Tài liệu Skkn kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài a) Vài nét sơ lược về đề tài, thực trạng hiện nay - Các bài toán về tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. - Những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, dạng toán đó xuất hiện thường xuyên. - Kiến thức được trang bị trong SGK về phần tổ hợp và khai triển nhị thức Nui – tơn còn đơn giản, sơ sài. - Mặc dù đây là bài toán cơ bản nhưng đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì tính chất khai triển khá phức tạp và việc phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải còn nhiều hạn chế. - Khảo sát tại một số trường THPT qua các đợt thi học kì, thi thử ĐH, học sinh thường không làm được câu hỏi về tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp. b) Vai trò của bài tập trong dạy học Toán ở nhà trường THPT Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên ba bình diện này: Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là: - Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; - Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ; - Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết. Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Trang 1/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... Đặc biệt là mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,... Hệ thống câu hỏi và bài tập là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới. Theo GS.TSKH. Nguyễn Cảnh Toàn: “Cái thu hoạch chính đối với học sinh không phải là những kiến thức mới (đối với họ) đó vì kiến thức mới do học sinh tự tìm ra, hoặc là rất thứ yếu, hoặc nếu có một tầm quan trọng nào đó thì khi lên các lớp trên họ sẽ được học kỹ hơn, hệ thống hơn, mà cái đáng quý là qua lao động tìm tòi, sáng tạo, họ nhuyễn dần với một kiểu tư duy mà lâu nay nhà trường ít dạy cho họ và cùng với sự nhuyễn dần đó là lòng tự tin vào khả năng sáng tạo của mình, lòng ham muốn tìm tòi, phát minh”. Như vậy, thông qua việc giải hệ thống bài tập cực trị hình học được sắp xếp phù hợp, học sinh sẽ được rèn luyện các kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập; rèn luyện các thao tác tư duy như tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,...; rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo trong tư duy; nâng cao khả năng tự phân tích, tự tổng hợp và tự đánh giá một vấn đề. Từ đó, giúp cho học sinh có hứng thú trong học tập, phát triển tư duy sáng tạo và góp phần bỗi dưỡng năng lực tự học cho bản thân. Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân để giúp các em học sinh cùng các thầy cô phần nào tháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với các bài toán liên quan tới khai triển nhị thức Niu-tơn khi các kỳ thi đang đến gần, chúng tôi đã thực hiện sáng kiến “Kinh nghiệm dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp” nhằm giải quyết được phần nào khó khăn cho học sinh khi tiếp cận dạng toán này. 2. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT. 3. Mục đích của đề tài - Nhận dạng và phân loại hệ thống các bài tập và xây dựng các phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp. - Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT. 4. Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung dạy học Đại số và Giải tích lớp 11 và lớp 12 ở trường THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài. Trang 2/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông. Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm ở các lớp ban A khối 11 và khối 12 ở một số trường THPT trong tỉnh, các lớp ôn thi đại học cao đẳng, đội tuyển học sinh giỏi. - Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống bài tập minh họa cho các phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh. - Đánh giá, thống kê kết quả học sinh thi đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi theo từng năm học. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung đề tài gồm 3 chương Chương 1. Một số kinh nghiệm và giải pháp thực hiện đề tài. Chương 2. Bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. Trang 3/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp CHƯƠNG I MỘT SỐ KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I. Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Để giải được bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp cần lưu ý cho học sinh một số vấn đề sau:  Hiểu rõ ý nghĩa của kí hiệu Cnk ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn ( a + b ) , đặc điểm của các n số hạng trong khai triển đó.  