Tài liệu Skkn phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa

*** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * ------------------------------------------------------------------------------------------------ A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lời mở đầu Nghị quyết của Đảng đã nêu “lấy giáo dục đào tạo là quốc sách hàng đầu”. Vì vậy phải có một chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển khoa học tự nhiên lại đặt trên nền tảng khoa học toán phát triển vững chắc. Do đó dạy toán trong trường phổ thông ngoài mục đích cung cấp kiến thức cơ bản cho học sinh, còn phải dạy cho học sinh phương pháp nghiên cứu, tìm tòi để phát triển tri thức toán. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã, đang và mãi mãi nghiên cứu, đổi mới phương pháp dạy học toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học. Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình ”. Đến giữa thế kỉ XX nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan niệm vật lí ”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả ”. Sự phát triển của các nhà khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”. Môn toán là một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi học sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Chương trình môn Toán ở bậc THCS giữ một vị trí hết sức quan trọng. Nó là cơ sở, là tiền đề, là nền tảng cho chương trình môn Toán ở bậc học tiếp theo. Số học là ngành học lâu đời nhất và đầy hấp dẫn của toán học, đã từng được một nhà toán học nổi tiếng gọi là: “Bà chúa của toán học”. Các bài toán số học đã làm say mê nhiều người, thế giới các con số, rất quen thuộc với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, là thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bí ẩn. Loài người đã phát hiện ra trong đó biết bao tính chất hay, nhiều quy luật rất đẹp 1 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------và có khi rất bất ngờ. Điều lý thú là mệnh đề khó nhất của số học được phát biểu rất đơn giản, ai cũng hiểu được, nhiều bài toán khó có thể giải rất sáng tạo với những kiến thức số học phổ thông. Môn số học tuy chỉ được học ở 6 năm đầu của trường phổ thông, nhưng các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi học sinh giỏi toán ở hầu hết các nước trên thế giới. Trong quá trình dạy học tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi dạng bài. Dạng bài toán tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6 là một mảng kiến thức khó đối với học sinh nhưng trong những năm gần đây lại được sử dụng nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi nhất là kỳ thi “Giải toán bằng máy tính cầm tay” cấp huyện, cấp tỉnh. II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4; 8 hoặc chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta chỉ cần xét 1; 2 hoặc 3 chữ số tận cùng của số đó. Vì vậy việc giải các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một lũy thừa là việc làm cần thiết đối với học sinh khá giỏi ở lớp 6. Tuy nhiên việc đi tìm các chữ số tận cùng của một số viết dưới dạng luỹ thừa hay một biểu thức có chứa luỹ thừa thì làm như thế nào? Đó là một câu hỏi mà không phải ai cũng trả lời được, các em học sinh học ở mức khá giỏi mới chỉ tìm được “lỏi” một số bài nhưng không hình thành được cách giải. Khi hỏi vì sao thì các em chỉ trả lời theo kiểu “ Phán đoán- mò mẫm”. Qua nhiều năm giảng dạy và những năm chỉ đạo chuyên môn ở Phòng Giáo dục và Đào tạo trao đổi cùng đồng nghiệp tôi đã đúc kết một số kinh nghiệm về phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6 để củng cố cho học sinh nhằm nâng cao kết quả học tập của học sinh nhất là đối với học sinh khá giỏi của lớp 6. Trên cơ sở thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập, không ngừng nâng cao chất 2 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------lượng dạy và học. Đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phải bồi dưỡng và định hướng cho học sinh các phương pháp tư duy các thuật toán ngay từ lớp 6. Bản thân tôi mạnh dạn hệ thống kiến thức và đưa ra một số kinh nghiệm về phương pháp giải: "Bài toán tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6" để giúp học sinh trong các nhà trường nơi tôi đang công tác đạt kết quả cao hơn trong quá trình học tập . B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI I. Yêu cầu chung 1. Yêu cầu với giáo viên: - Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài tìm chữ số tận cùng cho từng dạng toán. - Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó. - Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong nghiên cứu. - Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vướng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài tập . 2. Yêu cầu với học sinh: - Hiểu được bản chất các loại toán. - Nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụmg phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán. - Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn. II. Nội dung * Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ 1. Dạng toán: Tìm một chữ số tận cùng Để tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta biết rằng: - Các số có tận cùng bằng 0 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 0. - Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào thì được số có chữ số tận cùng bằng 1. 