Tài liệu Mô hình chuỗi thời gian áp dụng trong kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --------------------------------------TRẦN THANH BÌNH Trần Thanh Bình TOÁN CÔNG NGHỆ MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Toán Công nghệ 2007 - 2009 Hà Nội – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --------------------------------------- Trần Thanh Bình MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Toán Công nghệ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TỐNG ĐÌNH QUỲ Hà Nội – 2009 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 1 MỞ ĐẦU 5 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 6 1.1 GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN VÀ DỰ 6 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 8 1.2.1 Chuỗi thời gian……………………………………….. 8 1.2.2 Đặc điểm chuỗi thời gian………………………………9 1.3 PHÂN TÍCH, DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN………………9 1.4 CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA CHUỖI THỜI GIAN…………………………………………………………13 1.4.1 Các đại lượng thống kê đặc trưng cho chuỗi…………. 13 1.4.2 Các đại lượng mô tả mối quan hệ giữa các phần tử trong chuỗi……………………………………………………….. 13 1.5 MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN CHO CHUỖI THỜI GIAN 1.5.1 Quá trình nhiễu trắng……………………………………17 1.5.2 Mô hình du động ngẫu nhiên………………………….. 18 1.5.3 Mô hình du động ngẫu nhiên có nhiễu…………………19 1.6 TOÁN TỬ LÙI VÀ CHUỖI THỜI GIAN DỪNG ……… 20 1.6.1 Toán tử lùi………………………………………………20 1.6.2 Toán tử sai phân………………………………………..20 1.6.3 Chuỗi thời gian dừng…………………………………22 Chương 2: MỘT SỐ MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN …….27 2.1 CÁC MÔ HÌNH DỪNG TUYẾN TÍNH…………………….. 27 2.1.1 Quá trình tuyến tính…………………………………… 27 2.1.2 Quá trình tự hồi qui AR(p)……………………………… 28 2.1.3 Quá trình trung bình trượt MA(q)......................................34 2.1.4 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(p,q)............36 2.1.5 Tính khả nghịch của các mô hình MA(q).......................... 38 2.2 MÔ HÌNH KHÔNG DỪNG TUYẾN TÍNH..........................39 2.2.1 Quá trình tích hợp……………………………………… 39 2.2.2 Mô hình tự hồi qui tích hợp trung bình trượt ARIMA(p,d,q)……………………………………………40 2.2.3 Qui trình ứng dụng mô hình ARIMA trong phân tích, dự báo………………………………… 41 2.3 MÔ HÌNH MÙA VỤ…………………………………………52 2.3.1 Chuỗi mùa vụ…………………………………………… 52 2.3.2 Biến đổi chuỗi mùa vụ thành chuỗi dừng……………… 54 2.3.3 Mô hình ARIMA theo mùa vụ hay SARIMA………… 55 2.3.4 Các bước tiến hành xây dựng SARIMA…………………57 Chương 3: CHƯƠNG TRÌNH DỰ BÁO…………………… 59 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN………………… 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………. 69 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cám ơn PGS.TS Tống Đình Quỳ, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trường Đại Học Bách Khoa đã giảng dậy cho tôi trong suốt quá trình học cao học, cám ơn các bạn học viên cùng lớp Toán Công Nghệ đã động viên và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập. 