Tài liệu Skkn rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (thcs)

Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: a. Cơ sở lý luận: -Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong Giai đoạn hiện nay đã được xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường phải phát huy tính tính cực , tự giác, chủ động của người học , hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”. Theo định hướng dạy học này giáo viên là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập còn HS là chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện, từ đó hình thành và phát triển nhân cách, năng lực cần thiết của người lao động theo những mục tiêu mới đã đề ra. - Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như : hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên , bổ sung các câu trả lời của bạn ; mạnh dạn phát biểu những ý kiến của mình trước những vấn đề nêu ra , nêu những thắc mắc của bản thân , đòi hỏi phải giải thích cặn kẻ những vấn đề chưa rõ , chủ động vận dụng những kiến thức và kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới , tập trung chú ý vào vấn đề đang học , kiên trì hoàn thành các bài tập , không nản chí trước những tình huống khó khăn … -Tính tích cực học tập đạt những cấp độ từ thấp đến cao như : +Bắt chước và gắng sức làm theo những các mẫu hành động của thầy, của bạn + Tìm tòi , độc lập giải quyết những vấn đề nêu ra , tìm kiếm các cách giải quyết khác nhau của một vấn đề … + Sáng tạo , tìm ra cách giải quyết mới , độc đáo , hữu hiệu … - Kinh nghiệm dạy học giúp ta khẳng định rằng việc học tập toán ở nhà trường phổ thông sẽ thực sự hứng thú và đạt kết quả cao nếu học sinh được hướng dẫn để biết cách độc lập giải quyết , nắm bắt thật vững vàng và sáng tạo lại những kiến thức đã học . Để đạt được điều đó , còn có nhiều vấn đề đặt ra đòi hỏi những giáo viên đứng lớp nói chung , giáo viên giảng dạy môn Toán nói riêng cần đầu tư và thực sự quan tâm để tìm ra hướng đi thích hợp , biết chọn lọc những kiến thức tiêu biểu kết hợp với phương pháp dạy học tích cực , thật sự phù hợp với đối tượng học sinh của mình nhằm đạt được kết quả cao nhất về dạy và học. b. Cơ sở thực tiễn: - Là giáo viên giảng dạy nhiều năm môn Toán khối 8 - 9 tôi nhận thấy học sinh thực sự lúng túng khi giải bài toán đố bằng cách lập phương trình, hệ phương trình . Nếu cho sẵn một phương trình (phương trình bậc nhất thông 1|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thường , phương trình chứa ẩn ở mẫu , phương trình tích …) để các em giải , hầu hết học sinh đều thực hiện được ; nhưng khi phải giải bài toán đố bằng cách lập phương trình , các em phải đứng trước khá nhiều đại lượng ẩn giấu sau các cách biểu hiện bằng các khái niệm ngoài toán học của đề bài nên các em thường bị bối rối không giải được . Loại toán này có nhiều dạng khác nhau và sau khi đọc đề một bài toán đố với cách diễn đạt thường là rối rắm cho đến khi lập được một phương trình của bài toán là một vấn đề rất khó khăn đối với học sinh trường chúng tôi . - Với sự hỗ trợ của SGK - SBT và thầy cô, bằng những phương pháp hướng dẫn , gợi ý thông thường HS không thể nào nắm được mối liên hệ bản chất toán học của bài toán . Do đó , sau khi đặt ẩn số những đại lượng liên quan đến ẩn số thường bị các em diễn đạt không chính xác hoặc sai hoàn toàn. Phải chăng, các em thiếu một cơ sở lý luận để nhìn vào là nhận ra ngay , thiếu một chỗ dựa vững chắc để giúp mình tự suy luận . - Vấn đề tiếp theo là cách sắp xếp các bước trong bài giải . Khi đã đặt xong ẩn số , các em rất lúng túng không biết đại lượng nào cần biểu thị trước , đại lượng nào biểu thị sau. Những sai sót vừa nêu trên thường sẽ dẫn đến một phương trình sai lệch hoàn toàn .