Tài liệu Skkn hướng dẫn học sinh nhận dạng nhanh đồ thị của hàm số trong trắc nghiệm

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số ( do Thường trực Hội đồng ghi)……………………………………… 1. Tên sáng kiến: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG NHANH ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG TRẮC NGHIỆM” (Bùi Công Thuấn, Nguyễn Văn Tâm, @THPT Lê Hoài Đôn) 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình hình thực trạng của vấn đề: Môn Toán giữ vai trò quan trọng trong trường phổ thông, học sinh học tốt môn Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Thực tế trong nhà trường THPT, đặc biệt là những trường vùng sâu, vùng xa hiện nay, chất lượng học tập của học sinh còn thấp, số lượng học sinh yếu kém còn nhiều. Nhà trường chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hỏng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhận thấy có một số học sinh có tâm lí sợ trắc nghiệm, nhất là môn toán nên ảnh hưởng chất lượng giảng dạy, nhất là kì thi trung học phổ thông Quốc gia. Từ đó tôi nghiên cứu tìm ra một sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG NHANH ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG TRẮC NGHIỆM” nhằm giúp học sinh lớp 12 hiểu rõ và áp dụng nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đến đồ thị của hàm số. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: - Mục đích của giải pháp: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo điều kiện tốt cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Trung học phổ thông Quốc gia. Làm cho học sinh hiểu rõ và nhận dạng nhanh các dạng đồ thị của hàm số trong trắc nghiệm. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Đồng thời cũng giúp cho đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo trong giảng dạy. - Những điểm khác biệt và tính mới của đề tài: Đề tài giúp nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt đối với học sinh trung bình, yếu kém, giúp học sinh có hứng thú hơn khi giải trắc nghiệm toán; khi giải trắc nghiệm học sinh không còn chọn đại cho xong mà biết phân tích, nhận dạng, loại trừ đưa ra kết quả. Đề tài tập trung hệ thống các dạng đồ thị của hàm số cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh giải trắc nghiệm nhanh, chính xác. Đặc biệt các ví dụ có hướng 1 dẫn cho học sinh phân tích, loại trừ và nhận dạng từng loại đồ thị của hàm số, khi đó học sinh không còn lúng túng trong quá trình tìm đáp án. - Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12, nhất là những em ôn tập chuẩn bị thi Trung học phổ thông Quốc gia. - Nội dung giải pháp: Giáo viên đưa ra các dạng đồ thị của hàm số và hệ thống kiến thức cụ thể, sau đó cho ví dụ theo từng dạng. Chỉ rõ học sinh phương pháp làm bài nhanh, chính xác, hiệu quả, để các học sinh trung bình, yếu kém dễ dàng tiếp thu vì các em còn lúng túng phần đồ thị của hàm số. Cụ thể nội dung giải pháp: Sau đây tôi sẽ đưa ra phương pháp và ví dụ cụ thể để thấy được sự tối ưu của phương pháp này.  Hàm số bậc nhất: y ax  b ( a 0)  Phương pháp: * Trước hết ta kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị a>0 Là một đường thẳng tăng. y x O a<0 Là một đường thẳng giảm. y x * Sau đó ta kiểm tra các điểm đồ thị đi qua O  Ví dụ: * Ví dụ 1: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào? A. y = x – 1 B. y = 1 – x C. y = 1 – 2x D. y = 2x – 1 Hướng dẫn giải 2 - Ta thấy đồ thị là một đường thẳng giảm nên hệ số a < 0, ta loại đáp án A, D. - Đồ thị hàm số đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 1; 0) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án B. * Ví dụ 2 : Hàm số y = 2x – 1 có đồ thị là hình nào sao đây ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải - Ta thấy hàm số có hệ số a > 0 nên đồ thị là 1 đường thẳng tăng, ta loại đáp án B và D - Đồ thị hàm số ở đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 0; –1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A.  