Tài liệu Lưỡng chất cầu

CHUYÊN ĐỀ: LƯỠNG CHẤT CẦU A- Đặt vấn đề: I- Lý do chọn đề tài: Ánh sáng được mô tả đúng đắn nhất như là một sóng điện từ mà vận tốc và các tính chất khác của nó có thể suy ra từ các phương trình Maxwell. Quang Hình học là một cách trình bày gần đúng về ánh sáng trong đó các sóng sáng là những tia truyền thẳng. Sự trình bày này là đúng nếu sóng sáng không gặp những chướng ngại (vật cản) có kích thước vào cỡ bước sóng của ánh sáng. Trên thực tế có nhiều hiện tượng quang học, đặc biệt là hoạt động của các dụng cụ quang học có thể được nghiên cứu xuất phát từ khái niệm về các tia sáng. Dựa vào các định luật cơ bản về các tia sáng, quang hình học giúp chúng ta nghiên cứu sự tạo thành ảnh trong các dụng cụ quang học một cách đơn giản. Và đặc biệt, sự khúc xạ ánh sáng qua mặt cầu là một trong những hiện tượng cơ bản dẫn đến sự tạo thành ảnh của các hệ quang học. So với những quang cụ quen thuộc đã được đề cập đến ở chương trình THPT, thì những kiến thức liên quan đến lưỡng chất cầu có phần mở rộng hơn, chuyên sâu hơn và mới mẻ hơn. Đây có thể coi là một công cụ đắc lực giúp chúng ta bình thường và đơn giản hóa những bài toán lạ, phức tạp, hóc búa; nắm chắc hơn bản chất, gốc gác của những vấn đề mà trước nay ta mới chỉ nhìn nhận một cách định tính, để rồi từ đó chủ động vươn lên nắm bắt tri thức… Nhưng mặt khác, lưỡng chất cầu cũng chính là một thách thức không hề nhỏtrong công tác học tập, giảng dạy, cũng như nghiên cứu - ứng dụng… đối với những ai đam mê bộ môn Vật Lý.Vì thế chúng tôi muốn chọn đề tài này nhằm giúp cho người học phần nào đó tích lũy được những chiếc chìa khóa quan trọng, để có thể mở ra cánh cổng dẫn đến thế giới khoa học công nghệ đầy kì thú của Quang Học nói riêng và Vật Lý Học nói chung. II- Mục đích của đề tài: Đối với bản thân học sinh học Vật Lý, thì những gì các em được tìm hiểu về phần Quang (đặc biệt là Quang Hình) có phần yếu thế hơn so với ba mảng lớn còn lại là Cơ – Nhiệt – Điện. Ấy vậy, các em lại thường xuyên phải bắt gặp và đối diện với nó trong các kì thi (nhất là thi HSG). Các em vừa phải nắm chắc những kiến thức cơ bản, vừa phải biết vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo thì mới có thể đáp ứng và theo kịp những xu hướng hiện nay. Bởi vậy riêng đối với các học sinh học Vật Lý, chúng tôi rất mong chuyên đề này có thể giúp cho các em có 1 được sự chủ động, chắc chắn, tự tin, bản lĩnh để có thể qua được các kì “vượt vũ môn” một cách thành công nhất! Các em sẽ được củng cố lí thuyết đã học và trau dồi kĩ năng thực hành, để rồi từ đó tự rút ra kinh nghiệm và tìm ra con đường đi cho riêng mình. Còn đối với các quý thầy cô dạy Vật Lý, chúng tôi mong đây sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo bổ ích, quý giá, đa dạng, phong phú để phục vụ cho các quý thầy cô trong sự nghiệp trồng người cho đất nước. Vật Lý là một bộ môn luôn luôn vận động, vì vậy chúng tôi mong sẽ có thể phần nào đó giúp cho các quý thầy cô truyền được niềm đam mê, hứng khởi cho các em học sinh, tạo ra phong cách riêng độc đáo, sinh động trong mỗi bài giảng. Chúng tôi cũng hy vọng qua chuyên đề lần này có thể nhận được sự phản hồi, góp ý từ mọi người để có thể tự hoàn thiện