HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN LỚP 10
Ngày thi: 21 tháng 4 năm 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
3
3
2
x y 3 y 9
2
2
x y x 4 y
Câu 2 (4 điểm): Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3 .
Chứng minh bất đẳng thức:
x2
x3 8
y2
y3 8
z2
z3 8
1.
Câu 3 (4 điểm): Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta
dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C1 là giao
điểm của CG và MP. Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N,
CGB2P là các hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A2, B2, C2
tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy.
Câu 4 (4 điểm): Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 m 12n 3 n .
Chứng minh rằng m n là lập phương của một số nguyên.
Câu 5 (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ
(x; y) với x, y R* và x 12; y 12. Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba
màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và
được tô cùng màu.
………………………. HẾT …………………….
Câu
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán 10
Nội dung
3
x y 3 3 y 2 9 1
Giải hệ phương trình: 2
2
x y x 4 y 2
Điểm
4 điểm
Hệ phương trình tương đương:
1,0
x3 y 3 3 y 2 9
x 3 y 3 3 y 2 3( x 2 y 2 ) 9 3( x 4 y )
2
2
3 x y 3 x 4 y
x3 3 x 2 3 x 1 y 3 6 y 2 12 y 8
0,5
( x 1)3 ( y 2)3 x 1 y 2 x y 3
0,5
Thế vào phương trình (2) ta thu được: 2 y 2 9 y 6 0
0,5
0,5
9 33
y
4
9 33
y
4
Với y
9 33
9 33 3 33
x 3
4
4
4
0,5
Với y
9 33
9 33 3 33
x 3
4
4
4
0,5
Vậy phương trình có hai nghiệm:
3 33 9 33
;
;
4
4
x; y
2
3 33 9 33
;
4
4
x; y
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3 .
Chứng minh bất đẳng thức:
x2
3
x 8
y2
3
y 8
z2
3
4 điểm
1.
z 8
Theo bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có:
( x 2) ( x 2 2 x 4) x 2 x 6
3
2
x 8 ( x 2)( x 2 x 4)
2
2
x2
2x2
2
x3 8 x x 6
1,0
Tương tự, ta cũng có
y2
2 y2
2
;
y3 8 y y 6
z2
2z2
2
.
z3 8 z z 6
Từ đó suy ra:
x2
y2
z2
2 x2
2 y2
2z2
2
2
2
. (1)
x3 8
y3 8
z3 8 x x 6 y y 6 z z 6
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
2 x2
2 y2
2z2
2( x y z ) 2
(2)
x 2 x 6 y 2 y 6 z 2 z 6 x 2 y 2 z 2 ( x y z ) 18
Ta chứng minh:
2( x y z ) 2
1 3
x 2 y 2 z 2 ( x y z ) 18
Thật vậy:
Ta có:
x 2 y 2 z 2 ( x y z ) 18
0,5
0,5
1,0
0,5
2
x y z x y z 2 xy yz zx 18
2
x y z x y z 12 0
Nên 3 2( x y z ) 2 x 2 y 2 z 2 ( x y z ) 18
x2 y 2 z 2 x y z 6
Mặt khác, do x, y, z là các số dương nên ta có:
x 2 y 2 z 2 xy yz zx
0,5
x y z 3( xy yz zx)
Mà xy yz zx 3 nên bất đẳng thức (3) đúng.
Từ (1), (2) và (3), ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 .
3
Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các 4 điểm
hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE;
C1 là giao điểm của CG và MP. Ta xác định các điểm A2, B2, C2 sao cho
AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành. Chứng minh rằng các
đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1
đồng quy.
Q
A1
F
B2
P
A
C2
E
G
B
I
C
C1
B1
A2
M
N
Gọi I là trung điểm của BC. Ta có:
uuur uur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
0,5
FQ.AI= FA+AQ AB+AC = FA.AB+FA.AC+AQ.AB+AQ.AC
2
2
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
1
1
·
·
=
0-AF.AC+AQ.AB+0 = -AF.AC.cosFAC+AQ.AB.cosQAB
=0
2
2
1,0
0 µ
·
·
Do AF = AC, AQ = AB, FAC=QAB=90
+A
FQ AI hay FQ A1G 1 .
