Tài liệu Pp giai phuong trinh nghiem nguyen

.DOC

185

A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
& I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HÊT
Công nhận: chứng minh được rằng : Một phương trình bậc nhất n ẩn ( sau khi
chia hai vế của phương trình cho UCLN của các hệ số của nó) có nghiệm nguyên
khi và chỉ khi các hệ số của ẩn nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x – 5y – 6z = 4
Giải : Phương trình có nghiệm nguyên vì (2,5,6) = 1
Ta có ( 2, 5) = 1 nên đưa phương trình về dạng : 2x – 5y = 4 + 6z
Lấy z= u với u tùy ý

Z , đặt c = 4 + 6u .ta có p/trình: 2x – 5y = c
Phương trình này có nghiệm riêng là x
0
= 3c , y
0
= c và nghiệm tổng quát là
x = 3c – 5t , y = c – 2t với t

Z
Thay c = 4 + 6u vào nghiệm tổng quát của 2x – 5y = c ta có nghiệm tổng quát của
phương trình 2x – 5y – 6z = 4 là








uz
tuy
tux
264
51812
Trong đó u ,t

Z
Ví dụ 2 : Phương trình có hệ số của 1ẩn bằng 1
Giải phương trình 6x + y +3z = 15
Nhận xét : x , z lấy giá trị nghuyên bất kì thì khi đó ta củng có giá trị y nguyên
tương ứng .
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát :








tz
tuy
ux
3615
Trong đó u ,t

Z
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1)
Hướng dẫn giải
2) (1) 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z
M
3 => z = 3t (t
Z
)
3) Thay vào phương trình ta có: 2x + 5y + 10t = 1 (t
Z
)
Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được:
Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý
Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
 
 
 

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)
Trang 1
Vì y nguyên => x + 5
M
2x + 3 => …. 7
M
2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là:
(-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x
nguyên.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x
2
+ 2y
2
+3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.
3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = y
2

Đặt a = x
2
+ 3x (ĐK: a
2 
(*)
Ta có: a
2
– 1 = y
2
GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: =>
nghiệm phương trình (1)
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
3
- y
3
= xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
. 8x y x xy y   
Ta có x khác y vì nếu x = y => x
2
+ 8 = 0 Vô lý.
Vì x; y nguyên =>
1x y 
=>
2 2
8x xy y xy   
=> x
2
+ xy + y
2

8xy 
(2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2) (x + y)
2


-8. Vô nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2) x
2
+ y
2


8
=> x
2
, y
2

 
0;1;4
Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)
Trang 2
b)Tìm x, y nguyên sao cho:
( x + y ) P = xy với P nguyên tố.
Giải:
T ( x + y ) P = xy (1)ừ


xy – Px – Py = 0
 x(y – P) – (Py – P
2
) = P
2
 ( y- P ) ( x- P ) = P
2
Mà P nguyên tố
P
2
=1.P
2
= P.P = (-1)(-P
2
) = (-P)(-P)
 Các cặp số (x,y ) là:
(P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p,
2p); (0,0) và các hoán vị của chúng.
a)x
2
- 656xy – 657y
2
=1983.(1)
Lêi gi¶i:
(1)<=> x
2
-657xy+xy-657y
2
=1983.
<=> x(x-657y)+y(x-657y)=1983.
<=> (x-657y)(x+y)=1983.
Do 1983 = 1.1983 = 3.661
=(-1).(-1983) =(-3).(-661)
V× hiÖu (x+y)-(x-657y)=658y chia hÕt
cho 658 nªn 1983 ph¶i ph©n tÝch thµnh
mét tÝch hai thõa sè cã hiÖu chia hÕt cho
685.VËy ta cã 4 hÖ ph¬ng tr×nh:





3657
661
yx
yx






661657
3
yx
yx






3657
661
yx
yx







661657
3
yx
yx
Gi¶i ra ta ®îc 4 cÆp nghiÖm lµ:
(x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1).
b) x
4
+ 4x
3
+ 6x
2
+ 4x = y
2
(1)
Hướng dẫn:
(1) x
4
+ 4x
3
+ 6x
2
+ 4x + 1- y
2
= 1
 (x+1)
4
– y
2
= 1
 [(x+1)
2
–y] [(x+1)
2
+y]= 1

2
2
2
( 1) 1
( 1) 1
( 1) 1
( 1) 1
x y
x y
x y
x y

  


  



   

   


1 1
1 1
y y
y y
  



    

 y = 0  (x+1)
2
= 1  x+1 = 1
 x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
ThÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph-
¬ng tr×nh: 2x
3
+xy=7(1)
Lêi gi¶i:
(1) x(2x
2
+y)=7






72
1
2
yx
x
;





12
7
2
yx
x
;





72
1
2
yx
x
;





12
7
2
yx
x






5
1
y
x
;





97
7
y
x
;





9
1
y
x
;





99
7
y
x
VËy c¸c mghiÖm nguyªn cña ph¬ng
tr×nh lµ:
(x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99).
Trang 3

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng

Tài liệu xem nhiều nhất