Tài liệu Hàm số ôn thi đại học

www.VNMATH.com TRUNG TAÂM GIA SÖ ÑÆNH CAO CHAÁT LÖÔÏNG SÑT: 0978421673-TP HUEÁ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG * Biện luận số nghiệm phương trình * Phương trình tiếp tuyến * Tương giao, tiếp xúc và họ đương cong * Điểm đặc biệt, khoảng cách , tâm-trục đối xứn g Hueá, thaùng 7/2012 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ MỤC LỤC Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Vấn đề 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M  Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc  Dạng 3: Viết phương trình đi qua điểm A cho trước  Dạng 4: Tìm những điểm trên đồ thị  C  : y  f ( x ) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước  Dạng 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d hoặc trên (C) mà từ đó kẻ được 1,2,3... tiếp tuyến với đồ thị  Dạng 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  Dạng 7: Lập tiếp tuyến chung của hai đồ thị  Dạng 8: Sự tiếp xúc của đường cong  Dạng 9: Một số dạng khác về tiếp tuyên Một số bài toán chọn lọc về tiếp tuyến Vấn đề 3: Vẽ đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt đối  Dạng 1: Từ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x ) vẽ đồ thị hàm số (C ') : y  f ( x ) U x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số xa U x  U x  (C’) y  hoặc y  xa xa  Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y     Dạng 3: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) : y  f x  Dạng 4: Cho hàm số y  f  x  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) y  f  x  Vấn đề 4: Sự tương giao của đồ thị Vấn đề 5: Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số  Dạng 1: Tìm điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên  Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua đường thẳng y=ax+b Chuyên đề LTĐH 1 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ  Dạng 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x ) đối xứng qua điểm I(a;b) Vấn đề 6: Họ đường cong  Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong  Dạng 2:Tìm điểm họ đồ thị không đi qua  Dạng 3: Tìm điêmt mà một số đồ thị của họ đồ thị đi qua Vấn đề 7: Tâm đối xứng -Trục đối xứng Vấn đề 8: Khoảng cách  Dạng 1: Đối với hàm phân thức hữu tỉ  Dạng 2: Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x). Tìm trên (C) điểm M thỏa điều kiện K  Dạng 3: Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất .  Dạng 4: Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d : y=kx+m. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho :  AB là hằng số a  AB ngắn nhất . Luyện tập Chuyên đề LTĐH 2 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình F ( x , m)  0  f ( x )  m Dạng 1: (1) Khi đó (1) có thể xem là phươn g trình hoành độ giao điểm của hai đường: (C ) : y  f ( x ); y c. yCĐ d:ym  d là đường thẳng cùng phương với trục hoành. m A c. c. (C) (d) : y = m c. xA c. yCT c. x  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) Dạng 2: (2) F ( x , m)  0  f ( x )  g(m) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặ t g( x )  k . Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m. BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho hàm số y  1 3 x  x 2  3x  3 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 3 x  x 2  3x  m  0 3 Hướng dẫn: a) Bảng biến thiên Chuyên đề LTĐH Đồ thị: 3 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ b) 1 3 1 x  x 2  3x  m  0  x 3  x 2  3x  3  m  3 3 3 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  m  3  m  9 hoặc m   m=9 hoặc m   5 : phương trình có 1 nghiệm 3 5 : phương trình có 2 nghiệm 3 5  m  9 : phương trình có 3 nghiệm 3 Bài 2. Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C) 1 x a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m x  1  x  2 Hướng dẫn: a) Bảng biến thiên và đồ thị: b) Chuyên đề LTĐH 4 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Bài 3. Cho hàm số y = x4 – 4x2 + 3 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2.Tìm a để phương trình : x 4  4 x 2  log 3 a  3  0 có 4 nghiệm thực phân biệt . Hướng dẫn: Phương trình tương đương với x4 – 4x2 + 3 =  log 3 a Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương  log 3 a  1  1  log 3 a  1  1   log 3 a < 3 1 a3 3 Bài 4. Cho hàm số y  x 4  5 x 2  4, có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình | x 4  5 x 2  4 | log 2 m có 6 nghiệm phân biệt. Hướng dẫn : Chuyên đề LTĐH 5 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ log12 m  9 9  m  12 4  144 4 12 4 Bài 5. Cho hàm số: y  x 4  6 x 2  5 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 2. Tìm m để phương trình: x 4  6 x 2  log2 m  0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm lớn hơn – 1. y Hướng dẫn : 4 .5 2 Pt  x – 6x + 5 = 5 + log2m Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán  -1 1 0  5  log2 m  5   m 1 32 . . o .1 x . 