4
Ta có CGB2P là hình bình hành nên GB2 song song và bằng CP nên GB2
song song và bằng AQ, suy ra AQB2G là hình bình hành, vậy có QB2
song song và bằng AG. Suy ra QB2 song song và bằng FC2, nên FQB2C2
là hình bình hành, hay FQ song song với B2C2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra A1G B2C 2 .
Tương tự cũng có B1G A 2C 2 , C1G A 2 B2 .
Vậy các đường thẳng đi qua A1, B1, C1 tương ứng vuông góc với
B2C2 ,C2 A 2 ,A 2 B2 đồng quy tại G nên theo hệ quả của định lí Cácnô ta có
các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với
B1C1 ,C1A1 ,A1B1 cũng đồng quy.
Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 m 12n 3 n .
1,0
0,5
1,0
4 điểm
Chứng minh rằng m n là lập phương của một số nguyên.
Ta có: 4m3 m 12n 3 n 4 m3 n 3 m n 8n 3
m n 4m 2 4mn 4n 2 1 8n 3 1
Giả sử p là một ước nguyên tố chung của m n và 4m 2 4mn 4n 2 1
Do 4m 2 4mn 4n 2 1 là số lẻ nên p là số lẻ.
1,0
0,5
p mM
p
p mà p là số nguyên tố lẻ n M
Từ (1) suy ra 8n 3 M
0,5
Mặt khác p là ước của 4m 2 4mn 4n 2 1 p 1 (vô lí)
0,5
do đó m n và 4m 2 4mn 4n 2 1 không có ước nguyên tố chung, suy
0,5
ra m n, 4m 2 4mn 4n 2 1 1 .
3
Do 8n 3 2n , suy ra m – n là lập phương của một số nguyên.
5
1,0
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ (x; y) với x, y
¥ * và x 12; y 12. Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba màu: 4 điểm
màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc
M và được tô cùng màu.
Tập M có 144 điểm được tô bằng 3 màu nên tồn tại 1 màu tô được tô ở không
ít hơn
0,5
144
48 điểm.
3
Ta chọn trong các điểm của M đúng 48 điểm được tô cùng một màu. Chia các
điểm của M thành 12 hàng (các điểm có cùng tung độ) và 12 cột (các điểm có
cùng hoành độ). Gọi ai (i = 1,…,12) là số điểm trong 48 điểm được chọn có
0,5
12
trong một cột thứ i suy ra:
a
i
48
i 1
Khi đó, số cặp điểm được chọn trong cột thứ i là:
a i (a i 1)
2
a a 1
số cặp điểm có hoành độ trùng nhau là: i i
2
i 1
12
12 2
a
i
12
12
12
12
a a 1
Ta có: i i 1 a i2 a i 1 i1 a i 72
2 12
2
2 i1
i 1
i 1
i 1
0,5
1,0
Vì mỗi cặp được chọn trong cùng một cột tương ứng với một cặp hàng trong
đó các điểm trong một hàng có cùng tung độ.
2
66
Số các cặp hàng khác nhau là: C12
1,0
Vì 72 > 66 nên luôn tìm được hai cặp điểm nằm trên 1 cặp hàng.
Vậy luôn tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ 0,5
và có 4 đỉnh tô cùng một màu.
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT TÂN KỲ
***
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán - Khối 10
( Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1: (6 điểm) Cho f ( x ) x 2 2m 1x m 1
a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x ) mx m 2 1 có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình: f x 0 nhận mọi x R làm nghiệm.
