Mô tả:
BÀI 3:
Nhắc lại các quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x)
tại điểm x tùy ý ằng định nghĩa ?
Gồm các bước sau:
+ Giả sử
x
là số gia của đối số tại x. Ta có:
y f ( x0 x) f ( x0 ) ?
y
y
lim
+ Lập tỉ số x x0 x ?
+ Kết luận
Dùng định nghĩa hãy
tính đạo hàm của
hàm số y = sinx tại
mọi điểm x thuộc R
Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm
số y = sinx tại mọi điểm x thuộc R
Giải:
+ Giả sử x là số gia của đối số tại x. Ta có:
y f ( x x) f ( x) sin( x x) sin x
x x x x x x
x
x
2cos
sin
2cos x
.sin
2
2
2
2
+
x
x
x
2cos x .sin
sin
x
y
2
2
2
2cos x
.
Lập tỉ số x
x
2 x
x
sin
y lim 2.cos x x . 2
lim
x 0
2
x
x 0 x
Ta có: lim cos x x cos x;
x 0
2
x
sin
2
lim 2
x 0
x
?
Tính giới
hạn này
như thế
nào ?
sin x
1. Giới hạn của
x
Tính :
sin 0,01
0,9999833334
0,01
sin 0, 001
0,9999998333
0, 001
sin 0,0001
0,9999999983
0,0001
Ta thừa nhận định lý:
Định lí 1:
sin x
lim
x 0
Mở rộng:
x
1
sin u ( x)
lim
1
x 0
u ( x)
Khi x 0 thì
u( x) 0
1. Giới hạn của sin x
x
tan x
Ví dụ 1: Tính lim
x 0
x
Giải:
Ta có
sin x
1
tan x
sin x 1
lim
.
lim
.lim
1.1 1
x0
x 0
x
0
x
x cos x
x x0 cos x
lim
sin 2 x
x 0
x
Ví dụ 2: Tính lim
Giải:
Ta có
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
lim 2.
2.1 2
2lim
x 0
x
0
x
0
x
2x
2x
lim
Dùng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm
số y = sinx tại mọi điểm x thuộc R
Giải:
+ Giả sử x là số gia của đối số tại x. Ta có:
y f ( x x) f ( x) sin( x x) sin x
x x x x x x
x
x
2cos
2
c
os
x
.sin
sin
2
2
2
2
+
x
x
x
2cos x
.sin
sin
x
y
2
2
2
2
c
os
x
.
Lập tỉ số x
x
2 x
x
x
sin
sin
x
y
x
2
2
lim cos x . lim 2.
lim 2.cos x
lim
.
x 0
x 0
x 0
x 0 x
2
x
2
x
Vì: lim cos x
x 0
x
cos x;
2
y
cos x.1 cos x
x 0 x
lim
x
x
x
sin
sin
sin
2 lim 2.
2 lim
2 1
lim 2.
x 0
x x 0 2.x x0 x
2
2
Vậy
y ' (sin x)' cos x
2. Đạo hàm của hàm số y sin x
Định lí 2:
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x R và
(sin x)' cos x
Nếu y = sinu và u = u(x) thì :
(sin u)' u '.cos u
2. Đạo hàm của hàm số y sin x
y
sin
3
x
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số
5
Giải:
Đặt u 3x
thì y = sinu
5
ux' 3
'
yu cos u
Ta có:
y y .u 3cos 3x
5
'
x
'
u
'
x
Một số ví dụ
3x
sin
2
1/ Tính: lim
x0
x
2/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
2
y
2sin
3
x
a/
b/ y sin x
Ví dụ về giới hạn
sin x
x
3x
sin
2
1/Tính: lim
x0
x
Giải:
3x
3x
3x
sin
sin
sin
3
3
3
2
2
2
.lim
.1
lim
lim
x 0
x 0 2 3 x
2 x 0 3 x
2
2
x
.
2
3 2
Ví dụ về đạo hàm của hàm số y = sinx
2/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a/ y 2 sin 3x 2
Giải:
'
'
y ' 2 sin 3x 2 2. 3x 2 .cos 3x 2 12 x.cos 3x 2
b/ y sin x
Giải:
x .cos
'
y ' sin x
1
2 x
cos x
'
x
Ghi nhớ
sin x
lim
1
x 0
x
sin u ( x)
lim
1
x 0
u ( x)
Khi x 0 thì u( x) 0
(sin x)' cos x
Với u = u(x) thì:
(sin u)' u '.cos u
- Xem thêm -