Tài liệu Phương pháp ổn định lyapunov nghiên cứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ HỌC Ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Hùng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Ngƣời viết luận văn Nguyễn Hữu Thắng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, TS. Trần Đình Hùng. Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự quan tâm, chỉ dẫn và động viên giúp tôi hoàn thành đề tài của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại họ c Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy, cô giáo Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng nói riêng cùng các thầy, cô giáo Khoa Toán nói chung đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã rất cố gắng để luận văn đượ c hoàn thiện một cách tốt nhất nhưng do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn. ii MỤC LỤC Lời cảm ơn ................................................................................................................... i Lời cam đoan ............................................................................................................... ii Mục lục........................................................................................................................ iii Danh sách hình vẽ ...................................................................................................... iv Mở đầu ........................................................................................................................ 1 1 Kiến thức chu ẩn bị ................................................................................................. 4 1.1 Bài toán giá trị ban đầu ............................................................................... 4 1.2 Định lý ổn định Lyapunov .......................................................................... 7 1.3 Phương pháp Ru nge-Kutta bốn nấc kinh điển ........................................... 9 1.4 Một số mô hình dịch tễ học cổ điển .......................................................... 10 2 Tính chất ổn định toàn cục của các mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và S I với các biến điều khiển phản hồi ............................................................................ 13 2.1 Các mô hình SIR và SIRS ........................................................................ 13 2.1.1 Phân tích ổn định .................................................................................... 14 2.1.2 Các mô phỏng số .................................................................................... 17 2.2 Mô hình SIS cổ điển .................................................................................. 19 2.2.1 Phân tích ổn định .................................................................................... 19 2.2.2 Các mô phỏng số .................................................................................... 20 2.3 Mô hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn...................................................... 22 2.3.1 Mô hình toán học .................................................................................... 22 2.3.2 Phân tích ổn định .................................................................................... 24 2.3.3 Các mô phỏng số .................................................................................... 25 2.4 Các mô hình SI với các biến điều khiển phản hồi ..................................... 27 2.4.1 Mô hình toán học .................................................................................... 27 2.4.2 Phân tích ổn định .................................................................................... 28 2.4.3 Các mô phỏng số .................................................................................... 31 Kết luận chung ......................................................................................................... 33 Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 34 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản ......................................................... 11 2.1 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản ......................................................... 