Hàm số bậc hai: y ax 2  bx  c ( a 0)  Phương pháp: * Trước hết ta kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị a>0 a<0 Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay lên trên. Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay xuống dưới. CT CĐ 3 * Sau đó ta kiểm tra trình tự các điểm đồ thị đi qua, đỉnh  Ví dụ: * Ví dụ 1: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào? A. y = x2 – 2x – 1 B. y = – x2 + 2x – 1 C. y = x2 – 2x + 1 D. y = – x2 + 2x – 1 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị là một Parabol bề lõm quay lên trên nên hệ số a > 0, ta loại đáp án B và D. - Đồ thị hàm số đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 0; –1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 2 : Hàm số y = – x2 + 4x – 3 có đồ thị là hình nào sao đây ? A. B. C. D. 4 Hướng dẫn giải - Ta thấy hàm số có hệ số a < 0 nên đồ thị là 1 Parabol có bề lõm quay xuống dưới, ta loại đáp án A và C. - Đồ thị hàm số ở đáp án B không qua điểm có tọa độ ( 0; –3) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án D. * Ví dụ 3: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào? y 1 O x 1 23 4 -3  x 2  4 x  3 khi x 3 A. y  khi x  3 x  3  x 2  4 x  3 khi x 3 y  C.  khi x  3 x  3  x 2  2 x  3 khi x 3 B. y  khi x  3 x  3  x 2  4 x  3 khi x 3 y  D.  khi x  3 x  3 Hướng dẫn giải - Ta thấy các hàm số bậc hai đều có hệ số a < 0 nên đồ thị là một Parabol bề lõm quay xuống dưới, tuy nhiên phần đồ thị của hàm số bậc hai nằm ở phần x 3 nên ta loại đáp án C và D. - Đồ thị hàm số ở đáp án B không qua điểm có tọa độ ( 2; 1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A.  Hàm số bậc ba: y ax3  bx 2  cx  d ( a 0)  Phương pháp: * Trước hết ta kiểm tra số nghiệm của phương trình y ' 0 , có 2 trường hợp : - Trường hợp 1: y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt  hàm số có 2 cực trị; sau đó ta tiếp tục kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a a>0 Nhận dạng đồ thị Đồ thị là đường có 2 cực CĐ Dạng đồ thị 5 CT trị tăng, giảm, tăng. CĐ a<0 Đồ thị là đường có 2 cực trị giảm, tăng, giảm. CT - Trường hợp 2: y ' 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  hàm số không có cực trị; sau đó ta tiếp tục kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị a>0 Đồ thị là 1 đường tăng và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. a<0 Đồ thị là 1 đường giảm và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. I I * Sau đó ta kiểm tra trình tự các điểm đồ thị đi qua, cực trị, tâm đối xứng, …  Ví dụ: * Ví dụ 1 ( Đề minh họa lần 1 năm 2017 ) : Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? A. B. C. D. y  x 2  x  1 y  x 3  3 x  1 y x4  x2  1 y x3  3x  1 Hướng dẫn giải - Dễ dàng ta thấy đồ thị là đồ thị của hàm số của hàm số bậc ba với hệ số a > 0, ta loại đáp án A, B, C. - Vậy ta chọn đáp án D. 6 * Ví dụ 2 ( Đề minh họa lần 2 năm 2017): Cho hàm số y ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. a  0, b  0, c  0, d  0 B. a  0, b  0, c  0, d  0 C. a  0, b  0, c  0, d  0 D. a  0, b  0, c  0, d  0 