Tài liệu Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán năm 2018 (rất hay và đầy đủ chuyên đề theo cấu trúc đề thi)

TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc Gia. Chúng tôi biên soạn cuốn: “TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN”. Cuốn sách gồm 12 chủ đề Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số Chủ đề 2: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân Chủ đề 3: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Chủ đề 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít Chủ đề 5: Số phức Chủ đề 6: Tổ hợp, xác suất Chủ đề 7: Hình học không gian Chủ đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Chủ đề 11: Toán tổng hợp Chủ đề 12: Một số đề tham khảo Mỗi chủ đề gồm các phần A. Tóm tắt lý thuyết B. Phương pháp giải toán – Các ví dụ C. Bài tập Cuốn: “TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN” này do các giáo viên có kinh nghiệm thuộc HĐBM – Tổ Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Tháp tham gia biên soạn. Tuy nhiên, do nhiều yếu tố khách quan, khó có thể tránh được một số thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để cuốn sách sẽ ngày càng hoàn chỉnh hơn trong những lần tái bản sắp tới. Hi vọng cuốn sách sẽ là cẩm nang cho học sinh, là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên Trung học phổ thông trong việc ôn tập cho kì thi THPT Quốc Gia. Mọi ý kiến đóng góp xin được gởi về địa chỉ sau: [email protected]. HĐBM - TỔ BỘ MÔN TOÁN 3 Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số A. Tóm tắt lí thuyết I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K  [ f(x) đồng biến trên K]  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]   [ f(x) nghịch biến trên K] [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) không đổi trên K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K]  [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) nghịch biến trên K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K. b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.  a  0  , ta có f '  x   3ax 2  2bx  c . a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) ta có: ìïï D £ 0  f ( x) ³ 0 " x Î ¡ Û í ïïî a > 0 ìïï D £ 0  f ( x) £ 0 " x Î ¡ Û í ïïî a < 0 8 B. Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước. 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Tập xác định: D = ? B2. Tính y ' = ? B3. Lập luận: · y đồng biến trên X Û y ' ³ 0, " x Î X · y nghịch biến trên X Û y ' £ 0, " x Î X Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y ' = 0 có hữu hạn nghiệm, nếu phương trình y ' = 0 có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng. 2. CÁC VÍ DỤ 1 Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m2  m) x3  2mx2  3x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 3 . Bài giải: ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m 2  m) x 2  4mx  3 ♣ Hàm số luôn đồng biến trên  y '  0 x  m  0 ♥ Trường hợp 1: Xét m2  m  0   m  1 + Với m  0 , ta có y '  3  0, x  , suy ra m  0 thỏa. + Với m  1, ta có y '  4 x  3  0  x   3 , suy ra m  1 không thỏa. 4 m  0 ♥ Trường hợp 2: Xét m2  m  0   , khi đó: m  1 ♣ y '  0 x   '  m 2  3m  0 3  m  0   2    3  m  0 m  m  0 m  0  m  1 ♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 . Ví dụ 2. Cho hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1) x  2m 3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 . Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1) ♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2  y '  0 x  1; 2  9 Ta có  '  9m2  9(m2  1)  9  0, m Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )  x1  1 m  1  1 Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2      1 m  2  x2  2 m  1  2 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 . Bài tập tương tự hoctoancapba.com Cho hàm số y  2x3  3 2m  1 x2  6m m  1 x  1. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   . Đáp số: m £ 1 . Ví dụ 3. Cho hàm số y  x3  3x2  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  0;   . Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m ♣ Hàm số đồng biến trên khoảng  0;    y '  0 , x   0;   (có dấu bằng)  3 x 2  6 x  m  0 , x   0;    3 x 2  6 x  m , x   0;   (*) ♣ Xét hàm số f ( x) = 3x 2 - 6 x , x   0;   , ta có: f '( x) = 6 x - 6 ; f '( x) = 0 Û x = 1 Bảng biến thiên: x 0 f '( x ) f ( x) +¥ 1 - 0 + +¥ 0 - 3 ♣ Từ BBT ta suy ra: (*) Û m £ - 3 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là m £ - 3 . Bài tập tương tự Cho hàm số y   x3  3x2  3mx  1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   . Đáp số: m £ - 1 . Ví dụ 4. Cho hàm số y  mx  7m  8 . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. xm Bài giải 10 ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  \ m m2  7 m  8  x  m 2 . Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 . ♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y '  0 , x  D (không có dấu bằng) Û m2  7m  8  0 Û - 8< m< 1 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m < 1. Ví dụ 5. Cho hàm số y  mx  7m  8 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ¥ ). xm Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  \ m m2  7 m  8  x  m 2 . Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 . ♣ Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ¥ ) Û y '  0 , x   3;   (không có dấu bằng) m 2  7m  8  0 Û  m  3 ìï - 8 < m < 1 Û ïí ïïî m £ 3 Û - 8< m£ 3 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m £ 3 . C. Bài tập 1 Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x3  2(2  m) x2  2(2  m) x  5 . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên 3 Đáp số: 2 £ m £ 3 . 1 Bài 2: Cho hàm số y  (m2  4) x3  (m  2) x2  2x  3 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 3 Đáp số: m £ - 2 hoặc m ³ 6 . Bài 3: Cho hàm số y  2x3  3mx2  3(m 1) x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (1;+ ¥ ) Đáp số: m £ 1 . Bài 4: Cho hàm số y  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. x  m 3 Đáp số: m < 1 hoặc m > 2 . 11 Bài 5: Cho hàm số y  mx  9 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xm  ;2 Đáp số: 2 < m < 3 . Bài 6: Cho hàm số y  mx  2 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;   x  m1 Đáp số: m < - 2 . Nội dung 2: Cực trị của hàm số A. Tóm tắt lí thuyết I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( x0 ) = 0 2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1 Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x 0 ) và (x0 ; b). Khi đó a) Nếu f '( x ) < 0 với mọi x Î (a; x0 ) và f '( x ) > 0 với mọi x Î (x 0 ; b) thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 . b) Nếu f '( x ) > 0 với mọi x Î (a; x0 ) và f '( x ) < 0 với mọi x Î (x 0 ; b) thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 . 3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 . Khi đó a) Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 b) Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 4) Định lý 4: a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt. b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị  f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt. B. Phương pháp giải toán 12 Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị). 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Tập xác định: D = ? B2. Tính y ' = ? B3. Lập luận: Lưu ý: a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt. b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị  f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt. 2. CÁC VÍ DỤ 1 Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m2  1) x3  (m  1) x2  3x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị. 3 Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x 2  2(m  1) x  3 y ' = 0 Û (m2  1) x 2  2(m  1) x  3  0 ♣ Hàm số có hai điểm cực trị Û y '  0 có hai nghiệm phân biệt ìï m2 - 1 ¹ 0 Û ïí ïï D ' = (m + 1) 2 - 3(m2 - 1) > 0 î ìï m ¹ ± 1 Û ïí ïïî - 2m 2 + 2m + 4 > 0 ìï m ¹ ± 1 Û ïí Û ïïî - 1 < m < 2 ìïï m ¹ 1 í ïïî - 1 < m < 2 ìï m ¹ 1 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là ïí . ïïî - 1 < m < 2 Bài tập tương tự Cho hàm số y  x3  3x2  mx  m 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị. Đáp số: m < 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx4  (m2  9) x2  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị. Bài giải hoctoancapba.com 13 ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  2 x.