S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Më ®Çu
I. Lý do chän ®Ò tµi:
To¸n häc lµ bé m«n khoa häc quan träng cã nhiÒu øng dông trong cuéc sèng.
Do ®ã viÖc gi¶ng d¹y truyÒn thô kiÕn thøc to¸n häc trong nhµ trêng cã söa ®æi ®èi
víi mçi gi¸o viªn vµ viÖc häc To¸n tiÕp thu kiÕn thøc cã biÕn ®æi víi häc sinh . Qu¸
tr×nh d¹y vµ häc lu«n lµ mét qu¸ tr×nh ®éng theo híng ph¸t triÓn, t×m tßi ngµy cµng
cao. §øng tríc yªu cÇu ®æi míi trong ph¬ng ph¸p gi¸o dôc mçi ngêi gi¸o viªn
hoµn toµn ph¶i tù m×nh nghiªn cøu nh÷ng vÊn ®Ò gÆp ph¶i. Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y
®Ó t×m c¸ch gióp häc sinh tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch mÒm dÎo.
Ngoµi ra ®èi víi mçi ngêi gi¸o viªn nghiªn cøu khoa häc lµ nhiÖm vô nh»m
kh«ng ngõng n©ng cao tr×nh ®é nghiÖp vô. Víi yªu cÇu thùc tÕ vµ suy nghÜ nh vËy,
víi tr¸ch nhiÖm lµ mét gi¸o viªn gi¶ng d¹y trùc tiÕp t«i xin ®ãng gãp nh÷ng suy
nghÜ vµ híng gi¶i quyÕt trong ®Ò tµi nµy mong muèn gãp phÇn vµo gi¶i quyÕt mét
vÊn ®Ò khã kh¨n mµ chóng ta thêng gÆp ph¶i khi ®øng líp.
Víi thêi gian nghiªn cøu vµ n¨ng lùc cßn h¹n chÕ nªn ch¾c kh«ng tr¸nh khái
thiÕu xãt mong thÇy c« ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó ®Ò tµi cña t«i hoµn thiÖn h¬n vµ øng
dông ®îc nhiÒu h¬n víi ngêi d¹y häc vµ häc To¸n kh«ng t×m ®îc híng gi¶i chÝnh
cho tõng lo¹i bµi to¸n riªng biÖt. §Ó dÇn ®a tr×nh ®é häc sinh lªn tiÕp cËn víi nh÷ng
kiÕn thøc cao h¬n t«i lùa chän vµ giíi thiÖu chuyªn ®Ò "Chøng minh h×nh häc b»ng
ph¬ng ph¸p diÖn tÝch".
KÕt qu¶ thi m«n To¸n hµng n¨m cho thÊy trªn 50% häc sinh lµm bµi thi mµ
kh«ng lµm phÇn H×nh häc, hoÆc lµm nhng kh«ng ®óng, hay chØ lµm ®îc
phÇn vÏ h×nh vµ c©u a. VËy nguyªn nh©n do ®©u?
Do H×nh häc mang tÝnh chÊt t duy, trõu tîng cao, bµi to¸n dÉn ®Õn häc sinh
ng¹i häc H×nh. §iÒu nµy nãi lªn thùc tÕ viÖc häc h×nh häc ë trêng THCS. Nguyªn
nh©n s©u xa lµ viÖc häc sinh n¾m kiÕn thøc tõng phÇn cha ch¾c cßn láng lÎo hêi hît
h¬n n÷a viÖc vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i to¸n H×nh häc kh«ng linh ho¹t kh«ng
n¾m ®îc vµo c¸i ®Ých cña mét vÊn ®Ò, kh«ng t×m ®îc híng gi¶i chÝnh cho tõng bµi
to¸n riªng biÖt. §Ó dÇn ®a tr×nh ®é häc sinh n©ng lªn tiÕp cËn víi nh÷ng kiÕn thøc
cao h¬n t«i lùa chän vµ giíi thiÖu chuyªn ®Ò. "Chøng minh h×nh häc b»ng ph¬ng
ph¸p diÖn tÝch". Néi dung chuyªn ®Ò bã gän trong viÖc sö dông ph¬ng ph¸p diÖn
tÝch vµo gi¶i quyÕt mét sè bµi tËp mµ nÕu dïng c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng sÏ gÆp
khã kh¨n nhng nÕu sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch ta sÏ cã mét lêi gi¶i hay vµ linh
ho¹t.
II. Môc ®Ých nghiªn cøu:
Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy. Ta kh«ng bµn ®Õn viÖc thay ®æi c¸ch d¹y c¸ch häc
cña c¶ bé m«n H×nh häc mµ ta chØ nãi ®Õn mét vÊn ®Ò häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã
kh¨n ®ã lµ chøng minh c¸c ®¹i lîng kh«ng ®æi, c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong H×nh häc.