Câu 2: ( 6 điểm )
2
a) Giải phương trình: x 2. 7 x 2. x 1 x 8 x 7 1 .
xy y 2 2 y x 1 y 1 x
b) Giải hệ phương trình:
3. 6 y 3. 2 x 3 y 7 2 x 7
Câu 3: ( 6 điểm )
a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA 2.MC , N thuộc BM sao cho
NB 3.NM , P thuộc BC sao cho PB k .PC . Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm
của đoạn HD. Giả sử H 1;3 , phương trình đường thẳng AE : 4 x y 3 0 và
5
C ; 4 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
2
Câu 4: (2 điểm)
2
2
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x y 1 .
4 x 2 2 xy 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
2 xy 2 y 2 3
…………………Hết…………………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm.
1
Đáp án và biểu điểm
Câu
1
Đáp án
Điểm
Cho f ( x) x 2 2m 1x m 1
a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x) mx m 2 1 có hai
nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình f x 0 nhận mọi x R
làm nghiệm.
a)
(3 điểm)
f ( x) mx m 2 1 x 2 3m 2 x m 2 m 2 0
1
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và khi
0.5
1.0
m2 m 2 0
b)
(3 điểm)
2
m 2
m 1
1.0
Kết luận: …
0.5
Bất phương trình f x 0 nhận mọi x R làm nghiệm
khi và chỉ khi ' 0 vì hệ số a = 1 > 0
0.5
' 0 m 2 3m 0
1.0
3 m 0
1.0
Kết luận:...
0.5
a) Giải phương trình: x 2. 7 x 2. x 1 x 2 8 x 7 1 .
xy y 2 2 y x 1 y 1 x 1
b) Giải hệ phương trình:
3. 6 y 3. 2 x 3 y 7 2 x 7 2
a
(3 điểm)
Điều kiện: x 1;7
pt x 1
0.5
x 17 x 2
x 1 7 x
7 x x 1 0
0.5
0.5
x 1 2 0
0.5
x 1 7 x
x 1 2
2
b
(3 điểm)
x 4
x 5
0.5
So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...
0.5
1 y 6
Điều kiện: x 0
(*)
2 x 3 y 7 0
0.5
Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên
0.5
pt 1 y x y 1 y x 1
3
y x 1
y 1 x
1
0
(x y 1) y 1
y
1
x
0.25
x y 1 0 y x 1 (do điều kiện (*))
0.25
Thay vào PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7 (3)
ĐK: 4 / 5 x 5
0.25
(3) (7 x) 3 5 x 3(x 5x 4 ) 0
0.25
1
3
(4 5x+x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
0.25
x 1 y 2
x 2 5x+ 4 0
x 4 y 5
0.25
So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...
0.5
a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA 2.MC , N
thuộc BM sao cho NB 3.NM , P thuộc BC sao cho PB k .PC .
Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A,
B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên
đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử H 1;3 ,
5
phương trình đường thẳng AE : 4 x y 3 0 và C ; 4 . Tìm tọa
2
độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.
3
a)
A
(3 điểm)
M
N
B
P
C
Ta có:
NB 3.NM AB AN 3. AM AN AB 3. AM 4. AN
1
1
AB . AC
4
2
AN
1
PB k .PC AB AP k AC AP AB k . AC 1 k AP (k 1)
AP
0.5
1
k
AB
AC
1 k
1 k
0.5
0.5
2
Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi
0.5
h
1
1 k 4
AP h. AN
k h
1 k 2
k 2
0.5
Kết luận: ...
0.5
b)
C
B
(3 điểm)
H
I
K
E
D
A
- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt
AB tại I
Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE.
+) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và
1
AD hay KE song song và bằng BC
2
Do đó: CE AE CE: 2x - 8y + 27 = 0
0.5
KE
3
2
Mà E AE CE E ;3 , mặt khác E là trung điểm của HD nên
4
0.5
0.5
D 2;3
4
(2 điểm)
- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1).
0.5
- Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3).
0.5
KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3)
0.5
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 2 y 2 1 .
