Tuyển tập các đề thi đại học môn toán từ năm 2002 đến 2014 (có lời giải)
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
TRÖÔØNG THPT NGUYEÃN VAÊN TROÃI
TUYEÅN TAÄP
CAÙC ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC
TÖØ NAÊM 2002 – 2014
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002
-----------------------------M«n thi : to¸n
§Ò chÝnh thøc
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
_____________________________________________
C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
Cho hµm sè :
y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 (1) ( m lµ tham sè).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m = 1.
cã ba nghiÖm ph©n biÖt.
2. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh:
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0
3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1).
C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm)
log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 = 0
Cho ph−¬ng tr×nh :
1
(2) ( m lµ tham sè).
m = 2.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) khi
2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [ 1 ; 3 3 ].
C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm )
cos 3x + sin 3x
1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 2π ) cña ph−¬ng tr×nh: 5 sin x +
= cos 2 x + 3.
1 + 2 sin 2 x
y =| x 2 − 4 x + 3 | , y = x + 3.
2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng:
C©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S . ABC ®Ønh S , cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M vµ N lÇn l−ît
lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC. TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN , biÕt r»ng
mÆt ph¼ng ( AMN ) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBC ) .
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:
x = 1+ t
x − 2y + z − 4 = 0
vµ ∆ 2 : y = 2 + t .
∆1 :
x + 2 y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 vµ song song víi ®−êng th¼ng ∆ 2 .
b) Cho ®iÓm M (2;1;4) . T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc ®−êng th¼ng ∆ 2 sao cho ®o¹n th¼ng MH
cã ®é dµi nhá nhÊt.
C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ,
ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC lµ 3 x − y − 3 = 0, c¸c ®Ønh A vµ B thuéc trôc hoµnh vµ
b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC .
2.
Cho khai triÓn nhÞ thøc:
n
n
n −1
n −1
−x
x2−1
−x
x −1
x −1 − x
x −1 − x
2 + 2 3 = C n0 2 2 + C n1 2 2 2 3 + L + C nn −1 2 2 2 3 + C nn 2 3
3
1
( n lµ sè nguyªn d−¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C n = 5C n vµ sè h¹ng thø t−
b»ng 20n , t×m n vµ x .
----------------------------------------HÕt--------------------------------------------Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V.
n
2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:....................................................
Sè b¸o danh:.....................
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
1
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼ng n¨m 2002
®Ò chÝnh thøc
M«n thi : to¸n, Khèi B.
(Thêi gian lµm bµi : 180 phót)
_____________________________________________
C©u I. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,5 ®iÓm)
y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10
Cho hµm sè :
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 1 .
2. T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ.
(
)
(1) ( m lµ tham sè).
C©u II. (§H : 3,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
1.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x .
2.
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 .
(
)
3 x − y = x − y
x + y = x + y + 2 .
C©u III. ( §H : 1,0 ®iÓm; C§ : 1,5 ®iÓm)
TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng :
x2
x2
y = 4−
vµ y =
.
4
4 2
3.
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
C©u IV.(§H : 3,0 ®iÓm ; C§ : 3,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m
1
I ;0 , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ x − 2 y + 2 = 0 vµ AB = 2 AD . T×m täa ®é c¸c ®Ønh
2
A, B, C , D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m.
2.
Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCDA1 B1C1 D1 cã c¹nh b»ng a .
a) TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vµ B1 D .
b) Gäi M , N , P lÇn l−ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 , CD , A1 D1 . TÝnh gãc gi÷a
hai ®−êng th¼ng MP vµ C1 N .
C©u V. (§H : 1,0 ®iÓm)
Cho ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n (n ≥ 2, n nguyªn ) néi tiÕp ®−êng trßn (O ) . BiÕt r»ng sè
tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L, A2 n nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt
cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L, A2 n , t×m n .
--------------------------------------HÕt------------------------------------------Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u IV 2. b) vµ C©u V.
2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................................... Sè b¸o danh:...............................
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
2
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
Kú thi TuyÓn sinh ®¹i häc ,cao ®¼ng n¨m 2002
M«n thi : To¸n, Khèi D
(Thêi gian lµm bµi : 180 phót)
_________________________________________
C©uI
( §H : 3 ®iÓm ; C§ : 4 ®iÓm ).
y=
1.