Đứng trước trách nhiệm này , tôi nhận thấy sự cần thiết của một phương pháp mới giúp các em hiểu và giải được các dạng từ đơn giản đến phức tạp của dạng toán này . - Sách giáo khoa và các bài tập hướng dẫn hoàn toàn không có phương pháp giúp các em tư duy để tự giải , mà chỉ nêu trình tự và cách tiến hành các bước giải tương đối chi tiết . Nhưng vấn đề ở đây là làm thế nào để hiểu và giải được như sách . Chắc chắn không thể nào để học sinh tham khảo cách giải trong sách rồi bắt chước tự giải lại bài toán đó một cách độc lập được. - Chính vì vậy tôi đã giành thời gian để đọc tài liệu, nghiên cứu, trao đổi với các đồng nghiệp và đặc biệt là những kinh nghiệm sau 5 năm giảng dạy tôi mạnh dạn viết đề tài “Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ”. Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp học sinh tự giải được dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình một cách chủ động, tích cực. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài: Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng. 2|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình. Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh làm cho học sinh hứng thú khi học môn Toán. Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc sống. 3. Đối tượng nghiên cứu: +Học sinh lớp 8A3 (hs) - Trường THCS Trung Hưng năm học: 2016 - 2017 +Học sinh lớp 9A3 (hs) - Trường THCS Trung Hưng năm học: 2017 - 2018 4. Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra, theo dõi thực tế lớp học. - Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – các đề thi…). - Vận dụng thực hành trong giảng dạy. - So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm. 5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu: - Từ ngày 10 tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018. -Học sinh lớp 8A3; 9A3 và đội tuyển học sinh giỏi trường. 3|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình PHẦN II NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận của vấn đề “Lập phương trình đối với một bài toán cho trước là biện pháp cơ bản để áp dụng toán học vào khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Không có phương trình thì không có toán học, nó như phương tiện nhận thức tự nhiên”. (P.X.Alêkxanđơrôp) - Khi lập phương trình thì điều quan trọng nhất đối với học sinh là khai thác cho được mối liên hệ bản chất toán học của các đại lượng ẩn giấu sau các cách biểu hiện bên ngoài bằng các khái niệm ngoài toán học . - Theo phân phối chương trình môn toán THCS của bộ giáo dục thực hiện từ đầu năm học. Số tiết để dạy học giải các bài toán bằng cách lập phương trình là 4 tiết (2 tiết lý thuyết – 2 tiết luyện tập). Với thời lượng như vậy, việc học sinh có thể tự giải bài toán bằng cách lập phương trình ở bậc THCS là một vấn đề hết sức khó khăn và HS thấy rất mới lạ. Một bài toán là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng mà có một đại lượng chưa biết, cần tìm Yêu cầu học sinh phải phân tích, khái quát, tổng hợp liên kết các đại lượng với nhau từ đó học sinh phải tự lập phương trình để giải. Những bài toán này hầu hết nội dung của nó đều gắn liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội. Với phương pháp hướng dẫn thông thường , đại đa số học sinh sẽ tham khảo theo từng dạng bài rồi dựa theo đó rồi giải lại một cách rất máy móc . Nếu các em quên một thao tác nhỏ khi giải có thể dẫn tới bế tắc hoặc sai lầm cả bài . Nếu giáo viên Yêu cầu học sinh độc lập suy nghĩ tự giải không tham khảo bài mẫu thì thường là học sinh không thể giải nổi hoặc nếu người ra đề thay đổi một số tình huống trong đề bài so với bài tập mẫu thì lập tức học sinh bị sai sót theo rất nặng . Giáo viên hướng dẫn cần làm cho học sinh thấy được rằng : Dù là dạng toán nào, thực chất bài toán cũng chỉ được biểu thị bằng một tương quan toán học duy nhất , đó là một phương trình . Các đại lượng và các liên hệ đã cho trong bài toán đều tuân theo các mối liên quan tỉ lệ thuận , tỉ lệ nghịch và các quan hệ lớn hơn , nhỏ hơn của toán học . Do đó, khi lập phương trình , học sinh cần bình tĩnh cân nhắc cố gắng đi sâu vào thực chất của các quan hệ ; không băn khoăn , không bối rối với các cách diễn đạt thường là phức tạp của đề bài ; đồng thời cũng biết cách diễn giải những cụm từ như : lớn hơn, bé hơn, nhanh hơn , sớm hơn , tăng , giảm , vượt mức ... thành những tương quan toán học tương ứng với nội dung thực tế của đề bài . 