4 x 2 2 xy 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
2 xy 2 y 2 3
3 x 2 2 xy y 2
Từ giả thiết suy ra: P
2 xy y 2 3x 2
Với y = 0 thì P = 1 (1)
0.5
2
Với y 0 ta có: P
3t 2t 1
3t 2 2t 1
3P 3t 2 2P 1t P 1 0
*
Phương trình (*) không có nghiệm khi P = 1
0.5
Khi P 1
' P 1 2 P 4 0 2 P 1
(2)
0.5
Kết hợp (1) và (2): P 2;1
Suy ra: MinP = - 2 khi x
10
3 10
;y
10
10
MaxP = 1 khi x 1; y 0
Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.
5
0.5
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT VTC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013- 2014
Môn thi : TOÁN LỚP : 10
Thời gian : 120 ‘ ( Không kế thời gian giao đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 : Giải các phương trình :
a, |4 − 9| = 3 – 2x
b, √5 + 6 = x – 6
Bài 2 : Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp :
a, Chu vi là 94,4 m ; diện tích là 494,55
b, Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089
Bài 3 : Cho hàm số :
=
(
)(
)
a, Lập bảng xét dấu biểu thức trên.
b, Áp dụng giải bất phương trình :
(
)(
)
≤0
Bài 4 : Cho ⃗ = (2 ; 1), ⃗ = (3; −4);
⃗ = (-7 ; 2)
a, Tìm tọa độ vectơ ⃗ = 3 ⃗ + 2 ⃗ – 4 ⃗
b, Tìm tọa độ vectơ ⃗ sao cho ⃗ + ⃗ = ⃗ - ⃗
c, Tìm các số k và h sao cho ⃗ = k ⃗ + h ⃗
Bài 5 : Tam giác ABC có các cạnh : a = 13m , b = 14m , c =15m
a, Tính diện tích tam giác ABC.
b, Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
-----------------Hết ----------------
Họ tên thí sinh …………………………..
Số báo danh :……………
ĐÁP ÁN
TT
Nội dung
Câu 1
(4đ)
a, |4 − 9| = 3 – 2x , ĐK : x
4x -9 =3 -2x x = 2
4x -9 =2x – 3 x = 3
Pt vô nghiệm
Điểm
≤
(loại)
(loại)
2đ
b, √5 + 6 = x – 6 , Đk : x ≥ 6
5x +6 =
– 12x + 36
– 17x + 30 = 0
x= 15 (tm)và x =2(loại)
Pt có nghiệm x=15.
Câu 2
(3đ)
Câu 3
(4đ)
2đ
Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a, b, (a, b >0 ). Theo bài ra ta có :
a, 2(a+b) =94,4 ;
a.b = 494.55
a = 31,5m và b= 15,7m
1,5đ
b, a – b = 12,1 ; a.b = 1089
a= 39,6m và b= 27,5m.
1,5đ
a, Bảng xét dấu.
x
2x -3
x+5
2-x
f(x)
-∞
+
+
-5
I
0
I
0
3/2
- 0
+ I
+ I
- 0
+
+
+
+
2
I
I
0
II
+∞
+
+
1đ
Kết luận : f(x) > 0 x ∈ (-∞ ; -5) ∪ (3/2 ; 2)
f(x) < 0 x ∈ (-5; 3/2) ∪ (2 ; +∞)
f(x) = 0 x = -5 và x= 3/2.
f(x) không xác định khi x =2.
1đ
b, Dựa vào bảng xét dấu trên ta có ngay :
(
)(
)
≤ 0 x ∈[-5; 3/2] ∪ (2 ; +∞)
2đ
Câu 4
(5đ)
Câu 5
(4đ)
⃗ = (2 ; 1), ⃗ = (3; −4);
⃗ = (-7 ; 2)
a, Ta có ⃗ = 3 ⃗ + 2 ⃗ – 4 ⃗ = 3(2 ; 1) + 2(3; −4) - 4(-7 ; 2)
= (6;3) + (6; -8) – (-28 ; 8)
= (6 +6 +28; 3 -8 -8)
⃗ = (40 ; -13)
b,Ta có ⃗ + ⃗ = ⃗ - ⃗ ⃗ = ⃗ - ⃗ - ⃗ = (3; −4) - (-7 ; 2) - (2 ; 1)
⃗ = (3 + 7 – 2 ; -4 -2 -1) =(8 ;-7)
2đ
c, Ta có ⃗ = k ⃗ + h ⃗ (-7 ; 2) = k (2 ; 1) + h (3; −4)
(-7 ; 2) = (2k + 3h ; k -4h)
Vậy : 2k + 3h = -7
và
k - 4h
= 2
k = -2; h = -1
1đ
a, Ta có : P =
=
= 21
Áp dụng công thức Hê- rông.