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị là dạng đồ thị của hàm số bậc 3 với hệ số a < 0 và y ' 0 có 2 nghiệm ( xCT và xCĐ ) trái dấu ( a, c trái dấu )  c  0 nên ta loại đáp án C và D. - Hàm số đạt 2 cực trị tại xCT > - 1 và xCĐ > 1 nên xCT + xCĐ > 0  2b  0  a, b trái dấu , ta loại đáp án B. 3a - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 3: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào? A. y = x3 – 3x2 – 2 B. y = – x3 + 3x2 – 2 C. y = – x3 – 3x2 + 1 D. y = x3 – 3x2 + 1 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị dạng hàm số bậc 3 với hệ số a < 0 nên ta loại đáp án A và D. - Đồ thị hàm số đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 0; – 2) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án B. * Ví dụ 4: Đồ thị hàm số y =4 x 3 - 6 x 2 +1 là hình nào đây? A. B. y y 3 3 2 2 1 1 x -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 C. 2 3 D. 7 y y 3 3 2 2 1 1 x -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 2 3 Hướng dẫn giải - Ta thấy hàm số hàm số y =4 x 3 - 6 x 2 +1 là hàm số bậc 3 với hệ số a > 0 nên ta loại đáp án B và D. - Đồ thị hàm số đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 1; – 1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 5 ( Đề minh họa lần 3 năm 2017 ) : Hàm số y  (x  2)(x2 1) có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là 2 đồ thị của hàm số y  x  2 ( x  1) ? A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Hướng dẫn giải 2  ( x  2)( x  1) khi x 2 2 y  x  2 ( x  1)  - Ta thấy hàm số và có đồ  2   ( x  2)( x  1) khi x  2 thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =  1, x = 1, x = 2 . - Mặt khác đồ thị của hàm số y ( x  2)( x 2  1) và y  ( x  2)( x 2  1) đối xứng với nhau qua trục Ox. - Tuy nhiên đồ thị của hàm số y ( x  2)( x 2  1) ta chọn phần x 2 và đồ thị của hàm số y  ( x  2)( x 2  1) ta chọn phần x < 2. - Vậy ta chọn đáp án A.  Hàm số trùng phương: y ax 4  bx 2  c ( a 0)  Phương pháp: * Trước hết cần chú ý đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 8 * Kế tiếp ta kiểm tra sự cùng dấu của a và b , có 2 trường hợp : - Trường hợp 1: a, b cùng dấu  hàm số có 1 cực trị; sau đó ta tiếp tục kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a Nhận dạng đồ thị a>0 Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay lên trên và nhận trục tung làm trục đối xứng. a<0 Dạng đồ thị y B A O CT y Đồ thị là một Parabol với bề lõm quay xuống dưới và nhận trục tung làm trục đối xứng. CĐ A O - Trường hợp 2: a, b trái dấu  hàm số có 3 cực trị; sau đó ta tiếp tục kiểm tra dấu của hệ số a, có 2 trường hợp: Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị a>0 a<0 Đồ thị là một đường có 3 cực trị nằm phía dưới đồ thị và nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị là một đường có 3 cực trị nằm phía trên đồ thị và nhận trục tung làm trục đối xứng. y CĐ A B CT1 O CT2 CĐ1 y CĐ2 A CT B O * Sau đó ta kiểm tra trình tự các điểm đồ thị đi qua, cực trị,…  Ví dụ: * Ví dụ 1 ( Đề minh họa năm 2018) : Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? A. y  x4  2x2  2. B. y  x4  2x2  2. C. y  x3  3x2  2. D. y  x3  3x2  2. Hướng dẫn giải Dễ dàng ta thấy đồ thị là đồ thị của hàm số của hàm số trùng phương với hệ số a > 0 và a, b trái dấu ta loại đáp án A, C, D. 9 - Vậy ta chọn đáp án B. * Ví dụ 2: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là hình bên dưới. Hãy chọn mệnh đề đúng? A. B. C. D. a  0; b  0; c  0 a  0; b  0; c  0 a  0; b  0; c  0 a  0; b  0; c  0 Hướng dẫn giải - Dễ dàng ta thấy