Tài liệu GiỚI HẠN HÀM SỐ(phần 2)Vô cùng bé – vô cùng lớn

GiỚI HẠN HÀM SỐ (phần 2) Vô cùng bé – vô cùng lớn ĐỊNH NGHĨA • α(x) là vô cùng bé khi x → xo nếu giá trị của α(x) rất bé khi x gần xo. ⇔ lim α ( x ) = 0 x → x0 • α(x) là vô cùng lớn khi x → xo nếu giá trị của | α(x)| rất lớn khi x gần xo. ⇔ lim α ( x ) = +∞ x → x0 1 / α > 0, lim x α = 0 x →0 Ví dụ xα, α > 0 là VCB khi x→ 0 2 / α > 0, lim x α = +∞ xα, α > 0 là VCL khi x→ +∞ x →+∞ 3 / lim ln x = +∞ x →+∞ 4 / lim+ ln x = −∞ x →0 5 / lim ln x = 0 x →1 lnx là VCB khi x→1 là VCL khi x →+∞, 0 TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ 1. Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB. 2. c ≠ 0, α(x) là VCB ⇒ c×α(x) là VCB. f ( x ) = a ⇔ f ( x ) = a + α ( x ), 3. xlim →x 0 với α(x) là VCB khi x → xo. SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → xo, đặt α (x) K = lim x → x0 β ( x ) 1. K=0, α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu: α(x) = o(β(x)) . 2. K≠ 0,∞ : α(x) và β(x) đồng bậc. K= 1: α(x) và β(x) tương đương: α(x) ~ β(x) SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → xo, nếu tồn tại n>0 sao cho: α (x) K = lim ≠ 0, ≠ ∞ n x → x0 [ β ( x ) ] (tức là α(x) đồng bậc với [β(x)]n ) Thì α(x) được gọi là VCB bậc n đối với β(x) VÍ DỤ α ( x ) = 3 x 3 + 2 x 4 1/   β ( x ) = x 3 3 α (x) x + 2x 4 = β (x) x ⇒ α (x) : β (x) là 2 VCB khi x → 0 3 4 x + 2 x =3 x3 x→0  →1 α ( x ) = ln(cos x ) 2/ β ( x ) = x α (x) β (x) là 2 VCB khi x → 0 ln(cos x ) ln(1 + cos x − 1) = = x x ln(1 + cos x − 1) cos x − 1 = × ×x 2 cos x − 1 x x→0  →1 × (−1 / 2) × 0 = 0 ⇒ α ( x ) = o ( β ( x )) α(x) bậc cao hơn β(x) α ( x ) = ln(cos x ) 3/  β (x ) = x là 2 VCB khi x → 0 α (x) ln(cos x ) 2 = x2 [ β ( x )] ln(1 + cos x − 1) cos x − 1 = × cos x − 1 x2 x→0  →1 × (−1 / 2) = −1 / 2 α(x) là VCB bậc 2 đối với β(x). Các vcb tương đương cơ bản Khi x →0 sin x : x 2 x 1 − cos x : 2 tan x : x arcsin x : x arctan x : x ln(1 + x ) : x x e −1 : x x a − 1 : x ln a α (1 + x ) − 1 : α x Ví dụ sin 2 x : 2 x , khi x → 0 1 4 1 − cos x : x , khi x → 0 2 tan(ln(1 + x )) : ln(1 + x ) : x , khi x → 0 2 ln x : x − 1, khi x → 1 1 1  arctan  ÷ : , khi x → ±∞ x x Nguyên tắc thay tương đương VCB 1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0 ⇒ α ( x ) × β ( x ) : α1 ( x ) × β1 ( x ) VD: khi x → 0 1 / (e x − 1) × sin x : x × x = x 2 , 2/ ( 3 5 ) x 1 − 2 x − 1 (e − 1) × tan x 1 : (−2 x 5 ) × x × 3 x 3 3 = 16 2 3 − x 3 Nguyên tắc thay tương đương VCB 2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất α1 ( x ) + α 2 ( x ) + L + α n ( x ) : α i ( x ) với αi là VCB bậc thấp nhất VD: khi x → 0 2 3 x − 2 x + 3x 3 sin x − 2 x 2 : 3x : −2x 2 Nguyên tắc thay tương đương VCB 3. α(x) ~ α1(x), khi x→xo, lim f ( x ) = a ≠ 0 x → x0 f (x) × α (x) : a × α ( x ) : a × α1 ( x ) VD: khi x → 0 1 / ( x + 1) × ln( x + 1) : 1 × ln( x + 1) : x 2/e 2x 0 ( x2 x2 2 x−x2 ) −e = e : e e (e 2 x −x2 ( ) −1 − 1 : 1 × 2x − x 2 ) : 2x 4. Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0 α (x) α1 ( x ) ⇒ lim = lim x → x0 β ( x ) x → x0 β ( x ) 1 sin x − 3x 2 sin x = lim =1 VD: 1 / lim x →0 ln(1 + x ) x →0 x x2 (e − 1)arctan x x 2x x3 2 / lim = lim = lim x →0 x →0 ln(1 + cos x − 1) x →0 cos x − 1 ln(cos x ) x3 = lim 2 = 0 x →0 x − 2 Nguyên tắc thay tương đương VCB 5. Phép thay qua hiệu 2 VCB α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0  α ( x ) :/ β ( x ) ⇒ α ( x ) − β ( x ) : α1 ( x ) − β1 ( x ) (chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB ban đầu không tương đương) Cách thực hiện Thay α và β qua các tương đương trung gian (chẳng hạn xp khi x→0), đến khi không còn thay được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì α và β là 2 VCB tương đương ⇒ không thay qua hiệu trong trường hợp này VÍ DỤ 1 / arctan x − sin x 2 x x2 : 2 / tan x − sin x x 3 / (e − 1)( x + 1) − sin x x ×1 x x x x 4 / x − ln( x 2 + 1) − sin x x2 x x x x Lưu ý 1. Không chuyển vế trong tương đương cơ bản. 2. Không thay tương đương qua hàm số ngoại trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương đương cho VCB, VCL.) 3. Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu chỉ xét cho từng cặp hàm Ví dụ Xét tính đúng, sai trong các tương đương sau Khi x → 0 ex : 1 + x sin 2 x Đ : x2 ln(1 + sin x ) : ln(1 + x ) : x e sin x x −1 : e −1 : x sin −2 x : x −2 ln(1 + sin x ) Đ : sin x : x e sin x Đ − 1 : sin x : x