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 1 MỞ ĐẦU 5 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 6 1.1 GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN VÀ DỰ 6 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 8 1.2.1 Chuỗi thời gian……………………………………….. 8 1.2.2 Đặc điểm chuỗi thời gian………………………………9 1.3 PHÂN TÍCH, DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN………………9 1.4 CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA CHUỖI THỜI GIAN…………………………………………………………13 1.4.1 Các đại lượng thống kê đặc trưng cho chuỗi…………. 13 1.4.2 Các đại lượng mô tả mối quan hệ giữa các phần tử trong chuỗi……………………………………………………….. 13 1.5 MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN CHO CHUỖI THỜI GIAN 1.5.1 Quá trình nhiễu trắng……………………………………17 1.5.2 Mô hình du động ngẫu nhiên………………………….. 18 1.5.3 Mô hình du động ngẫu nhiên có nhiễu…………………19 1.6 TOÁN TỬ LÙI VÀ CHUỖI THỜI GIAN DỪNG ……… 20 1.6.1 Toán tử lùi………………………………………………20 1.6.2 Toán tử sai phân………………………………………..20 3 1.6.3 Chuỗi thời gian dừng…………………………………22 Chương 2: MỘT SỐ MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN …….27 2.1 CÁC MÔ HÌNH DỪNG TUYẾN TÍNH…………………….. 27 2.1.1 Quá trình tuyến tính…………………………………… 27 2.1.2 Quá trình tự hồi qui AR(p)……………………………… 28 2.1.3 Quá trình trung bình trượt MA(q)......................................34 2.1.4 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt ARMA(p,q)............36 2.1.5 Tính khả nghịch của các mô hình MA(q).......................... 38 2.2 MÔ HÌNH KHÔNG DỪNG TUYẾN TÍNH..........................39 2.2.1 Quá trình tích hợp……………………………………… 39 2.2.2 Mô hình tự hồi qui tích hợp trung bình trượt ARIMA(p,d,q)……………………………………………40 2.2.3 Qui trình ứng dụng mô hình ARIMA trong phân tích, dự báo………………………………… 41 2.3 MÔ HÌNH MÙA VỤ…………………………………………52 2.3.1 Chuỗi mùa vụ…………………………………………… 52 2.3.2 Biến đổi chuỗi mùa vụ thành chuỗi dừng……………… 54 2.3.3 Mô hình ARIMA theo mùa vụ hay SARIMA………… 55 2.3.4 Các bước tiến hành xây dựng SARIMA…………………57 Chương 3: CHƯƠNG TRÌNH DỰ BÁO…………………… 59 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN………………… 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………. 69 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ACF (AutoCorrelation Function) Hàm tự tương quan PACF (Partial AutoCorrelation Function) Hàm tự tương quan riêng AR (AutoRegressive) Tự hồi quy MA (Moving Average) Trung bình trượt MSE (Mean Square Error) Sai số bình phương trung bình 5 MỞ ĐẦU Dự báo là nghệ thuật và khoa học tiên đoán các sự kiện xảy ra trong tương lai. Từ thuở xa xưa, những nhà tiên tri đã giữ một vị trí quan trọng trong cộng đồng. Khi văn minh nhân loại phát triển đã làm gia tăng các mối quan hệ phức tạp của các giai đoạn trong cuộc sống, con người có nhu cầu quan tâm đến tương lai của họ. Kĩ thuật về dự báo đã hình thành từ thế kỉ 19, tuy nhiên dự báo có ảnh hưởng mạnh mẽ khi công nghệ thông tin phát triển vì bản chất mô phỏng của các phương pháp dự báo rất cần thiết sự hỗ trợ của máy tính. Đến năm 