Tài liệu Phân lớp đối đồng điều các ann hàm tử và các ann phạm trù bện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62. 46. 05. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG Hà Nội - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Đặng Đình Hanh LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác giả đang là sinh viên. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin cảm ơn Ths. Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này. Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn đối với tác giả. Tác giả 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . Bảng ký hiệu . . . . . Bảng thuật ngữ . . . Sơ đồ liên hệ giữa các . . . . . . . . . . . . . . . chương, . . . . . . . . . mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . . 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành . 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 10 . 12 . 14 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17 18 19 20 21 21 28 29 32 32 35 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN- HÀM TỬ 2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . . 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . 37 . 37 . 40 . 42 2 2.2 2.3 2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild . 2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN 3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . . 3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . . 3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 47 50 66 72 . . . . . . . . 72 76 79 82 4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN 4.1 86 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 93 97 102 . 103 . 104 . 109 3 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân m : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [29], S. Mac Lane đã đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [50], C. Kassel [23], P. Schauenburg [48]. Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [26]. Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính đối xứng trong một phạm trù monoidal [24]. Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N. Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem A. Fröhlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H 3 (G, A) (xem [55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19]. Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm 4 trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33]. Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac 3 (G, A) Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben Hab [13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55]. Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra bởi A. Fröhlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3. Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fröhlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M. L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các môđun trên một vành giao hoán. Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù của các không gian vectơ trên một trường K , cùng với tích tenxơ và tổng trực tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K . Các phạm trù vành đã được sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25]. Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem 5 [6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19]. Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N. T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử 3 thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM aL (R, M ) (xem [38]). Trường hợp chính quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) đã 3 (R, M ) (xem [2]). Từ các kết được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla HSh quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC của V. Schmitt [49]. Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào? Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong [12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành [19]. Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp Ann-phạm trù,... Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu trên. II. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp 6 riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành phân lớp các Ann-phạm trù bện. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm trù. Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể, nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau. IV. Phương pháp nghiên cứu Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng. V. Những đóng góp mới của luận án Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9). Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4). Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Annphạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân 7 phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề: phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng định được A. Fröhlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16]. Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M ) (Mệnh đề 4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]). VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fröhlich và C. T. C. Wall, N. T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M. Dupont, ... luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Annphạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù, góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung của Toán học hiện đại. VII. Bố cục của luận án Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luận án, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu tham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày về một số kiến thức và một số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện, phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù. Phần cuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành của Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kết quả phân lớp ở chương 2 và chương 4. 8 Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử. Chương này được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục. Toàn bộ chương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạm trù [2] và vành phạm trù [22]. Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đương của Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đã được giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong một trường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp các Ann-hàm tử mạnh. Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B∗ của một cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử. Trong trường hợp F = idA , thì đối ngẫu A∗ chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì sẽ trở thành một Ann-phạm trù. Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây dựng đối ngẫu của cặp (A, idA ) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện. Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fröhlich và C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của bốn tiên đề trong hệ tiên đề của phạm trù có tính phân phối, đồng thời suy ra được định lý khớp cho lớp Ann-phạm trù đối xứng. Mục 3.4 chứng tỏ rằng hai hệ tiên đề phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành là tương đương. Chương 4: Phân lớp đối đồng điều của các Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [46] và được chia thành ba mục. Trong mục đầu tiên chúng tôi trình bày về một số tính chất của Ann-hàm tử bện và chứng minh 9 định lý chuyển cấu trúc cho lớp Ann-phạm trù bện, từ đó chúng tôi tiến hành xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn của một Ann-phạm trù bện bất kỳ. Trong mục 4.2, chúng tôi giải quyết bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử bện. Kết quả chính của chương này nằm trong mục 4.3. Dựa trên các kết quả về Ann-phạm trù thu gọn và sự phân lớp các Ann-hàm tử bện, mục này trình bày các định lý phân lớp của các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). 10 BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu C, D A, B SA (R, M, h) (R, M, h, β) S R P ZC CA Ob(C) XY = X ⊗ Y a+ a c+ c (0, g, d) (1, l, r) idX L(R) (F, Fe, F̂ ) idC (F, F̆ , Fe, F ∗ ) e (G, Ğ, G) e (H, H̆, H), u : F → F0 Aut(F ) [X] π0 (A) π1 (A) = Aut(0) MA (PA ) CA Nghĩa phạm trù monoidal Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) thu gọn của A Ann-phạm trù Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β)) vành phạm trù (2-phạm trù) phạm trù Picard (Pic-phạm trù) tâm của phạm trù C tâm của Ann-phạm trù A tập các vật của phạm trù C tích tenxơ của hai vật X và Y ràng buộc kết hợp của phép cộng ràng buộc kết hợp của phép nhân ràng buộc giao hoán của phép cộng ràng buộc giao hoán (bện) của phép nhân ràng buộc đơn vị của phép cộng ràng buộc đơn vị của phép nhân mũi tên đồng nhất của vật X ràng buộc phân phối bên trái (phải) hàm tử monoidal hàm tử đồng nhất của phạm trù C Ann-hàm tử các Ann-hàm tử (bện) chính tắc mũi tên hàm tử tập các tự mũi tên của F lớp tương đương của X tập các lớp vật của phạm trù A tập các tự mũi tên của vật 0 vành các song tích (ngoài) của vành A song tâm của vành A 11 n ZM acL n BM acL n HM acL n ZHoch n BHoch n HHoch nhóm các n-đối chu trình của vành theo nghĩa Mac Lane nhóm các n-đối bờ của vành theo nghĩa Mac Lane nhóm đối đồng điều thứ n của vành theo nghĩa Mac Lane nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số theo nghĩa Hochschild 12 BẢNG THUẬT NGỮ Dịch phạm trù phạm trù monoidal phạm trù monoidal đối xứng tenxơ phạm trù bện nhóm phạm trù nhóm phạm trù đối xứng nhóm phạm trù phân bậc phạm trù Picard phân bậc vành phạm trù phạm trù vành phạm trù tựa vành phạm trù có tính phân phối hàm tử hàm tử monoidal hàm tử monoidal đối xứng hàm tử monoidal bện tương đương monoidal mở rộng tương đẳng 2-nhóm 2-nhóm đối xứng 2-vành phép biến đổi tự nhiên phép biến đổi monoidal tự nhiên ràng buộc ràng buộc kết hợp ràng buộc giao hoán ràng buộc đơn vị ràng buộc phân phối cấu trúc monoidal định lý phân lớp Thuật ngữ category monoidal category symmetric monoidal category braided tensor category categorical group symmetric cat-group graded categorical group graded Picard category categorical ring ring category ring-like category distributivity category functor monoidal functor symmetric monoidal functor braided monoidal functor monoidal equivalence extension congruence 2-group symmetric 2-group 2-ring natural transformation monoidal natural transformation constraint associativity constraint commutativity constraint unit constraint distributivity constraint monoidal structure classification theorem 13 định lý khớp lý thuyết cản trở vật không vật đơn vị vật chính quy coherence-theorem obstruction theory zero object unit object regular object 14 SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC CHƯƠNG, MỤC II.1  Z } Z Z Z Z Z Z Z ? II.2 PP i P II.3 Z Z PP P 6 Z PP P Z Z Z PP PP Z PPZ PZ P - I.2 I.1                      )  =  = ? - III.1 - III.2 - ? IV.1 - IV.2 6 6 I.3 I.4  III.3  - III.4 - IV.3  15 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phạm trù với cấu trúc đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả. S. Mac Lane đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đã đưa ra khái niệm Gr-phạm trù ([55], 1975), A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái niệm phạm trù monoidal bện ([21], 1991). Những kết quả cơ bản về Ann-phạm trù đã được trình bày trong Luận án Tiến sĩ của Nguyễn Tiến Quang ([2], 1988). Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả chủ yếu, dùng làm cơ sở cho các chương sau. Phần cuối của chương trình bày về các nhóm đối đồng điều vành của S. Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild. Các nhóm đối đồng điều này sẽ được sử dụng vào bài toán phân lớp các Ann-hàm tử. Trong toàn bộ luận án này, đôi khi chúng ta viết XY thay cho tích tenxơ X ⊗ Y của hai vật. Các biểu đồ được sử dụng thường xuyên để việc theo dõi các các chứng minh được thuận lợi. 1.1 1.1.1 Phạm trù monoidal bện ⊗-phạm trù Định nghĩa 1.1.1. Cho một phạm trù C . Một hàm tử ⊗ : C × C −→ C được gọi là một phép toán- hay một luật trên C . Khi đó phạm trù C với phép toán ⊗ được gọi là một ⊗−phạm trù và thường được ký hiệu (C, ⊗). Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một ⊗-phạm trù, và A là một vật của C . Ta gọi A là vật chính quy nếu các hàm tử F = − ⊗ A và G = A ⊗ − từ C vào C là những tương đương phạm trù. Định nghĩa 1.1.3 (A-phạm trù). Một A-phạm trù C là một ⊗-phạm trù C cùng với một đẳng cấu tự nhiên ∼ aX,Y,Z : A ⊗ (B ⊗ C) −→ (A ⊗ B) ⊗ C, A, B, C ∈ Ob(C), 16 thỏa mãn biểu đồ giao hoán (còn gọi là tiên đề ngũ giác) sau a A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) - (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)) id ⊗a a ? ? A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D HH H a H HH j  (1.1)  *   a⊗id (A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D với mọi vật A, B, C, D của C . Đẳng cấu tự nhiên a còn được gọi là một ràng buộc kết hợp. Trong trường hợp A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C và aA,B,C = id thì a = id gọi là ràng buộc kết hợp chặt chẽ và C được gọi là A-phạm trù chặt chẽ. 1.1.2 Phạm trù monoidal Định nghĩa 1.1.4 (Phạm trù monoidal). Một phạm trù monoidal (hay một AU-phạm trù ) C là một A-phạm trù C cùng với một vật 1 ∈ Ob(C) và hai đẳng cấu tự nhiên lA : 1 ⊗ A → A; rA : A ⊗ 1 → A, thỏa mãn điều kiện l1 = r1 và làm cho biểu đồ sau giao hoán với mọi vật A, B của C : A ⊗ (1 ⊗ B) aA,1,B - HH j id ⊗lB H (A ⊗ 1) ⊗ B  rA ⊗id  (1.2) A⊗B Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị. Phạm trù monoidal C được ký hiệu là (C, ⊗, a, (1, l, r)). Để đơn giản ta có thể ký hiệu phạm trù monoidal C là (C, ⊗). Chú ý 1.1.5. 1) Ràng buộc đơn vị được gọi là chặt chẽ nếu các đẳng cấu l, r đều là đồng nhất. 2) Một phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) được gọi là phạm trù monoidal chặt chẽ nếu các ràng buộc a, l, r đều là đồng nhất.