2.
3.
C©u II
1.
2.
(2m − 1)x − m 2
(1)
( m lµ tham sè ).
x −1
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1) øng víi m = -1.
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong (C) vµ hai trôc täa ®é.
T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng y = x .
Cho hµm sè :
( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 3 ®iÓm ).
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh :
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
(x
2
)
− 3x . 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0 .
2 3 x = 5y 2 − 4 y
x
4 + 2 x +1
= y.
x
2 +2
C©u III ( §H : 1 ®iÓm ; C§ : 1 ®iÓm ).
T×m x thuéc ®o¹n [ 0 ; 14 ] nghiÖm ®óng ph−¬ng tr×nh :
cos 3x − 4 cos 2 x + 3 cos x − 4 = 0 .
C©u IV ( §H : 2 ®iÓm ; C§ : 2 ®iÓm ).
1.
Cho h×nh tø diÖn ABCD cã c¹nh AD vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC); AC = AD = 4 cm ;
AB = 3 cm ; BC = 5 cm . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (BCD).
2.
Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) : 2x − y + 2 = 0
(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − 1 = 0
vµ ®−êng th¼ng d m :
( m lµ tham sè ).
mx + (2 m + 1)z + 4 m + 2 = 0
X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng d m song song víi mÆt ph¼ng (P).
C©u V (§H : 2 ®iÓm ).
1.
T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho C 0n + 2C 1n + 4C 2n + .... + 2 n C nn = 243 .
2.
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , cho elip (E) cã ph−¬ng tr×nh
2
x
y2
+
= 1 . XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn tia Ox vµ ®iÓm N chuyÓn ®éng trªn tia Oy sao cho
16 9
®−êng th¼ng MN lu«n tiÕp xóc víi (E). X¸c ®Þnh täa ®é cña M , N ®Ó ®o¹n MN cã ®é dµi nhá
nhÊt . TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
-------------------------HÕt------------------------Chó ý :
1.
2.
ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm c©u V
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh : ................................................................
Sè b¸o danh.............................
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
3
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
-------------------------------------
C©u
ý
I
1
Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
m«n to¸n khèi A
Néi dung
§H
m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2
x = 0
y' = 0 ⇔ 1
x2 = 2
TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) ,
y" = −6 x + 6 = 0,
C§
∑1,0 ® ∑1,5 ®
0,25 ®
0,5®
0,5 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
y" = 0 ⇔ x = 1
B¶ng biÕn thiªn
−∞
x
0
−
y'
+∞
0
+
0
−
lâm
U
4
CT
0
2
C§
låi
x = 0
y=0⇔
,
x = 3
§å thÞ:
+∞
2
+
0
y"
y
1
−
−∞
y (−1) = 4
y
4
2
-1
0
1
2
3
x
( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
4
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
I
2
C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 .
§Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3x 2 = a
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4
−1 < k < 3
0≠k <3
0≠k <3
⇔
⇔
⇔
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
(k + 1)(k − 2 ) > 0
(k + 1)(k − 4k + 4) > 0
C¸ch II. Ta cã
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k
∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0
−1 < k < 3
⇔ 2
⇔
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
k + k − 3k + k − 3k ≠ 0
[
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
-----------
-----------
0,25®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ® ∑1,0 ®
3
C¸ch I.
x = m −1
y' = 0 ⇔ 1
x2 = m + 1
Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1 vµ x 2 .
y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ
M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2
vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2
lµ:
y ' = −3x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
(
)
(
)
x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2
=
⇔ y = 2x − m2 + m
2
4
'
2
C¸ch II. y = −3 x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
Ta thÊy
∆' = 9m 2 + 9(1 − m 2 ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2
vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 .
Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2
m
1
= x − − 3x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m.
3
3
Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m .
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m .
(
II
∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ®
)
1.
Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0
2
3
2
3
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
----------
-----------
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã
t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0
t = −3
.
⇔1
t2 = 2
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
5
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
t1 = −3 (lo¹i) ,
t 2 = 2 ⇔ log 32 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ±
3
0,25 ®
0,5 ®
x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 .
(ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c)
∑1,0 ® ∑1,0 ®
2.
log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2)
2
3
2
3
§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã
t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0
(3)
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
-----------
----------
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 32 x + 1 ≤ 2.
VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã
nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t
C¸ch 1.
Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 .
Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2]
f (1) ≤ 2m + 2
2 ≤ 2 m + 2
⇔
⇔
⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
f (2) ≥ 2m + 2
2 m + 2 ≤ 6
C¸ch 2.
TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 .
t +t
1
Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m .
2
2
TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n
t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2
⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 .
(ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c )
III
1.
cos 3 x + sin 3 x
1
5 sin x +
= cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ −
1 + 2 sin 2 x
2
cos 3 x + sin 3 x
sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3x + sin 3x
Ta cã 5 sin x +
= 5
1 + 2 sin 2 x
1 + 2 sin 2 x
sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x
(2 sin 2 x + 1) cos x
=5
=5
= 5 cos x
1 + 2 sin 2 x
1 + 2 sin 2 x
2
VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0
1
π
cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ).
2
3
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
∑1,0 ® ∑1,0 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
6
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
5π
π
vµ x 2 =
. Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu
3
3
1
5π
π
kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 =
vµ x 2 =
.
2
3
3
(ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c)
V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 =
2.
y
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ® ∑1,0 ®
8
3
1
0
-1
-1
1
2
5
3
x
Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5.
MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy
5
(
1
)
(
3
)
(
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25®
0,25®
∑1®
∑1®
)
S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx
0
0
5
1
(
)
+ ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx
3
1
(
3
)
(
)
5
(
)
S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx
2
0
1
1
2
3
3
5
5
3
5
1
1
1
S = − x3 + x 2 + x3 − x 2 + 6x + − x3 + x 2
2 0 3
2
2 3
1 3
3
13 26 22 109
S= +
+
=
(®.v.d.t)
6
3
3
6
(NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc
| x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] )
IV
1.
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
7
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
S
N
I
M
A
C
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
K
B
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt
1
a
⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN .
2
2
Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN
⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN .
(SBC )⊥( AMN )
(SBC ) ∩ ( AMN ) = MN
MÆt kh¸c
⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK .
AI ⊂ ( AMN )
AI⊥MN
Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK =
a 3
.
2
3a 2 a 2 a 2
SK = SB − BK =
−
=
4
4
2
2
2
2
2
SK
⇒ AI = SA − SI = SA −
=
2
2
Ta cã
2
S ∆AMN
2
3a 2 a 2 a 10
.
−
=
4
8
4
a 2 10
1
= MN . AI =
(®vdt)
2
16
chó ý
1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau:
BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI .
2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é:
Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho
− a 3 − a 3
a
a
;0 , S 0;
K (0;0;0), B ;0;0 , C − ;0;0 , A 0;
;h
2
6
2
2
trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S. ABC .
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
8
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
2a)
C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng:
α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 )
⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0
r
r
VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2
r r
α − β = 0
n P .u 2 = 0
(P ) // ∆ 2 ⇔
VËy (P ) : 2 x − z = 0
⇔
M 2 ∉ (P )
M 2 (1;2;1) ∉ (P )
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
-----------
0,5 ®
-----------
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
----------0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
----------0,5 ®
0,5 ®
Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau:
x = 2t '
Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 : y = 3t '−2
z = 4t '
r
⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 .
(Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0
C¸ch II
r −2 1 1 1 1 −2
= (2;3;4) ).
;
;
vµ tÝnh u1 =
2
2
2
1
1
2
−
−
r
Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng (P) lµ :
r
r r
n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua M 1 (0;−2;0 )
r
vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 .
MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0
2b)
b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3)
⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi
t = 1 ⇒ H (2;3;3)
C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) .
r
MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4)
2
V
1.
2
2
2
2
Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ
(
∑1®
)
xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .
1
2a + 1 3 (a − 1)
xG = 3 ( x A + x B + x C )
.
;
Tõ c«ng thøc
ta cã G
1
3
3
yG = ( y A + y B + yC )
3
C¸ch I.
Ta cã :
AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
0,25 ®
9
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
S ∆ABC =
Ta cã
VËy
1
3
(a − 1)2 .
