hoctoancapba.com
HỒ XUÂN TRỌNG
1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
NĂM 2012-2013
TẬP 5
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20122013
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn: Toán 12. Khối A.
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I (2,5 điểm) Cho hàm số : y = x3 - 3mx + 2 (1 ) , m lµ tham sè thùc.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) cã tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc
a ,biết cos a =
1
.
26
3 - 4 cos 2 x - 8sin 4 x
1
=
sin 2 x + cos 2 x
sin 2 x
3
3
ìï x + 4 y = y + 16 x
2) Giải hệ phương trình: í
( x, y Î R ) .
2
2
ïî 1 + y = 5 (1 + x )
Câu II (2,5 điểm) 1) Giải phương trình :
6 - x - 3 x 2 + 4
x ® 2
x 2 - 4
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 và điểm M thuộc cạnh
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn : L = lim
CC 1 sao cho CM = 2 .Mặt phẳng ( a ) đi qua A, M và song somg với BD chia khối lập phương thành hai
khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó.
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F = 3 x 2 + 7 y + 5 y + 5 z + 7 z + 3 x 2
B. PHẦN RIÊNG (2,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai ®iÓm A ( 2;1) , B ( -1; -3 ) vµ hai ®êng
th¼ng d1 : x + y + 3 = 0; d 2 : x - 5 y - 16 = 0. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm C , D lÇn lît thuéc d1 , d 2 sao cho tø gi¸c
ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
1
2
3
2012
Câu VIIa. ( 1,0 điểm) Tính tổng : S = 12 C2012
+ 2 2 C2012
+ 32 C2012
+ L + 2012 2 C2012
2. Theo chương trình Nâng cao
x 2 y 2
+
= 1 vµ c¸c ®iÓm A ( -3; 0 ) ;
9
4
I ( -1; 0 ) .T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C thuéc ( E ) sao cho I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Câu VIb. ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( E ) :
0
1
2
2012
C2012
C2012
C2012
C 2012
Câu VII B:(1,0 điểm): Tính tổng: T =
+
+
+ L +
1
2
3
2013
HẾT
Ghi chú:
Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (
[email protected]) gửi tới http://www.laisac.page.tl/
3
hoctoancapba.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 20122013 – LẦN 1
MÔN TOÁN – KHỐI A
(Đáp án gồm 5 trang)
Câu
I(2,0đ) 1. (1,50 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Khi m = 1 hàm số (1) có dạng y = x 3 - 3x + 2
a) Tập xác định D = ¡
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: y ' = 3x 2 - 3 , y ' = 0 Û x = ± 1 . Khi đó xét dấu của y ' :
x
¥
1
+
y
0
1
0,50
+¥
+
0
hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥; - 1) , (1; + ¥ ) và nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) .
+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0
3 2ö
3 2 ö
æ
æ
+) Giới hạn: lim y = lim x ç 1 - 2 + 3 ÷ = -¥; lim y = lim x 3 ç 1 - 2 + 3 ÷ = +¥
x ®-¥
x ®-¥
x
®+¥
x
®+¥
x ø
x ø
è x
è x
+) Bảng biến thiên:
:
x
-¥
1
1
+¥
+
0
-
0
+
y'
0,25
3
4
+¥
y
-¥
0,25
0
c) Đồ thị: y = 0 Û x 3 - 3 x + 2 = 0 Û x = 1, x = - 2 , suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox
tại các điểm (1; 0 ) , ( - 2; 0 )
y '' = 0 Û 6 x = 0 Û x = 0 Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0; 2 ) làm điểm uốn.