bản thân, cùng chung sức củng cố mối liên kết chặt chẽ giữa các trường chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ. B- Nội dung của đề tài: I- Tóm tắt lý thuyết: 1- Định nghĩa: Lưỡng chất cầu là một tập hợp hai môi trường trong suốt, ngăn cách nhau bởi một phần (hoặc toàn bộ) mặt cầu. 2- Đường đi của một tia sáng qua lưỡng chất cầu: Tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng 3- Lưỡng chất cầu khẩu độ nhỏ: 4.1- Định nghĩa:Lưỡng chất cầu đỉnh bị giới hạn ở một chỏm cầu nhỏ, có đáy là một đường tròn tâm , bán kính , được gọi là có khẩu độ nhỏ, khi nửa góc ở đỉnh của hình nón đỉnh , đáy là đường tròn , có độ lớn không quá vài độ. 2 4.2- Điều kiện tương điểm gần đúng: Các tia sáng gửi tới mặt lưỡng chất phải là các tia không xa và nghiêng ít so với quang trục. 4.3- Các công thức: Xét sơ đồ tạo ảnh của một vật nhỏ, phẳng mỏng đặt vuông góc với trục chính của lưỡng chất cầu ( nằm trên trục lưỡng chất cầu): → a) Công thức xác định vị trí ảnh, vật: Lưu ý:Quy ước dấu: - Đối với các khoảng cách + Vật thật: + Ảnh thật: - Đối với bán kính và : ; vật ảo: ; ảnh ảo: của mặt cầu khúc xạ: + nếu tia sáng chiếu tới lưỡng chất gặp mặt lồi. + nếu tia sáng chiếu tới lưỡng chất gặp mặt lõm. b) Độ phóng đại của ảnh: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3 Độ dài đại số của ảnh và vật được quy ước theo chiều dương như hình vẽ. c) Hệ thức giữa các tiêu cự: Khi thì: Khi thì: Từ đó ta suy ra hệ thức giữa các tiêu cự: d) Công thức La-grăng – Hem-hôn: Tích của chiết suất môi trường với độ lớn của vật (hoặc ảnh) và với góc nghiêng trên trục của một tia sáng qua chân của vật (hoặc ảnh) có một giá trị không đổi, đối với hai môi trường. 5- Những điểm thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn đối với lưỡng chất cầu: Lưỡng chất cầu thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn đối với: - Tâm của nó. - Mọi điểm trên mặt cầu. 4 - Cặp điểm Vai-e-xtra-xơ . Cặp điểm này: + Cùng nằm trên một đường kính. + Cùng nằm một phía đối với tâm + Cách tâm mặt cầu những khoảng: II- Một số bài tập ứng dụng: 1- Bài tập về lưỡng chất cầu khẩu độ nhỏ: 1.1- Chứng minh công thức lưỡng chất cầu: Bài tập: Hãy dùng nguyên lí Fermat hoặc định lý Malus để chứng minh công thức lưỡng chất cầu khẩu độ nhỏ. Giải: Cách 1: Dùng nguyên lí Fermat: Từ hình vẽ ta có: √ √ Quang trình của tia Theo nguyên lí Fermat: Mặt khác do 5 : Suy ra: Cách 2: Dùng định lý Malus: Chọn hệ trục tọa độ định được tọa độ điểm . Từ phương trình của mặt cầu khúc xạ giúp ta xác : √ * + Tương tự: Theo định lý Malus quang trình của hai tia và phải bằng nhau nên: Từ đó ta dễ dàng chứng minh được: 1.2- Áp dụng công thức lưỡng chất cầu để giải bài tập: Bài 1: Một thấu kính mỏng hai mặt lồi có bán kính bằng nhau. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm chính khi đặt thấu kính trong không khí và đặt trong nước lần lượt là và . Cho chiết suất tuyện đối của không khí bằng , chiết suất tuyệt đối của nước bằng . a) Tìm chiết suất tuyệt đối của chất làm thấu kính. b) Đặt thấu kính ngập một nửa trong nước sao cho trục chính vuông góc với mặt phẳng phân cách giữa nước và không khí. Tìm khoảng cách giữa hai tiêu điểm chính. Giải: a) Gọi là bán kính hai mặt cong của thấu kính. Xét: Khi thấu kính đặt trong không khí, ta có: 6 Khi thấu kính đặt trong nước, ta có: ( Từ ) suy ra: b) Xét sơ đồ tạo ảnh: Với → → → → thì: Xét tiếp sơ đồ tạo ảnh: Với thì: Vậy khoảng cách giữa hai tiêu điểm chính: 7 Kết hợp với các kết quả ở câu a) ta được: Bài 2: Một thấu kính mỏng hai mặt cầu lồi làm từ thủy tinh, bề dày , đường kính . Đặt thấu kính sao cho trục chính thẳng đứng, một phần thấu kính ngập trong nước với quang tâm nằm ngay trên mặt nước.Khi Mặt Trời lên đến đỉnh đầu thì ảnh của nó cho bởi thấu kính xuất hiện ở độ sâu so với mặt nước. Nếu đảo ngược thấu kính sao cho phần trên ngập chìm trong nước thì ảnh của Mặt Trời lại xuất hiện ở độ sâu . Cho biết chiết suất của nước là . Hãy tính chiết suất của thủy tinh làm thấu kính cũng như bán kính của hai mặt cầu. Giải: . Đặt Từ hình vẽ ta có: Do nên: Tương tự ta có: Mặt khác: Suy ra: 8 Coi thấu kính như một hệ gồm hai lưỡng chất cầu không khí – thủy tinh và thủy tinh – nước. Ta dễ dàng tính được: Khi mặt cong quay xuống: Tương tự khi mặt cong Cộng vế với vế Tiếp tục thế quay xuống: rồi thế vào vào cho ta: rồi giải hệ hai phương trình ta được: 1.3- Các bài toán về sự dịch chuyển ảnh vật: → Gọi vận tốc của vật và ảnh lần lượt là và * . Ta có: Vật dịch chuyển theo phương vuông góc với trục chính: KL:Ảnh dịch chuyển vuông góc với trục chính với * Vật dịch chuyển dọc theo trục chính: KL: Ảnh vật chuyển động cùng chiều (do chiều dương của ảnh và chiều dương của vật ngược hướng với nhau) Bài 1: Một vật sáng có khối lượng , coi như một chất điểm, được gắn dưới một lò xo 9 có độ cứng và có khối lượng không đáng kể. Khi dao động, vật có vị trí cân bằng nằm trên đường thẳng kéo dài của đường kính của một quả cầu bằng thủy tinh. Quả cầu có bán kính , chiết suất . Khoảng cách từ vị trí cân bằng của vật sáng tới là . Mặt sau quả cầu được tráng bạc (hình vẽ). Ta chỉ xét ảnh của vật sáng tạo bởi các tia đi từ vật đến quả cầu với góc tới nhỏ. Coi chiết suất của không khí bằng . a) Xác định vị trí ảnh của vật sáng khi vật ở vị trí cân bằng. b) Khi vật sáng dao động với biên độ động với vận tốc cực đại bằng bao nhiêu? ( có giá trị nhỏ) thì ảnh của vật dao Giải: a) Sơ đồ tạo ảnh: → Với → → ta có: Vậy ảnh tạo bởi hệ là ảnh ảo. b) Khi vật có li độ và vận tốc Ta có: Với: 10 thì ảnh có li độ và vận tốc ( ) ( ) ( ) Vậy: Mặt khác: | | √ | | √ Bài 2: Một bể cá hình cầu làm bằng thủy tinh mỏng chứa đầy nước, đặt trước một gương phẳng thẳng đứng. Bán kính của bể là . Khoảng cách từ tâm cầu đến gương là . Quan sát viên ở khoảng cách lớn nhìn theo đường kính hình cầu vuông góc với gương. Ở một điểm trên đường kính ngược với phía quan sát viên có một con cá bắt đầu bơi theo thành bể với vận tốc ⃗ vuông góc với đường kính (kích thước của con cá rất nhỏ so với bể). Những ảnh của con cá mà quan sát viên trông thấy sẽ ra xa nhau với vận tốc tương đối bằng bao nhiêu? Cho chiết suất của nước . Giải: *Xét các tia sáng từ con cá về phía quan sát viên: → Với Mặt khác: 11 ta có: Vậy chuyển động cùng chiều với : ⃗ ⃗ *Ảnh thứ hai: → → → Áp dụng công thức lưỡng chất cầu khẩu độ nhỏ: Suy ra: Vậy: Nên: ( ) ( ) ( chuyển động ngược chiều với : ⃗ ) ⃗ *Vậy vận tốc tương đối giữa