§øng tríc bµi to¸n nµy häc sinh thêng kh«ng biÕt suy nghÜ b¾t ®Çu tõ ®©u, híng suy
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
1
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
nghÜ nh thÕ nµo vµ c¸i ®Ých cÇn nh¾m tíi lµ g× ?
Víi yªu cÇu lµm cho häc sinh cã mét c¸i nh×n kh¸i qu¸t, híng suy nghÜ ®óng
®¾n ®Ó t×m tßi lêi gi¶i. Néi dung: §Ò tµi "Chøng minh h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p
diÖn tÝch". Lµ qua nh÷ng vÝ dô thùc tÕ, bµi tËp thêng gÆp ë nhµ trêng phæ th«ng mµ
cã sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch th× bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n ng¾n gän vµ dÔ hiÓu.
Qua nh÷ng vÝ dô cô thÓ nh vËy häc sinh tiÕp nhËn ®îc mét ph¬ng ph¸p míi sö
dông diÖn tÝch trong chøng minh H×nh häc mµ thêng häc sinh kh«ng biÕt ®a c¸c em
®Õn c¶m thÊy høng thó h¬n víi lo¹i to¸n nµy nãi riªng vµ H×nh häc nãi chung. Tõ ®ã
yªu cÇu häc sinh tiÕp tôc t×m tßi nghiªn cøu vµ s¸ng t¹o h¬n trong viÖc häc To¸n ë
nhµ trêng THCS.
III. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu:
§èi tîng: Chøng minh h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p diÖn tÝch.
Ph¹m vi: Ch¬ng tr×nh H×nh häc líp 9 THCS.
IV. NhiÖm vô nghiªn cøu:
T×m hiÓu, ph©n tÝch, ®¸nh gi¸ t×nh h×nh thùc tÕ trong gi¶ng d¹y bé m«n to¸n
ë trêng THCS. Trªn cë së nh÷ng u khuyÕt ®iÓm ®Ò ra gi¶i ph¸p thùc hiÖn. §ång
thêi rót ra bµi häc kinh nghiÖm tõ thùc tÕ.
V. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
+ Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra:
- §iÒu tra t×m hiÓu viÖc d¹y vµ häc ë c¸c líp båi dìng HSG.
- Dù giê rót kinh nghiÖm gi¶ng d¹y.
+ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn:
- Ph©n tÝch ®¸nh gi¸ qu¸ tr×nh tiÕp thu bµi häc cña häc sinh th«ng qua kiÓm
tra, tr¾c nghiÖm, pháng vÊn.
+ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn:
- Tham kh¶o c¸c bµi viÕt, c¸c ý kiÕn trao ®æi vÒ viÖc d¹y vµ häc to¸n trong
c¸c cuéc th¶o luËn vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, trong c¸c tµi liÖu vµ s¸ch
tham kh¶o vÒ bé m«n to¸n.
+ Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm.
Néi dung
Ch¬ng I: C¬ së lÝ luËn.
To¸n häc lµ mét lÜnh vùc réng lín cã mèi quan hÖ g¾n chÆt chÏ vµ mËt thiÕt
víi cuéc sèng ®øng tríc bµi to¸n ta cã thÓ cã nhiÒu híng suy nghÜ nhiÒu c¸ch gi¶i
nhng ch¾c ch¾n mçi bµi to¸n ®Òu cã ®iÒu chèt c¨n b¶n mµ ta cÇn b¸m vµo ®Ó khai
th¸c. Nh trªn ®· nãi ®Ò tµi nµy n¨ng tËp chung vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n chøng
minh nh÷ng ®¹i lîng kh«ng ®æi, cùc trÞ trong h×nh häc, trong ®ã cã nhiÒu yÕu tè
thay ®æi dÉn ®Õn c¸c ®aÞ lîng thay ®æi theo vËy th× ®iÒu c¨n b¶n mµ ngêi gi¶i to¸n
cÇn b¸m vµo lµ g× ?
§øng tríc cÊu tróc bµi to¸n cho mét h×nh ban ®Çu lµ tam gi¸c, hoÆc ®êng trßn
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
2
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
cè ®Þnh vµ cã nh÷ng yÕu tè kh¸c thay ®æi.
CÇn chøng minh kho¶ng c¸ch nµy ®ã kh«ng ®æi, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt
cña mét ®¹i lîng nµo ®ã. ë ®©y ta cã mét c¬ së v÷ng ch¾c ®ã lµ tam gi¸c ban ®Çu
®êng trßn vµ b¸n kÝnh kh«ng thay ®æi dÉn ®Õn diÖn tÝch cña chóng kh«ng ®æi vËy
th× yÕu tè, diÖn tÝch, c¸c c¹nh, b¸n kÝnh lµ nh÷ng ®¹i lîng mµ ta cÇn nh¾m tíi.