đồ thị là đồ thị của hàm số của hàm số trùng phương với hệ số a > 0 và a, b trái dấu nên ta loại đáp án B, C. - Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn không  c  0 , ta loại đáp án D. - Vậy ta chọn đáp án A * Ví dụ 3: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số ? A. y  x 4  2 x 2  1 B. y x 3  3x 2  1 C. y x 4  2 x 2 D. y  x 4  2 x 2  1 Hướng dẫn giải - Dễ dàng ta thấy đồ thị là đồ thị của hàm số của hàm số trùng phương với hệ số a > 0 và a, b trái dấu ta loại đáp án B, D. - Đồ thị hàm số đáp án C không qua điểm có tọa độ ( 0; 1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 4: Đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 là hình nào dưới đây? A. B. 10 C. D. Hướng dẫn giải - Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương với hệ số a < 0 và a, b trái dấu nên ta loại đáp án A và C. - Đồ thị hàm số đáp án B không qua điểm có tọa độ ( 0; – 1) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án D. * Ví dụ 5: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số ? 4 2 A. y   x  2 x  3 4 2 B. y  x  2 x  3 2 2 C. y  x  2 x  3 D. y  x  2 x  3 Hướng dẫn giải - Trước hết ta cần nắm cách vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) , tức là ta vẽ đồ thị của hàm số y  f ( x) và y  f ( x) sau đó lấy phần đồ thị phía trên trục Ox. 11 - Ta thấy đồ thị hàm số hàm số có một phần là hàm trùng phương có 3 cực trị nên hàm số trong dấu giá trị tuyệt phải là hàm trùng  ta loại đáp án C và D. - Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối đáp án B là hàm trùng phương có 1 cực trị nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án A.  Hàm số nhất biến: y  ax  b cx  d  Phương pháp: * Trước hết ta kiểm tra 2 đường tiệm cận: TCĐ: x  d a ; TCN: y  c c * Kế tiếp ta kiểm tra dấu của ad  cb ( dấu của đạo hàm), có 2 trường hợp: ad – cb Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị Đồ thị là 2 nhánh tăng đối ad – cb > 0 xứng qua giao điểm 2 tiệm cận. TCĐ I Đồ thị là 2 nhánh giảm đối ad – cb < 0 xứng qua giao điểm 2 tiệm cận. TCN TCĐ I TCN * Sau đó ta kiểm tra các điểm đồ thị đi qua.  Ví dụ : * Ví dụ 1: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào? f(x)=(x-2)/(1-x) f(x)=-1 x(t)=1 , y(t)=t y 6 4 A. y  2 x O -8 -6 -4 -2 -1 -2 x 2 x 1 1 2 4 6 8 C. y  x 2 1 x x 2 x 1 x2 D. y  1 x B. y  -4 -6 12 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị hàm số ở đáp án A và B có TCN là y 1 nên ta loại. - Đồ thị hàm số đáp án D không qua điểm có tọa độ ( 0; – 2) nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án C. * Ví dụ 2: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? 4 2 1 O -1 2 A. y 2x 1 x 1 B. y  2x  1 x 1 C. y x2 x 1 D. y   x 1 x 2 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ là x  1 và TCN là y 2 nên ta loại đáp án C và D ( vì TCN là y 2 ). 1   - Đồ thị hàm số đáp án B không qua điểm có tọa độ   ;0  nên ta loại. 2   - Vậy ta chọn đáp án A. x 1 * Ví dụ 3: Đồ thị hàm số y  là hình nào trong các hình sau: 1 x A. B. y y 3 3 2 2 1 1 x -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 C. 2 3 D. 13 y y 3 2 2 1 1 x x -3 -2 -1 1 2 -2 3 -1 1 2 3 -1 -1 -2 -2 -3 -3 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x 1 và TCN là y  1 nên ta loại đáp án B và C ( vì TCN là y  1 ). - Đồ thị hàm số đáp án A có TCĐ là x  1 nên ta loại. - Vậy ta chọn đáp án D.  