4|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Đề tài “Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ”. tập trung chính ở việc cung cấp cho học sinh một phương pháp tóm đề mới dựa trên 3 cơ sở chính là thương quan tỉ lệ thuận , tương quan tỉ lệ nghịch và các quan hệ lớn hơn , nhỏ hơn của toán học để áp dụng cho các dạng toán mà các sách hướng dẫn xếp vào các loại khác nhau , giúp các em vượt qua những khó khăn khi phân tích đề , hiểu và giải được bài toán . Thay vì rất khó nhọc để lập được phương trình cho bài toán theo từng dạng khác nhau đó , với phương pháp tóm đề này , học sinh suy nghĩ tương đối nhẹ nhàng và dễ dàng hơn vì sau khi thực hiện xong phần tóm đề , tự khắc phương trình của bài toán sẽ hiện ra . Học sinh chỉ cần dựa vào đó mà thực hiện cách giải. 2. Thực trạng chung của vấn đề a. Về phía giáo viên Có thể khẳng định rằng đây là một trong những kiểu bài tương đối khó với giáo viên. Khó khăn trước hết là khó khăn về kiến thức, về phương pháp. Cái gì dạy mãi cũng thành quen mà quen thì dễ hơn. Nhưng với kiểu bài này giáo viên rất lúng túng về phương pháp. Chỉ trong 4 tiết dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình mà dung lượng kiến thức không ít, có rất nhiều dạng toán cần giải quyết. Giáo viên phải làm sao để có thể tải hết các nội dung kiến thức của bài cho HS tiếp thu một cách tích cực, tránh được sự giảng giải nhàm chán đều đều từ đầu đến cuối tiết học; vừa cuốn hút học sinh vào bài giảng và cuối cùng phải làm cho HS có thể tự giải được loại toán giải bài toán bằng cách lập phương trình. Qua trao đổi với nhiều GV dạy khối 8, phần lớn giáo viên cũng đều e ngại dạy kiểu bài này. Vậy nguyên nhân do đâu? Theo tôi, nguyên nhân chính là do giáo viên chưa tìm được phương pháp tối ưu, chưa thật sự đầu tư thời gian nhiều để suy nghĩ nhằm đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết và tốt nhất cho học sinh trong các tiết học. b. Về phía học sinh - Những chỉ dẫn rời rạc của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và hệ thống hóa được. Vì thế những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh, học sinh lại nhanh quên. Mặc dù trong SGK, SBT toán 8, toán 9 đã có một số bài tập giải mẫu các bài toán và một vài chỉ dẫn lập phương trình nhưng những hướng dẫn đó chưa cung cấp cho học sinh đầy đủ những cơ sở vững chắc để nắm vững cách giải các bài toán. - Theo tôi, nguyên nhân chính làm cho học sinh giải chưa tốt bài toán bằng cách lập phương trình, đó là: 5|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình + Học sinh còn yếu về kĩ năng, kĩ xảo ghi tóm tắt giả thiết bằng ký hiệu để giúp phân tích tổng hợp bài toán, giúp diễn tả rõ hơn mối quan hệ giữa các đại lượng đưa vào bài toán. + Nhiều học sinh khó hình dung được mối liên hệ phụ thuộc giữa các đại lượng đưa vào bài toán, không biết diễn tả mối phụ thuộc giữa các đại lượng đưa vào bài toán, không biết diễn tả mối phụ thuộc này bằng ký hiệu cho nên khó chuyển bằng lời sang ngôn ngữ toán học trừu tượng. + Một số học sinh không hiểu giải một bài toán là như thế nào. Vì thế không giải đầy đủ, không biết nghiệm của phương trình tìm được có là đáp số của bài toán này không. +Giáo viên ít chú ý tới cấu trúc của những bài toán phức hợp từ những bài toán cơ bản, cũng như ít phân tích các bài toán mà chỉ lo làm thế nào để giải xong bài toán. - Bên cạnh đó, một số học sinh biết cách giải thì không hoàn chỉnh nên không đạt điểm tối đa vì: + Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác. + Không biết cách chọn ẩn số như thế nào cho phù hợp. + Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình. + Lời giải thiếu tính chặt chẽ, thiếu đơn vị + Giải phương trình chưa đúng, quên đối chiếu điều kiện . . . Với những thực trạng như trên tôi đã tiến hành điều