Hiểu và vận dụng linh hoạt một số tính chất thường gặp của tổ hợp: Cnk = Cnn − k với 0  k  n Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 kCnk = nCnk−−11 với 1  k  n Cnk C k +1 = n +1 với 0  k  n k +1 n +1  Xác định được số hạng tổng quát của tổng a) Nếu số hạng tổng quát chứa tích các tổ hợp ta thường sử dụng 2 khai triển Niu-tơn, xét tích và đồng nhất hoặc sử dụng trực tiếp định nghĩa Cnk là số các chọn k phần tử trong n phần tử (bài toán đếm). b) Nếu số hạng tổng quát chỉ chứa 1 tổ hợp thì ta thường sử dụng 1 khai triển Niu-tơn. Khi lựa chọn khai triển phù hợp ta cần chú ý phân tích số hạng chứa tổ hợp ở một số điểm sau: - Quan sát chỉ số trên của các tổ hợp: + Nếu các số hạng chứa các tổ hợp có chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp, chỉ số dưới là không đổi thì ta thường sử dụng khai triển đầy đủ của nhị thức Niu – tơn. + Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng không đổi dấu ta thường sử dụng kết hợp hai khai triển Niu – tơn ( a + b ) và ( a − b ) . n n + Nếu chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 2 đơn vị và các số hạng đổi dấu ta phải sử dụng số phức trong khai triển liên quan đến i 2 = −1 . + Nếu các chỉ số trên là các số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị, 4 đơn vị, 5 đơn vị,... ta sử dụng số phức trong khai triển. Khi đó cần nắm được tính chất sau về số phức Nếu z = cos 2 2 + i sin , với n  n n Với k = n.m , m  * Với k  n.m , m  * * . Khi đó, thì z k = cos ( m2 ) + i sin ( m2 ) = 1 ( n −1 k thì 0 = 1 − ( z n ) = 1 − ( z k ) = (1 − z k ) 1 + z k + z 2 k + ... + z ( ) k n −1 k Vì 1 − z k  0  1 + z k + z 2k + ... + z ( ) = 0 Trang 4/32 n ) Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp - Quan sát hệ số đứng trước các tổ hợp: + Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp là lũy thừa của các số tự nhiên (nghĩa là chỉ xuất hiện dạng a n − k b k Cnk ) thì ta sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b ) với lựa chọn a, b, n hợp lí. n + Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp xuất hiện các số tự nhiên liên tiếp tăng dần, hoặc tích các số tự nhiên liên tiếp (nhưng không thay đổi về số mũ) (Ví dụ: kCnk ; ( k − 1) kCnk ;...; k 2Cnk ; k 3Cnk ;... ...) ta sử dụng tính chất kCnk = nCnk−−11 với 1  k  n để biến đổi đưa về dạng khai triển ( a + b ) hoặc sử n dụng đạo hàm cấp 1, 2 tương ứng phù hợp. + Nếu hệ số đứng trước các tổ hợp xuất hiện các số hữu tỉ (không có dạng lũy thừa, không phải số nguyên) (Ví dụ: Cnk Cnk Cnk C k +1 k Cnk Cnk ; = n +1 ; ; ...) ta sử dụng tính chất k +1 k + 2 k +1 k +1 n +1 ( k + 1)( k + 2 ) với 0  k  n để biến đổi đưa về dạng khai triển ( a + b ) hoặc sử dụng tích phân n - Quan sát chỉ số dưới của các tổ hợp + Nếu chỉ số dưới của tổ hợp không thay đổi thì đó là số mũ trong khai triển nhị thức. + Nếu trong số hạng có tổ hợp mà chỉ số dưới thay đổi, ta cần khai triển tường minh công thức số hạng tổng quát đó Cnk = n! để qui về các tổ hợp có chỉ số dưới không thay đổi. ( n − k ) !k !  Giải bài toán theo nhiều cách để so sánh thấy được ưu, nhược điểm của từng cách giải (Ví dụ như ở đây trong các bài toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân thì học sinh có thể dễ dàng sáng tạo ra các bài toán mới). II. Giải pháp tiến hành thực hiện - Xây dựng hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa … các bài toán. - Lựa chọn bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, từng thời điểm khác nhau (Ví dụ: Đối với học sinh lớp 11, nếu mới bắt đầu học khai triển nhị thức Niu-tơn ta chỉ dừng lại ở Ví dụ 27.2, nhưng không hướng dẫn học sinh cách sử dụng đạo hàm… đối với học sinh lớp 12 ôn thi THPT QG ta hướng dẫn các em sử dụng tích phân và số phức trong khai triển). - Hướng dẫn học sinh phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải khi gặp dạng toán trên + Dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp. + Dựa và khai triển Nhị thức Niu – tơn. - Tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm, các nhóm tự đề xuất đưa ra các bài tập tương tự và nêu cách giải trong quá trình học chủ đề này. Trang 5/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp CHƯƠNG II BÀI TOÁN TÍNH TỔNG VÀ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP I. Tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp dựa vào định nghĩa và tính chất của tổ hợp. A – Kiến thức chuẩn bị - Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và k  * ,1  k  n . Mỗi một tập con có k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A . - Số tổ hợp chập k của n phần tử của A là Cnk = Ank n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) n! = = k! k! k !