MÆt kh¸c nh chóng ta ®· biÕt chøng minh h×nh häc lµ mét qu¸ tr×nh ®éng cña
viÖc biÕn ®æi c¸c ®¹i lîng tõ ®¹i lîng nµy qua ®¹i lîng kh¸c th× trong ph¬ng ph¸p
diÖn tÝch ®iÒu nµy thêng ®îc lµm mét c¸ch dÔ h¬n.
Thùc tÕ viÖc kiÓm tra tÊt c¶ c¸c trêng trong huyÖn vµ viÖc gi¶ng d¹y mét sè
n¨m tríc, mét sè tiÕt d¹y thùc nghiÖm cña n¨m häc nµy t«i nhËn thÊy nhËn thøc
cña c¸c em kh«ng ®Òu, nhiÒu em kh«ng thÝch häc m«n To¸n nhÊt lµ m«n H×nh häc
v× nguyªn nh©n sau:
- KiÕn thøc c¬ b¶n kh«ng n¾m ®îc hay n¾m kh«ng ch¾c v× phÇn kiÓm tra bµi cò
t«i thÊy rÊt nhiÒu gi¸o viªn chØ hái häc sinh theo kiÓu häc vÑt c¸c ®Þnh nghÜa, ®Þnh lÝ
mµ kh«ng th«ng qua h×nh vÏ hay trùc quan trªn h×nh vÏ tõ ®ã dÉn ®Õn häc sinh mÊt
gèc, bµi míi kh«ng hiÓu g× nªn cã cè g¾ng còng kh«ng häc ®îc n÷a dÉn ®Õn bÊt cÇn
vµ gi¸o viªn còng kh«ng chó ý ®Õn nh÷ng ®èi tîng ®ã.
- ViÖc ph©n tÝch, tæng hîp kÐm, t duy trõu tîng, t duy l« gÝc chËm, cha biÕt
liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc cò vµ míi, gi÷a kiÕn thøc ®· häc vµ kiÕn thøc s¾p häc. MÆc
dï cã mét sè häc sinh rÊt th«ng minh, n¾m b¾t nhanh nhng c¸c em chØ dõng l¹i ë
viÖc n¾m kiÕn thøc míi vµ dõng l¹i ë viÖc gi¶i ra kÕt qu¶ bµi to¸n.
- §¹i ®a sè gi¸o viªn cha cã ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y thÝch hîp nh»m kÝch thÝch
høng thó häc tËp cho häc sinh vµ cung cÊp cho c¸c em mét ph¬ng ph¸p tÝch cùc
còng nh mét t duy linh ho¹t s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n, kh«ng chØ dõng l¹i ë mçi kÕt
qu¶ cña bµi to¸n mµ ta h·y khai th¸c tiÕp ta sÏ thÊy nhiÒu ®iÒu thó vÞ vµ bæ Ých cña
to¸n häc.
Ch¬ng II: KÕt qu¶ ®iÒu tra kh¶o s¸t thùc tiÔn
Qua kh¶o s¸t chÊt lîng bé m«n to¸n ®Çu n¨m vµ ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9
cña trêng THCS Th©n Nh©n Trung thu ®îc kÕt qu¶ sau.
Tæng sè
155
Giái
60
Kh¸
42
TB
38
YÕu
10
KÐm
5
+ VÒ høng thó häc tËp bé m«n h×nh häc:
- Sè häc sinh thÝch häc: 30%; B×nh thêng: 50%; Sè häc sinh sî ph¶i häc m«n
h×nh häc: 20%.
+ VÒ kÕt qu¶ häc tËp bé m«n (riªng ph©n m«n h×nh häc):
Sè häc sinh ®¹t lo¹i kh¸, giái: 35%;Trung b×nh: 45%; YÕu,kÐm: 20%
VËy trong qu¸ tr×nh d¹y häc ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho c¸c em cã lßng say
mª to¸n häc, yªu thÝch m«n to¸n, høng thó häc to¸n. Muèn vËy chóng ta chØ cã thÓ
th«ng qua mét sè bµi to¸n cô thÓ mµ dÇn dÇn truyÒn cho c¸c em kinh nghiÖm häc
to¸n, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o n©ng cao kh¶ n¨ng tù gi¶i quyÕt vµ ph¸t hiÖn c¸c vÊn
®Ò khi häc b»ng c¸ch: “Chøng minh h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p diÖn tÝch”.