y
4
0,50
1
0
1
x
4
hoctoancapba.com
2. (1,0 điểm)
r
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = ( k ; -1 )
r
Đường thẳng d : x + y + 7 = 0 tiếp tuyến có VTPT n2 = (1;1 )
0,25
Ta có
r r
n1 × n2
r r
1
cos a = cos ( n1 , n 2 ) = r r Û
=
n1 n 2
26
k - 1
Û 12 k 2 - 26 k + 12 = 0 Û k =
2
2 k + 1
3
2 0,25
Ú k =
2
3
YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
é , 3
é 2
êy = 2
ê3x - 3m =
Ûê
ê
ê y, = 2
ê3x 2 - 3m =
êë
êë
3
3
1
é 2 2m + 1
é 2m + 1
é
x
=
³
0
m
³
ê
2Ûê
2 Û ê 2
2 Û m ³ - 1
ê
ê
ê
2
2
ê x 2 = 9m + 2
ê 9m + 2 ³ 0 ê m ³ - 2
ê
ê
ê
3
9
9
ë
ë 9
ë
Vậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc a ,có cos a =
0,25
1
.
26
0,25
1
thì m ³ -
2
II(2,5đ)
1.(1,25 điểm). Giải phương trình :
3 - 4 cos 2 x - 8sin 4 x
1
=
sin 2 x + cos 2 x
sin 2 x
p
p
ì
x ¹ - + l
ìsin 2 x + cos 2 x ¹ 0 ïï
8
2 l Î Z
§/k í
Ûí
(
)
îsin 2 x ¹ 0
ïx ¹ l p
ïî
2
0,25
2
æ 1 - cos 2 x ö
ta cã: 8sin x = 8 ç
÷ = L = 3 - 4 cos 2 x + cos 4 x
2
è
ø
3 - 4 cos 2 x - ( 3 - 4 cos 2 x + cos 4 x )
1
Ph¬ng tr×nh Û
=
sin 2 x + cos 2 x
sin 2 x
4
Û
0,50
- cos 4 x
1
=
( do sin 2 x + cos 2 x ¹ 0,sin 2 x ¹ 0 )
sin 2 x + cos 2 x sin 2 x
Û - ( cos 2 x - sin 2 x ) =
1
Û cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) = 0
sin 2 x
Û cos 2 x = 0 Ú sin 2 x + cos 2 x = 0 ( loai ) Û 2 x =
Ûx=
p
4
+k
p
p
+ k p
0,25
( k Î Z )
0,25
2
( k Î ¢ )
2
VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm x =
p
+k
p
4
2
ìï x + 4 y = y 3 + 16 x
2.(1,25điểm). Giải hệ phương trình: í
( x, y Î R ) .
2
2
ïî 1 + y = 5 (1 + x )
3
ìï x 3 + 4 ( y - 4 x ) - y 3 = 0(*)
Viết lại hệ phương trình: í 2
2
ïî y - 5 x = 4(**)
Thay (** ) vào (* ) ta được: x + ( y - 5 x
3
2
2
) ( y - 4 x ) - y
0,25
3
3
2
2
= 0 Û 21x - 5 x y - 4 xy = 0
5
hoctoancapba.com
1
4
Û x 21x 2 - 5 xy - 4 y 2 = 0 Û x = 0 Ú x = - y Ú x = y
3
7
2
· x = 0 thế vào (** ) ta được y = 4 Û y = ±2
(
)
0,25
é y = 3 Þ x = -1
1
5 y 2
· x = - y thế vào (** ) ta được y 2 = 4 Û y 2 = 9 Û ê
3
9
ë y = -3 Þ x = 1
2
0,50
80 y
31 2
4
· x = - y thế vào (** ) ta được y 2 =4Ûy = 4 Vô nghiệm
7
49
49
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = ( 0; ±2 ) , (1; -3 ) , ( - 1;3 )
III(1đ)
Tính giới hạn : L = lim
x ® 2
6 - x - 3 x 2 + 4
x 2 - 4
3 2
6 - x - 2 + 2 - 3 x2 + 4
6- x -2
x + 4 - 2
=
lim
lim
2
2
x ®2
x®2
x ® 2
x -4
x -4
x 2 - 4
6 - x - 22
x 2 + 4 - 2 3
= lim 2
- lim
x® 2
( x - 4 ) 6 - x + 2 x ®2 ( x 2 - 4 ) æç 3 ( x2 + 4) 2 + 2 3 x2 + 4 + 4 ö÷
è
ø
-1
1
1 1
7
= lim
- lim
= - - = -
2
x® 2
x ® 2
16 12
48
3 x 2 + 4
( x + 2 ) 6 - x + 2
+ 2 3 x 2 + 4 + 4
L = lim
(
)
(
)
0,25
(
)
0,25
0,25
0,25
7
Vậy giới hạn đã cho bằng -
48
IV(1đ) Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1D1 cã độ dài cạnh bằng 3 ....
Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua A, M và song song với BD .
Gọi O = AC Ç BD, O = A1C1 Ç B1 D1 , I = AM Ç OO1 . Trong mặt phẳng
0,25
( BDD1 B 1 ) qua I
kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB1 , DD 1 lần lượt tại K , N .Khi đó AKMN là thiết
diện cần dựng.
Đặt V1 = VA. BCMK + VA. DCMN Þ V2 = VABCD . A B C D - V1 .
1 1 1 1
OI
AO 1
1
Ta có:
=
= Þ DN = BK = OI = CM = 1
CM AC 2
2
Hình chóp A. BCMK có chiều cao là AB = 3 ,đáy là hình thang BCMK .Suy ra:
BC . ( BK + CM ) 33 9
1
1
VA. BCMK = AB.S BCMK = AB.
= = .
3
3
2
6 2
9
Tương tự VA. DCMN =
2
9 9
Vậy V1 = + = 9 Þ V2 = 33 - 9 = 18 (đvtt)
2 2
0,25
0,25
0,25
0,25
V(1,0đ) …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F = 3 x 2 + 7 y + 5 y + 5 z + 7 z + 3 x 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có
F 2 £ 3 éë 6 x 2 + 12 ( y + z ) ùû £ 18 é x 2 + 2 2 ( y 2 + z 2 ) ù = 18 é x 2 + 2 2 ( 3 - x 2 ) ù
ú
ëê
ûú
ëê
û
0,25
Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 2 2 ( 3 - x 2 ) trên miền xác định - 3 £ x £ 3
f ' ( x ) = 2 x -
4 x
"x Î ( (
2 ( 3 - x )
2
))
3; 3
0,25
6
hoctoancapba.com
é x = 0
f ' ( x ) = 0 trên - 3; 3 Û ê
ë x = ±1
(
(
)
0,25
)
f ± 3 = 3, f ( 0 ) = 2 6, f ( ±1) = 5
Þ max f ( x ) = 5 Þ F 2 £ 18.5 = 90 Þ F £ 3 10 dấu bằng khi x = y = z = 1
é - 3 ; 3 ù
ë
û
0,25
Vậy max F = 3 10 Û x = y = z = 1
6a(1,0đ)
T Tim to¹ ®é c¸c ®iÓm C , D lÇn lît thuéc d1 , d 2 sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Do tø giác ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã
uuur uuur
ì xD - x C = 3
CD = BA = ( 3; 4 ) Þ í
(* )
î yD - yC = 4
ìC Î d 1
ì xC + y C + 3 = 0
MÆt kh¸c : í
Þí
(** )
î D Î d 2 î xD - 5 y D - 16 = 0
0,25
0,25
uuur
uuur
ì x = 3 ì x D = 6
Tõ (*) vµ (**) ta gi¶i ®îc í C
ta cã BA = ( 3; 4 ) , BC = ( 4; -3 ) cho nªn hai
; í
î yC = -6 î y D = -2
uuur uuur
0,25
vÐc t¬ BA, BC kh«ng cïng ph¬ng ,tøc lµ 4 ®iÓm A, B, C , D kh«ng th¼ng hµng ,hay tø
gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
0,25
.§¸p sè C ( 3; -6 ) , D ( 6; - 2 )
1
2
3
2012
7a(1,0đ) Tính tổng : S = 12 C2012
+ 2 2 C2012
+ 32 C2012
+ L + 2012 2 C2012
k
k
k
k
k 2 C2012
= k éë( k - 1) + 1ùû C2012
= k ( k - 1) C2012
+ kC2012
"k = 1, 2,..., 2012
k
k 2 C2012
0,25
2012!