(2mx 2  m 2  9) éx = 0 y'= 0 Û ê ê2mx 2 + m 2 - 9 = 0 ë (1) ♣ Hàm số có ba điểm cực trị Û y '  0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ìï m ¹ 0 ïï Û ïí D ' = - 2m(m 2 - 9) > 0 ïï ïïî m 2 - 9 ¹ 0 ìï m ¹ 0 ïï ïï ém < - 3 ém < - 3 Û íê Û ê êë0 < m < 3 ïï êë0 < m < 3 ïï ïïî m ¹ 3 ém < - 3 ♦ Vậy giá trị m cần tìm là ê . êë0 < m < 3 Bài tập tương tự Cho hàm số y  x4  (m 1) x2  2m 1. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp số: m < - 1 . Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0. 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Tập xác định: D = ? B2. Tính y ' = ? B3. Lập luận: a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 Þ y '( x0 ) = 0 Þ Giá trị của tham số m. b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2. 2. VÍ DỤ Ví dụ . Cho hàm số y    1 3 x  m2  m  2 x2  (3m2  1) x  m  5 . 3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 . Bài giải ♦ Tập xác định: D  14   ♦ Đạo hàm: y '  x 2  2 m2  m  2 x  3m2  1 a) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 Þ y '(- 2) = 0 Û ém = 1 - m 2 + 4m - 3 = 0 Û ê êëm = 3 b) Điều kiện đủ: ♣ Với m = 1 , ta có: y ' = x 2 + 4 x + 4 , y ' = 0 Û x = - 2 Bảng biến thiên x - ¥ +¥ - 2 + y' + 0 y Từ BBT ta suy ra m = 1 không thỏa. éx = - 14 ♣ Với m = 3 , ta có: y ' = x 2 + 16 x + 28 , y ' = 0 Û ê êëx = - 2 Bảng biến thiên x y' - ¥ - 14 + y 0 +¥ - 2 - 0 + CĐ CT Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 . ♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3 . Bài tập tương tự Cho hàm số y  x3  mx2  3x  2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . Đáp số: m = 15 4 Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước. 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Tập xác định: D = ? B2. Tính y ' = ? B3. Lập luận 2. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hàm số y  x3  (2m 1) x2  (2  m) x  2 . 15 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x 2  2(2m  1) x  2  m y'= 0 Û 3x 2  2(2m  1) x  2  m  0 ♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương Û y ' = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ìï ïï 2 ïï D ' = (2m - 1) - 3(2 - m) > 0 ïï 2- m >0 Û ïí P = ïï 3 ïï ïï S = 2(2m - 1) > 0 ïîï 3 ìï ïï m < ìï 4m 2 - m - 5 > 0 ïï ïï ï 2 m > 0 Û ïí m < Û í ïï ïï ïïî 2m - 1 > 0 ïï ïï m > î ♦ Vậy giá trị m cần tìm là Ví dụ 2. Cho hàm số y  - 1Ú m > 5 4 Û 2 1 2 5 < m< 2 4 5 < m < 2 . 4 2 3 2 x  mx2  2(3m2  1) x  . 3 3 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 . Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  2 x 2  2mx  2(3m2  1) y'= 0 Û 2 x 2  2mx  2(3m2  1)  0 ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 (1) Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û D ' = m2 + 4(3m2 - 1) > 0 Û 13m2 - 4 > 0 Û m < - 2 13 2 13 Úm > 13 13 (*) ìï x1 + x2 = m Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: ïí ïï x1 x2 = 1- 3m 2 î 16 ém = 0 ê Do đó: x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 Û 1- 3m + 2m = 1 Û - 3m + 2m Û ê 2 êm = êë 3 2 ♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m = 2 (**) 2 . 3 1 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx3  (m  1) x2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 3 3 sao cho x1 + 2 x2 = 1 . Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  mx 2  2(m  1) x  3(m  2) y'= 0 Û mx 2  2(m  1) x  3(m  2)  0 (1) Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 ìï m ¹ 0 Û ïí ïïî D ' = 2m 2 + 4m + 1 > 0 ìï m ¹ 0 ï Û ïí 2 - 6 2+ 6 ïï < m< ïïî 2 2 (*) ìï 2(m - 1) ïï x1 + x2 = ï m Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: í ïï 3(m - 2) ïï x1 x2 = m ïî Theo đề bài : x1 + 2 x2 = 1 (2) (3) (4) ìï 3m - 4 ïï x1 = ï m Từ (2) và (4) suy ra í (5). Thay (5) và (3) ta được: ïï - m+ 2 ïï x2 = m ïî é 2 æ3m - 4 ÷ öæ2 - m ÷ ö 3(m - 2) êm = 2 çç çç Û 6m - 16m + 8 = 0 Û ê 3 ÷= ÷ çè m ÷ ê øèç m ÷ ø m m = 2 êë ♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m = (**) 2 và m = 2 . 