Díi ®©y t«i xin ®a ra mét sè vÝ dô ¸p dông ph¬ng ph¸p trªn ®Ó híng dÉn häc
sinh t×m tßi c¸ch gi¶i vµ khai th¸c bµi to¸n. §ång thêi ®Ò xuÊt mét sè bµi to¸n ®iÓn
h×nh øng víi néi dung ch¬ng tr×nh c¬ b¶n.
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
3
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Ch¬ng III: Gi¶i ph¸p
øng dông thùc tÕ vµo gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc
b»ng ph¬ng ph¸p diÖn tÝch
Bµi sè 1:
Chøng minh r»ng: Trong mét tam gi¸c, chiÒu cao øng víi c¹nh lín cã ®é
dµi nhá h¬n chiÒu cao øng víi c¹nh nhá.
GT
KL
Cho ABC (AB
AB
Nªn AH < CK (®pcm).
NhËn xÐt:
Trªn ®©y ta ®· sö dông ph¬ng ph¸p diªn tÝch ®Ó gi¶i bµi to¸n trªn. B©y giê ta
sÏ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
Lêi gi¶i:
Trªn AB lÊy D sao cho AC = AD
=> ACD c©n
DI = CK (1)
Tõ D kÎ DFBH
V× D n»m gi÷a AC nªn F n»m gi÷a AH
FH < BH (2)
MÆt tø gi¸c DIHF lµ h×nh ch÷ nhËt
Nªn DI = HF (3)
Tõ (1),(2) vµ (3) ta cã BH > CK(®pcm)
NhËn xÐt:
So s¸nh hai ph¬ng ph¸p gi¶i trªn râ rµng ta thÊy sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch
ng¾n gän h¬n. Cßn nÕu sö dông ph¬ng ph¸p th«ng thêng ta ph¶i biÕt lÊy ®iÓm phô D
®èi víi häc sinh th× ®©y lµ mét ph¸t hiÖn kh«ng ®¬n gi¶n vµ ta thÊy c¸ch gi¶i trong trêng hîp nµy còng rêm rµ h¬n.
Bµi sè 2:
Cho ABC c©n ë A. Gäi D lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc c¹nh ®¸y BC. Tõ D kÎ
DE, DF lÇn lît vu«ng gãc víi AC vµ AB .
Chøng minh r»ng: tæng DE+ DF kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm D.
GT
KL
ABC (AB = AC), D BC
DE AC, DF AB
DE + DF kh«ng ®æi
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
4
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
NhËn xÐt:
§Ó chøng minh DE + DF kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm D ta cÇn ph¶i chøng
minh nã lu«n b»ng mét ®¹i lîng kh«ng ®æi, cã thÓ lµ diÖn tÝch tam gi¸c hoÆc c¸c
c¹nh hay ®êng cao cña tam gi¸c.
Chøng minh:
KÎ ®êng cao CK
Ta cã: SABD + SACD = SABC
=> .AB.DF + .AC.DE = .AC.CK
MÆt kh¸c: AB = AC (gt)
(DE + DF).AC = AC.CK
Hay DE + DF = CK kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm D.
NhËn xÐt:
§©y lµ mét bµ to¸n khã ®èi víi häc sinh v× khi D thay ®æi trªn BC th× DE vµ
DF còng thay ®æi. DÉn ®Õn tæng DE + DF còng thay ®æi, do ®ã khã cã thÓ ®a vÒ ®¹i
lîng cè ®Þnh nh ®· nªu ë trªn. Nhng lîi dông tÝnh chÊt D thay ®æi th× diÖn tÝch hai
tam gi¸c còng thay ®æi nhng diÖn tÝch tam gi¸c ABC vÉn cè ®Þnh. Nhê ®ã ta ®· ®a
®îc tæng trªn vÒ ®êng cao CK cè ®Þnh cã ®é dµi kh«ng ®æi.
Bµi sè 3:
Chøng minh r»ng: Tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm thuéc miÒn trong
cña tam gi¸c ®Òu ®Õn ba c¹nh cña nã kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm Êy.
GT
KL
ABC ®Òu, I ABC
Tæng k/c tõ I ®Õn 3 c¹nh
lu«n kh«ng ®æi
Chøng minh:
Ta cã S AMB = .IK.AB
S BMC = .IH.BC
S AMC = .IM.AC
S AMB + S BMC + S AMC = .IK.AB + .IH.BC + .IM.AC
Mµ AB = BC = AC (gt)
VËy S ABC = .BC.(IK + IH + IM)
IK + IH + IM =
Hay IK + IH + IM = AH (kh«ng ®æi)
NhËn xÐt:
Bµi to¸n nµy xÐt vÒ mÆt ý nghÜa vµ c¸ch suy nghÜ th× hoµn toµn gièng nh bµi
sè 2. ë ®©y nhê ph¬ng ph¸p diÖn tÝch ta ®· cè ®Þnh ®îc tæng IK + IH + IM vÒ ®êng
cao AH cña tam gݸc.