hai ảnh: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Bài 3: Một bể cá hình cầu, bán kính làm bằng thủy tinh mỏng, trong suốt, chứa đầy nước. Người quan sát đặt mắt tại ở khoảng cách khá xa bể cá, nhìn theo một đường kính của hình cầu. Phía sau bể cá đặt một gương phẳng vuông góc với đường kính và cách tâm cầu một khoảng bằng . Trên đường kính có một con cá nhỏ (xem như điểm sáng ), bơi dọc theo từ đến với vận tốc 0 không đổi. Cho chiết suất của không khí bằng , chiết suất của nước . 12 a) Hãy giải thích vì sao người này nhìn thấy hai ảnh của con cá. b) Đúng lúc con cá đi qua tâm hãy tính vận tốc của hai ảnh nói trên từ đó suy ra tốc độ tương đối giữa chúng. Giải: Xét quá trình tạo ảnh thứ nhất: → Với thì: Xét quá trình tạo ảnh thứ hai: → Với → → → thì: { { Vậy: Vận tốc của ảnh thứ nhất: Vận tốc của ảnh cuối cùng trong quá trình tạo ảnh thứ hai: 13 Mặt khác ta lại có: Suy ra hai ảnh chuyển động ngược chiều nhau nên vận tốc tương đối giữa chúng có độ lớn bằng 1.4- Các bài toán liên quan tới công thức thấu kính cầu: Bài 1: Xét một khối cầu trong suốt có bán kính , chiết suất , đặt trong không khí. Ta có thể coi khối cầu trong suốt này như một thấu kính cầu. Một điểm sáng nằm trên trục chính của thấu kính cách tâm của thấu kính một khoảng là , cho ảnh cách tâm thấu kính một khoảng là . Hãy tìm công thức của thấu kính cầu. Giải: Sơ đồ tạo ảnh: Ta có: Mặt khác: Lại có: Đặt: Thì: 14 → → Suy ra: Công thức Khi được gọi là công thức thấu kính cầu. ta được tiêu cự của thấu kính: Bài 2: Một quả cầu nước có bán kính , chiết suất . Vật đặt ở vị trí sao cho ảnh qua quả cầu ngược chiều với vật.Ảnh hiện lên trên một màn chắn. Trong bài toán này ta chỉ xét trường hợp tạo ảnh bởi các tia sáng đi gần trục. Khoảng cách giữa vật và màn chắn là cố định. a) Gọi là khoảng cách từ vật tới tâm hình cầu, có hai giá trị để cho ảnh | và tỷ số độ lớn của hai ảnh tương ứng với hai vị trí. rõ nét. Tìm hiệu | b) Khoảng cách phải thỏa mãn những điều kiện gì để có thể tạo được ảnh. Giải: Áp dụng công thức vừa chứng minh ở bài 1 ta có: Mặt khác: Từ suy ra: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt | 15 | √ √ ( (giả sử ) ) thì: Do tính thuận nghịch của chiều truyền ánh sáng cho nên: Gọi độ cao của vật là . Độ cao Độ cao của ảnh thứ nhất có độ lớn: của ảnh thứ hai có độ lớn: Suy ra tỉ số độ lớn giữa hai ảnh : √ ( [ ( √ √ ) ) ] Bài 3: Hai khối cầu trong suốt có cùng bán kính , chiết suất . Khoảng cách hai tâm . Hãy tìm mối liên hệ giữa để chùm sáng song song và đi gần với đường thẳng nối tâm hai quả cầu sau khi qua hệ lại trở thành chùm song song. Giải: Mỗi khối cầu trong suốt tương đương với một thấu kính cầu có tiêu cự: Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì hệ này phải là hệ vô tiêu, suy ra: Mặt khác: 1.5- Giải bài toán về lưỡng chất cầu bằng phép vẽ: 16 Bài 1: Một chỏm cầu bằng thạch anh bị nhúng một phần vào chất lỏng có chiết suất (như hình vẽ). Mặt phẳng bán cầu song song và cách mặt thoáng chất lỏng đoạn , độ dày của chỏm cầu là . Một chùm sáng song song được chiếu thẳng đứng vào chỏm cầu. Tại độ sâu và trong chất lỏng quan sát được hai ảnh có độ sáng như nhau. Bỏ qua sự hấp thụ ánh sáng của thạch anh và chất