S=
( − )( − )( − ) = √21.8.7.6 = 84
b, Áp dụng công thức S = pr ta có r =
2đ
=4
=
Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r =4m
Từ công thức S =
=> R =
2đ
=
.
.
.
= 8,125m
2đ
Đề thi toán lớp 10 dành cho học sinh giỏi
ĐỀ SỐ 104
Bài 1: Cho các biểu thức
x 1
x 1
1
. x
A =
x 1
x 1
x
B=
x
1 1 x
a) Tìm x để A và B có nghĩa
b) Tìm giá tị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của B
c) Với giá trị nào của x thì A = B
Bài 2: Cho hàm số y = -2.x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (Dk) : y = - k.x + k .
Định k để (Dk)
a) Không cắt (P)
b) Cắt (P)
c) Tiếp xúc với (P) .Tìm tọa độ tiếp điểm trong trường hợp này
Bài 3: Lấy một số tự nhiên có hai chữ số chia cho số viết bởi hai chữ số ấy có thứ
tự ngược lại thì được một số bằng tổng bình phương của mỗi chữ số đó .Tìm số tự
nhiên đó
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) .M là điểm di động trên cung
lớn BC , từ M dựng đường vuông góc với AB ,BC và AC lần lược tại H, K ,P
.Chứng minh :
a) BKMH nội tiếp
b) Tam giác MHK đồng dạng tam giác MAC
c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Giải phương trình :
c
4x
5x
2
1
x 8 x 7 x 10 x 7
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho hàm số y x 2 3x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các hàm
số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của
đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
1
b) Giải bất phương trình:
2
x 4x 3
1
0
2x 4
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . Đường thẳng
là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0 ; Khoảng cách từ C
đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục
tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM
3
và CN của tam giác. Chứng minh rằng sin
5
Câu 3 (2,5 điểm)
2
3
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD BC;
1
AE AC . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
4
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I
thỏa mãn hệ thức: b2 IB c2 IC 2a 2 IA 0 ; Tìm điểm M sao cho biểu thức
( b2 MB2 c2 MC2 2a 2 MA 2 ) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: 1 6 x 2 2 x 2 1 2 5 x 2 4 x
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . Chứng minh rằng:
1 1 x2 1 1 y2 1 1 z 2
xyz .
x
y
z
…………………Hết………………….
Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………………
Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Câu Ý
Nội dung
Điểm
2
Cho hàm số y x 3 x 2 và hàm số y x m . Tìm m để đồ thị các
1 a hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của đoạn 1,25
thẳng AB cách đều các trục tọa độ.
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt
x 2 3x 2 x m hay x 2 2 x 2 m 0 (*)có ' 0 m>1
x xB
Gọi x A ; x B là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có x I A
1;
2
yI x I m m 1
Yêu cầu bài toán y I x I
b
0,25
0,25
m 1 1 m 2; m 0
0,25
0,25
Kết hợp ĐK, kết luận m 2
0,25
1
Giải bất phương trình:
2
x 4x 3
1
0 (1)
2x 4
x 2 4 x 3 0
TXĐ:
1 x 2;2 x 3
x 2
1
(1)
2
x 4x 3
1,25
0,25
1
2x 4
Nếu 1 x 2 thì x 2 4 x 3 0 2 x 4 , bất phương trình nghiệm đúng
với mọi x: 1 x 2
2 x 4 0
Nếu 2 x 3
2
x 4 x 3 0
0,25
0,25
2
bất pt đã cho 2x 4 x 4x 3
2
4 x 2 16 x 16 x 2 4 x 3 5 x 2 20 x 19 0
0,25
5
5
x 2
;x 2
5
5
5
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 2
x3
5
0,25
5
Tập nghiệm của bpt đã cho: (1;2) (2
;3)
5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . Đường thẳng là
đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x y 1 0 ; khoảng cách
a từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C 1,25
nằm trên trục tung.
