................................................................................................... 49 Hình 5.3 Tấm đế dưới ............................................................................................... 50 Hình 5.4 Trụ đỡ giữa đế trên và đế dưới .................................................................. 51 Hình 5.5 Tấm đế trên ................................................................................................ 52 Hình 5.6 Cánh tay con lắc ......................................................................................... 53 Hình 5.7 Sơ đồ khối mạch điều khiển. ...................................................................... 53 Hình 5.8 Sơ mạch đồ nguồn 5V. .............................................................................. 54 Hình 5.9 Board mạch BTS7960 ............................................................................... 55 Hình 5.10 Sơ đồ chân board Arduino Mega2560. ................................................... 56 Hình 5.11 Mô hình RIP thực tế. ............................................................................... 57 Hình 5.12 Đặc tuyến thực tế .................................................................................... 57 1 Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài  Nhằm mục đích khảo sát mô hình vật lí của Con lắc ngược quay.  Mô phỏng các thuật toán điều khiển phi tuyến.  Kết hợp lý thuyết điều khiển phi tuyến vào mô hình thực tế. Từ những vấn đề nêu trên, người thực hiện đã chọn đề tài: Ứng dụng thuật toán tiến hóa để ước lượng tham số điều khiển con lắc ngược 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài: “Ứng dụng thuật toán tiến hóa để ước lượng tham số điều khiển con lắc ngược” Được thực hiện nhằm mục đích khảo sát mô hình vật lý, kết hợp với việc xây dựng mô hình và giải thuật điều khiển để từ đó đưa ra cơ sở lý thuyết phục vụ cho việc tính toán, thiết kế làm mô hình và dùng phần mềm Matlab simulink để kiểm chứng giải thuật luật điều khiển và kiểm nghiệm luật điều khiển trên mô hình đã chế tạo. 1.3 Phương pháp nghiên cứu Ứng dụng phương pháp luận cơ điện tử trong tính toán thiết kế và chế tạo con lắc. Ở phương pháp này việc thiết kế có xét đến tính liên ngành và tích hợp hệ thống, cụ thể:  Nghiên cứu các tài liệu và thiết kế có sẵn trong và ngoài nước.  Tính toán thiết kế mô hình hóa và mô phỏng để đánh giá chất lượng hệ thống và loại trừ các lỗi khi thiết kế.  Thiết kế mô hình tổng hợp dựa trên mô hình, bao gồm: mô hình cơ khí, thuật toán điều khiển.  Thử nghiệm, đánh giá và hiệu chỉnh. 2 1.4 Phạm vi nghiên cứu  Điều khiển cân bằng cho hệ con lắc ngược quay dùng giải thuật điều khiển GA-PID và LQR  Sử dụng các động cơ + encoder, encoder.  Thời gian ổn định dài.  Cho phép hoạt động trong phòng thí nghiệm và ngoài trời.  Khối lượng tối đa con lắc là mmax =100g.  Mục tiêu của đề tài là tập trung chủ yếu vào bài toán điều khiển cân bằng.  Mô phỏng Matlab Simulink để kiểm chứng giải thuật điều khiển 1.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 1.5.1 Ý nghĩa khoa học Đề tài hoàn thành là bước khởi đầu cho các đề tài nghiên cứu ứng dụng có tính phức tạp cao hơn. Đồng thời có thể áp dụng các kết quả nghiên cứu được, làm tài liệu tham khảo cho các công trình nghiên cứu sau này. 1.5.2 Ý nghĩa thực tiễn Ứng dụng vào xe cân bằng (scooter), Gimble (trong thiết bị chụp ảnh),… 1.6 Bố cục của luận văn Chương 1: Mở đầu Chương 2: Tổng quan Chương 3: Cơ sở lý thuyết Chương 4: Mô phỏng. Chương 5: Thiết kế và thi công. Chương 6: Tổng kết. 3 Chương 2: TỔNG QUAN 2.1 Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược quay Con lắc ngược quay là hệ thống có cơ cấu truyền động đặt ở phía dưới (underactuated), tức là số lượng ngõ vào điều khiển ít hơn số lượng ngõ ra. Hệ thống được mô tả hình vẽ, bao gồm 1 cánh tay (arm) và con lắc (pendulum). Cánh tay gắn với trục của động cơ, con lắc có thể dao động tự do quanh cánh tay. Con lắc ngược quay thường được sử dụng để nghiên cứu điều khiển hệ phi tuyến và trong một số lĩnh vực khác, bởi vì nó đơn giản để phân tích động học và thử nghiệm mặc dù nó có độ phi tuyến cao và động lực kép giữa hai thanh. Mục tiêu điều khiển con lắc ngược là điều khiển để di chuyển nó từ điểm cân bằng ổn định phía dưới lên điểm cân bằng không ổn định phía trên. Đây là đối tượng cần nghiên cứu của luận văn. Con lắc theo định nghĩa chung nhất là một vật gắn vào một trục cố định mà nó có thể xoay (hay dao động) một cách tự do. Khi đưa con lắc dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng, nó sẽ chịu một lực khôi phục do tác dụng của lực hấp dẫn kéo nó trở lại vị trí cân bằng. Hình 2.1 Mô hình con lắc Một con lắc bình thường ổn định ở vị trí dưới. Trong khi đó con lắc ngược là con lắc không ổn định, và phải được chủ động cân bằng để giữ thẳng đứng. Con lắc ngược là một vấn đề kinh điển trong động lực và lý thuyết điều khiển. Con lắc