( n − k )! Qui ước: Cn0 = 1 - Tính chất cơ bản của tổ hợp + Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n . Khi đó Cnk = Cnn−k + (Hằng đẳng thức Pascal): Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 1  k  n . Khi đó Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 B – Ví dụ minh họa  Ví dụ 1.1. Rút gọn biểu thức S = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 , với n là số nguyên dương và n  3 . Hướng dẫn Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp) M = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 = n ( n − 1) n ( n − 1)( n − 2 ) n +6 +6 = n3 1! 2! 3! Cách 2. (Sử dụng hằng đẳng thức Pa – xcan, trước khi sử dụng khai triển tường minh) M = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 = Cn1 + 6 ( Cn2 + Cn3 ) = Cn1 + 6Cn3+1 = ( n + 1) n ( n − 1) = n3 n +6 1! 3!  Ví dụ 2.1. Rút gọn biểu thức S = Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 , với 2  k  n; k , n  . Hướng dẫn Cách 1. (Sử công thức khai triển tường minh đối với tổ hợp) Cách 2. Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal) S = Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 = ( Cnk + Cnk −1 ) + ( Cnk −1 + Cnk −2 ) = Cnk+1 + Cnk+−11 = Cnk+2 Cách 3. - Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước các tổ hợp lần lượt là 1, 2, 1 có thể viết lại dưới dạng C20 , C21 , C22 . - Vậy S = C20Cnk + C21Cnk −1 + C22Cnk −2 Trang 6/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp - Xét hai tập B và C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có 2 phần tử. Đặt k A = B  C . Khi đó S chính là số cách chọn k của tập A , nên S = Cn+ 2 .  Ví dụ 3.1 Chứng minh Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 , với 3  k  n; k , n  . Cách 1. Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal) - Ta có VT = Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = ( Cnk + Cnk −1 ) + 2 ( Cnk −1 + Cnk −2 ) + ( Cnk −2 + Cnk −3 ) = Cnk+1 + 2Cnk+−11 + Cnk+−12 = ( Cnk+1 + Cnk+−11 ) + ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) = Cnk+ 2 + Cnk+−21 = Cnk+3 Cách 2. Sử dụng định nghĩa tổ hợp - Xét hai tập B và C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có 3 phần tử. Đặt A = B  C . - Để chọn ra k phần tử của A , ta có thể thực hiện theo một trong các phương án sau: + Phương án 1: Chọn k phần tử của B . Phương án này có Cnk cách. + Phương án 2: Chọn k − 1 phần tử của B , 1 phần tử của C . Phương án này có 3Cnk −1 cách. + Phương án 3: Chọn k − 2 phần tử của B , 2 phần tử của C . Phương án này có Cnk −1.C32 = 3Cnk −1 cách. + Phương án 4: Chọn k − 3 phần tử của B , 3 phần tử của C . Phương án này có Cnk −3 cách.  Có Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 cách chọn k phần tử của tập A . - Mặt khác, có Cnk+3 chọn k phần tử của tập A . - Vậy Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3  Ví dụ 4.1 Chứng minh Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 = Cnk+4 , với 4  k  n . Nhận xét: Trong các Ví dụ trên nếu bài toán cho dưới dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp thì các chỉ số dưới của các tổ hợp giúp ta định hướng được việc chọn số phần tử của hai tập hợp B và C . Tuy nhiên nếu bài toán cho dưới dạng tính tổng S = Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 , khi đó ta viết lại S = C40Cnk + C41Cnk −1 + C42Cnk −2 + C43Cnk −3 + C44Cnk −4 . Tổng quát, ta có bài toán sau:  Ví dụ 5.1 Chứng minh Cn0Cmk + Cn1Cmk −1 + ... + Cnk Cm0 = Cmk +n với 0  k  n, m . Hướng dẫn + Cho hai tập hợp A gồm m phần tử và B gồm n phần tử, trong đó A  B =  . Trang 7/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp + Xét tập hợp C gồm tất cả các phần tử của A và B  C = A  B và tập C có n + m phần tử. + Số cách lấy k phần tử từ C là Cmk +n . + Nếu lấy theo A và B thì số cách lấy là Cm0 Cnk + Cm1 Cnk −1 + ... + Cmk Cn0 . II. Tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp dựa và khai triển Nhị thức Niu – tơn. A – Kiến thức chuẩn bị Sử dụng khai triển Nhị thức Niu – tơn để tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp cần lưu ý một số điểm sau: 1. Chọn a,b,n hợp lí trong khai triển: ( a + b ) = Cn0 a n + Cn1a n−1b + Cn2 a n−2b2 + ... + Cnnbn sẽ cho n ta các đẳng thức tổ hợp. Vấn đề ngược lại, đề bài cho ta các đẳng thức tổ hợp hoặc tổng các tổ hợp, chúng ta phải hướng dẫn cho học sinh chọn khai triển ( a + b ) để có được đẳng thức cần chứng n minh. 2. Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát trong tổng) để đưa tổng cần tính về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn. 3. Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có dạng Cnk an−k bk mà có xuất hiện thêm hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) thì ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử dụng đạo hàm (cấp 1 hoặc cấp 2) của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) và hệ số tổ hợp Cnk tương ứng. Thông thường ta áp dụng khai triển (a + x)n = Cn0an + Cn1an−1.x + Cn2an−2 .x2 + ... + Cnk an−k .xk + ... + Cnn .xn . Với số hạng có lũy thừa x k thì ( x k ) ' = k.x k −1 , tức là sau khi đạo hàm cấp 1 ta được hệ số tự nhiên là k tương ứng với hệ số tổ hợp Cnk . Nếu hệ số tự nhiên tương ứng với Cnk là k + l  k thì ta phải tạo ra lũy thừa x k +l bằng cách nhân hai vế với x l trước khi đạo hàm. Ngoài ra, nếu hệ số tự nhiên là tích của hai số thì ta áp dụng đạo hàm cấp hai. 4. Ứng dụng tích phân trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có dạng Cnk an−k bk mà có xuất hiện thêm hệ số hữu tỉ (không phải lũy thừa, không là số nguyên) thì ta phải sử dụng tích phân kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử dụng tích phân của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến mẫu của hệ số hữu tỉ và hệ số tổ hợp Cnk tương ứng. Thông thường ta áp dụng khai triển (a + x)n = Cn0an + Cn1an−1.x + Cn2an−2 .x2 + ... + Cnk an−k .xk + ... + Cnn .xn . Trang 8/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp v Với số hạng có lũy thừa x k thì k  x dx = u v k +1 − u k +1 , tức là sau khi tích phân ta được hệ số hữu k +1 tỉ có mẫu là k + 1 tương ứng với hệ số tổ hợp Cnk . Nếu mẫu hệ số hữu tỉ tương ứng với Cnk là k + l + 1  k + 1 thì ta phải tạo ra lũy thừa x k +l bằng cách nhân hai vế với x l trước khi đạo hàm. Ngoài ra, ta nhìn vào dạng của tử số của số hạng hữu tỉ để chọn cận u; v phù hợp 5. Ứng dụng số phức trong khai triển: Các bài toán về ứng dụng số phức trong khai triển nhị thức Niu – tơn vẫn là những bài toán mới đối với học sinh. Dấu hiệu nhận diện tập trung chủ yếu vào sự thay đổi chỉ số trên của các tổ hợp và sự thay đổi về dấu của các số hạng trong tổng. Thông thường ta sử dụng bài toán sau: Nếu z = cos 2 2 + i sin , với n  n n Với k = n.m , m  * Với k  n.m , m  * * . Khi đó, thì z k = cos ( m2 ) + i sin ( m2 ) = 1 ( thì 0 = 1 − ( z n ) = 1 − ( z k ) = (1 − z k ) 1 + z k + z 2 k + ... + z ( n −1)k k n ) Vì 1 − z k  0  1 + z k + z 2k + ... + z ( n−1)k = 0 B – Ví dụ minh họa  Ví dụ 1.2 Tính S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn . Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk với 0  k  n . Vì vậy, ta xét khai triển ( a + b ) n với a = b = 1 . Đáp số: S = (1 + 1) = 2n n  Ví dụ 2.2 Tính S = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + ... + 2n Cnn . Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk 2k với 0  k  n . Vì vậy, ta xét khai triển (a + b) n với a = 1, b = 2 . Đáp số: S = (1 + 2 ) = 3n n  Ví dụ 3.2 Tính S = 3n Cn0 + 3n−1 Cn1 + ... + Cnn . Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk 3n − k với 0  k  n . Vì vậy, ta xét khai triển (a + b) n với a = 3, b = 1 . Đáp số: S = ( 3 + 1) = 4n n  Ví dụ 4.2 Tính S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn . n Trang 9/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk ( −1) với 0  k  n . Vì vậy, ta xét khai triển k (a + b) n với a = 1, b = −1 . Đáp số: S = 1 + ( −1) = 0 n  Ví dụ 5.2 Tính S = 3n Cn0 − 3n−12Cn1 + 3n−2 22 Cn1 − ... + ( −2 ) Cnn n Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng Cnk 3n − k ( −2 ) với 0  k  n . Vì vậy, ta xét khai k triển ( a + b ) với a = 3, b = −2 . n Đáp số: S = 3 + ( −2) = 1 n  Ví dụ 6.2 Tính S = 42n C20n − 42n−1 C21n + 42n−2 C22n − ... + C22nn Phân tích: Các số hạng trong tổng S đều có dạng C2kn 42 n − k ( −1) với 0  k  2n . Vì vậy, ta xét khai k triển ( a + b ) 2n với a = 4, b = −1 . Đáp số: S = 4 + ( −1) 2n = 32 n = 9n Ví dụ 7.2 Tính S1 = Cn0 + 22 Cn2 + 24 Cn4 + ... và S2 = 2Cn1 + 23 Cn3 + 25 Cn5 + ... Phân tích: Vì chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng S1 là chẵn, S 2 lẻ nên xuất hiện tổng đầy đủ các số hạng của khai triển nhị thức ta xét S1 + S 2 và S1 − S 2 để tạo ra hệ phương trình ẩn số là S1 , S2 . Đáp số: S1 = S2 = 2n−1 Nhận xét: Qua các ví dụ trên thấy - Hệ số đứng trước các tổ hợp là các lũy thừa của một hoặc hai cơ số được viết dưới dạng tăng hoặc giảm về số mũ. - Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần. - Chỉ số dưới của các tổ hợp quyết định số mũ trong khai triển nhị thức. - Nếu chỉ số trên hơn kém nhau 2 đơn vị (nghĩa là chỉ chứa chỉ số trên là số lẻ hoặc chẵn) thì xét thêm một tổng mới (chỉ chứa chẵn hoặc lẻ) để được 1 tổng đủ của khai triển Niu – tơn. Vì vậy, chỉ cần hướng dẫn học sinh lựa chọn a, b, n hợp lí trong công thức khai triển nhị thức Niutơn là giải quyết được bài toán và đưa ra các bài toán tương tự.  Ví dụ 8.2 Tính S = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + 4Cn4 + ... + nCnn Phân tích: Vì các số hạng trong tổng S đều có dạng kCnk với 0  k  n nên không thể sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b ) với a, b, n hợp lí để tính được S . n Hướng dẫn: Cách 1. Trang 10/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp + Ta có kCnk = k . ( n − 1)! n! = n. = nCnk−−11 với 1  k  n ( n − k )!k ! ( ( n − 1) − ( k − 1) )!( k − 1)! + Khi đó S = n ( Cn0−1 + Cn1−1 + ... + Cnn−−11 ) = n (1 + 1) n −1 = n.2n −1 Cách 2. + Áp dụng tính chất của tổ hợp Cnk = Cnn−k với 0  k  n . + Ta có S = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + 4Cn4 + ... + nCnn  S = Cnn−1 + 2Cnn−2 + 3Cnn−3 + 4Cnn−4 + ... + ( n − 2 ) Cn2 + ( n − 1) Cn1 + nCn0  2S = nCn0 + Cn1 + ( n − 1) Cn1  + Cn2 + ( n − 2 ) Cn2  + ... + Cnn−1 + ( n − 1) Cnn−1  + nCnn  2S = nCn0 + nCn1 + nCn2 + ... + nCnn−1 + nCnn = n ( Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn ) = n.2n  S = n.2n −1 Cách 3. + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến x ta được n (1 + x ) n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n−1 (2) + Với x = 1 trong (2) ta có S = n.2n −1 Nhận xét: - Trong ví dụ trên ta thấy hệ số của các tổ hợp bằng chỉ số trên của tổ hợp trong từng số hạng. - Nếu nhân hai vế của đẳng thức (1) với x k rồi lấy đạo hàm hai vế ta sẽ được đẳng thức có chứa các số hạng mà hệ số của các tổ hợp hơn chỉ số trên của các tổ hợp k đơn vị. + Nhân hai vế của (1) với x k ta có x k (1 + x ) = Cn0 x k + Cn1 x k +1 + Cn2 x k +2 + ... + Cnn x k +n (3) n + Lấy đạo hàm hai vế (3) theo biến x ta được kx k −1 (1 + x ) + x k .n (1 + x ) n n −1 = kCn0 x k −1 + ( k + 1) Cn1 x k + ( k + 2 ) Cn2 x k +1 + ... + ( k + n ) Cnn x k +n−1 (4) + Với x = 1 trong (4) ta có k.2n + n.2n−1 = kCn0 + ( k + 1) Cn1 + ... + ( k + n ) Cnn  Ví dụ 9.2 Tính S = 1.2Cn2 + 2.3Cn3 + 3.4Cn4 + ... + ( n − 1) .nCnn Hướng dẫn Cách 1. + Ta có ( k − 1) kCnk = ( n − 1) nCnk−−22 với 2  k  n (*) Nhận xét: Để chứng minh công thức (*) ta có thể hướng dẫn học sinh hai hướng suy nghĩ như sau: Hướng thứ 1 Trang 11/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp ( k − 1) kCnk = ( k − 1) k. ( n − 2 )! n! n! = = ( n − 1) n. = ( n − 1) nCnk−−22 ( n − 2 ) − ( k − 2 )  !( k − 2 )! ( n − k )!k ! ( n − k )!( k − 2 )! Hướng thứ 2 + Áp dụng liên tiếp hai lần công thức kCnk = nCnk−−11 ta có ( k −1) ( kCnk ) = ( k − 1) .nCnk−−11 = n. ( k − 1) .Cnk−−11  = n. ( n −1) Cnk−−22 + Khi đó S = ( n − 1) n ( Cn0− 2 + Cn1− 2 + ... + Cnn−−22 ) = ( n − 1) n (1 + 1) n−2 = ( n − 1) n.2n −2 Cách 2. + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến x ta được n (1 + x ) n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n−1 (2) + Lấy đạo hàm hai vế (2) theo biến x ta được ( n −1) n (1 + x ) n−2 = 1.2Cn2 + 2.3Cn3 x + ... + ( n − 1) nCnn x n−2 (3) + Với x = 1 trong (3) ta có S = ( n − 1) n.2n−2 + Tương tự quá trình trên ta có thể lấy đạo hàm hai vế của (3) để được các kết quả khác, ví dụ như tính tổng S = 1.2.3Cn3 + 2.3.4Cn4 + ... + ( n − 2 )( n − 1) .nCnn . + Nếu sử dụng đạo hàm cho khai triển ( 2 + x ) 2 n +1 và chọn x hợp lí ta có thể tính được tổng sau: S = C21n+ 1 - 2.2.C22n+ 1 + 3.22.C23n+ 1 - 4.23.C24n+ 1 + ... + (2n+ 1).22n.C22nn++11  Ví dụ 10.2 Tính S = 12.Cn1 + 22.Cn2 + ... + n2 .Cnn Hướng dẫn Cách 1. + k 2Cnk = k.kCnk = k.nCnk−−11 = n. ( k − 1) + 1 Cnk−−11 = n ( n − 1) Cnk−−22 + nCnk−−11 + Khi đó S = 12.Cn1 + n ( Cn1−1 + Cn2−1 + Cnn−−11 ) + ( n − 1) n (Cn0−2 + Cn1−2 + ... + Cnn−−22 ) = n + n ( 2n−1 − 1) + ( n − 1) n.2n−2 Cách 2. + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến x ta được n (1 + x ) + Nhân hai vế của (2) với x ta được n.x. (1 + x ) n −1 n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n−1 (2) = Cn1 x + 2Cn2 x 2 + 3Cn3 x3 + ... + nCnn x n (3) + Lấy đạo hàm hai vế của (3) ta có n. (1 + x ) n −1 + n.x. ( n − 1) . (1 + x ) n −2 = Cn1 + 22 Cn2 x + 32 Cn3 x 2 + ... + n2Cnn x n−1 (4) Trang 12/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp + Với x = 1 trong (4) ta có n.2n−1 + n ( n − 1) .2n −2 = 12.Cn1 + 22.Cn2 + ... + n2 .Cnn Nhận xét: Nếu tiếp tục nhân 2 vế của (4) với x và lấy đạo hàm hai vế, thay x = 1 ta tính được tổng S = 13.Cn1 + 23.Cn2 + ... + n3.Cnn .  Ví dụ 11.2 Tính S = C20n + 3C22n + 5C24n + ... + (2n + 1)C22nn Hướng dẫn Cách 1. + Ta có ( 2k + 1) C22nk = 2kC22nk + C22nk = 2n.C22nk−−11 + C22nk với 1  k  2n + Vậy S = C20n + 2n ( C21n−1 + C23n−1 + C25n−1 + ... + C22nn−−11 ) + ( C22n + C24n + ... + C22nn ) + Xét khai triển (1 + x ) 2 n −1 = C20n−1 + C21n−1 x + C22n−1 x 2 + ... + C22nn−−11 x2 n−1 (1) Với x = 1 và x = −1 trong (1) ta có 22n−1 = C20n−1 + C21n−1 + C22n−1 + ... + C22nn−−11 0 = C20n−1 − C21n−1 + C22n−1 − ... − C22nn−−11  C21n−1 + C23n−1 + C25n−1 + ... + C22nn−−11 = 22n−2 + Xét khai triển (1 + x ) = C20n + C21n x + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n (2) 2n Với x = 1 và x = −1 trong (2) ta có 22n = C20n + C21n + C22n + ... + C22nn 0 = C20n − C21n + C22n − ... + C22nn  C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = 22n−1 + Vậy S = 2n.22 n − 2 + 22 n −1 Cách 2. (Ứng dụng đạo hàm) + Xét khai triển x (1 + x ) = C20n x + C21n x 2 + C22n x3 + ... + C22nn x 2 n+1 (3) 2n + Lấy đạo hàm 2 vế của (3) theo biến x ta có (1 + x ) 2n + x.2n. (1 + x ) 2 n −1 = C20n + 2C21n x + 3C22n x 2 + ... + ( 2n + 1) C22nn x 2 n (4) + Với x = 1 và x = −1 trong (4) ta có 22 n + 2n.22 n−1 = C20n + 2C21n + 3C22n + ... + ( 2n + 1) C22nn 0 = C20n − 2C21n x + 3C22n − ... + ( 2n + 1) C22nn  S = 2n.22 n − 2 + 22 n −1 Trang 13/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Trong các ví dụ trên, khi sử dụng công thức kCnk = nCnk−−11 sẽ giúp đưa các bài toán về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn. Tuy nhiên, nếu viết lại công thức đó dưới dạng n k = k −1 ta k Cn Cn −1 có thể tạo ra được một số bài toán khác. Ta xét ví dụ sau:  Ví dụ 12.2 Chứng minh 1 + 1 2015 C 1 2 2015 C + ... + 1 2015 2015 C = 1008  1 1 1   0 + 1 + ... + 2014  2015  C2014 C2014 C2014  Hướng dẫn Từ công thức kCnk = nCnk−−11 với 1  k  n  Khi đó S = n k = k −1 với 1  k  n k Cn Cn−1 2015 2015 2015 1 2 2015 + 2 + ... + 2015 = 0 + 1 + ... + 2014 (1) 1 C2015 C2015 C2015 C2014 C2014 C2014 Áp dụng công thức Cnk = Cnn−k với k  n , ta có S = 1 2014 2014 C + 2 2013 2014 C + ... + 2015 (2) 0 C2014  1 1 1  Cộng (1) với (2) theo vế ta có 2S = 2016  0 + 1 + ... + 2014  (đpcm) C2014   C2014 C2014 Cn0 Cn1 Cn2 Cn + + + ... + n . 1 2 3 n +1  Ví dụ 13.2 Tính S = Hướng dẫn - Tìm số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng S ? - Sử dụng biến đổi thích hợp cố định các hệ số đứng trước tổ hợp trong các số hạng của tổng S ? Cách 1. + Ta có ( n + 1)! Cnk C k +1 n! 1 = = . = n +1 với 0  k  n k + 1 k !( k + 1)( n − k ) ! n + 1 ( k + 1) ! ( n + 1) − ( k + 1)  ! n + 1 + Khi đó S = 1 1  1 n +1 Cn1+1 + Cn2+1 + ... + Cnn++11 ) = 2n +1 − 1) (1 + 1) − Cn0+1  = ( (  n +1 n +1 n +1 Cách 2. (Ứng dụng tích phân) + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Lấy tích phân hai vế của (1) trên đoạn  0;1 ta được 1  (1 + x ) 1 n 0 (1 + x )  dx =  ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n ) dx 0 n +1 n +1  Ví dụ 14.2 Tính S = Cn0 − 1 0  0 Cn1 2 Cn2 2 Cnn n  =  Cn x + x + x + ... + x  2 3 n +1   n Cn1 Cn2 n Cn + − ... + ( −1) 2 3 n +1 Trang 14/32 1 0 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Hướng dẫn Cách 1. + Áp dụng công thức Cnk C k +1 = n +1 ta có k +1 n +1 ( ) 1 n Cn1+1 − Cn2+1 + Cn3+1 − ... + ( −1) Cnn++11 n +1 1  n +1 = − Cn0+1 − Cn1+1 + Cn2+1 − Cn3+1 + ... + ( −1) Cnn++11 + Cn0+1   n +1  1  1 n +1 = − (1 − 1) + 1 =  n +1 n +1  S= ( ) Cách 2. Lấy tích phân của (1) trên  −1;0  Ví dụ 15.2 Tính S = 2Cn0 + 22 Cn1 23 Cn2 2n +1 Cnn + + ... + . 2 3 n +1 Hướng dẫn Cách 1. + Áp dụng công thức + Vậy S = Cnk C k +1 1 2Cn1+1 + 22 Cn2+1 + 23 Cn3+1 + ... + 2n +1 Cnn++11 = n +1 ta có S = n + 1 k +1 n +1 ( ( ) 1  1 2n +1 − 1 (1 + 2 )n+1 − Cn0+1  =  n +1 n +1 Cách 2. Lấy tích phân của (1) trên  0; 2 Cn1 Cn3 Cn5 Cn0 Cn2 Cn4 + + + + + ... và S2 = + ...  