D(B; )=
3
5
; C(0:y0) ; D(C; )=
y0 1
5
, theo bài ra ta có
0,25
y0 1
5
9
y 0 10; y 0 8
5
Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với suy ra C(0;-8)
0,25
Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua thì B’nằm trên AC.
Do BB' u (1; 2) nên ta có: a 2b 3 0 ;
0,25
Trung điểm I của BB’ phải thuộc nên có: 2a b 2 0
Từ đó ta có: a= -7/5; b=4/5
3
Theo định lý Ta - Let suy ra CA CB '
2
0,25
7 44
A(x; y);CA x; y 8 ; CB' ;
5 5
21 26
Từ đó suy ra A(
; ) ;C(0;-8)
0,25
10 5
Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung
1,25
b tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng sin 3
5
Gọi a, b và c tương ứng là độ dài
các cạnh đối diện các góc A, B và C
c2
của tam giác. Có CN 2 b 2
4
2
b
BM 2 c2
4
B
N
G
0,25
C
A
M
BG 2 CG 2 BC 2
2BG.CG
2
2
2(b c )
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có cos BGC
=
Có
2(b 2 c2 )
(4c 2 b 2 )(4b2 c 2 )
; Do đó cos
(4c2 b 2 )(4b 2 c2 )
Do đó cos
(4c2 b 2 )(4b 2 c2 )
Hay sin 1 cos 2
3
a
(4c2 b 2 )(4b 2 c2 )
5(b2 c 2 )
;" " 4c2 b 2 4b 2 c2 b c
2
2(b 2 c2 )
0,25
2(b 2 c2 ).2 4
5(b 2 c2 )
5
3
. Dấu bằng có khi tam giác vuông cân đỉnh A
5
2 1
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD BC; AE AC . Tìm
3
4
vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
1,25
1 1 3
Vì AE AC BE BC BA(1)
4
4
4
Giả sử AK x.AD BK x.BD (1 x)BA
A
E
K
D
B
3
0,25
C
2
2x
Mà BD BC nên AK x.AD BK
BD (1 x)BA
3
3
Vì B, K, E thẳng hàng(B E ) nên có m sao cho BK mBE
m 3m 2x
Do đó có: BC
BA
BC (1 x)BA
4
4
3
m
2x
3m
Hay
BC 1 x
BA 0
4
4 3
Do BC; BA không cùng phương nên
m 2x
3m
1
8
0 &1 x
0 Từ đó suy ra x ; m
4 3
4
3
9
1
Vậy AK AD
3
Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c.
b Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: 2a 2 IA b2 IB c2 IC 0 ; Tìm điểm M: biểu
thức 2a 2 MA 2 b 2 MB2 c 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
b 2 .BH c2 .CH . Do đó:
H
0,25
0,25
0,25
1,25
Kẻ đường cao AH, ta có
b 2 a.CH;c 2 a.BH nên
A
B
0,25
C
0,25
b2 .BH c 2 .CH 0
Suy ra b2 .IB c 2 .IC b2 .IH c 2 .IH a 2 .IH
Kết hợp giả thiết suy ra 2a 2 .IA a 2 .IH hay 2.IA IH
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA y.IB z.IC 0 (*) bình phương vô hướng 2 vế
(*), chú ý rằng 2IA.IB IA 2 IB2 AB2 ta có:
(x.IA 2 y.IB2 z.IC2 )(x y z) xyc 2 xzb 2 yza 2
Từ đó có (2a 2 .IA 2 b 2 .IB2 c2 .IC 2 ) 3b 2c2
0,25
0,25
0,25
- Xem thêm -