tra, thu thập số liệu cho việc nghiên cứu đề tài: * Khi học xong giải bài toán bằng cách lập phương trình, bản thân tôi còn dùng phương pháp trò chuyện gợi mở để thu thập thêm một số thông tin , phân loại đối tượng học sinh trong việc giải toán bằng cách lập phương trình . Bảng tổng hợp kết quả điều tra : (kết quả cuối năm của năm học trước) Năm học 2016-2017 40 18 22 Nội dung điều tra Tổng số học sinh Thích học Toán Không thích học Toán Có quyết tâm tìm hiểu phương pháp giải và mong muốn bản 18 thân tự giải được bài toán bằng cách lập phương trình . Biết giải phương trình đưa được về dạng ax2+bx+c =0 25 nhưng không thể lập được phương trình từ đề bài toán . Không thuộc các công thức về sự liên quan tỉ lệ thuận , tỉ lệ 25 6|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình nghịch ; về diện tích hoặc chu vi của các hình vuông , hình chữ nhật ... Không biết cách sắp xếp các bước trong quá trình giải toán 26 bằng cách lập phương trình . Không nắm được các mối liên hệ giữa các đại lượng từ đề 30 bài để lập phương trình . Có thể lập được phương trình , nhưng không hiểu và không 25 biết hướng giải đó đúng hay sai . Có thể lập được phương trình , có hiểu nhưng không dám 20 khẳng định là chắc chắn đúng . Có thể tự giải một bài toán dạng tương tự như dạng đã học 25 Tổng hợp được các mối liên hệ giữa các đại lượng của đề bài ; lập được phương trình , hiểu , giải thích được và tự giải 10 được bài toán bằng cách lập phương trình. 3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề: Để thực hiện tốt Yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài toán “Giải toán bằng cách lập phương trình” với thời lượng lên lớp (2 tiết lý thuyết, 2 tiết luyện tập ) là rất khó. Việc quan trọng nhất là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chọn lọc hệ thống câu hỏi phù hợp với trình độ học sinh (từ dễ đến khó) và có liên hệ đến thực tế. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây: 3.1 Yêu cầu về giải một bài toán: *Yêu cầu 1: lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, phương pháp suy luận và kĩ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lí chưa. Ví dụ: ( sgk đại số 8 ) Mẫu số của phân số gấp bốn lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử lẫn mẫu lên 2 1 đơn vị thì được phân số 2 . Tìm phân số đã cho? Hướng dẫn Nếu gọi tử số của phân số đã cho là x( điều kiện x > o, x N*) Thì mẫu số của phân số đã cho là 4x x2 Khi tăng tử số và mẫu số lên 2 đơn vị thì phân số mới là : 4 x  2 x2 1  Theo bài ra ta có phương trình: 4x  2 2 7|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình  2. ( x+ 2)= 4x + 2  2x + 4  2x = 2  x = 1 = 4x + 2 x = 1 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.1 = 4 1 Phân số đã cho là: 4 *Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Đó là quá trình thực hiện từng bước có lôgic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lí luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các giữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình từ đó tìm dược giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là giữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Từ đó mà xác định hướng đi, xây dựng được cách giải *Yêu cầu 3: lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện Giáo viên hướng dẫn học sinh không bỏ qua chi tiết nào. Không được thừa nhưng cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả bài toán vẫn luôn đúng. * Yêu cầu 4 : lời giải bài toán phải đơn giản. Bài toán phải đảm bảo 3 Yêu cầu trên không sai sót , không được thiếu. Có lập luận mang tính toàn diện Ví dụ: bài toán cổ “ Vừa gà vừa chó bó lại cho tròn ba mươi sáu con một trăm chân chẵn Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?” Hướng dẫn Với bài toán này nếu giải như sau: Gọi số gà là (x > 0 , x  n) Thì số chó sẽ là: 36-x (con) Gà có hai chân nên số chân gà là: 2x chân. Chó có bốn chân chó là: 4.(36-x) chân. Theo bài ra ta có phương trình:2x+4.