Ví dụ 16.2 Tính S1 = 2 1 4 3 6 5 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn + + + ... +  Ví dụ 17.2 Tính S = 2 3 4 n+2 Hướng dẫn Cách 1. + Ta có Cnk k + 1 Cnk  1  Cnk++11 1  k +1 Cnk++22  = . = 1 − . =  Cn+1 −  với 0  k  n .  k + 2 k + 2 k +1  k + 2  n +1 n +1  n+2 + Vậy S = = ( n + 2 ) ( Cn1+1 + Cn2+1 + ... + Cnn++11 ) − ( Cn2+ 2 + Cn3+ 2 + ... + Cnn++22 )  n + 1 n + 2 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) ( n + 2 ) 2n+1 − Cn0+1 − 2n+ 2 − Cn0+ 2 − Cn1+ 2   ( n + 1)( n + 2 )  Cách 2. Trang 15/32 ) Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Nhân 2 vế của (1) với x ta được (1 + x ) − (1 + x ) = Cn0 x + Cn1 x 2 + Cn2 x3 + ... + Cnn x n+1 (2) n +1 n + Lấy tích phân 2 vế của (2) trên đoạn  0;1 ta có 1 1 0 0 n +1 n 0 1 2 2 3 n n +1  (1 + x ) − (1 + x ) dx =  (Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x ) dx  (1 + x )n + 2 (1 + x )n +1   −  n + 1   n + 2 1 0  C0  C1 Cn =  n x 2 + n x3 + ... + n x n + 2  3 n+2  2  1 0 1 2 3 4 n Cnn  Ví dụ 18.2 Tính S = Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 + ... + 2 3 4 5 n +1 Hướng dẫn Cách 1. + Ta có C k +1 k 1 Cnk = Cnk − Cnk = Cnk − n+1 k +1 k +1 n +1 ( ) + Vậy S = Cn1 + Cn2 + ... + Cnn − ( ) ( ) ( 1 1 Cn2+1 + Cn3+1 + ... + Cnn++11 = 2n − Cn0 − 2n +1 − Cn0+1 − Cn1+1 n +1 n +1 ) Cách 2. + Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n (1) n + Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến x ta được n (1 + x ) + Nhân 2 vế của (2) với x ta được n.x. (1 + x ) n −1 n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n−1 (2) = Cn1 x + 2Cn2 x 2 + 3Cn3 x3 + ... + nCnn x n (3) + Lấy tích phân 2 vế của (3) trên  0;1 ta được 1  n. (1 + x ) − (1 + x ) n 0 n −1 1  dx = ( Cn1 x + 2Cn2 x 2 + 3Cn3 x3 + ... + nCnn x n ) dx    (1 + x )n+1 (1 + x )n   n −  n   n + 1 0 1 0  C1  2C 2 3C 3 nC 2 =  n x 2 + n x3 + n x 4 + ... + n x n +1  3 4 n +1  2  1 0 ( −1) nCnn −Cn1 2Cn2 3Cn3 + − + ... +  Ví dụ 19.2 Tính S = 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + 2 ) n Hướng dẫn + Với 1  k  n , ta có k k k k ( −1) kCnk = ( −1) kCnk++11 = ( −1) kCnk++22 = ( −1) ( k + 2) − 2 Cnk++22 = ( −1) ( n + 2) Cnk++11 − 2Cnk++22  ( k + 1)( k + 2) ( k + 2)( n + 1) ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2 ) ( n + 1)( n + 2) k Trang 16/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Qua các ví dụ trên ta thấy đối với học sinh lớp 11, việc xác định được số hạng tổng quát trong tổng các tổ hợp là rất quan trọng. Ta xét tiếp các ví dụ sau:  Ví dụ 20.2 Tính S = Cn0Cnn−1 + Cn1Cnn−−12 + Cn2Cnn−−23 + ... + Cnn−1C10 Hướng dẫn + Ta có Cnk .Cnn−−k1−k = n.Cnk−1 , với 0  k  n −1 . + Vậy S = n ( Cn0−1 + Cn1−1 + ... + Cnn−−11 ) = n.2n−1 . Bài toán tương tự. 1) Tính S = Cn0Cnn−2 + Cn1Cnn−−13 + Cn2Cnn−−24 + ... + Cnn−2C20 Hướng dẫn: Cnk .Cnn−−k2− k = n ( n − 1) k .Cn − 2 , với 0  k  n − 2 . 2 2) Tính S = Cn0Cnk − Cn1Cnk−−11 + Cn2Cnk−−22 − ... + ( − ) Cnk Cn0−k n Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn  Ví dụ 21.2 Tính S = 0 + 1 + 2 + ... + n−1 . Cn−1 Cn−1 Cn−1 Cn−1 Hướng dẫn Cn0 Cn1 Cnk Cnn  Ví dụ 22.2 Tính S = 1 + 2 + ... + k +1 + ... + n+1 với 0  k  n Cn+ 2 Cn+3 Cn+ k + 2 C2 n+ 2 Hướng dẫn 2 ( k + 1) .n !( n + 1)! ( n + k + 2) − ( n − k ) 2Cnk = n !( n + 1)! + Ta có k +1 = Cn + k + 2 ( n + k + 2 )!( n − k )! ( n + k + 2 )!( n − k )!   1 1 = n !( n + 1) !  −   ( n + k + 1)!( n − k )! ( n + k + 2 )!( n − k − 1)! + Khi đó với 0  k  n −1      1 1 1 1 1 1   2Cnn 2S = n !( n + 1)!  − + − + ... + −       + n+1 2 n ! 2 n + 1 ! ( ) ( )  ( n + 1)!n! ( n + 2 )!( n − 1)!   ( n + 2 )!( n − 1)! ( n + 3)!( n − 2 )!     C2 n+2  1 1  2 ( n + 1)!( n + 1)! = n !( n + 1)!  − + n + 1 ! n ! 2 n + 1 ! ( ) ( ) ( 2n + 2 ) !   n !( n + 1)! ( n + 1)!( n + 1)! = 1− + 2. ( 2n + 1)! ( 2n + 2 ) ! =1  Ví dụ 23.2 Tính S = 1 1 1 1 + 3 + 3 + ... + 3 , n là số nguyên dương, n  3 . 3 C3 C4 C5 Cn Hướng dẫn Trang 17/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp + Ta có  1 3! 