Ngoµi ra ta cßn cã thÓ quy bµi to¸n nµy vÒ bµi to¸n 2 ®Ó gi¶i:
ta cã thÓ më réng bµi to¸n cho h×nh thoi (c¸c c¹nh b»ng nhau), h×nh ch÷ nhËt (c¸c
gãc b»ng nhau). Qua bµi to¸n trªn b»ng ph¬ng ph¸p t¬ng tù b¹n ®äc h·y tæng qu¸t
bµi to¸n cho trêng hîp ®a gi¸c ®Òu.
Bµi sè 4:
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy mét ®iÓm M trªn c¹nh BC vµ mét ®iÓm N
trªn c¹nh AB sao cho AM = CN.
Chøng minh r»ng ®Ønh D cña h×nh b×nh hµnh c¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng
AM vµ CN.
GT
KL
Cho hbh ABCD
M BC, N AB
D c¸ch ®Òu AM vµ CN
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
5
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Chøng minh:
KÎ DI CN vµ DK AM
SCDN = SCAD ( cïng ®¸y CD, chung ®êng cao )
SADM = SACD ( cïng ®¸y AD, chung ®êng cao )
=> SADM = SCDN
DK.AM = DI.CN
DK = DI
Hay D c¸ch ®Òu AM vµ CN
NhËn xÐt:
Víi lêi gi¶i nh trªn ta thÊy bµi to¸n t¬ng ®èi ng¾n gän .Trong lêi gi¶i ta ®· sö
dông mét tÝnh chÊt cña diÖn tÝch lµ nÕu hai tam gi¸c cã cïng ®¸y cßn hai ®Ønh cßn
l¹i cïng ch¹y trªn mét ®êng // víi ®¸y th× diÖn tÝch cña chóng lu«n b»ng nhau .Nhê
tÝnh chÊt quan träng nµy ta ®· nhanh chãng chøng minh ®îc hai tam gi¸c ADM vµ
CDN cã diÖn tÝch b»ng nhau ®ã chÝnh lµ yÕu tè t¹o nªn sù nhanh gän trong lêi gi¶i
cña bµi to¸n.
Bµi sè 5: Chøng minh ®Þnh lý:
Trong mét tam gi¸c, ch©n ®êng ph©n gi¸c trong cña mét gãc chia c¹nh
®èi diÖn thµnh hai ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ v¬Ý hai c¹nh kÒ gãc Êy.
GT
KL
Cho ABC, AD lµ ®êng ph©n
gi¸c trong cña BAC .
DB AB
=
DC AC
Chøng minh:
KÎ DE AB vµ DF AC.
Ta cã DE = DF (v× AED = AFD) (1)
KÎ ®êng cao AH.
Ta cã :SABD = .AH.BD = AB.DE (2)
1
1
2
2
SACD = .AH.DC = AC.DF (3)
1
1
2
2
Tõ (1),(2) vµ (3) suy ra:
.
DB AB
=
DC AC
NhËn xÐt:
Trong s¸ch gi¸o khoa ®· chøng minh ®Þnh lý nµy b»ng ph¬ng ph¸p dùng thªm
h×nh vµ chøng minh b»ng hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Tales .ë ®©y ta ®· sö dông ph¬ng ph¸p
diÖn tÝch ®Ó t×m thªm mét lêi gi¶i n÷a cho bµi to¸n nµy. B¹n ®äc tù so s¸nh ®Ó thÊy
®îc tÝnh u viÖt cña lêi gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p nµy
Bµi sè 6:
Trong ABC gäi AH lµ ®êng cao øng víi c¹nh BC vµ BK lµ ®êng cao øng
víi c¹nh AC. Chøng minh r»ng nÕu BC > AC th× BC + AH AB + CK.
NhËn xÐt:
Bµi to¸n nµy yªu cÇu chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc tronh h×nh häc. NÕu chØ
sö dông ph¬ng ph¸p th«ng thêng th× rÊt khã kh¨n ®èi víi häc sinh v× ngay viÖc
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
6
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
chøng minh mét B§T ®¹i sè ®· lµ mét khã kh¨n. Nhng nÕu sö dông ph¬ng ph¸p
diÖn tÝch th× ta thÊy bµi to¸n l¹i hÕt søc ®¬n gi¶n nh sau:
GT
KL
Cho ABC, (BC >AB)
AH BC, BK AC
BC +AH AB + CK.