3 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * ------------------------------------------------------------------------------------------------ Các số có tận cùng bằng 5 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 5. - Các số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. - Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. - Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có chữ số tận cùng bằng 1. - Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; - Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 nâng lên luỹ thừa chẵn thì được số có chữ số tận cùng là 6. - Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 9 nâng lên luỹ thừa chẵn thì được số có chữ số tận cùng là 1. Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 2492008 Giải: Ta thấy các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có: 2492008 = (2494)502 =( ...1 )502 =( ...1 ) Vậy chữ số tận cùng của 2492008 là 1 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của: a) 81997 b) 71995 Giải: a) Ta thấy các số có tận cùng bằng 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có: 81997 = 84.499 + 1 = (84)499 . 8 = ( ...1 )499 . ( 8 ) = ( ...1 ) . (8) = (... 8 ) Vậy chữ số tận cùng của 81997 là 8 4 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có: 71995 = 74.498 + 3 = (74)498 . 73 = ( ...1 )498 . ( ...3 ) = ( ...1 ) . ( ...3 ) = ( ...3 ) Vậy chữ số tận cùng của 71995 là 3 Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của các hiệu, tổng : a. 772001 - 212001 b. 12591 + 12692 Giải : a. +) Vì ( 77)2001= (77) 4.500+1= (774)500.77= ( ...1 ).77 = (... 7 ) => Chữ số tận cùng của 772001 là 7 +) Vì 212001 = ( ...1 ) => Chữ số tận cùng của 212001 là 1 Vậy chữ số tận cùng của hiệu 772001 - 212001 là 6 b. Vì 12591 = ( ...5 ) ; 12692 = ( ...6 ) Vậy chữ số tận cùng của tổng 12591 + 12692 là 1 Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng 175+244-1321 chia hết cho 10 và 8102 - 2102 chia hết cho 10 Giải: *) Ta thấy: 175 = 174. 17 = ( ...1 ) .17 = ( ...7 ) => chữ số tận cùng của 175 là 7 244 = ( ...6 ) => chữ số tận cùng của 244 là 6 1321 = (13)20.13 = (134)5. 13 =( ...1 ).13 = ( ...3 ) => chữ số tận cùng của 1321 là 3 Vậy chữ số tận cùng của 175+244-1321 là 0. Mà một số có chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho 10 do đó 175+244-1321 chia hết cho 10 *) Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có: 8102 = (84)25 . 82 = ( ...6 )25 . 64 =( ...6 ) . 64 = ...4 => Chữ số tận cùng của 8102 là 4 5 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------2102 =( 24)25.22 =1625.4 =( ...6 ).4 = ...4 => Chữ số tận cùng của 2102 là 4 Vậy 8102 - 2102 tận cùng bằng 0 nên 8102 - 2102 chia hết cho 10 * Sau khi học sinh đã thành thạo cách tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa ta có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh và tìm số dư trong phép chia. Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi n  N * với n>1 thì 2 2 +1 có chữ số tận cùng là 7 n Giải: Ta xét số mũ 2n n−2 2n = 22. 2n-2 do đó 2 2 = 2 2 .2 = (2 4 ) 2 n 2 n−2 = (16)2 n−2 có chữ số tận cùng là 6 => Vậy 2 2 +1 có chữ số tận cùng là 7. n Ví dụ 6: Tìm số dư trong phép chia 7129 cho 50 Giải: Vì 7129 = 74.32+1 = (74)32.7 = ( ....1 )32.7 = ( ...1 ).7 => 7129 có chữ số tận cùng là 7 mà số 50 có tận cùng là 0 nên khi chia 7129 cho 50 thì chữ số tận cùng là 7 - 0 = 7 Vậy số dư của phép chia 7129 cho 50 là 7 2. Dạng toán: Tìm hai chữ số tận cùng Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến những số đặc biệt như sau: - Các số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 01 - Các số có tận cùng bằng 25 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 25 - Các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 76 - Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có chữ số tận cùng bằng 01 - Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742 có số chữ tận cùng bằng 76 - Số 26n (n>1) có chữ số tận cùng bằng 76 Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 6 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------Giải: Chú ý rằng: 210=1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì được số có chữ số tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó: ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =( ...76 )5 = ...76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 62011 Giải: Ta thấy: 65 = 7776, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 76. Do đó ta có: 62011 = 62010 . 6 = (65)402 . 6 =( ...76 )402 . 6 =( ...76 ) . 6 = ...56 Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56 Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 511999 Giải: Ta có: 512 = 2601, số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 01. Do đó ta có: ( 51)1999=(512)999. 51 =(2601)999. 51 =( ...01) . 