14 2.2 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.1 ................................................................... 18 2.3 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.2 ................................................................... 18 2.4 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS (2.14) ............................................................. 19 2.5 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.3 ................................................................... 21 2.6 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.4 ................................................................... 22 2.7 Nghiệm của mô hình (2.19) trong Ví dụ 2.5......................................................... 26 2.8 Nghiệm của mô hình (2.19) trong Ví dụ 2.6......................................................... 26 2.9 Nghiệm của mô hình (2.34) với các tham số cho bởi (2.42) ................................ 31 2.10 Nghiệm (S, I) của mô hình với điều khiển phản hồi .......................................... 32 2.11 Nghiệm (u 1, u 2) của mô hình với điều khiển phản hồi .................................... 32 iv MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân đạo hàm thường có một vai trò nổi bật trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Chúng thường được sử dụng để mô hình hóa một cách hiệu quả nhiều hiện tượng và quá trình quan trọng nảy sinh trong thế giới thực. Một cách tổng quát, một phương trình vi phân thường có thể viết dưới dạng ẏ(t) = f (t, y(t)) (1) ẏ = f (t, y), (2) hoặc ngắn gọn trong đó ẏ ký hiệu cho đạo hàm theo biến t (biến thời gian) của hàm y(t), I ⊂ R, U ⊂ Rn là các tập mở, hàm vế phải f : I × U → Rn được giả thiết là hàm trơn, tức là khả vi liên tục. Việc nghiên cứu các phương trình vi phân thường nảy sinh trong các lĩnh vực ứng dụng có một vai trò đặc biệt quan trọng. Chủ đề này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong suốt nhiều năm qua, chẳng hạn, thiết lập mô hình, nghiên cứu định tính và các lời giải số. Một trong những ứng dụng nổi bật và rất quan trọng của phương trình vi phân thường là để mô hình toán học các bệnh truyền nhiễm trong dịch tễ học (epidemic models). Như chúng ta đã biết, dịch tễ học là một môn khoa học nghiên cứu tình trạng sức khỏe, bệnh tật và các yếu tố liên quan ở cấp độ dân số. Dịch tễ học là khoa học nền tảng của y tế công cộng với vai trò 1 cơ bản là nâng cao sức khỏe cộng đồng. Một số thành tựu quan trọng của dịch tễ học có thể kể đến như thanh toán bệnh đậu mùa, điều trị nhiễm độc Methyl thủy ngân, điều trị bệnh sốt thấp tim và bệnh thấp tim, kiểm soát lây truyền và phòng ngừa các bệnh truyền nhiễm, . . . Trong toán học, sự lan truyền của nhiều bệnh truyền nhiễm, tiêu biểu như sởi, quai bị, rubella, thủy đậu, . . . có thể được mô hình thông qua các hệ phương trình vi phân thường. Việc thiết lập mô hình toán học và nghiên cứu các tính chất của chúng giúp chúng ta hiểu rõ các cơ chế lây lan của bệnh dịch, từ đó đề xuất các chính sách hiệu quả để phòng ngừa, kiểm soát và điều trị bệnh tật. Nói riêng, việc nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cận toàn cục của các mô hình dịch tễ học có vai trò đặc biệt quan trọng trong thực tế. Bài toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, kỹ thuật, sinh học, dịch tễ học trong suốt nhiều thập kỷ qua. Một trong những cách tiếp cận thành công nhất tới bài toán này là phương pháp ổn định Lyapunov. Phương pháp này nghiên cứu sự ổn định của các hệ động lực dựa trên việc xác định một hàm số phù hợp, được gọi là hàm Lyapunov. Cho tới nay, sự ổn định của rất nhiều các hệ phương trình vi phân quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực ứng dụng nói chung và các mô hình dịch tễ học nói riêng đã được thiết lập thành công dựa trên phương pháp ổn định Lyapunov. Các kết quả thu được là rất quan trọng trong cả lý thuyết định tính của phương trình vi phân cũng như trong khía cạnh ứng dụng. Chính vì những lý do trên, đề tài "Phương pháp ổn định Lyapunov nghiên cứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học" được thực hiện với mục tiêu tìm hiểu việc sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov cho một số mô hình dịch tễ học. Các ý nghĩa thực tế thu được từ việc thiết lập ổn định cho các mô hình này cũng được nghiên cứu và tìm hiểu. Ngoài việc tìm hiểu về mặt lý thuyết, các mô phỏng số cũng được trình bày để minh họa cho các kết quả lý thuyết. 