Chøng minh:
SABC = .AH.BC
1
2
SABC = .CK.AB
1
2
4SABC = AH.BC + CK.AB (mµ AH AB (gt)
(3)
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra:
(BC - AB)( 1 - 2.SABC ) 0
hay BC + AH AB + CK (®pcm)
DÊu "=" s¶y ra khi 2.SABC = AB.BC.
Hay ABC vu«ng ë B
Bµi sè 7:
Cã mét m¶nh gç h×nh ABC. H·y t×m c¸ch c¾t m¶nh gç theo mét ®êng
th¼ng ®i qua M trªn AC (M AC) ®Ó chia ABC thµnh 2 phÇn cã diÖn tÝch b»ng
nhau.
NhËn xÐt:
Lêi gi¶i sÏ dïng c¸ch chia thÕ nµo?
nhng ch¾c ch¾n 2 m¶nh gç ®ã mçi m¶nh
ph¶i cã diÖn tÝch ®óng b»ng diÖn tÝch
tam gi¸c ban ®Çu.
§ã lµ c¬ së ®Ó t×m tßi lêi gi¶i.
Lêi gi¶i:
Ta chia hai trêng hîp:
a. Trêng hîp 1: M lµ trung ®iÓm cña AC th× ta chØ viÖc c¾t m¶nh gç theo ®êng BM
sÏ cã 2 m¶nh gç cã diÖn tÝch b»ng nhau:
Lý do ABM, BCM cã chung ®êng cao 2 ®¸y AM = CM.
=> SABM = SBCM
b. Trêng hîp 2: M kh«ng lµ trung ®iÓm cña AC.
* Ph©n tÝch:
Gi¶ sö c¾t theo ME sÏ chia
®îc ABC thµnh 2 phÇn.
S ABEM = SEMC
Qua M kÎ MF // AE
DÔ thÊy nªn S ABEM = SABF = .SABC
=> F ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC.
* C¸ch dùng:
- LÊy F lµ trung ®iÓm cña BC.
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
7
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
- Nèi MF.
- Qua A kÎ AE // MF.
- §êng ME lµ ®êng cÇn c¾t theo yªu cÇu.
* Chøng minh:
DÔ thÊy SABEM = SABF. mµ FB = FC => SABF = SABC
* BiÖn luËn:
Bµi to¸n lu«n cã mét nghiÖm h×nh (chØ c¾t ®îc b»ng mét ®êng).
Bµi sè 8:
Cho tam gi¸c ABC. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn c¹nh BC sao cho
tæng ®é dµi c¸c kho¶ng c¸ch tõ B vµ C tíi AM lµ lín nhÊt.
Lêi gi¶i:
LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn BC.
Tõ B vµ C kÎ BE AM, CFAM, ta cã:
SAMB + SAMC = SABC
=> . AM.BE + .AM.CF = SABC
=> ( BE + CF ) = SABC
=> BE +CF = kh«ng ®æi.
Tõ ®ã suy ra: BE = CF
Lín nhÊt khi vµ chØ khi AM nhá nhÊt.
Mµ AM AH nªn AM nhá nhÊt M H.
NhËn xÐt:
Trong bµi to¸n trªn vËn dông triÖt ®Ó yªu cÇu ta ®· g¾n chÆt BE + CF vµo
diÖn tÝch tam gi¸c ABC cè ®Þnh tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ lín nhÊt cña BE + CF
khi AM nhá nhÊt.
Bµi sè 9:
Trong mét tam gi¸c, gäi ha lµ ®êng cao øng víi c¹nh a, hb lµ ®êng cao øng
víi c¹nh b. Chøng minh r»ng nÕu a > b th× a + ha b + hb.
§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
Lêi gi¶i:
Gäi S lµ diÖn tÝch tam gi¸c th×
2S = aha + bhb (chó ý r»ng ha 0 vµ ab - 2S 0.
§¼ng thøc x¶y ra khi 2S = ab, tøc hai c¹nh a, b vu«ng gãc víi nhau hay tam
gi¸c ABC vu«ng t¹i C.
NhËn xÐt:
Trong bµi tËp trªn ta sö dông ph¬ng ph¸p xÐt hiÖu ®Ó chøng minh trong ®ã cã
sö dông bÊt ®¼ng thøc tÝch hai c¹nh trong tam gi¸c lu«n lín h¬n hoÆc b»ng hai lÇn
diÖn tÝch tam gi¸c ®ã tõ ®ã x¸c ®Þnh ®îc dÊu b»ng xÈy ra khi tam gi¸c lµ vu«ng.