2012!
k -2
k -1
= k ( k - 1)
+k
= 2012(2011C2010
+ C2011
)"k = 1, 2.., 2012
0,25
k !( 2012 - k ) !
k !( 2012 - k ) !
0
1
2010
0
1
2011
Từ đó S = 2012 éë 2011 ( C2010
+ C2010
+ L + C2010
+ C2011
+ L + C2011
) + ( C2011
) ùû
0,25
2010
2011
= 2012 é 2011 (1 + 1) + (1 + 1) ù = 2012 2011.22010 + 22011 = 2012.2013.2 2010
ë
û
2010
0,25
Đáp số : S = 2012.2013.2
6b(1,0đ) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C thuéc ( E ) sao cho I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
(
)
2
Ta cã IA = 2 Þ §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã pt: ( x + 1) + y 2 = 4
ì( x + 1) 2 + y 2 = 4
ï
To¹ ®é c¸c ®iÓm B, C cÇn t×m lµ nghiÖm cña hÖ pt: í x 2 y 2
= 1
ï +
4
î 9
ì( x + 1) 2 + y 2 = 4
ìï( x + 1) 2 + y 2 = 4
ï
Ûí
í 2
3
îï5 x + 18 x + 9 = 0 ï x = -3 Ú x = 5
î
· x = -3 Þ y = 0 Þ B º A Ú C º A (lo¹i)
æ 3 4 6 ö æ 3 4 6 ö
3
4 6
· x = - Þ y = ±
Þ B çç - ; ±
÷ , C ç - ; m
÷
5
5
5 ÷ø çè 5
5 ÷ø
è 5
0,25
0,25
0,25
0,25
7
hoctoancapba.com
7b(1,0đ)
2
2012
C2012
C 2012
Tính tổng : T =
+
+
+L +
1
2
3
2013
2012!
k
C 2012 k !( 2012 - k ) !
1
2013!
1
k +1
=
=
×
=
× C 2013
k +1
k + 1
2013 ( k + 1) ! éë 2013 - ( k + 1) ùû ! 2013
C
0
2012
C
1
2012
0,50
"k = 0,1, 2,3,..., 2012
1
1 é
22013 - 1
2013
1
2
2013
0 ù
ÞT =
( C2013 + C2013 + L + C2013 ) = 2013 ë(1 + 1 ) - C2013 û = 2013
2013
22013 - 1
Đáp số T =
2013
0,25
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết
8
hoctoancapba.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20122013
Môn: Toán 12. Khối B - D
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số y = - x 3 - 3 x 2 + 4 (1 )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1 ) .
2. Với những giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số (1 ) tiếp
2
2
xúc với đường tròn ( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5
Câu II. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình:
3 ( 2cos 2 x + cos x - 2 ) + sin x ( 3 - 2cos x ) = 0
ì x 2 + 8 y 2 = 12
2. Giải hệ phương trình: í 3
2
î x + 2 xy + 12 y = 0
3
Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn: L = lim
x ®1
( x, y Î ¡ )
x + 7 - 5 - x 2
x - 1
Câu IV. (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AD = 3a; AB = 2a; AC = 4a,
· = 60 0 .Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD . Đường
BAC
thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E .Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể
tích khối tứ diện BCDE theo a.