2 Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" và "Tài liệu tham khảo", các kết quả chính của luận văn được trình bày trong 2 chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.  Chương 2: Tính chất ổn định toàn cục của các mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và SI với các biến điều khiển phản hồi. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung của chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị quan trọng bao gồm bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, định lý ổn định Lyapunov, phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển và một số mô hình dịch tễ học cổ điển. Phần trình bày của chương này được dựa trên các tài liệu [1, 3, 7, 9, 10, 11] 1.1 Bài toán giá trị ban đầu Cho D ⊂ Rn+1 là một tập mở với một phần tử của D được viết dưới dạng (t, y) trong đó t là một vô hướng thực (real scalar) và giả sử rằng f : D → Rn là một hàm trơn, tức là khả vi liên tục. Một phương trình vi phân thường là một phương trình có dạng ẏ(t) = f (t, y(t)), (1.1) ẏ = f (t, y), (1.2) hoặc ngắn gọn với ẏ là đạo hàm theo biến t (biến thời gian) của hàm t, y là một véc-tơ của các biến trạng thái. Định nghĩa 1.1. ([7]) Ta nói y là một nghiệm của phương trình (1.1) trên I ⊂ R nếu y là một hàm khả vi liên tục xác định trên I , (t, y(t)) ∈ D, t ∈ I và y thỏa mãn (1.1) trên I . 4 Khi một phương trình vi phân được sử dụng để mô tả sự tiến hóa của một biến trạng thái trong một quá trình vật lý, một bài toán cơ bản và quan trọng là xác định các giá trị tương lai của biến trạng thái từ giá trị ban đầu của nó. Trong trường hợp này, mô hình toán học được cho bởi cặp phương trình ẏ = f (t, y), y(t0 ) = y0 , (1.3) trong đó phương trình thứ hai được gọi là điều kiện ban đầu. Bài toán (1.3) còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu, hoặc bài toán Cauchy. Các vấn đề cơ bản của lý thuyết chung về phương trình vi phân là sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu của bài toán giá trị ban đầu. Mệnh đề 1.1. Bài toán (1.3) là tương đương với phương trình tích phân Z t y(t) = y0 + f (τ, y(τ ))dτ, (1.4) t0 trong đó t(t, y) được giả thiết là liên tục. Chứng minh. Xem [7]. Định lý 1.1 ([3]). Cho f (t, y) là một hàm số liên tục với mọi (t, y) thuộc  miền D = 0 ≤ t ≤ T, |y| < ∞ . Giả sử thêm rằng f (t, y) là liên tục Lipschitz theo biến y , tức là: tồn tại một hằng số L > 0 sao cho |f (t, y) − f (t, ŷ| ≤ L|y − ŷ|, ∀(t, y), (t, ŷ) ∈ D. Khi đó ta có các khẳng định sau: 1. Với y0 ∈ Rn bất kỳ, tồn tại duy nhất nghiệm y(t) xác định trên toàn đoạn [0, T ] của bài toán (1.3). Hơn nữa, nghiệm này là khả vi. 2. Nghiệm y(t) phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu, tức là: nếu ŷ cũng là một nghiệm của bài toán nhưng khác giá trị ban đầu thì |y(t) − ŷ(t)| ≤ eLt |y(0) − ŷ(0)|. 5 3. Tổng quát hơn, nếu ŷ thỏa mãn phương trình với vế phải có nhiễu ŷ 0 = f (t, ŷ) + r(t, ŷ), trong đó r là hàm bị chặn trên D, tức là ||r|| ≤ M thì |y(t) − ŷ(t)| ≤ eLt |y(0) − ŷ(0)| + M Lt (e − 1). L Chứng minh. Xem [3]. Chú ý 1.1. Trong trường hợp hàm f là hàm khả vi theo biến y thì hằng số L có thể được lấy bằng ∂f . L = sup (t, y) ∂y (t,y)∈D Chú ý 1.2. Trong trường hợp khi hàm vế phải f không phụ thuộc hiển vào t, khi đó bài toán (1.3) trở thành dy = f (y), dt y(t0 ) = y0 và ta gọi (1.3) là hệ ô-tô-nôm hoặc dừng. Ví dụ 1.1. Phương trình phân rã tuyến tính ẏ = λy, y(0) = y0 , có nghiệm duy nhất xác định bởi y(t) = y0 eλt . Ví dụ 1.2. Xét mô hình hai loài bao gồm động vật ăn thịt và con mồi. Giả sử u(t) biểu thị số lượng động vật ăn thịt con mồi tại thời điểm t và v(t) biểu thị số lượng con mồi tại thời điểm t. Dưới một số giả thiết hợp lý, sự phát triển của quần thể được mô tả bởi hệ Lotka-Volterra sau đây u̇ = au − buv, v̇ = −cv + duv, 6 trong đó a, b, c và d là các hằng số dương. Trong trường hợp này, chúng ta không thể tìm được nghiệm chính xác của mô hình. Tuy nhiên, chúng ta có thể tìm được nghiệm xấp xỉ cho mô hình