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4  2 x 2  m  0 (*) Bài 2. Cho hàm số y   x 3  3 x 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Dùng (C) tìm k để phương trình :  x 3  3 x 2  k 3  3k 2  0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số y  x 3  mx  m  2 , với m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của x 3  3 x  k  1  0 Bài 4 . Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: x 3  3 x 2  1  Chuyên đề LTĐH m 2 6 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Bài 5 . Cho hàm số y   x 4  2 x 2  3 (C ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Tìm m để phương trình x 4  2 x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1 . Cho hàm số y  x 3  3 x  1 (C ) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  x 3  3x  m  0  x 3  3 x  1  2m Bài 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y  b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 4 x  2x2  3 2 1 4 x  2x2  m  0 2 c) Tìm k để phương trình x 4  4 x 2  6  2k có 6 nghiệm phân biệt Bài 3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y  2x  4 x 3 b) Biện luận theo m số ng hiệm của phương trình  2 x 2 m x 3  0  x 2  m x 3 Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  1  m  0 b) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  1  0 Chuyên đề LTĐH 7 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ c) y  x 3  3 x  1; x 3  3 x  m 2  2m  2  0 d) y   x 3  3 x  1; x 3  3 x  m  4  0 e) y   x4  2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m  0 2 f) y  x 4  2 x 2  2; x 4  2 x 2  m  2  0 Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1. (C ) : y  x 3  3 x 2  6; (T ) : y  x 3  3 x 2  6 ; x 3  3 x 2  6  m  3  0 3 2. (C ) : y  2 x 3  9 x 2  12 x  4; (T ) : y  2 x  9 x 2  12 x  4; 3 2 x  9 x 2  12 x  m  0 3. (C ) : y  ( x  1)2 (2  x ); (T ) : y  ( x  1)2 2  x ;( x  1)2 2  x  (m  1)2 (2  m) Bài 6. Cho hàm số y  f ( x )  x2 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  3y  0 . c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của 3 x 2  (m  2) x  m  2  0 Bài 7. Cho hàm số y  f ( x )  x 1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c ủa hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x  2 y  0 . c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của 2 x 2  (m  1) x  m  1  0 Chuyên đề LTĐH 8 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Vấn đề 2 : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM M(x0;y0) Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến    của (C): y =f(x) tại điểm M 0 x0 ; y0 :  Nếu cho x 0 thì tìm y0 = f(x0). Nếu cho y 0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0.   Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) * Chú ý:   - Điểm M 0 x0 ; y0 được gọi là tiếp điểm - x0 là hoành độ tiếp điểm và y0 là tung độ tiếp điểm - Điểm M  Ox thì tọa độ của M là M x;0 ; điểm M  Oy thì tọa độ của M là   M  0; y  VÍ DỤ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 1. Tại điểm (2; 2) 2. Tại điểm có hoành độ x  1 3. Tại điểm có tung độ y  2 4. Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y  x  1 . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): y  3 x 3  x 2  7 x  1 tại A(0; 1) c) (C): y  b) (C): y  x 4  2 x 2  1 tại B(1; 0) 3x  4 tại C(1; –7) 2x  3 d)(C): y  x  1  2 tại D(0; 3) 2x 1 Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: Chuyên đề LTĐH 9 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ x 2  3x  3 a) (C): y  tại điểm A có x A  4 x 2 b) (C): y  3( x  2) tại điểm B có yB  4 x 1 c) (C): y  x 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. x 2 d) (C): y  x 3  3 x  1 tại điểm uốn của (C). e) (C): y  1 4 9 x  2 x 2  tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 4 4 Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và d: y  7 x  4 . b) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và (P): y   x 2  8 x  3 . c) (C): y  2 x 3  3 x 2  9 x  4 và (C’): y  x 3  4 x 2  6 x  7 . Bài 4. Cho hàm số y  2 x 3  3 x 2  12 x  1 có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ . Hướng dẫn: M  x0 ; y0   (C ), Phöông trình tieáp tuyeán taïi M:   y= 6 x02  6 x0  12  x  x0   2 x03  3 x02  12 x0  1 Tieáp tuyeán ñi qua O(0;0) neân x0  1  y0  12 BTTT: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3   m  1 x 2   3m  1 x  m  2 tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua A  2; 1 . Đáp số: m  2 Bài 6. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: a) (C): y  2x  m 1 tại điểm A có x A  2 và S = . x 1 2 b) (C): y  x  3m 9 tại điểm B có x B  1 và S = . x2 2 Chuyên đề LTĐH 10 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ c) (C): y  x 3  1  m( x  1) tại điểm C có xC  0 và S = 8. Hướng dẫn câu a) x A  2  y A  4  m và f '(2)  2  m . Phương trình tiếp tuyến tại A  2;4  m  có dạng  : y   2  m  x  2    4  m  .  22  8  3m  m 1 1  Δ  Ox  A  3m  8;0  ; Δ  Oy  B  0; 9  .Ta coù: SOAB  OA.OB    2 2  m2   m  3 Bài 7 . Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: (C): y  5 x  11 tại điểm A có x A  2 . 2x  3 2x  3 . Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) x 2 tại M cắt các đường tiệm cận của ( C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Câu 8. Cho hàm số y  Hướng dẫn:  2x  3  1 Ta có: M  x0 ; 0  , x0  2 , y '( x0 )  2 x0  2    x0  2  Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:  : y  1 x 0  2 ( x  x0 )  2 2 x0  3 x0  2  2x  2  Toạ độ giao điểm A, B của    và hai tiệm cận là: A  2; 0  ; B  2 x0  2;2   x0  2  Ta thấy x A  x B 2  2 x0  2 y  yB 2 x 0  3   x0  x M , A   yM . Suy ra M là trung 2 2 2 x0  2 điểm của AB. Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2     2 x0  3   1 2 S =  IM   ( x0  2)    2     ( x0  2)2   2 2  x  2 ( x  2)   0  0      2 Chuyên đề LTĐH 11 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Dấu “=” xảy ra khi ( x0  2)2  x  1 1  0 2 ( x0  2)  x0  3 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) 2x 1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn n hất . Bài 9. Cho hàm số y  Hướng dẫn:  3  Nếu M  x0 ; 2    (C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình x  1 0   y2 3 3  ( x  x0 ) hay x0  1 ( x0  1)2 3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  0 Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến là d 3(1  x0 )  3( x0  1) 9   x0  1 4 Theo bất đẳng thức Côsi  6 x0  1 9  ( x0  1) 4  6 9  ( x0  1)2 2 ( x0  1) . 9  ( x0  1)2  2 9  6 , vây d  6 . 2 ( x0  1) Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi 2 9  ( x0  1)2   x0  1  3  x0  1  3 . 2 ( x0  1)  Vậy có hai điểm M : M 1  3;2  3   hoặc M 1  3;2  3  x 1 . Gọi M  x0 ; y0  là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp x 1 tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Bài 10. Cho hàm số y  Chứng minh rằng 1. Chứng minh M là trung điểm của AB 2. Diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Chuyên đề LTĐH 12 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ 3. Tích khoảng cách từ từ điểm M đến hai tiệm cận là không đổi Hướng dẫn câu 2 Gọi M  x0 ; y0   (C )  y0  PTTT tại M có dạng: y   x0  1 ( x  1) . x0  1 0 x 1 2 () ( x  x0 )  0 2 x0  1 ( x0  1) Giao điểm của 2 tiệm cận: I(1;1) . Ta có  x 3 A = ()  TCĐ => A=  1; 0  ; B = ()  TCN => B =  2 x0  1;1 x  1 0   IA = 4 ; IB = 2 x0  1 . x0  1 Do đó: SIAB = 1 .IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M. 2 Bài 11. Cho hàm số y  x x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho 2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bằng 2 Hướng dẫn:  x  M  x0 ; 0   (C ) .  x0  1  Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng  : y  x0 1   x  x0  x0  1  x  12 0 Chuyển  về dạng phương trình tổng quát. Dùng công thức tính khoảng cach từ 1 x  0 điểm đến đường thẳng, g iải phương trình ta được  0  x0  2 Chuyên đề LTĐH 13 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Baøi 12. Cho haøm soá y  2x 1 (C ) x 1 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá 2. Tìm treân ñoà thò (C) nhöõng ñieåm M sao cho tieáp tuyeán taïi M taïo vôùi hai tieäm caän moät tam giaùc coù baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng 2 Höôùng daãn:  2x 1  Goïi M  x0 ; 0    C  . Phöông trình tieáp tuyeán taïi M caét hai ñöôøng tieäm caän x0  1    2x 1  laàn löôït taïi A  1; 0  ; B  2 x0  1;2  . Ta thaáy tam giaùc taïo thaønh laø tam giaùc  x0  1  x  0 ABI vuoâng taïi I coù caïnh huyeàn laø AB  2 2   0  x0  2 Baøi 13. Cho haøm soá y  x 4  2mx 2  m, m laø tham soá 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m=1 2. Bieát A laø ñieåm thuoäc ñoà thò haøm soá coù hoaønh ñoä baèng 1. Tìm m ñeå khoaûng 3  töø ñieåm B  ;1 ñeán tieáp tuyeán taïi A laø lôùn nhaát. 