Câu V. (1,0 điểm)
2 x - 1 - x + 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x + 1 - x + 2
PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có B(- 2;1) , đường thẳng chứa cạnh AC có
phương trình: 2 x + y + 1 = 0 , đường thẳng chứa trung tuyến AM có phương trình:
3 x + 2 y + 3 = 0 . Tính diện tích của tam giác ABC .
0
1
2
3
2012
Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính tổng: S = C2012
+ 2C2012
+ 3C2012
+ 4C2012
+ ... + 2013 C2012
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm E ( - 1; 0 ) và
đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 8 x - 4 y - 16 = 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt
đường tròn ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
Câu VIIb. (1,0 điểm)
(
2 n
Cho khai triển Niutơn 1 - 3 x
thoả mãn hệ thức:
)
= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a 2 n x 2 n , n Î ¥ * .Tính hệ số a 9 biết n
2
14 1
+ 3 = .
2
C n 3 Cn n
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (
[email protected]) gửi tới
http://www.laisac.page.tl/
0
9
hoctoancapba.com
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM HỌC 20122013
Môn: Toán; Khối:B+ D
(Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang)
Câu
I
Đáp án
Điểm
1. (1,0 điểm)
y = - x 3 - 3 x 2 + 4
+ Tập xác định: D = ¡
+ Sự biến thiên:
(2,0 điểm)
é x = -2
0,25
Chiều biến thiên: y ' = -3 x 2 - 6 x, y ' = 0 Û ê
ë x = 0
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( -¥; - 2 ) và ( 0;+¥ ) ,
đồng biến trên khoảng ( - 2;0 ) .
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2; yCT = y( -2) = 0
Giới hạn: lim y = +¥;
0,25
lim y = -¥
x ®-¥
x ®+¥
Bảng biến thiên:
x
y ,
2
-¥
0
-
0
+¥
0
+
-
4
+¥
0,25
y
0
-¥
+ Đồ thị
0,25
2. (1,0 điểm)
Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu A ( - 2;0 ) ,cực đại B ( 0;4 ) .Phương trình
đường thẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( AB ) :
x y
+ = 1
-2 4
Û ( AB ) : 2 x - y + 4 = 0
0,50
2
2
( C ) : ( x - m ) + ( y - m - 1) = 5 có tâm I ( m; m + 1 ) bán kính R = 5
Đường thẳng ( AB ) tiếp xúc với đường tròn ( C ) Û d ( I ; ( AB ) ) = R
Û
2m - ( m + 1) + 4
2
é m = -8
= 5 Û m + 3 = 5 Û ê
ë m = 2
0,50
2 2 + ( - 1 )
Đáp số : m = - 8 hay m = 2
1 10
hoctoancapba.com
Câu II
(2,5điể
m)
1.( 1,25điểm)
3 ( 2cos 2 x + cos x - 2 ) + sin x ( 3 - 2cos x ) = 0
Pt:
Û 2 3 (1 - sin 2 x ) + 3 cos x - 2 3 + 3sin x - 2sin x cos x = 0
3 sin x
(
)
3 - 2sin x + cos x
(
0,50
)
3 - 2sin x = 0
é 3 - 2sin x = 0
3 sin x + cos x = 0 Û ê
êë 3 sin x + cos x = 0