AB. AC =
2
2
2
2S
3 (a − 1)
| a −1|
=
= 2.
r=
=
AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 |
3 +1
| a − 1 |= 2 3 + 2.
0,25 ®
0,25 ®
7+4 3 6+2 3
;
TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1
3
3
− 4 3 −1 − 6 − 2 3
.
;
TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2
3
3
C¸ch II.
y
C
0,25 ®
-----------
I
O
B
A
x
Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 .
x −1
⇒ xI = 1 ± 2 3 .
Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) =
3
TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2
7+4 3 6+2 3
⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1
;
3
3
TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù
− 4 3 −1 − 6 − 2 3
;
ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2
3
3
2.
Tõ
C n3 = 5C n1 ta cã n ≥ 3 vµ
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1 ®
10
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
n!
n!
n(n − 1)(n − 2)
=5
⇔
= 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0
(n − 1)!
3!(n − 3)!
6
⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n 2 = 7.
Víi n = 7 ta cã
x2−1
C 2
3
7
4
0,25 ®
0,25 ®
3
−3x
2 = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4.
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
0,5 ®
11
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002
------------------------§¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc
M«n to¸n, khèi b
C©u
I
ý
1
Néi dung
§H
C§
y = x 4 − 8 x 2 + 10 lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy .
x=0
TËp x¸c ®Þnh ∀ x ∈ R , y ' = 4 x 3 − 16 x = 4 x x 2 − 4 , y '= 0 ⇔
x = ±2
∑1,0 ®
∑1,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,5 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
Víi m = 1 ta cã
(
)
4
2
.
y" = 12 x 2 − 16 = 12 x 2 − , y" = 0 ⇔ x = ±
3
3
B¶ng biÕn thiªn:
x
−∞
−2
−
y'
y"
0
+
−2
3
+
0
+∞
y
lâm
CT
−6
U
2
0
0
−
10
C§
låi
+∞
2
3
−
0
0
+
+
+∞
U
lâm
CT
−6
y
Hai ®iÓm cùc tiÓu : A1 (− 2;−6 ) vµ A2 (2;−6 ) .
Mét ®iÓm cùc ®¹i: B (0;10 ) .
− 2 10
2 10
Hai ®iÓm uèn: U 1
; vµ U 2
; .
3 9
3 9
Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ B(0;10 ) .
§å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é:
10 B
x = ± 4 + 6 vµ x = ± 4 − 6 .
U1
U2
-2
2
0
A1 -6
x
A2
(ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
12
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
I
II
2
(
)
(
)
y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 9 ,
x=0
y' = 0 ⇔
2
2
2mx + m − 9 = 0
Hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔ ph−¬ng tr×nh y '= 0 cã 3 nghiÖm
ph©n biÖt (khi ®ã y ' ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm) ⇔ ph−¬ng tr×nh
2mx 2 + m 2 − 9 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0.
m ≠ 0
2mx 2 + m 2 − 9 = 0 ⇔ 2 9 − m 2 . Ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0
x =
2m
m < −3
cã 2 nghiÖm kh¸c 0 ⇔
0 < m < 3.
m < −3
VËy hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔
0 < m < 3.
1
sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x
⇔
−
=
−
2
2
2
2
⇔ (cos 12 x + cos 10 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 0
⇔ cos x(cos 11x − cos 7 x ) = 0
⇔ cos x sin 9 x sin 2 x = 0
kπ
x = 9
k ∈ Z.
⇔ sin 9 x sin 2 x = 0 ⇔
kπ
x =
2
Chó ý:
ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch biÕn ®æi kh¸c ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch.
2
(
)
log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 (1).
x > 0, x ≠ 1
§iÒu kiÖn: 9 x − 72 > 0 ⇔ 9 x − 72 > 1 ⇔ x > log 9 73
log (9 x − 72) > 0
3
(
(2).
∑ 1,0 ®
∑ 1,0 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑ 1,0 ®
∑ 1,0 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,5 ®
∑1,0 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
)
Do x > log 9 73 > 1 nªn (1) ⇔ log 3 9 x − 72 ≤ x
( )
x 2
⇔ 9 x − 72 ≤ 3 x ⇔ 3 − 3 x − 72 ≤ 0 (3).