50 của thế kỉ này, các lý thuyết về dự báo cùng với các phương pháp luận được xây dựng và phát triển có hệ thống. Luận văn nghiên cứu một số mô hình dự báo dùng mô hình chuỗi thời gian và xây dựng một ứng dụng minh hoạ bằng bài toán dự báo giá gạo. Luận văn tập trung vào các vấn đề chính sau: -Nghiên cứu các mô hình dự báo: + Mô hình dừng tuyến tính (AR, MA, ARMA) + Mô hình không dừng tuyến tính (ARIMA) + Mô hình mùa vụ (SARIMA) -Xây dựng ứng dụng minh hoạ dự báo trên mô hình ARIMA: dự báo giá gạo. 6 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 1.1 GIỚI THIỆU VỀ CHUỖI THỜI GIAN VÀ DỰ BÁO Dự báo là một nhu cầu không thể thiếu cho những hoạt động của con người trong bối cảnh bùng nổ thông tin. Dự báo sẽ cung cấp những cơ sở cần thiết cho các hoạch định vĩ mô hoặc vi mô, và có thể nói rằng nếu không có khoa học dự báo thì những dự định tương lai của con người vạch ra sẽ không có sự thuyết phục đáng kể. Hiện nay, khoa học dự báo đang là môn học của một số trường đại học trên thế giới và trở thành môt trong những phần quan trọng ở các đơn vị kinh doanh cũng như các bộ phận hoạch định chiến lược. Trong công tác phân tích dự báo, vấn đề quan trọng hàng đầu cần đặt ra là việc nắm bắt tối đa thông tin về lĩnh vực dự báo. Thông tin ở đây có thể hiểu một các cụ thể gồm: (1) Các số liệu quá khứ của lĩnh vực dự báo. (2) Diễn biến tình hình hiện trạng cũng như động thái phát triển của lĩnh vực dự báo. (3) Đánh giá một cách đầy đủ nhất các nhân tố ảnh hưởng cả về định lượng lẫn định tính. Căn cứ vào nội dung phương pháp và mục đích của dự báo, người ta chia dự báo thành hai loại: 7 + Phương pháp định tính + Phương pháp định lượng Phương pháp định tính thường phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm của một hay nhiều chuyên gia trong lĩnh vực liên quan. Phương pháp này thường được áp dụng, kết quả dự báo sẽ được các chuyên gia trong lĩnh vực liên quan nhận xét, đánh giá và đưa ra kết luận cuối cùng. Phương pháp định lượng sử dụng những dữ liệu quá khứ theo thời gian, dựa trên dữ liệu lịch sử để phát hiện chiều hướng vận động của đối tượng phù hợp với mô hình toán học nào đó và đồng thời sử dụng mô hình này để ước lượng. Tiếp cận định lượng dựa trên giả định rằng giá trị tương lai của biến số dự báo sẽ phụ thuộc vào xu thế vận động của đối tượng trong quá khứ. Phương pháp dự báo theo chuỗi thời gian là một phương pháp định lượng. Phương pháp chuỗi thời gian một chiều sẽ dựa trên việc phân tích chuỗi quan sát của một biến duy nhất theo biến số độc lập là thời gian. Giả định chủ yếu là biến số dự báo sẽ giữ nguyên chiều hướng phát triển đã xảy ra trong quá khứ và hiện tại Những dữ liệu quan sát liên tục cho một hiện tượng (vật lý, kinh tế ...) trong một khoảng thời gian sẽ tạo nên một chuỗi thời gian. Ví dụ, doanh số của công ty trong 20 năm gần đây, hoặc nhiệt độ ghi nhận tại một trạm quan trắc khí tượng, hoặc công suất điện năng tiêu thụ trong một nhà máy, đó là các ví dụ điển hình cho một chuỗi thời gian. 8 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN 1.2.1 Chuỗi thời gian ƒ Chuỗi thời gian là một tập các quan sát được đo theo thời gian. ƒ Phân loại chuỗi thời gian: o Chuỗi rời rạc: Nếu tập quan sát là rời rạc. o Chuỗi liên tục: Nếu tập quan sát là liên tục. ƒ Có thể nói phần lớn dữ liệu phụ thuộc thời gian phản ánh các hoạt động của đời sống kinh tế - xã hội thường được đo tại các mốc thời gian cách đều nhau nên trong luận văn này chỉ quan tâm đến chuỗi thời gian rời rạc, ở đó các quan sát được đo trong các khoảng thời gian như nhau với phương pháp đo cố định. ƒ Như vậy, về mặt toán học: chuỗi thời gian là một tập giá trị các quan sát của biến ngẫu nhiên { zt } đo được trong các khoảng thời gian như nhau (hàng năm, quý, tháng, tuần, ngày,…) và được xếp theo thứ tự thời gian. Ví dụ: - Chuỗi giá trị tổng sản phẩm quốc nội (GDP) được đo từng quý - Chuỗi giá trị đo lượng mưa hàng năm - Chuỗi giá trị chỉ số chứng khoán theo ngày - Chuỗi giá trị đo chỉ số giá tiêu dùng của Việt Nam theo từng tháng trong năm 9 1.2.2 Đặc điểm chuỗi thời gian ƒ Tính thời đoạn: Tập dữ liệu được đo ở các thời điểm khác nhau. Đơn vị phân tích là thời đoạn: hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm… ƒ Tính mùa vụ: Thể hiện hành vi có tính chu kì của chuỗi thời gian trên cơ sở năm lịch. Chuỗi thể hiện tính mùa vụ thông thường có xu hướng được nhắc lại ở những khoảng thời gian theo mùa đều đặn. Những nhân tố ảnh hưởng đến hiện tượng này như: thị hiếu khách hàng, mùa vụ, thời tiết… Ví dụ: Chỉ số giá tiêu dùng của Việt Nam thường tăng cao vào những tháng trước và trong Tết và giảm vào tháng ngay sau Tết. Vậy chỉ số giá tiêu dùng có tính mùa vụ. ƒ Tính dừng: Là chuỗi mà dữ liệu của nó được biến thiên quanh giá trị trung bình hay ở một mức không đổi nào đó. ƒ Tính xu thế: Tính xu thế thể hiện sự dịch chuyển dữ liệu hoặc, tăng hoặc giảm của dữ liệu trong giai đoạn dài ƒ Tính chu kì: Chuỗi dữ liệu thể hiện dưới dạng đồ thị hàm tuần hoàn (chẳng hạn các hàm lượng giác: sin, cosin,…) 1.3 PHÂN TÍCH, DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN Các số liệu kinh tế - xã hội nói chung được thu thập, tính toán theo những khoảng thời gian nhất định, chẳng hạn ở nước ta tổng sản phẩm quốc nội (GDP) được thu thập theo quý, chỉ số giá tiêu dùng (CPI) được thu thập theo tháng… 10 Nếu các số liệu kinh tế - xã hội được liên tục thu thập, tính toán trong một khoảng thời gian nào đó, ta sẽ nhận được chuỗi số liệu và được gọi là chuỗi thời gian. Trong trường hợp khoảng thời gian đó đủ dài thì có thể dựa vào các số liệu quá khứ và hiện tại để dự báo khá chính xác giá trị số liệu ở tương lai. Cách thức dự báo như vậy được gọi là phương pháp phân tích, dự báo chuỗi thời gian. Phương pháp phân tích, dự báo chuỗi thời gian, dựa trên giả định cơ bản là sự biến động của các hiện tượng trong tương lai sẽ giống với sự biến động của các hiện tượng trong quá khứ và hiện tại xét về mặt đặc điểm và cường độ biến động. Nói một các khác, các yếu tố đã ảnh hưởng đến biến động của các hiện tượng trong quá khứ sẽ tiếp tục tác động đến hiện