p
é
x = + k 2 p
ê
é
3
3
ê
êsin x =
2 Û ê x = 2 p + k 2 p
ê
( k Î Z )
ê
3
1
ê
ê tan x = - 3 ê
ë
êx = - p + kp
êë
6
Phương trình có ba họ nghiệm
p
2 p
p
x = + k 2 p; x =
+ k 2p; x = - + k p
( k Î Z )
3
3
6
2.( 1,25 điểm)
(
3 - 2sin x
)(
)
0,25
0,25
0,25
ìï x 2 + 8 y 2 = 12 ( * )
Hệ phương trình í 3
2
ïî x + 2 xy + 12 y = 0 (** )
Thế (*) vào (**) ta được: x 3 + 2 xy 2 + ( x 2 + 8 y 2 ) y = 0
0,25
Û x3 + 8 y 3 + xy ( x + 2 y ) = 0 Û ( x + 2 y ) ( x 2 - 2 xy + 4 y 2 + xy ) = 0
Trường hợp 1: x + 2 y = 0 Û x = - 2 y thế vào (*) ta được
12 y 2 = 12 Û y 2 = 1 Û y = ±1 Þ x = m 2
0,25
0,25
Trường hợp 2:
2
ì y = 0
y ö 15 y 2
ï
æ
x - xy + 4 y = 0 Û ç x - ÷ +
= 0 Û í
y
2ø
4
x
è
ïî 2 = 0
Þ x = y = 0 không thoả mãn (*) hệ vn
Đáp số: ( x; y ) = ( 2; -1) , ( - 2;1 )
2
Câu III
2
0,25
0,25
(1,0 điểm)
3
x + 7 - 5 - x2
x+7 -2
2 - 5 - x 2
= lim
+ lim
x®1
x ®1
x ®1
x -1
x -1
x - 1
2
2 - 5 - x 2
x + 7 - 2 3
= lim
+ lim
x ®1
2
æ
ö
3
3
( x - 1) ç ( x + 7 ) + 2 x + 7 + 4 ÷ x ®1 ( x - 1) 2 + 5 - x 2
è
ø
1
x + 1
1 1 7
= lim
+ lim
= + =
2
x ®1 æ 3
ö x ®1 2 + 5 - x 2 12 2 12
3
ç ( x + 7 ) + 2 x + 7 + 4 ÷
è
ø
3
L = lim
(
(
(
)
0,25
)
)
0,25
0,25
2 11
hoctoancapba.com
Câu IV
7
Vậy : L =
12
(1,0 điểm)
Vì BH ^ AC; BH ^ AD Þ BH ^ ( ACD ) Þ BH ^ CD
0,25
0,25
mà BK ^ CD Þ CD ^ ( BHK ) Þ CD ^ BE
1
1
3
AB × AC × sin 600 = 8a 2
= 2 3 a 2
2
2
2
1
AH = AB cos 600 = 2a. = a
2
Vì CD ^ ( BHK ) Þ CD ^ KE Þ DAEH : DACD do đó
Từ gt ta có S DABC =
Câu V
0,25
AE AH
AH × AC 4a
4a
13 a
=
Þ AE =
=
Þ DE =
+ 3 a =
AC AD
AD
3
3
3
1
1 13a
26 3 × a 3
VBCDE = VD . ABC + VE . ABC = × DE × S DABC = ×
× 2 3 a 2 =
2
3 3
9
(1,0 điểm)
y =
0,25
0,25
2 x - 1 - x + 4
Tập xác định của hàm số là D = [ 0;1 ]
x + 1 - x + 2
ìï x = cos t æ é p ù ö
Đặt í
ç t Î ê0; ú ÷
ïî 1 - x = sin t è ë 2 û ø
2cos t - sin t + 4
é pù
Khi đó y =
= f ( t ) với t Î ê 0; ú
cos t + sin t + 2
ë 2 û
0,25
0,25
2cos t - sin t + 4
é pù
với t Î ê 0; ú
cos t + sin t + 2
ë 2 û
-3 - 6cos t
é pù
f ' ( t ) =
< 0"t Î ê0; ú vậy hàm số f ( t ) liên tục và
2
ë 2 û
( sin t + cos t + 2 )
xét hàm số f ( t ) =
é pù
nghịch biến trên đoạn ê 0; ú
ë 2 û
æpö
é pù
é pù
do đó f ç ÷ £ f ( t ) £ f ( 0 ) "t Î ê 0; ú Û 1 £ f ( t ) £ 2"t Î ê 0; ú
è2ø
ë 2û
ë 2 û
giá trị lớn nhất của y = max f ( t ) = f ( 0 ) = 2 Û t = 0 Û x = 0
0,25
0,25
p
æ pö
giá trị nhỏ nhất của y = min f ( t ) = f ç ÷ = 1 Û t = Û x = 1
2
è 2 ø
câu VIA (1,0 điểm)
æ a - 2
ö
, - a ÷
Do C Î dt : 2 x + y + 1 = 0 Þ C ( a, -2a - 1) Þ M ç
è 2
ø
M Î dt : 3 x + 2 y + 3 = 0 Þ a = 0 Þ C (0, - 1) .