(36-x)=100 8|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Giải phương trình ta được: x =22 thoả mãn điều kiện. Vậy có 22 con gà Số chó là: 36-22=14(con) Thì bài toán sẽ ngắn gọn, dễ hiểu. Nhưng có học sinh giải theo cách: Gọi số chân gà là x, suy ra số chân chó là 100-x x 100  x  36 4 Theo bài ra ta có phương trình: 2 Giải phương trình cũng được kết quả là 22 con gà và 14 con chó. Nhưng đã vô tình biến bài toán thành bài giải khó hiểu hoặc không phù hợp với trình độ của học sinh. * Yêu cầu 5 lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước. * Yêu cầu 6 :lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, nên kiểm tra lại kết quả lưu ý : Đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy phải rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần phải thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai 3.2.Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và các giai đoạn giải một bài toán: Phân loại bài toán giải bằng cách lập phương trình Trong số các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân loại thành các dạng như sau: 1/ Dạng 1 toán liên quan đến số học 2/ Dạng 2 bài toán về chuyển động 3/ Dạng 3 toán về công việc làm chung, làm riêng 4/ Dạng 4 toán có liên quan đến hình học 5/ Dạng 5 toán dân số, lãi suất, tăng trưởng. 6/Dạng 6: toán liên quan đến vật lý, hóa học và một số dạng khác Các giai đoạn giải một bài toán * Giai đoạn 1: đọc kĩ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán * Giai đoạn 2: nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn. * giải đoạn 3: lập phương trình 9|27 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được. * Giai đoạn 4: giải phương trình vận dụng các kĩ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình. *Giai đoạn 5: nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra bài toán, với thực tiễn xen có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán. * Giai đoạn 6: phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sửa khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bài toán khác bằng cách: - giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác. - giữ nguyên các giữ kiện thay đổi các yếu tố khác - giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất + Ví dụ (sgk đại số 8) nhà bác Hà thu hoạch được 480kg cà chua và khoai tây. Khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại? hướng dẫn giải * Giai đoạn 1 giả thiết khoai + cà chua = 480kg khoai = 3 lần cà chua Kết luận tìm khối lượng khoai? Khối lượng cà chua? *Giai đoạn 2: thường là điều chưa biết gọi là ẩn, nhưng ở bài này cả cà chua và khoai tây đều chưa biết nên có thể gọi ẩn là một trong hai loại đó. Cụ thể: gọi khối lượng khoai là x(kg), điều kiện x > 0 Thì khối lượng cà chua sẽ là: 489 – x(kg) *Giai đoạn 3: Vì khối lượng khoai gấp ba lần khối lượng cà chua nên ta có phương trình: x = 3.(480- x) * Giai đoạn 4: Giải phương trình bậc nhất trên ta được x =360(kg) *Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm với điều kiện đề ra xem mức độ thoả mãn hay không thoả mãn. Ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn. từ đó kết luận: khối lượng khoai đã thu hoạch được là 360(kg) khối lượng cà chua đã thu hoạch được là 480 – 360 = 120(kg) *Giai đoạn 6: nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn khác 10 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình nhau dẫn đến lập các phương trình khác nhau từ đó tìm cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất như đã trình bày ở trên Có thể từ bài toán trên xây dựng thành bài toán tương tự như sau: một phân số có tổng tử và mẫu là 480.biết rằng mẫu gấp ba lần tử số. Tìm phân số đó. Hoặc bài toán : tuổi của cha gấp ba lần tuổi của con, biết rằng tuổi của con bằng 12. Tìm tổng số tuổi của cả cha và con… 3.3/ Hướng dẫn học sinh tự tìm hiểu đề bài : đọc từng câu, từng chữ , suy nghĩ thật thấu đáo để nắm được đề bài và thông qua đó phải hiểu được ta đa xét đến đại lượng nào (kèm theo đơn vị phù hợp). Ví dụ :+ …Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h … hay mỗi giờ xe máy đi được 40km … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng vận tốc. + … tổng thời gian cả đi lẫn về mất 2 giờ 30 phút…hay thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 20 phút … thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng thời gian. + Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 90 km… thì học sinh phải hiểu ta đang xét về đại lượng quãng đường. + «... nên mỗi xe phải chở thêm 3 học sinh so với dự kiến ban đầu... » thì học sinh phải hiểu đang xét về số học sinh của mỗi xe . 