3 Ví dụ 4. Cho hàm số y  x3  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Cho điểm A(2;3) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A . Bài giải 17 ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  3x 2  3m y'= 0 Û 3 x 2  3m  0 (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C Û y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Û m> 0 (*) Khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = ± m ♣ Với x = ♣ Với x = - m Þ y = - 2 m3 + 1 m Þ y = 2 m3 + 1 ( ) ( Tọa độ các điểm cực trị B và C là B - m ; 2 m3 + 1 , C ) m ; - 2 m3 + 1 ♦ Tam giác ABC cân tại A Û AB = AC Û AB 2 = AC 2 Û ( 2+ 2 ) ( m + 2 - 2 m3 2 ) ( = 2- 2 ) ( m + 2 + 2 m3 ém = 0 ê Û - 4 m+ 8 m = 0Û ê 1 êm = êë 2 3 ♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m = 2 ) (**) 1 . 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m4 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời các điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông. Bài giải ♦ Tập xác định: D  ♦ Đạo hàm: y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m) y'= 0 Û x  0  2 x  m (1) ♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C Û y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Û m> 0 (*) Khi đó y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt là x = 0 , x = ± m ♣ Với x = 0 Þ y = 2m + m 4 ♣ Với x = ± m Þ y = m 4 - m 2 + 2m Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là 18 ( A(0;2m + m4 ); B uuur Suy ra: AB = - ( uuur m; - m2 ; AC = ) ) ( m; m4 - m2 + 2m ; C ( m ; - m2 ) m ; m4 - m2 + 2m ) ♦ Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông tại A uuur uuur Û AB. AC = 0 ém = 0 Û - m + m4 = 0 Û ê êëm = 1 (**) ♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m = 1 . C. Bài tập 1 Bài 1: Cho hàm số y  (m2  1) x3  (m  1) x2  3x  5 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 3 Đáp số: - 1 < m < 2 và m ¹ 1 . Bài 2: Cho hàm số y  hoctoancapba.com 2 3 x  (m  1) x2  (m2  4m  3) x  1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. Đáp số: - 5 < m < - 3 . Bài 3: Cho hàm số y  x3  (m 1) x2  (3m 4) x  5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 1 Đáp số: m = 3 . Bài 4: Cho hàm số y  x3  (m  1) x 2  (2m  1) x  2m . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x12  x22  x1 x2  1 . Đáp số: Bài 5: Cho hàm số y  mx3  (m 2) x2  (m 1) x  4 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho 1 1 1  2  16  2 2 . 2 x1 x2 x1 x2 Đáp số: Bài 6: Cho hàm số y  2x3  3(m  1) x2  6  m  2 x  1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1  x2  2 . Đáp số: m = - 1 . Bài 7: Cho hàm số y   x3  3x2  3(m2  1) x  3m2  1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O . Đáp số: m = ± 1 . 2 19 Bài 8: Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  2 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông . Đáp số: m = 1 . Bài 9: Cho hàm số y   x3  3x 2  4 . Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn  C  : ( x  m)2  ( y  m  1) 2  5 Đáp số: Bài 10: Cho hàm số y  2 x3  9mx 2  12m2 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại xCĐ, đạt cực tiểu tại xCT thỏa mãn x2CĐ = xCT. Đáp số: m = - 2 . Bài 11: Cho hàm số y  x3  3x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho · AOB = 1200 ( O là gốc tọa độ) Đáp số: m = - 12 + 2 3 . 3 Nội dung 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D.  Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn Ký hiệu: M  Max f  x  i) f  x   M x  D ii) x  D : f x  M  0 0  xD  Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn Ký hiệu: m  min f  x  i) f  x   m x  D ii) x  D : f x  m  0 0  xD   Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó. Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự. 2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa). Một số kiến thức thường dùng: b  a) f ( x)  ax2  bx  c  a( x  )2  2a 4a b) Bất đẳng thức Cô-si: 20 ab  ab  a  b  2 ab 2 Dấu "=" xảy ra khi a  b abc 3  abc  a  b  c  3 3 abc  Với ba số a, b, c không âm  a, b, c  0  ta luôn có: 3 Dấu "=" xảy ra khi a  b  c c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng a 2  b2 1) a 2  b 2  2ab  ab  2 ( a  b) 2 2) (a  b) 2  4ab  ab  4 ( a  b) 2 2 2 2 2 2 3) (a  b)  2(a  b )  a  b  2 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số f  x   2x 2  8x  1 .  Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có: Bài giải ♥ Tập xác định: D = ¡ ♥ Ta có · f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D 2 · Dấu “=” xảy ra khi x = 2 Î D ♥ Vậy max f ( x) = 9 . xÎ D Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 . Bài giải ♥ Tập xác định: D = ¡ ♥ Ta có · f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D 2 · Dấu “=” xảy ra khi x = 1Î D f ( x) = 10 . ♥ Vậy min xÎ D Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x  Bài giải ♥ D = (1; + ¥ 2 với x  1;   . x 1 ) ♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 2 2  x 1   1  2  x  1 .  1  2 2  1, x  1;   · f x  x  x 1 x 1 x 1 2 2 Û (x - 1) = 2 Û x = 1+ 2 Î D · Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = x- 1 f ( x) = 2 2 + 1 . ♥ Vậy min xÎ D Bài tập tương tự Tìm GTNN của hàm số f (x)  x  3  7 x 3 21 b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương pháp miền giá trị). Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y  f  x   Tập xác định của hàm số được định nghĩa là : D  { x  | f(x) có nghĩa}  Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là : T = { y  | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D } Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của hàm số đó. Một số kiến thức thường dùng: a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0 b) Phương trình a cos x  bsin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b 2  c 2 CÁC VÍ DỤ x2  x  2 Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  2 . x x2 Bài giải ♥ Tập xác định: D = ¡ ♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có: x2  x  2 y 2  yx 2  yx  2y  x 2  x  2 x x2 Û (y - 1)x2 - (y + 1)x + 2y - 2 = 0 (1) (2) (Dạng ax 2  bx  c  0 ) + Trường hợp 1: Với y = 1 thì (2) có nghiệm x = 0 + Trường hợp 2: Với y ¹ 1 thì (2) có nghiệm Û D ³ 0 Û - 7y2 + 18y - 7 ³ 0 Û 9- 4 2 9+ 4 2 £ y£ 7 7 é9 - 4 2 9 + 4 2 ù ú. ; Suy ra tập giá trị của hàm số là T = êê ú 7 7 êë ú û 9- 4 2 9+ 4 2 y = ; max y = ♥ Vậy min . xÎ D xÎ D 7 7 Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  1  sin x . 2  cos x (1) Bài giải ♥ Tập xác định: D = ¡ ♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có: 1  2y  y cos x  1  sin x Û y cos x - sin x = 1- 2y 2 (2) (dạng a cos x  bsin x  c ) 2 (2) có nghiệm Û a2 + b2 ³ c2 Û y2 + (- 1) ³ (1- 2y) Û 3y2 - 4y £ 0 Û 0 £ y £ 3 4 é 3ù Suy ra tập giá trị của hàm số là T = ê0; ú. ê 4ú ë û 3 y = 0; max y = . ♥ Vậy min xÎ D xÎ D 4 c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).  Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN: 22 Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a; b  thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.   Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f  x  trên miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả. Phương pháp riêng: Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm trên khoảng  a; b  , có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a; b  thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  a; b như sau: Quy tắc 1) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm thuộc  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a), f (b) . 3) So sánh các giá trị tìm được.  Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a; b .  Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a; b . CÁC VÍ DỤ i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x + 2 trên đoạn éë- 1;2ù û. Bài giải ♥ D = éë- 1;2ù û ♥ Ta có: y ' = 6x2 + 6x - 12 éx = - 2 Ï D y' = 0 Û ê êx = 1 Î D ë Do y(- 1)= 15; y(2)= 6; y(1)= - 5 Þ min y = - 5; max y = 15 xÎ D xÎ D ♥ Vậy min y = - 5; max y = 15 . xÎ D xÎ D Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ex (x2 - x - 1) trên đoạn éë0;2ù û. Bài giải ♥ D = éë0;2ù û ♥ Ta có: y ' = ex (x2 + x - 2) éx = - 2 Ï D y' = 0 Û ê êx = 1 Î D ë Do y(0)= - 1; y(2)= e2 ; y(1)= - e Þ min y = - e; max y = e2 xÎ D xÎ D ♥ Vậy min y = - e; max y = e . 2 xÎ D xÎ D Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x Bài giải ♥ D = éë- 2;2ù û 4 - x2 . 23 ♥ Ta có: y ' = 4 - x2 + x 4 - x2 y' = 0 Û x = - 2Î D ( Do y(- 2) = - 2; y (2) = 2; y - ) 2 = - 2 2 Þ min y = - 2 2; max y = 2 xÎ D xÎ D ♥ Vậy min y = - 2 2; max y = 2 . xÎ D xÎ D ii. ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ) Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x - cos x + 1 . Bài giải ♥ Tập xác định: D = ¡ 2 ♥ Đặt t = cosx với t Î éë- 1;1ù û , hàm số trở thành: y = - 2t - t + 3 Ta có: y ' = - 4t - 1 ; y' = 0 Û t = - 1 é Î - 1;1ù û 4 ë æ 1 ö 25 25 ÷ = y = 0; max y = Do y(- 1) = 2; y(1) = 0; yçç- ÷ Þ min ÷ xÎ D xÎ D çè 4ø ÷ 8 8 ♥ Vậy min y = - 2 2; max y = 2 . xÎ D xÎ D BÀI TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:  1 1) y  16 x 2  2 x  12 trên đoạn 0;   4 3) y  x 3  3x 2  9x  35 trên đoạn  4, 4 x2 trên đoạn  0; 2 x2 2 x 2  3x  3 7) y  trên đoạn  0; 2 x 1 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:    1) y  s in2x  x trên đoạn   ;   2 2 5) y  3) y  x  e 2x trên đoạn  1;0 2) y  x 2  3) y  x 2  3  x ln x trên đoạn 1; 2 Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:  4 1; 3  x3  2 x 2  3 x  4 trên đoạn  4, 0 3 x3 6) y  trên đoạn  1; 2 x2 2 x2  5x  4 8) y  trên đoạn  1;1 x2 4) y  2) y  6  3x trên đoạn  1;1 ln 2 x 4) y  trên đoạn 1;e3  x Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 1) y  x 2 ln x trên đoạn 1;e 9 x trên đoạn 4 2) y  x 1 x2  1 trên đoạn  1; 2 4) y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0 1) y  4 x  x 2 2) y   x 2  2 x  8 3) y  2  x  4  x 4) y  x  4  x 2 5) y   x  1 1  x 2 6) y  1  x 2  1  x 2 24 7) y = x - 4 - x2 8) y = 1 2 x - x4 4x - x2 9) y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 (Khối D-2010) Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 4 1) y  2sin x  sin 3 x trên đoạn 0;  3 2) y  cos 4 x  6 cos 2 x  5 3) y  x 6  4 1  x 2  trên đoạn  1;1 3 4) y  sin 4 x  cos 4 x  2 Nội dung 4: Sự tương giao của hai đồ thị A. Tóm tắt lí thuyết I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Bài toán tổng quát (C ) : y  f (x) Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :  1 (C2 ) : y  g(x) y y y (C1 ) (C1 ) M2 M 1 y2 (C 2 ) M0 y1 x x x x O 1 O 2 O x (C 2 ) (C 2 ) (C1) và (C2) không có điểm chung (C1 ) (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị (C1) và (C2) . Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Chú ý 1 : * (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung * (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung Chú ý 2 : * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). y y0 x0 O x 25 B. Phương pháp giải toán ìï (C1 ) : y = f ( x) Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ïí . ïïî (C2 ) : y = g ( x) 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x) = g ( x) (1) B2. Giải phương trình (1) tìm x Þ y B3. Kết luận 2. VÍ DỤ Ví dụ . Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y  2x  1 và đường thẳng y  x  2 . 2x  1 Bài giải ♦ Phương trình hoành độ giao điểm: Điều kiện: x ¹ 2x + 1 = x+ 2 2x - 1 (1) 1 2 ♦ Khi đó: (1) Û 2 x + 1 = (2 x - 1)( x + 2) Û 2x2 + x - 3 = 0 éx = 1 ê Û ê 3 êx = êë 2 ♣ Với x = - 3 1 Þ y= 2 2 ♣ Với x = 1 Þ y = 3 æ 3 1ö ♦ Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là çç- ; ÷ ÷ ÷ và (1;3). çè 2 2 ø ìï (C1 ) : y = f ( x) Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị ïí cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt. ïïî (C2 ) : y = g ( x) 1. PHƯƠNG PHÁP B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x) = g ( x) (1) B2. Lập luận Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. 26