nhờ các phương pháp xấp xỉ bao gồm các phương pháp giải tích và các phương pháp số. 1.2 Định lý ổn định Lyapunov Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết ổn định Lyapunov cho các hệ động lực liên tục. Chúng ta bắt đầu với các khái niệm liên quan đến ổn định của hệ động lực liên tục mô tả bởi hệ ô-tô-nôm y 0 = f (y), y(0) = y0 . (1.5) Định nghĩa 1.2. ([11, Def. 2.1.1]) Một điểm y ∗ ∈ Rn được gọi là một điểm cân bằng của hệ (2.1) nếu nó thỏa mãn f (y ∗ ) = 0. Giả sử y ∗ là một điểm cân bằng của hệ (2.1). Không mất tính tổng quát ta luôn có thể giả thiết rằng y ∗ = 0, tức là gốc tọa độ. Thật vậy, giả sử y ∗ 6= 0, sử dụng phép đổi biến z(t) = y(t) − y ∗ ta thu được ż = ẏ = f (z + y ∗ ) = g(z). Rõ ràng, điểm cân bằng của hệ mới là z ∗ = 0. Định nghĩa 1.3. ([11]) Một điểm cân bằng y ∗ của (1.1) được gọi là ổn định nếu với mỗi  > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (2.1) với giá trị ban đầu y(0) = y0 ∈ Rn với ky0 − y ∗ k < δ, đều thỏa mãn ky(t) − y0 k < , với mọi t ≥ t0 . Điểm cân bằng y ∗ được gọi là không ổn định nếu nó không phải là ổn định. 7 Định nghĩa 1.4. ([11]) Một điểm cân bằng y ∗ được gọi là ổn định tiệm cận địa phương nếu nó là ổn định và tồn tại γ > 0 sao cho ky0 − y ∗ k < γ =⇒ lim y(t) = y ∗ . t→∞ Nếu số γ = ∞, tức là limt→∞ y(t) = y ∗ với mọi y0 ∈ Rn , thì y ∗ được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục. Định lý dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho sự ổn định và ổn định tiệm cận địa phương của các hệ động lực liên tục. Định lý 1.2. ([11]) Giả sử y ∗ = 0 là một điểm cân bằng của hệ động lực (1.1) và Ω ∈ Rn là một miền chứa y ∗ = 0. Giả sử V : Ω → Rn là một hàm khả vi liên tục sao cho V (y) > 0 trong D − {0} V (0) = 0, V̇ (t) ≤ 0 trong D (1.6) (1.7) thì y ∗ = 0 là ổn định. Ngoài ra nếu V̇ (t) < 0 trong D (1.8) thì y ∗ = 0 là ổn định tiệm cận địa phương. Chứng minh. Xem ([11]). Định lý dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho sự ổn định tiệm cận toàn cục của các hệ động lực liên tục. Định lý 1.3. Giả sử y ∗ = 0 là một điểm cân bằng của hệ động lực (1.1) và V : Rn → R là một hàm khả vi liên tục sao cho V (0) = 0, V (y) > 0, ∀y 6= 0. kyk → ∞ =⇒ V (y) → ∞. ∀y 6= 0. V̇ (t) < 0 Khi đó điểm cân bằng y ∗ = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục. 8 (1.9) (1.10) (1.11) Chứng minh. Xem ([11]). Chú ý 1.3. Hàm V thỏa mãn tính chất (1.16) được gọi là không bị chặn triệt để (radially unbounded). 1.3 Phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển Về mặt lý thuyết ta có thể chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu nhưng nói chung việc tìm nghiệm chính xác là rất khó khăn và phức tạp, thậm chí là không thể. Nói chung việc giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu là hầu như không thể tránh khỏi. Vì thế các phương pháp gần đúng bao gồm phương pháp giải tích và các phương pháp số được nhiều nhà toán học quan tâm phát triển. Trong các mô phỏng số của luận văn, chúng tôi sử dụng phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điểm để giải số bài toán giá trị ban đầu. Để giải gần đúng bài toán (1.1), đầu tiên chúng tôi sử dụng lưới điểm t0 < t1 < t2 < . . . < tN = T, để rời rạc hóa thời gian [t0 , T ]. Để đơn giản, ta giả thiết lưới là đều, tức là tn+1 − tn = h. Giả sử yn là xấp xỉ của nghiệm chính xác tại nút tn . Phương pháp xác định như dưới đây được gọi là phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển [3] k1 = f (tn , yn ), k2 = f (tn + h/2, yn + 1/2hk1 ), k3 = f (tn + h/2, yn + 1/2hk2 ), (1.12) k4 = f (tn + h, yn + hk3 ), h yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ). 6 Xuất phát từ giá trị ban đầu t0 , chúng ta lần lượt tính được các giá trị 9 y1 , y2 , . . .. Các phân tích toán học chỉ ra rằng phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển là chính xác cấp 4 [3]. 