tượng theo xu hướng và cường độ giống hoặc gần giống trước. Vì vậy mục tiêu chính của phân tích, dự báo chuỗi thời gian chỉ ra và tách biệt các yếu tố ảnh hưởng đến đó. Điều này có ý nghĩa trong việc dự báo và nghiên cứu quy luật biến động của hiện tượng. Quá trình phân tích, dự báo chuỗi thời gian { zt } là để tìm ra các mô hình, quy luật ẩn trong nó, được thực hiện trên các mẫu quan sát, gồm có những bước sau: Bước 1: Nhận dạng các thành phần ẩn tồn tại trong chuỗi thời gian ƒ Thành phần xu thế (Trend-T): Thể hiện chiều hướng biến động tăng hoặc giảm của các hiện tượng nghiên cứu trong thời gian dài. 11 ƒ Thành phần chu kì (Period-P): Thể hiện biến động của hiện tượng được lặp lại với chu kì nhất định, thường kéo dài từ 2 đến 10 năm. Đây là thành phần khó khi nhận dạng. ƒ Thành phần mùa vụ (Seasonal-S): Biểu diễn sự tăng hoặc giảm mức độ của hiện tượng ở một số thời điểm (tháng, quý) nào đó và được lặp đi lặp lại. ƒ Thành phần ngẫu nhiên (Irregular-I): Thể hiện những biến động không có qui luật và hầu như không dự báo, quan sát được lên giá trị của hiện tượng đang nghiên cứu. Những thành phần này kết hợp với nhau trong chuỗi thời gian bằng nhiều cách thức khác nhau, chẳng hạn chuỗi thời gian { zt } được mô tả là : Z t = T x P x S x I : gọi là mô hình tích Z t = T + P + S + I : gọi là mô hình tổng Z t = T x P x S + I : gọi là mô hình hỗn hợp Do vậy, để phân tích, nghiên cứu hành vi cũng như dự báo biến động của chuỗi thời gian thì cần thiết phải ước lượng các thành phần nói trên trong chuỗi thời gian và cách thức kết hợp chúng với nhau trong chuỗi. Bước 2: Làm trơn số liệu. Sau khi xác định các thành phần trên trong chuỗi thời gian, tiếp theo phải tiến hành làm trơn dữ liệu. Cụ thể hơn là loại trừ được thành phần xu thế và mùa vụ trong chuỗi thời gian. Chuỗi thu được sau cùng không còn chứa các thành phần đó (chuỗi được làm trơn), khiến cho việc phân tích, dự báo dễ dàng hơn. 12 Bước 3: Chọn lựa, ước lượng, đánh giá mô hình Chọn lựa mô hình trong lớp mô hình phân tích, dự báo chuỗi thời gian, sao cho mô hình được lựa chọn là “tốt nhất”, phải thoả mãn các tiêu chí kiểm định, đánh giá. Mô hình được lựa chọn cũng phải đơn giản và có thể hiểu được dễ dàng, sinh ra chuỗi “gần giống” với chuỗi quan sát thực. Bước 4: Dự báo Từ mô hình thực hiện dự báo giá trị tương lai cho chuỗi, phân tích sự phù hợp của giá trị dự báo cả về mặt thực nghiệm và lý thuyết. Xác định độ chênh giữa giá trị dự báo với giá trị quan sát thực và khoảng tin cậy của dự báo (giới hạn mà giá trị quan sát thực sẽ nằm trong đó). Ứng dụng mô hình dự báo trong thực tế Ứng dụng mô hình để thực hiện các dự báo về các giá trị tương lai của hiện tượng nghiên cứu, trên cơ sở đó để lập kế hoạch, đề ra các quyết định trong sản xuất, kinh doanh hoặc đề ra chính sách. Đồng thời cung cấp thêm các giá trị quan sát mới vào dữ liệu chuỗi quan sát nhằm mục đích hiệu chỉnh lại mô hình để đưa ra dự báo tốt hơn. Dự báo chuỗi thời gian Là ước luợng các giá trị của biến ngẫu nhiên chuỗi thời gian zt +h (h ≥ 1) tại