3.4/ Rèn luyện kĩ năng lập phương trình : bằng cách luyện tập cho HS biến đổi ngôn ngữ trong để bài thành ngôn ngữ toán học cụ thể, dễ hiểu với phương trình bằng chữ. Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B rồi quay ngược trở về A, cả đi và về mất 3 giờ ... thì học sinh phải ghi được là : tđi + tvề = 3 . Đó là một phương trình lập được bằng những chữ mà học sinh nào cũng có thể thực hiện được . Nếu cần biến đổi tương đương , các em cũng dễ dàng đưa phương trình trên thành : tđi = 3 – tvề Lưu ý : Nếu ta gọi x là thời gian của ô tô lúc về (đại lượng chưa biết ở vế phải ) thì thời gian lúc đi của ô tô ( đại lượng chưa biết ở vế trái ) sẽ là : 3 – x ( toàn bộ vế phải ) . Học sinh dựa vào đó sẽ dễ dàng hình dung ra sự liên hệ giữa các đại lượng trong đề bài hơn . Vậy dựa vào phương trình vừa tóm tắt : tđi = 3 – tvề Học sinh có thể đặt : Gọi thời gian về từ B đến A là x(h) (ĐK: x < 3) Vậy thời gian đi từ A đến B là 3 – x (h ) 11 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Quan trọng nhất trong bước này là cho học sinh vận dụng các quan hệ lớn hơn , nhỏ hơn của toán học : nếu cần biểu diễn giá trị chênh lệch giữa hai đại lượng ta hướng dẫn học sinh thực hiện phép trừ với những phương trình bằng chữ dạng A – B = C , trong đó A là giá trị lớn hơn , B là giá trị nhỏ hơn và C là giá trị chênh lệch của hai đại lượng . Học sinh chỉ cần chú ý xem đại lượng nào lớn hơn , đại lượng nào nhỏ hơn để đặt vào cho thích hợp . Ví dụ 2: Đề bài Tóm tắt ... Ông của Bình hơn Bình Tuổiông – TuổiBình = 58 58 tuổi ...(bài 52 SBT/12) Biến đổi ( nếu cần ) Tuổiông =TuổiBình +58 ... Tốp trồng cây nhiều hơn HS tốp trồng cây – HS HS tốp trồng cây = tốp làm vệ sinh là 8 người. tốp làm VS = 8 HS tốp làm VS + 8 (bài 51SBT.12) 1 …biết thời gian về ít hơn đổi 30 phút = 2 (h) 1 thời gian đi là 30 phút… t đi – tvề = 2 …biết mỗi giờ xe máy chạy chậm hơn xe ô tô là 12 km . V ôtô – Vxe máy = 12 t đi 1 = tvề + 2 V ôtô = Vxe máy + 12 Trên cơ sở tóm tắt này , học sinh sẽ nhận biết và nắm vững rõ ràng hơn quan hệ giữa các đại lượng thông qua những hình tượng cụ thể trong những phương trình bằng chữ cô đọng đó và các em có đầy đủ cơ sở để phát hiện những sai lầm và phản bác lại các ý tưởng máy móc, ngộ nhận khi giải. 3.5/ Hướng dẫn học sinh thực hiện tóm tắt đề và giải được bài toán bằng cách lập phương trình. a/ Tóm tắt đề bài : - Sau khi đọc kỹ đề bài để nắm vững từng ý , ta đưa tất cả các nội dung của đề bài về những phương trình bằng chữ hoặc những số liệu cụ thể , nội dung nào đề bài đề cập trước : ta ghi nhận trước , nội dung nào được đề cập sau : ta ghi nhận sau . Cần tìm phần nào thì đánh dấu hỏi ở phần đó và chú ý không được bỏ sót bất kỳ nội dung nào . 12 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Khi tóm đề xong, ta thường gặp đầy đủ hai phương trình bằng chữ . Nếu chưa đủ, ta nên suy nghĩ thêm để tìm cho được một phương trình nữa có thể đang ẩn chứa sau đề bài . - Đề bài Yêu cầu tìm đại lượng nào , nếu đại lương đó chưa nằm ở vế phải của một phương trình nào cả , ta có thể chọn phương trình có chứa đại lượng cần tìm đó và biến đổi (sao cho vế trái chỉ còn hiện diện một đại lượng duy nhất) để làm phương trình trung gian. Phương trình còn lại không cần biến đổi sẽ là phương trình chính thức của bài toán . b. Giải toán : Đầu tiên , thông thường ta nên đặt ẩn số là đại lượng chưa biết nằm bên trái của