Toạ độ A là nghiệm hệ
0,50
uuur
ì3 x + 2 y + 3 = 0
Þ A(1, -3) Þ AC (-1, 2) Þ AC = 5
í
î 2 x + y + 1 = 0
Kẻ BH ^ AC ( H Î AC )
3 12
hoctoancapba.com
0,50
BH = d ( B, AC ) =
-4 + 1 + 1
5
=
2
1
Þ S ABC = AC .BH = 1 (dvdt).
2
5
Vậy S ABC = 1 (dvdt).
Câu 7A
(1,0điểm )
0
1
2
3
2012
S = C2012
+ 2C2012
+ 3C2012
+ 4C2012
+ ... + 2013 C2012
Ta có
k
k
k
= kC2012
+ C2012
=k
( k + 1) C2012
2012!
k
k -1
k
+ C2012
= 2012 C2011
+ C 2012
k !( 2012 - k ) !
0,25
với "k = 0,1, 2,..., 2012
0
1
2011
0
1
2012
S = 2012 ( C2011
+ C 2011
+ L + C2011
+ C2012
+ L + C2012
) + ( C2012
)
S = 2012 (1 + 1)
Câu VI B
2011
2012
+ (1 + 1)
= 2012 × 22011 + 2 2012 = 1007 × 2 2012
Vậy S = 1007 × 2 2012
(1,0 điểm)
Đường tròn (C ) có bán kính R = 6
và tâm I (4; 2)
Khi đó: IE = 29 < 6 = R , suy ra
điểm E nằm trong hình tròn (C ) .
0,25
0,25
0,25
0,50
Câu 7B
Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt
(C ) tại M và N . Kẻ IH ^ D .
Ta có IH = d ( I , D) £ IE .
Như vậy để MN ngắn nhất Û IH dài nhất Û H º E Û D đi qua
E và vuông góc với IE
uur
Ta có EI = (5; 2) nên đường thẳng D đi qua E và vuông góc với
IE có phương trình là: 5( x + 1) + 2 y = 0 Û 5 x + 2 y + 5 = 0 .
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 5 x + 2 y + 5 = 0 .
(1,0 điểm )
(
…. 1 - 3 x
2 n
)
0,25
0,25
= a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a 2 n x 2 n , n Î ¥ * .
Tính hệ số a 9 biết n thoả mãn hệ thức:
2
14 1
+ 3 = .
2
C n 3 Cn n
Điều kiện n Î ¥* , n ³ 3
4 13
hoctoancapba.com
GT Û
2
14
1
4
28
1
+
= Û
+
=
n!
n !
n
n ( n - 1) n ( n - 1)( n - 2 ) n
3
2!( n - 2 )!
3!( n - 3)!
ìn ³ 3
Û í 2
Û n = 9
î n - 7 n - 18 = 0
(
Từ đó 1 - 3 x
18
)
18
0,25
k
k
k
= å C18
( -1) 3 2 x k
k = 0
9
18
Do đó hệ số của a9 = -81C
0,50
0,25
3 = - 3938220 3
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết
5 14
hoctoancapba.com
6 15
Cảm ơn bạn Hoàng Thân (
[email protected]) gửi tới www.laisac.page.tl
hoctoancapba.com
16
hoctoancapba.com
17
hoctoancapba.com
18
hoctoancapba.com
19
hoctoancapba.com
20