1.4 Một số mô hình dịch tễ học cổ điển Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số mô hình dịch tễ học cổ điển bao gồm các mô hình SI, SIR và SIRS. Các bệnh truyền nhiễm như sởi, quai bị, rubella, thủy đậu có thể được mô hình hóa bằng cách phân loại các cá thể trong cộng đồng tùy theo trạng thái của họ đối với bệnh tật: khỏe mạnh, bị lây nhiễm và miễn dịch. Các bệnh do vi-rút hoặc vi khuẩn gây ra không được mô hình hóa ở cấp độ dân số mà chỉ gián tiếp thông qua số cá thể bị nhiễm bệnh. Các trạng thái bệnh S, I và R được định nghĩa như sau [1]: 1. S = mẫn cảm (susceptible); những người khỏe mạnh, chưa bị lây nhiễm bệnh nhưng có thể bị nhiễm bệnh và trở thành người truyền bệnh. 2. I = bị lây nhiễm (infected); những cá thể đã bị lây nhiễm bệnh và có khả năng truyền bệnh cho người khác. 3. R = được chữa khỏi hoàn toàn (removed); những người đã mắc bệnh, hồi phục và những người có miễn dịch vĩnh viễn, hoặc bị cô lập (không thể truyền bệnh cho người khác) cho đến khi hồi phục và miễn dịch vĩnh viễn xảy ra. Các mô hình với ba trạng thái này được gọi là các mô hình dịch tễ S − I − R. Có một vài biến thể của các mô hình dịch tễ SIR, tùy thuộc vào việc các cá thể phục hồi và phát triển miễn dịch: 1. SI - không có sự hồi phục S → I . 2. SIS - Có phục hồi nhưng không có miễn dịch bền vững S → I → S . 10 3. SIRS - Chỉ có miễn dịch tạm thời S → I → R → S . Ví dụ 1.3 (Mô hình SIS đơn giản [1, 10]). Ṡ = −βIS + αI, I˙ = βIS − αI, (1.13) trong đó α, β là các hằng số dương. Mô hình (1.13) được gọi là mô hình dịch tễ SIS và có thể nói đây là mô hình đơn giản nhất trong dịch tễ toán học. Mô hình (1.13) được liên kết với điều kiện ban đầu S(0) = S0 và I(0) = I0 . Ký hiệu N (t) := S(t) + I(t). Từ hệ (1.13) ta nhận được Ṅ = 0. Điều đó có nghĩa là tổng quy mô dân số luôn là không đổi và bằng N := S0 + I0 . Sơ đồ lan truyền của mô hình (1.13) được mô tả như trong Hình 1.1 dưới đây. Hình 1.1: Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản. Ví dụ 1.4 (Mô hình SI đơn giản [1, 10]). Ṡ = − β SI, N β I˙ = SI, N (1.14) trong đó β là các hằng số dương, S(0), I(0) > 0 và N := S + I luôn không đổi và bằng S(0) + I(0) + R(0). 11 Ví dụ 1.5 (Mô hình dịch tễ SIR). Ṡ = − β SI, N β I˙ = SI − γI, N I˙ = γI, (1.15) trong đó các tham số của mô hình là dương, N = S + I + R không đổi. Ví dụ 1.6 (Mô hình dịch tễ SIRS [1, 10]). Ṡ = − β SI + µR, N β I˙ = SI − γI, N I˙ = γI − µR, (1.16) trong đó các tham số của mô hình là dương, N = S + I + R luôn không đổi và bằng S(0) + I(0) + R(0). 12 Chương 2 Tính chất ổn định toàn cục của các mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và SI với các biến điều khiển phản hồi Trong chương này trình bày các hàm Lyapunov cho các mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và SI, tính chất ổn định toàn cục của các điểm cân bằng. Các kết quả lý thuyết được hỗ trợ bởi các mô phỏng số. Phần trình bày của chương này được dựa trên các tài liệu [2, 4, 5, 6, 8, 12]. 2.1 Các mô hình SIR và SIRS Dựa trên các giả thiết cổ điển đề xuất trong [2, 4, 5], toàn bộ dân số kích thước N được chia thành các quần thể con theo ý nghĩa dịch tễ: S -lớp nhạy cảm, I -lớp bị nhiễm bệnh, R-lớp được loại bỏ, với kích thước S, I và R tương ứng, tức là N = S + I + R. Một cá nhân sau khi bị nhiễm bệnh sẽ được chuyển từ lớp S sang lớp I và sau đó là lớp R. Giả thiết rằng sự hồi phục (do điều trị) sẽ kéo theo miễn dịch bền vững hoặc miễn dịch tạm thời. Ở trường hợp sau, sẽ có một số cá thể từ lớp R được chuyển về lớp S . Một mô hình dựa trên các giả thiết trên được biết đến là mô hình SIR (có sự miễn dịch bền vững) hoặc mô hình SIRS (không có sự miễn dịch bền vững). Sơ đồ chuyển trạng thái của mô hình được mô tả trong hình 2.1. 13 Hình 2.1: Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản. Dựa trên một số giả thiết cần thiết, chúng ta nhận được mô hình vi phân dưới đây Ṡ = (γ + α)N − β SI − (α + pγ)I − (α + σ)S, N SI I˙ = β − (δ + σ − pγ)I. N (2.1) Trong mô hình, ta không cần thiết lập phương trình cho lớp S bởi vì S + I + R = N không đổi. Trong mục tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng các hàm Lyapunov phù hợp để nghiên cứu tính chất ổn định toàn cục của mô hình (2.1). 2.1.1 Phân tích ổn định Đối với mô hình (2.1), ta định nghĩa R0 = β(γ + α) . (α + σ)(δ + σ − pγ) (2.2) Định lý 2.1. Mô hình (2.1) luôn luôn có điểm cân bằng biên E0 = (S0 , I0 ) xác định bởi  S0 =  α+γ N, α+σ I0 = 0, với mọi giá trị của tham số. Trong khi đó, nếu R0 > 1, thì mô hình có duy nhất một điểm cân bằng trong E ∗ = (S ∗ , I ∗ ) xác định bởi     α + γ N α + γ 1 S∗ = , I∗ = 1− N. α + σ R0 α+δ+σ R0 14