lỏng, sự phản xạ ánh sáng tại các mặt phân cách. Hãy xác định bán kính của chỏm cầu, chiết suất của thạch anh và . Giải: Hai ảnh được tạo ra như sau: Ảnh thứ nhất được tạo nên từ chùm sáng đến phần hở của chỏm cầu, khúc xạ ở đó, rồi khúc xạ trên mặt phẳng ra chất lỏng; ảnh thứ hai được tạo nên từ phần chùm sáng đến mặt chất lỏng, đến phần chìm của chỏm cầu, rồi khúc xạ qua chỏm cầu ra chất lỏng.Do ảnh rõ nét (quan sát được) nên hệ phải thoả mãn điều kiên tương điểm, tức là chỉ xét các tia tới với các góc nhỏ (hình vẽ). Tia tới mặt cầu dưới góc và góc khúc xạ nên góc lệch: ( ) Suy ra góc tới ở mặt phẳng của chỏm cầu là và góc khúc xạ ra chất lỏng là: ( ) Theo điều kiện tương điểm: Độ dày của chỏm cầu phải nhỏ nên ta có: Tương tự: Đối với những tia sáng đi từ chất lỏng vào chỏm cầu: 17 nên Từ hệ thức và ta có: Mặt khác theo giả thiết hai ảnh có độ sáng như nhau nên năng lượng đến hai ảnh phải như nhau, tức là phần tiết diện của chỏm cầu hở phải bằng tiết diện phần chìm: Lại có: [ Từ ] ta dễ dàng tính được: √ 1.6- Một số ứng dụng thực tế của lưỡng chất cầu: Bài 1: Gương phản xạ lùi là một thiết bị quang học phản xạ ánh sáng quay ngược trở lại so với chiều mà nó tới. Loại quen thuộc nhất là hình lập phương có góc phản xạ, nhưng gần đây nhất là những hình cầu Scotchlite do công ty sáng chế. a) Hãy tính chiết suất phản xạ lùi ánh sáng. và các thông số liên quan khác để đảm bảo hình cầu b) Hãy vẽ phác sơ đồ làm việc của Scotchlite và thảo luận một cách định tính những yếu tố quyết định đến hiệu suất phản xạ của nó. 18 Giải: a) Hình cầu Scotchlite là một quả cầu chiết suất , có nửa bán cầu sau là mặt phản xạ. Tiêu cự trong không gian ảnh, , đối với mặt khúc xạ đơn cho bởi công thức: Trong đó là bán kính mặt cầu. Chiết suất của không khí là . Chiết suất của thủy tinh được chọn sao cho tiêu điểm sau có nửa mặt cầu trước trùng với đỉnh của nửa mặt cầu sau, tức là: Vì thế b) Nửa mặt cầu sau của hình cầu Scotchlite phản xạ một phần ánh sáng tới, hệ số phản xạ lùi η được cho bởi công thức: Trong đó là độ trong suốt của nửa mặt cầu trước tại đó ánh sáng khúc xạ hai lần, được tính là: Và là độ phản xạ của nửa mặt cầu sau.Giả thiết ở đây không có sự hấp thụ. Đối với mặt tráng bạc ta có: Bài 2: Một nhiệt kế thủy ngân làm bằng thủy tinh có chiết suất thành ngoài và thành trong là hai hình trụ đồng trục có bán kính lần lượt là Một người quan sát đặt mắt khá xa để quan sát nhiệt kế. có . a) Hãy tìm điều kiện về để người quan sát có cảm giác như phần thủy ngân chiếm hết cả nhiệt kế (không thấy phần thủy tinh). b) Khi bầu của nhiệt kế nằm trong nước đá thì thủy ngân ở vạch Khi bầu của nhiệt kế nằm trong nước sôi thì thủy ngân ở vạch 19 . Hỏi khi thủy ngân trong nhiệt kế ở vạch (nhiệt độ biểu kiến) thì nhiệt độ thực tế là bao nhiêu? Cho biết hệ số nở nhiệt của thủy tinh là và của thủy ngân là c) Hãy đề xuất phương án đo với các dụng cụ sau đây: - Một bút đánh dấu bằng mực xanh. - Một thước kẹp. - Một kính hiển vi. - Một tấm thủy tinh mỏng, phẳng, hai mặt song song. Giải: a) Áp dụng định lí hàm sin: Mặt khác theo định luật khúc xạ: Từ suy ra: b) Khi đặt nhiệt kế trong nước đá thì thủy ngân ở vạch . Vậy ở nếu ta gọi thể tích của bầu là thì thể 20