§Æt t = 3 x th× (3) trë thµnh
t 2 − t − 72 ≤ 0 ⇔ −8 ≤ t ≤ 9 ⇔ −8 ≤ 3 x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 .
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (2) ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ:
log 9 73 < x ≤ 2 .
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
13
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
3
3 x − y = x − y (1)
x− y ≥ 0
(3)
§iÒu kiÖn:
x + y = x + y + 2 (2).
x + y ≥ 0.
x= y
(1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 ⇔
x = y + 1.
Thay x = y vµo (2), gi¶i ra ta ®−îc x = y = 1.
3
1
Thay x = y + 1 vµo (2), gi¶i ra ta cã: x = , y = .
2
2
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm:
1
3
x = 1, y = 1
vµ x = , y =
2
2
Chó ý:
ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:
x= y
x = y + 1.
(
)
III
y
x2
y= 4−
4
-4
2 2
4
]
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ®
∑ 1,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
x
x2
x2
vµ y =
:
4
4 2
x2
x2
x4 x2
=
⇔
+
− 4 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 8 .
32 4
4 4 2
[
0,25 ®
A2
0
T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng cong y = 4 −
4−
0,25 ®
4 2
2
2
-2 2
∑1,0 ®
x2
y=
A1
∑1,0 ®
x2
x2
≤ 4−
Trªn − 8 ; 8 ta cã
vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung
4
4 2
8
8
8
x2
x 2
1
nªn S = 2 ∫ 4 −
dx = ∫ 16 − x 2 dx −
x 2 dx = S1 − S 2 .
−
∫
4
4 2
2 2 0
0
0
§Ó tÝnh S1 ta dïng phÐp ®æi biÕn x = 4 sin t , khi 0 ≤ t ≤
π
dx = 4 cos tdt vµ cos t > 0 ∀ t ∈ 0; . Do ®ã
4
π
4
th× 0 ≤ x ≤ 8 .
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
14
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
8
S1 =
∫
0
π
π
4
4
0
0
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑ 1,0 ®
∑ 1,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
16 − x 2 dx = 16 ∫ cos 2 tdt = 8 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2π + 4 .
S2 =
1
2 2
8
∫x
0
2
dx =
1
6 2
8
=
x3
0
4
8
. VËy S = S1 − S 2 = 2π + .
3
3
2
2
4 − x − x dx .
∫
4 4 2
− 8
8
Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch S =
IV
1
y
B
H
O
A
I
C
x
D
Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®−êng th¼ng AB b»ng
5
⇒ AD = 5 vµ
2
5
.
2
Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi ®−êng trßn t©m I vµ b¸n
5
kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ :
2
x − 2y + 2 = 0
2
2
x − 1 + y 2 = 5
2
2
Gi¶i hÖ ta ®−îc A(− 2;0 ), B(2;2 ) (v× x A < 0 )
⇒ C (3;0 ), D(− 1;−2 ) .
IA = IB =
Chó ý:
ThÝ sinh cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®−êng th¼ng AB .
Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®−êng
th¼ng AB .
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
15
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
IV
∑ 1,0 ® ∑1,5 ®
2a) T×m kho¶ng c¸ch gi÷a A1 B vµ B1 D .
z
D1
A1
B1
C1
G
I
A
yx
D
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
C
B
x
C¸ch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho
A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) ⇒ C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a )
[
]
⇒ A1 B = (a;0;− a ), B1 D = (− a; a;− a ), A1 B1 = (a;0;0) vµ A1 B, B1 D = (a 2 ;2a 2 ; a 2 ) .
VËy
d ( A1 B, B1 D ) =
[A B, B D].A B
[A B, B D]
1
1
1
C¸ch II.
1
1
1
=
a3
a
2
6
=
a
6
.
A1 B⊥AB1
⇒ A1 B⊥( AB1C1 D ) ⇒ A1 B ⊥B1 D .
A1 B⊥AD
T−¬ng tù A1C1 ⊥B1 D ⇒ B1 D⊥( A1 BC1 ) .
Gäi G = B1 D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C 1 = a nªn
GA1 = GB = GC1 ⇒ G lµ t©m tam gi¸c ®Òu A1 BC1 cã c¹nh b»ng a 2 .