4  Chuyên đề LTĐH 14 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x 0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).   có hệ số góc k  f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  f ( x )  kx  m   f '( x )  k (*)  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan +  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a Chuyên đề LTĐH 15 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ +  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k =  +  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì 1 a ka  tan  1  ka BÀI TẬP MẪU:  3m  1 x  m 2 m , m  0 . Định m để tiếp tuyến trên (C m) tại xm giao điểm với trục hoành song song với đường thẳng y=x Bài 1. Cho (Cm ) : y  Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành x0  y'   m2  m 1  , m   0;  ;1 3m  1 3   x  m , y '  1   0  x0  3m  x  m 4m 2 2  m2  m  m  1  m   m 3 1   ......... 2 m   1 m m   5  3m  3m  1 Bài 2. (Đại học A2011). Cho hàm số y  x 1 2x 1 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y  x  m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1  k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y  x  m x 1 1  x  m, x   2 x 2  2mx   m  1  0 2x 1 2 Phương trình (1) có   m 2  2m  2  (m  1) 2  1  0, m    Phương trì nh (1) luôn có 2 nghiệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B. Chuyên đề LTĐH 16 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Hoành độ tiếp điểm tại A, B là x1; x2 là nghiệm của phương trình (1)  x1  x2   m và x1 .x2   Ta có: k1  k2   m 1 2 4( x12  x22 )  4( x1  x2 )  2 1 1     4(m  1) 2  2 2 2 2 (2 x1  1) (2 x2  1)  4 x1 x2  2( x1  x2 )  1 k1  k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2  m  1 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra: a) (C): y  2 x 3  3 x 2  5 ; k = 12 c) (C): y  b) (C): y  2x 1 ; k = –3 x 2 x 2  3x  4 ; k = –1 x 1 Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước: 2x 1 3 ; d: y   x  2 x 2 4 a) (C): y  x3  2 x 2  3x  1 ; d : y  3x  2 3 c) (C): y  1 3 x2  2x  3 ; d: 2 x  y  5  0 d) (C): y  x 4  3 x 2  ; d : y  4 x  1 2 2 4x  6 b) (C): y  Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): y  x 2x 1 x3 ; d: y  x  2 x 2  3 x  1 ; d: y    2 b) (C): y  8 x 2 3 c) (C): y  x2  3 ; d: y = –3x x 1 d) (C): y  x2  x  1 ; d : y  2 x x2 Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc : a) (C): y  x3  2 x 2  x  4;   60 0 3 Chuyên đề LTĐH b)(C): y  17 x3  2 x 2  x  4;   750 3 Trần Đình Cư www.VNMATH.com TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ c) (C ) : y  3x  2 ;   450 x 1 Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc : a) (C): y  x3  2 x 2  x  4; d : y  3 x  7;   450 3 b) (C): y  x3 1  2 x 2  x  4; d : y   x  3;   450 3 2 c) (C ) : y  4x  3 ; d : y  3 x;   450 x 1 d) (C ) : y  3x  7 ; d : y   x;   60 0 2 x  5 x2  x  3 e) (C ) : y  ; d : y   x  1;   60 0 x 2 x , biết tiếp tuyến đó x 1 cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB cân tại O. Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  Hướng dẫn: Vì tam giác OAB cân tại O nên đường thẳng AB phải song song với một trong hai đường thẳng có phương trình y  x hoặc y   x Ta có: y '  1  x  1 2  0, x  1. Gọi M 0  x0 ; y0  là tiếp điểm của đồ thị hàm số Do đó:  x  2 y '  x0   1   0  x0  0  Vôùi x0  0  y0  0.Phöông trình tieáp tuyeán: y  x  loaïi vì A  B  Vôùi x0  2  y0  2.Phöông trình tieáp tuyeán: y  x  4  thoõa  Bài 8. Cho hàm số y  1 3 1 x  2 x 2   m  4  x   m , m là tham số 3 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 Chuyên đề LTĐH 18 Trần Đình Cư TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ 2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua A  3; 1 Hướng dẫn: f '( x0 )  x02  4 x0  4  m   x0  2   m  m. Min f '( x0 )  m ñaït ñöôïc khi x0  2 2 Vôùi x0  2  y0  m  3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M (2; m  3) , sau đó thay tọa độ điểm A vào ta tìm được m  2 . Chuyên đề LTĐH 19 Trần Đình Cư