phương trình trung gian . Đại lượng trực tiếp liên quan đến ẩn số là toàn bộ phương trình trung gian này . Lần lượt giải quyết từng đại lượng trong phương trình chính thức của bài toán theo đúng thứ tự từ trái sang phải của phương trình chính thức trong phần tóm đề . Cuối cùng , dựa vào phương trình chính thức trong tóm đề , ta sẽ lập được phương trình của bài toán . Lưu ý : Tất cả các thao tác của phần tóm đề này , học sinh sẽ ghi nhận ở phần giấy nháp với thời gian từ 2 đến 4 phút . Tóm tắt xong đề bài đồng nghĩa với việc đã xác định được phương trình chính thức của bài toán . Sau đó , học sinh có thể dựa vào thứ tự của phần tóm đề này mà sắp xếp các ý để trình bày phần giải toán vào vở học . 3. 6/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em về nhà thực hiện. Tiết học sau thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng câu văn, phép tính. Đây là một việc làm không quá khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc. Lưu ý: hệ thống bài tập cũng phải được sắp xếp từ dễ đến khó. 4.Bài tập minh họa Dạng 1: toán về quan hệ các số. Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a  b ( víi 03; Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h). 10 10 x(km) Trong 3 giờ 20 phút (= 3 giờ) xe máy thứ nhất đi được 3 11 11 (x  3)(km) 3 3 Trong 3 giờ 40 phút (= giờ) xe máy thứ nhất đi được Đó là quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình nên ta có phương trình 10 11 x  (x  3)  x 33(tm) 3 3 Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h. Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h. Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km. Ví dụ 2: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ. Giải: Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0. Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h). 240 Thời gian ô tô đi hết quãng đường đầu là (giờ) : x 280 Thời gian ô tô đi hết quãng đường đầu là (giờ) : x  10 15 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Vì thời gian ô tô đi hết quãng đường là 8 giờ nên ta có phương trình 240 280  8 x x  10  x 2  55x  300 0   x  60   x  5 0  x 60(tm)   x  5(ktm) Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h. Bài tập tự làm : 1. Một ô tô khởi hành từ a với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ a đi cùng hướng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách a bao nhiêu km? 2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngược dòng 30 km. Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngược dòng là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng? 3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ a đến b cách nhau 150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến b trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi ô tô. 4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông. Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm 1 được x công việc. - Xem toàn bộ công việc là 1 Ví dụ: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc? Giải : 35 Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 12 ; giờ) Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) 16 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình 1 c«ng viÖc Mỗi giờ đội 1 làm được x 1 c«ng viÖc x  2 Mỗi giờ đội 2 làm được 11 35  Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút = 12 12 (giờ) xong. 2 12 Trong 1 giờ cả hai đội làm được 35 công việc 1 1 12   Theo bài ra ta có phương trình x x  2 35  35x  70  35 12x 2  24x  12x 2  46x  70 0  6x 2  23x  35 0  6x 2  30x  7x  35 0  (x  5)(6x  7) 0  x 5(tm)  7  x  (ktm) 6  Ta có Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ. Chú ý: + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai. + Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải. Bài tâp vận dụng: 1. Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc? 2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu xong công việc đó? 3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc? 17 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình 4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. Ở mỗi bình có một vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau. Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ. Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước. Kết quả: 1) người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ. 2) tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ. 3) đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày. 4) mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 75 lít. Dạng 4: toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - diện tích hình chữ nhật s = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài) 1 S  x.y 2 - diện tích tam giác ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) - độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông) n(n  3) 2 - số đường chéo của một đa giác (n là số đỉnh) Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2 , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2. Giải: Gọi chiều dài của hình chữ nhật x (cm; x > 0). 40 Thì chiều rộng của hình chữ nhật là x Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì 40 3 Chiều dài của hình chữ nhật x+3 chiều rộng của hình chữ nhật x 40 3 Diện tích hình chữ nhật là ( x )(x+3) theo bài ra ta có pt (x  3)( 40  3) 88  40x  120  3x 2  9x  88x 0 x  x 5  3x 2  39x  120 0  x 2  13x  40 0  (x  5)(x  8) 0    x 8 18 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm) Ví dụ 2: cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m) (0< x< 5) cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m) Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 (x-3)(x+4)=0x=3(tm) hoặc x=-4(loại) Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m. Bài tập : Bài 1: một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi Bài 3: một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? Bài 4 một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đường lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường bằng diện tích hình thang. Đáp số: Bài 1: diện tích hình chữ nhật là 60 m2 Bài 2: diện tích hình chữ nhật là 3750 m2 Bài 3: đa giác có 10 đỉnh Bài 4 chiều rộng của đoạn đường là 5 m. Dạng 5: toán dân số, lãi suất, tăng trưởng Những kiến thức cần nhớ : x + x% = 100 + dân số tỉnh a năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh a là: a+a. x 100 + Số dân năm sau là : Ví dụ 1: bài 42 – sgk tr 58 (a+a. x x x )  (a+a. ). 100 100 100 19 | 2 7 Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Gọi lãi suất cho vay là x (%),đk: x > 0 2000000. x 20000 100 (đồng) Tiền lãi suất sau 1 năm là sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng) (2000000  20000 x ). x 20000 x  200 x 2 (®ång) 100 Riêng tiền lãi năm thứ hai là Số tiền sau hai năm bác thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x 2 (đồng) = 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo bài ra ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 = 0 . Giải phương trình ta được x1 = 10 (thoả món); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay là 10 % trong một năm. Ví dụ 2: theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đó sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đó hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu. giải Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sp), đk: x  Z ; x  600 . Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm).  18 Số sản phẩm vượt mức của tổ I là 100 (sản phẩm). 21 (600  x ). 100 (sản phẩm). Số sản phẩm vượt mức của tổ II là x. Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600  x )  120 100 100  x = 200 (thoả mãn) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: dân số của Thành Phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lên 2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm. Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác an phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm? 20 | 2 7