Gäi I lµ trung ®iÓm cña A1 B th× IG lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña A1 B vµ
B1 D , nªn
1
1
3
a
.
d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B
=
3
3
2
6
Chó ý:
ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa A1 B vµ song song víi
B1 D lµ: x + 2 y + z − a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ B1 (hoÆc tõ D ) tíi (P ) ,
hoÆc viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q ) chøa B1 D vµ song song víi A1 B lµ:
x + 2 y + z − 2a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A1 (hoÆc tõ B) tíi (Q ) .
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
16
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
∑1,0 ®
2b)
C¸ch I.
a a
a
Tõ C¸ch I cña 2a) ta t×m ®−îc M a;0; , N ; a;0 , P 0; ; a
2 2
2
a a
a
⇒ MP = − a; ; , NC1 = ;0; a ⇒ MP.NC1 = 0 .
2 2
2
VËy MP⊥C1 N .
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
z
A1
P
D1
C1
B1
E
M
y
A
B
0,25 ®
N
C
C¸ch II.
x
Gäi E lµ trung ®iÓm cña CC1 th× ME⊥(CDD1C1 ) ⇒ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
MP trªn (CDD1C1 ) lµ ED1 . Ta cã
∆C1CN = ∆D1C1 E ⇒ C1 D1 E = CC1 N = 90 0 − D1C1 N ⇒ D1 E⊥C1 N . Tõ ®©y
theo ®Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc ta cã MP⊥C1 N .
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ®
V
3
.
Sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n lµ C 2n
0,25 ®
Gäi ®−êng chÐo cña ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n ®i qua t©m ®−êng trßn (O ) lµ
®−êng chÐo lín th× ®a gi¸c ®· cho cã n ®−êng chÐo lín.
Mçi h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L, A2 n cã c¸c ®−êng
chÐo lµ hai ®−êng chÐo lín. Ng−îc l¹i, víi mçi cÆp ®−êng chÐo lín ta cã c¸c ®Çu
mót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh ch÷ nhËt. VËy sè h×nh ch÷ nhËt nãi trªn
b»ng sè cÆp ®−êng chÐo lín cña ®a gi¸c A1 A2 L A2 n tøc C n2 .
0,25 ®
Theo gi¶ thiÕt th×:
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
17
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
C 23n = 20C n2 ⇔
(2n )!
3!(2n − 3)!
= 20
n!
n(n − 1)
2n.(2n − 1)(2n − 2)
= 20
⇔
2!(n − 2)!
6
2
⇔ 2n − 1 = 15 ⇔ n = 8 .
0,5 ®
Chó ý:
ThÝ sinh cã thÓ t×m sè h×nh ch÷ nhËt b»ng c¸c c¸ch kh¸c. NÕu lý luËn ®óng ®Ó ®i
n(n − 1)
®Õn kÕt qu¶ sè h×nh ch÷ nhËt lµ
th× cho ®iÓm tèi ®a phÇn nµy.
2
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
18
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Kú thi tuyÓn sinh §¹i häc , cao ®¼ng n¨m 2002
M«n To¸n, khèi D
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc
C©u
Néi dung
§iÓm
§H
C§
4®
3®
1
1,5
I
1.
Khi m = -1 ,ta cã y =
-TX§ : x ≠ 1
- CBT : y , =
4
(x − 1)2
− 3x − 1
4
= −3 −
x −1
x −1
> 0, ∀x ≠ 1 ⇒ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/2
lim y = −3 ; lim y = +∞; lim y = −∞ .
x →1−
x →∞
-
x →1+
BBT :
x
-∞
y/
y
+∞
1
+
+
+∞
-3
-3
-∞
- TC:
x=1 lµ tiÖm cËn ®øng v× lim y = ∞ .
x →1
y=-3 lµ tiÖm cËn ngang v× lim y = −3
x →∞
- Giao víi c¸c trôc : x = 0 ⇒ y = 1; y = 0 ⇒ x = - 1/3.
- §å thÞ :
y
x
www.DeThiThuDaiHoc.com - Đề Thi Thử Đại Học
19
- Xem thêm -