1 1  = = 3 −  3 Ck k ( k − 1)( k − 2 )  ( k − 2 )( k − 1) ( k − 1) k   1   1 1   1 1  1 1  1  + Vậy S = 3  − − − −   = 3   +  + ... +   1.2 2.3   2.3 3.4   ( n − 2 )( n − 1) ( n − 1) n    1.2 ( n − 1) n   Ví dụ 24.2 Tính S = Cnk .Cm0 + Cnk −1Cm1 + ... + Cnk −mCmm với 0  m  k  n; k , m, n  Hướng dẫn + Ta có (1 + x ) (1 + x ) = (1 + x ) n m n+m  n  m  n+m    Cnl xl   Cmi xi  =  Cnj+m x j  l =0  i =0  j =0 n n+m m   Cnl Cmi x + i =  Cnj+ m x j (1) l =0 i =0 j =0 + Đồng nhất hệ số của x k ở 2 vế của (1) ta có Cnk .Cm0 + Cnk −1Cm1 + ... + Cnk −mCmm = Cnk+m  Ví dụ 25.2 Tính S = (Cn0 )2 + (Cn1 )2 + (Cn2 )2 + ... + (Cnn )2 Hướng dẫn S = Cn0 .Cn0 + Cn1 .Cn1 + Cn2 .Cn2 + ... + Cnn .Cnn = Cn0 .Cnn + Cn1 .Cnn−1 + Cn2 .Cnn−2 + ... + Cnn .Cn0 = C2nn Kết quả trên có được là do ta chọn m = n = k trong Ví dụ 23.2  Ví dụ 26.2 Tính S = ( C20n ) − ( C21n ) + ( C22n ) − ( C23n ) + ... + ( C22nn ) 2 2 2 2 2 Hướng dẫn + S = C20n .C22nn − C21n .C22nn−1 + C22n .C22nn−2 − C23n .C22nn−3 + ... + C22nn .C20n + Ta có (1 − x ) 2n (1 + x ) 2n = (1 − x2 ) 2n (1) + Khai triển đa thức hai vế (1) và đồng nhất hệ số của số hạng chứa x 2n ta có 2 2 2  C 0   C1   C 2   Cn   Ví dụ 27.2 Tính S =  n  +  n  +  n  + ... +  n   1   2   3   n +1  2 Hướng dẫn: Vì 2 2 2 Cnk C k +1 1  1 2 = n +1 nên  S = C + ( Cn2+1 ) + ( Cn3+1 ) + ... + ( Cnn++11 )  2 ( n +1 )  k +1 n +1 ( n + 1)  + Ta có hệ số của x n +1 trong khai triển (1 + x ) 2n+2 là C2nn++12 (1) + Mặt khác, hệ số của x n +1 trong khai triển (1 + x ) n +1 . (1 + x ) n +1  n +1 n +1  n +1   n +1 =   Cni +1 xi  .   Cnj+1 x j  =  Cni +1.Cnj+1.x i + j  i =0   j =0  i =0 j =0 là ( Cn0+1 ) + ( Cn1+1 ) + ( Cn2+1 ) + ... + ( Cnn++11 ) 2 2 2 2 (2) Trang 18/32 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Từ (1) và (2) suy ra ( Cn1+1 ) + ( Cn2+1 ) + ... + ( Cnn++11 ) = C2nn++12 − 1 2 Vậy S = 1 ( n + 1) 2 2 2 . ( C2nn++12 − 1)  Ví dụ 28.2 Chứng minh rằng, với mọi n  n a) Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + Cn8 − ... = 2 cos (1 − C 2 n ta có n 4 n 4 n b) Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + Cn9 − ... = 2 sin c) * + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) = 2n 2 2  Ví dụ 29.2 Chứng minh rằng, với mọi n  a) Cn0 + Cn4 + Cn8 + Cn12 + ... = 2n −1 + ( 2) b) Cn2 + Cn6 + Cn10 + Cn14 + ... = 2n −1 − c) Cn1 + Cn5 + Cn9 + Cn13 + ... = 2n −1 + d) Cn3 + Cn7 + Cn11 + Cn15 + ... = 2n −1 − ta có n−2 cos ( 2) ( 2) * n−2 cos n−2 ( 2) n 4 sin n 4 n−2 sin  Ví dụ 30.2 Chứng minh rằng, với mọi n  * n 4 n 4 ta có 1 n  a) Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + ... =  2n + 2cos  3 3  1 n +1  b) Cn1 + Cn4 + Cn7 + Cn10 + ... =  2n − 2cos  3 3  1 n −1  c) Cn2 + Cn5 + Cn8 + Cn11 + ... =  2n − 2cos  3 3   Ví dụ 31.2 Chứng minh rằng, với mọi n  * ta có 1 n n  Cn0 + Cn6 + Cn12 + Cn18 + ... =  2n−1 + 3n cos + cos  3 6 3   Ví dụ 32.2 Tính tổng a) S1 = Cn0 + Cn5 + Cn10 + Cn15 + ... b) S2 = Cn1 + Cn6 + Cn11 + Cn16 + ...  Ví dụ 33.2 (Đạo hàm) Chứng minh rằng, với mọi n  a) Cn1 − 3Cn3 + 5Cn5 − 7Cn7 + ... = n ( 2) n −1 cos n −1  4 Trang 19/32 * ta có Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp b) Cn2 − 2Cn4 + 3Cn6 − 4Cn8 + ... = n ( 2) n −1 . 4 n −3 sin n   c) Cn1+1 + 5Cn5+1 + 9Cn9+1 + 13Cn13+1 + ... = ( n + 1) 2n−1 + 2n−2 cos  4   d) Cn4+1 + 2Cn8+1 + 3Cn12+1 + 4Cn16+1 + ... = ( n + 1) 2n−1 − 2n −2 sin  4  Ví dụ 34.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với mọi n  * n  4  ta có 1 1 1 2   n + 1  a) Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + ... = 1 − 2n+1 cos     2 3 4 n +1   4  1 1 1 1 b) Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + ... = 3 5 10 n +1 ( 2) n +1 sin n +1  4  Ví dụ 35.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với mọi n  * ta có ( n + 1)  − 3  1 2 1 5 1 8 1  n Cn + Cn + Cn + ... =  2 + 2 cos  3 6 9 3 ( n + 1)  3  a) 1 1 1 2  n n −1  b) Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + ... =   2 + cos 4 7 10 3 ( n + 1)  3  1 1 1 4 1 7 1 10 2  n n −3  Cn + Cn + Cn + Cn + ... =   2 + cos 2 5 8 11 3 ( n + 1)  3  c) Hướng dẫn  Xét các khai triển nhị thức Newtơn (1 + x ) n = Cn0 + Cn1 x + ... + Cnn−1 x n−1 + Cnn x n (*) Với x = i ta có (1 + i ) = Cn0 + Cn1i + ... + Cnn−1i n−1 + Cnni n n n n n  2  cos + i sin 4 4   0 2 4 1 3 5  = ( Cn − Cn + Cn − ...) + ( Cn − Cn + Cn − ...) i (**)  n n  0 2 4 C − C + C − ... = 2 cos n n n  4 Vậy ta có  n C1 − C 3 + C 5 − ... = 2 sin n n n  n 4 (1) ( 2) Nếu ta tính môđun của hai số phức trong (**) ta được (1 − C 2 n + Cn4 − ...) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ...) = 2n 2 2 Ta có lời giải cho Ví dụ 28.2 Nếu x = 1 trong (*) ta được 2n = Cn0 + Cn1 + ... + Cnn−1 + Cnn Nếu x = −1 trong (*) ta được 0 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn n Trang 20/32