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
8
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
KÕt luËn
Trªn ®©y lµ néi dung ®Ò tµi "chøng minh h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p diÖn
tÝch" t«i ®· cè g¾ng b¸m vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y ®Ó biÕt, qua ®ã t«i muèn næi lªn
träng t©m cña ®Ò tµi lµ: gióp ngêi ®äc, häc sinh cã mét híng suy nghÜ râ rµng vµ
dµnh m¹ch, cã mét c¸i ®Ých cÇn ng¾m tíi khi gi¶i bµi to¸n h×nh häc. Yªu cÇu chøng
minh c¸c ®¹i lîng kh«ng ®æi vµ bµi to¸n cùc trÞ trong h×nh häc ta lu«n nhí tíi diÖn
tÝch cña c¸c h×nh nµy lµ kh«ng thay ®æi hoÆc nh÷ng yÕu tè mµ ®Çu bµi cho cè ®Þnh,
Tõ ®ã ®a c¸c ®¹i lîng cÇn chøng minh vÒ c¸c ®¹i lîng nµy. Trong néi dung ®Ò tµi
cã sö dông mét sè vÝ dô minh ho¹ qua ®ã nhËn thÊy r»ng kh«ng ph¶i tÊt c¶ nhng
trong nhiÒu trêng hîp râ rµng lêi gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p diÖn tÝch ®¬n gi¶n vµ dÔ
hiÓu h¬n.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n nãi chung, d¹y häc sinh gi¶i to¸n nãi riªng gi¸o
viªn cÇn gióp cho häc sinh cã mét thãi quen ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra kiÕn thøc vµ
ph¬ng ph¸p. H¬n thÕ, víi ®èi tîng HSG cÇn tËp dît cho c¸c em cã thãi quen s¸ng
t¹o. Víi viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y nh trªn, t«i nhËn thÊy häc sinh bíc ®Çu
®· cã nh÷ng chuyÓn biÕn tÝch cùc, häc sinh ®· cã høng thó h¬n trong häc tËp. §øng
tríc mçi bµi to¸n khã c¸c em ®· biÕt c¸ch ph©n tÝch, tù m×nh t×m ra híng ®i thÝch
hîp. Mét sè em kh«ng nh÷ng ®· gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n mµ bíc ®Çu ®· cã nh÷ng s¸ng
t¹o trong c¸ch gi¶i vµ ®Ò xuÊt ra nh÷ng bµi to¸n míi. §©y thùc sù lµ nh÷ng phÈm
chÊt hÕt søc cÇn thiÕt cho viÖc ph¸t triÓn nh÷ng tµi n¨ng to¸n häc sau nµy.
Sau nhiÒu n¨m thÓ nghiÖm ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y trªn. T«i thÊy ®a sè c¸c giê
lªn líp c¸c em ®· tù gi¸c chñ ®éng tiÕp cËn kiÕn thøc. C¸c giê luyÖn tËp ®îc tiÕn
hµnh hÕt søc nhÑ nhµng, gi¸o viªn thËt sù chØ lµ ngêi tæ chøc; häc sinh ®îc ph¸t huy
hÕt kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña m×nh. Tõ chç cßn nhiÒu em ng¹i häc to¸n ®Õn nay 100%
häc sinh ®· tù tin hµo høng trong häc tËp. KÕt qu¶ cuèi n¨m vÒ bé m«n còng t¨ng lªn
râ rÖt. Cô thÓ ®èi víi m«n to¸n cña líp 9 mµ t«i trùc tiÕp gi¶ng d¹y - Cã 45% kh¸,
giái; 65% trung b×nh; kh«ng cã häc sinh xÕp lo¹i yÕu. §©y thùc sù lµ nguån cæ vò
®éng viªn rÊt lín thÇy vµ trß trong qu¸ tr×nh häc tËp.
Qua thêi gian thÓ nghiÖm ph¬ng ph¸p t«i rót ra mét sè bµi häc kinh nghiÖm
sau ®©y:
1. CÇn lùa chän c¸c d¹ng bµi tËp phæ biÕn, trong mçi d¹ng l¹i lùa chän nh÷ng
bµi tËp ®iÓn h×nh cã tÝnh chÊt lµm nÒn cho c¸c bµi tËp kh¸c.
2. Lu«n lu«n t¹o cho häc sinh thãi quen ph©n tÝch, xem xÐt kü bµi to¸n tríc
khi b¾t tay vµo t×m tßi c¸ch gi¶i.
3. Bªn c¹nh viÖc híng dÉn häc sinh t×m tßi lêi gi¶i cÇn quan t©m thÝch ®¸ng
tíi kü n¨ng tr×nh bµy lêi gi¶i cña c¸c em.
4. CÇn t¹o kh«ng khÝ tho¶i m¸i trong giê häc. KhuyÕn khÝch c¸c em häc tËp
lÉn nhau; víi mçi bµi tËp cÇn rÌn luyÖn cho c¸c em t×m tßi nhiÒu c¸ch gi¶i vµ nÕu cã
thÓ th× tù s¸ng t¹o ra nh÷ng bµi to¸n míi.