Hàm số mũ: y a x (0  a 1)  Phương pháp: * Trước hết ta chú ý đồ thị luôn nằm phía trên trục Ox. * Kế tiếp ta kiểm tra hệ số a, có 2 trường hợp : Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị y a>1 Đồ thị là 1 đường tăng nằm phía trên trục Ox và qua điểm ( 0;1) 1 x O y 0 < a <1 Đồ thị là 1 đường giảm nằm phía trên trục Ox và qua điểm ( 0;1) 1 x O * Sau đó ta kiểm tra các điểm đồ thị đi qua.  Ví dụ : * Ví dụ 1: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 14 A. B. C. D. y 2 x y 2 x y log 2 x y  log 2 x Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị hàm số là một đường nằm phía trên trục Ox nên nó là hàm số mũ nên ta loại đáp án C và D. 1 - Đồ thị hàm số đáp án B có hệ số a   1 nên ta loại ( giảm) 2 - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y a x , y b x , y c x được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a D. c < a < b Hướng dẫn giải - Ta thấy hàm số y a x nghịch biến, hàm số y b x , y c x đồng biến nên a nhỏ hơn b và c, loại đáp án C và D. - Đồ thị hàm số y b x nằm trên y c x nên b < c nên ta loại đáp án A. - Vậy ta chọn đáp án B.  Hàm số lôgarit: y log a x (0  a 1)  Phương pháp: * Trước hết ta chú ý đồ thị luôn nằm bên phải trục Oy. * Kế tiếp ta kiểm tra hệ số a, có 2 trường hợp : Hệ số a Nhận dạng đồ thị Dạng đồ thị y a>1 Đồ thị là 1 đường tăng nằm phía bên phải trục Oy và qua điểm ( 1; 0) x O 1 15 y Đồ thị là 1 đường giảm nằm phía bên phải trục Oy và qua điểm ( 1; 0) 0 < a <1 1 x O * Sau đó ta kiểm tra các điểm đồ thị đi qua.  Ví dụ : * Ví dụ 1: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y 4 A. y ln x 3 2 1 -4 -3 -2 -1 x 1 -1 2 3 4 B. y e x C. y  ln x D. y  e x -2 -3 -4 Hướng dẫn giải - Ta thấy đồ thị hàm số là một đường nằm phía bên phải trục Oy nên nó là hàm số lôgarit nên ta loại đáp án B và D. - Đồ thị hàm số đáp án C là đương giảm nên ta loại - Vậy ta chọn đáp án A. * Ví dụ 2 : Cho hàm số f ( x )  x ln x một trong bốn đồ thị trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của ham số f ’(x). Tìm đồ thị đó. A. B. C. D. Hướng dẫn giải - Ta thấy f '( x ) ln x  1 là hàm số lôgarit nên ta loại đáp án A, D 16 - Đồ thị hàm số không qua điểm (1; 0) nên ta loại 1  - Vậy ta chọn đáp án A ( đồ thị qua điểm  ;0  ). e  3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp: Sáng kiến kinh nghiệm này phù hợp với chương trình THPT do Bộ qui định, do vậy có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh THPT; Đồng thời tôi cũng muốn chia sẻ với các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm mà tôi đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy môn toán để quý thầy cô có thể lồng ghép những nội dung này vào bài giảng của mình. Tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần vào việc giảng dạy và là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình học toán cũng như ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia. 3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp: Sau thời gian nghiên cứu, áp dụng đề tài tôi nhận thấy có sự thay đổi rõ rệt. Qua kết quả thống kê học kì I năm học 2017 – 2018, tôi thấy học sinh bắt đầu có hứng thú trong học tập, nhất là giải bài tập trắc nghiệm, số lượng học sinh yếu kém giảm, số lượng học sinh khá giỏi tăng lên so với năm học trước. Đề tài nêu ra các cách giải nhanh, tìm ra những cách giải hợp lí nhất, các kỹ năng đơn giản nhất giúp các em học sinh yếu, kém có thể tiếp thu được. Chính vì vậy, đề tài không những giúp các học sinh yếu, kém nắm vững lý thuyết, làm tốt bài tập mà đề tài còn phát huy các tài năng của các em, tìm ra được các học sinh khá giỏi, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán. . Bến Tre, ngày 25 tháng 02 năm 2018 17