thời điểm t, kí hiệu là zt (h) , dựa trên cơ sở các giá trị của biến ngẫu nhiên { zt } được quan sát trong quá khứ đến thời điểm này. Chất lượng dự báo phụ thuộc vào nhiều yếu tố chẳng hạn sự phức tạp của chuỗi thời gian khi thực hiện phân tích, tác động của nhiều yếu tố bất thường không thể lường trước được khi tiến hành dự báo, độ dài của khoảng thời gian dự báo. 13 1.4 CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA CHUỖI THỜI GIAN Giả sử có chuỗi thời gian có n quan sát { zt } , t = 1,2,….n… Trong luận văn chỉ nghiên cứu chuỗi thời gian dừng, khi đó kì vọng, phương sai không đổi theo thời gian và hiệp phương sai giữa hai quan sát bất kì chỉ phụ thuộc vào khoảng cách (độ trễ về thời gian) giữa t và t-k, không phụ thuộc vào thời điểm hiệp phương sai được tính. Tức là về mặt toán học chuỗi thời gian zt được gọi là dừng nếu: -Kì vọng: E ( zt ) = µ =const ∀t -Phương sai: Var( zt ) = σ z2 ∀t -Hiệp phương sai: γ z (k ) = cov( zt , zt − k ) = cov( zq , zq − k )∀t , q t ≠ q 1.4.1 Các đại lượng thống kê đặc trưng cho chuỗi • Kì vọng: Đại diện cho giá trị trung bình của chuỗi E ( zt ) = µ Không mất tính tổng quát, trong luân văn luôn giả thiết: E ( zt ) = µ = 0 Trong thực tế không thể nghiên cứu được toàn bộ tổng thể của hiện tượng mà chỉ nghiên cứu được tập con của các phần tử của tổng thể gọi là 14 mẫu. Nói chung để nghiên cứu toàn bộ tổng thể, ta chỉ nghiên cứu một số phần tử nào đó của tổng thể, tức là chỉ nghiên cứu mẫu thôi, từ đó suy đoán về tổng thể. Kì vọng mẫu được tính như sau z= 1 n ∑ zt n t =1 • Phương sai: Đại diện cho mức độ phân tán các giá trị của chuỗi xung quanh kì vọng: 2 Var( zt ) = σ z2 = E ⎡( zt − µ ) ⎤ ⎣ ⎦ Phương sai mẫu được tính: ( 1 n c0 = ∑ zt − z n t =1 ) 2 • Độ lệch chuẩn: Là căn bậc hai của phương sai σ z = σ z2 1.4.2 Các đại lượng mô tả mối quan hệ giữa các phần từ trong chuỗi • Hiệp phương sai: Sử dụng để đo mức độ tương quan của hai biến ngẫu nhiên trong cùng một chuỗi thời gian. Nó phản ánh sự phụ thuộc hay độc lập của các biến ngẫu nhiên trong chuỗi Hiệp phương sai giữa hai biến ngẫu nhiên trên chuỗi thời gian tại thời điểm t và tại thời điểm t+k, giữa chúng có k-1 quan sát được xác định như sau: γ z (k ) = cov ( zt , zt + k ) = E ⎡⎣( zt − µ )( zt + k − µ ) ⎤⎦ trong đó: 15 µ là kì vọng của zt Hiệp phương sai khi k=0 chính là phương sai của zt : γ z (0) = cov ( zt , zt ) = σ z2 Tương tự, hiệp phương sai mẫu được tính như sau: ck = 1 n−k ∑ zt − z zt +k − z n t =1 ( )( ) với k=1,2,…n-1 trong đó, z là kì vọng mẫu của zt • Hàm tự tương quan ACF (AutoCorrelation Function) Hàm tự tương quan đo lường độ phụ thuộc tuyến tính giữa các cặp quan sát γ z (t ) và γ z (t + k ) , ứng với thời đoạn k= 1, 2, ….( k còn gọi là độ trễ). Với mỗi độ trễ k, hàm tự tương quan tại độ trễ k được xác định qua độ lệch giữa các biến ngẫu nhiên γ z (t ) , γ z (t + k ) so với giá trị trung bình ρk = cov [ zt , zt + k ] σ z2 Tự tương quan mẫu được tính theo công thức rk = ck c0 Một vài tính chất của hàm tự tương quan mẫu: a) −1 ≤ rk ≤ 1 b) k = 0 => r0 = 1