5. Cuèi cïng muèn häc sinh gi¶i to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o th× ngêi thÇy gi¸o
còng ph¶i s¸ng t¹o trong c¸ch d¹y. §iÒu quan träng lµ mçi gi¸o viªn to¸n cÇn ph¶i
trau dåi kü n¨ng, kiÕn thøc, thêng xuyªn tù häc, tù ®äc s¸ch vµ ph¶i cã kÕ ho¹ch gi¶i
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
9
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
to¸n hµng ngµy, su tÇm c¸c bµi tËp hay, c¸c lêi gi¶i ®Ñp vµ ®óc rót kinh nghiÖm sau
mçi phÇn, mçi tiÕt d¹y. Cã nh thÕ míi t¹o ®iÒu kiÖn tèt cho viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p
gi¶ng d¹y nh»m ®¸p øng yªu cÇu ngµy cµng cao cña gi¸o dôc trong giai ®o¹n hiÖn
nay.
Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chñ ®éng cña häc sinh, ®©y lµ mét yªu cÇu träng t©m
cña viÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Leptonxtoi ®· tõng nãi:
“ KiÕn thøc chØ thùc sù lµ kiÕn thøc khi nµo nã lµ thµnh qu¶ cña nh÷ng cè g¾ng cña t
duy chø kh«ng ph¶i lµ cña trÝ nhí”. ViÖc thùc hiÖn båi dìng ph¬ng ph¸p t×m tßi lêi
gi¶i bµi to¸n cho häc sinh trªn ®©y còng lµ nh»m gióp häc sinh cã mét ph¬ng ph¸p
häc tËp chñ ®éng, tÝch cùc vµ s¸ng t¹o. §iÒu mµ sau nµy rÊt cÇn thiÕt ®èi víi c¸c em,
khi ®· trë thµnh nh÷ng con ngêi lao ®éng trªn mäi lÜnh vùc ®Ó x©y dùng ®Êt níc.
BÝch §éng, ngµy 20 th¸ng 5 n¨m 2013.
Ngêi viÕt
NguyÔn C«ng §oµn
Tµi liÖu tham kh¶o
TT
Tªn t¸c gi¶
1
Nhãm t¸c gi¶
2
Nhãm t¸c gi¶
3
Vò H÷u B×nh
4
Vò H÷u B×nh
5
Vò D¬ng Thuþ
Tªn gi¸o tr×nh
§æi míi ph¬ng
ph¸p d¹y häc.
To¸n tuæi th¬
Kinh nghiÖm d¹y
to¸n vµ häc to¸n.
N©ng cao vµ ph¸t
triÓn to¸n 8
To¸n n©ng cao vµ
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
10
Nhµ xuÊt b¶n
N¨m XB
NXB GD
2006
NXB GD
2008
NXB GD
1995
NXB GD
2007
NXB GD
2007
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
NguyÔn Ngäc §¹m
6
7
Vò D¬ng Thôy
NguyÔn Ngäc §¹m
Vò H÷u B×nh
T«n Th©n
8
Vâ §¹i Mau
9
NgyÔn §øc TÊn
10
Vâ §¹i Mau
11
Lª Hång §øc
§µo ThiÖn Kh¶i
c¸c chuyªn ®Ò §¹i
sè 8
¤n tËp §¹i sè 8
NXB GD
2007
To¸n båi dìng §¹i
sè 8
NXB HN
1994
TuyÓn tËp 250 bµi
to¸n båi dìng häc
NXB TP HCM
sinh giái cÊp II
VÏ thªm yÕu tè
phô ®Ó gi¶I mét sè
NXB GD
bµi to¸n H×nh häc
8
TuyÓn tËp 117 bµi
to¸n luyÖn thi vµo
§HQG TPHCM
líp 10 trêng
chuyªn
TuyÓn chän bµi thi
HSG to¸n THCS
NXB Hµ Néi
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
2 H×nh häc
11
1994
2009
2001
2005
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
MôC lôc
STT
Néi dung
trang
Më ®Çu
1
I
LÝ do chän ®Ò tµi
1
II
Môc ®Ých nghiªn cøu
2
III
§èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu
3
IV NhiÖm vô nghiªn cøu
3
V
3
Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Néi dung
2
1
Ch¬ng I : C¬ së lý luËn
4
2
Ch¬ng II: KÕt qu¶ ®iÒu tra thùc tiÔn
6
3
Ch¬ng III: Gi¶i ph¸p
7
18
3
KÕt luËn
4
Tµi liÖu tham kh¶o
5
Môc lôc
21
22
Trêng THCS Th©n Nh©n Trung
12
Gi¸o viªn: NguyÔn C«ng §oµn