51 = ...51 Vậy hai chữ số tận cùng của 511999 là 51 Ví dụ 4: (Phát triển tư duy cho học sinh) * Tìm chữ số hàng chục của tổng S = 72008+ 72009+ 72010 (Đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán trên máy tính cầm tay” năm học 2010- 2011) Giải: Ta có 72008 = (74)502 = ( ...01)502 nên hai chữ số tận cùng của 72008 là 01 72009 = (74)502.7= ( ...01)502.7= ( ...07 ) nên hai chữ số tận cùng của 72009 là 07 72010 = (74)502.72= ( ...01)502.49= ( ...49 ) nên hai chữ số tận cùng của 72010 là 49 => hai chữ số tận cùng của S là 57. Vậy chữ số hàng chục của S = 72008+ 72009+ 72010 là 5 3. Dạng toán: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên 7 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến các số đặc biệt sau: - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 001 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 625 - Các số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 Ví dụ 1: Tìm ba chữ số tận cùng của 10012230 và 5016780 Giải: +) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001 Ta có 10012230 = ( ...001) Vậy ba chữ số tận cùng của 10012230 là 001 +) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001. Do đó ta có: 5012230 = (5012)3390 = 2510013390= ( ...001) Vậy ba chữ số tận cùng của 5016780 là 001 Ví dụ 2: Tìm bốn chữ số tận cùng của 53404 Giải: 53404 =(54)851 =625851 =0625851 =( ...0625 ) Vậy bốn chữ số tận cùng của 53404 là 0625 * Giáo viên có thể hỏi nhanh: bốn chữ số tận cùng của 53405 là những chữ số nào HS: Lấy ( ...0625 ). 5 = ( ...3125 ). Vậy bốn chữ số tận cùng của 53405 là 3125 * Từ bài tập này có thể phát triển bài toán ra các bài toán tìm 4 chữ số tận cùng của 54n hoặc 54n+1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng 262375 chia hết cho 8 8 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------Giải: Ta thấy: 265= 11881376, số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376. Do đó ta có: 262375=(265)475=( ...376 )475=( ...376 ) Mà 376 chia hết cho 8 Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 Vậy 262375 chia hết cho 8 * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a. (2345)42 b. (5796)35 Bài 3: Cho A =51n+47102 (n€ N) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10 Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau: a) 132001-82001 b) 7552-218 c) 12591+12692 d) 116+126+136+146+156+166 e) 72008+72009+72010( đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán trên máy tính cầm tay” năm 2009 -2010) f) 22004+ 22005+ 22006 g) 22007+ 22008+ 22009( đề thi học sinh giỏi cấp huyện “Giải toán trên máy tính cầm tay” năm 2008 -2009). Bài 5: Chứng tỏ rằng với mọi n€N*(n>1) thì (22)2n+1+1 có chữ số tận cùng là 5 Bài 6: Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n: 9 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------a) 74n-1 chia hết cho 5 b/34n+1 +2 chia hết cho 5 c/24n+1+3 chia hết cho 5 d/24n+2+1 chia hết cho 5 e/92n+1+1 chia hết cho 10 Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1) Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của a) 5151 b) (9999)99 c) 6666 d) 14101 . 16101 Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của 3204 C. KẾT LUẬN Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên sau khi áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 6 và các đội tuyển học sinh giỏi môn giải toán trên máy tính cầm tay của huyện cũng như quá trình chỉ đạo chuyên môn ở Phòng Giáo dục và Đào tạo mà bản thân mình được phụ trách tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt khi giải các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một lũy thừa và vận dụng nó vào giải các bài toán chia hết. Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một lũy thừa đồng thời các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để trình bày lời giải một các ngắn gọn và đầy đủ. Học sinh không còn lúng túng khi gặp phải những bài tập dạng này mà các em đã thấy hứng thú, vui vẻ khi gặp các loại toán này trong quá trình học cũng như thi. Đặc biệt các em chủ động tìm tòi và phát huy khả năng sáng tạo trong lời giải. Do vậy kết quả thi học sinh giỏi các cấp nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích học môn toán hơn. Trên đây là những suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán trong nhà trường. Để thực sự nắm vững và có kĩ năng thành 10 *** Sáng kiến kinh nghiệm*** * “Phương pháp tìm các chữ số tận cùng của một luỹ thừa trong chương trình toán 6” * -----------------------------------------------------------------------------------------------thạo trong việc vận dụng vào giải toán thì ngay từ đầu khi học, giáo viên có thể chọn lọc từng phương pháp phù hợp với từng khối lớp nhằm khai thác và phát triển từ bài toán cụ thể trong SGK và sách bài tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư duy toán học cho những đối tượng học sinh khá, giỏi từ đó gây được hiệu ứng tích cực và lòng say mê sáng tạo trong học tập nói chung và trong học toán nói riêng. Qua quá trình nghiên cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao năng lực chuyên môn góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ được giao, tạo hứng thú cho các em trong học toán, nâng cao chất lượng giáo dục và góp phần nhỏ bé của mình vào sự nghiệp giáo dục của Đảng, Nhà nước. Một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra trong quá trình giảng dạy và chỉ đạo chuyên môn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện hơn trong quá trình chỉ đạo chuyên môn để đáp ứng được với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục trong thời thời kì hiện nay. Ngày 20/ 03/ 2011 Người viết Phạm Thị Thu Hương 11