Mô tả:
Chào mừng các thầy cô giáo đến dự giờ môn toán
lớp12
BÀI 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
10/22/2013
KIỂM TRA BÀI CŨ:
Bài tập:
Xét chiều biến thiên của hàm số
f(x) 2x3 3x 2 +1
10/22/2013
XÐt c²c h¯m sè:
1) f(x) = cosx trªn tËp c²c sè thùc
ThÊy : x th×
*) -1 cosx 1
*) cosx = 1 x=2k , k
*) cosx = -1 x=(2k+1) , k
Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất
y
là (-1) trên
5
4
3
2) g(x) = x2 trªn D = -1; 2
g(x) = x2
2
1
ThÊy x -1; 2 th×
0 x 2 4.
v¯ g(x) = 0 víi x=0 -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2 -1; 2
-4
-3
-2
-1
o
1
2
x
3
4
5
-1
Ta nói hàm số g(x) x 2 đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá
trị
nhỏ nhất là 1 trên tập D
10/22/2013
1. Định nghĩa
Gi° sö h¯m sè f x²c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D ).
a ) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) víi mäi x D
th× sè M = f(x 0 ) ®îc gäi l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña h¯m sè f trªn D
KÝ hiÖu: M = max f (x).
xD
b) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) víi mäi x D
th× sè m = f(x 0 ) ®îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D
KÝ hiÖu: m = min f (x).
xD
* Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất)
của hàm số f trên tập hợp D , ta cần chứng minh 2bước:
b1) f(x) M (hoÆc f(x) m) víi mäi x D.
b2) x0 D: f(x0 ) = M (hoÆc f(x0 ) = m ).
Quy ước: Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số mà không nói rõ
trên tập nào thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập xác định của
hàm số
10/22/2013
2. Ví dụ
Ví dụ1.
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
f(x) 2x3 3x 2 +1 trªn ®o³n -2; 1 .
Ví dụ 2.
Mét h×nh hép kh«ng n¾p ®îc l¯m tõ mét
m°nh c²c t«ng theo mÉu h×nh 1.1. Hép cã
®²y l¯ h×nh vu«ng c³nh x (cm), chiÒu cao
l¯ h (cm) v¯ cã thÓ tÝch l¯ 500cm 3 .
a) H±y biÓu diÔn h theo x.
b) TÝnh diÖn tÝch S(x) cña m°nh c²c t«ng theo x.
c) T×m gi² trÞ cña x sao cho S(x) nhá nhÊt.
h
h
x
x
Hình 1.1
10/22/2013
10/22/2013
10/22/2013
Nhận xét:
Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm đạo hàm của hàm số liên tục trên 1đoạn
Gi° sö h¯m sè f liªn tôc trªn ®o³n a; b v¯ cã ®³o h¯m trªn kho°ng (a; b), cã
thÓ trõ mét sè h÷u h³n ®iÓm. NÕu f'(x) = 0 chØ t³i mét sè h÷u h³n ®iÓm thuéc
(a; b) th× ta cã quy t¾c t×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m f trªn
®o³n a; b nh sau:
Quy tắc:
b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0
hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m.
b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®îc
- Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n a;b .
- Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n a;b .
10/22/2013
Ví dụ 3:
Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 3
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
a) f(x) x 2 2x 5 trªn ®o³n -2; 3 .
x3
b) f(x) =
2x 2 3x 4 trªn ®o³n -4; 0
3 1
c) f(x) = x +
trªn kho°ng (1; +).
x-1
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]
b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0
hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m.
b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®îc
* Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n a;b .
* Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n a;b .
10/22/2013
Ví dụ4: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán:
Bài 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt cña h¯m sè: f(x) = sin 4 x cos4 x
Lời giải
x :sin 4 x 0 v¯ cos4 x 0 nªn f(x) 0.
Do ®ã min f(x)=0.
x
V× sin 4 x 1 v¯ cos4 x 1 víi mäi x
Do ®ã max f(x) 2
nªn f(x) 1+1=2.
x
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không
tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2
Gợi ý lời giải:
1
BiÕn ®æi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2 2 sin 2 x.cos2 x 1 sin 2 2x
2
1
Tõ
®ã
dÔ
d¯ng
thÊy
kÕt
qu°:
max
f(x)
1;min
f(x)
10/22/2013
x
x
2
Bài 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
Lời giải
x2
y=
trªn ®o³n
x 1
1 3
2 ; 2
2x(x-1)-x 2 x 2 2x
Cã: y' =
.
2
2
(x 1)
(x 1)
1 3
XÐt g(x) = x 2 2x, dÔ thÊy g(x) < 0 víi mäi x ; .
2 2
1 3
Do ®ã: y' < 0 , x ; .
2 2
1 3
H¯m sè ®¬n ®iÖu gi°m trªn ; .
2 2
1
1
3
9
max f(x) f( ) ; min f(x) f( )
1 3
2
2 x 1 ; 3
2
2
x ;
2 2
2 2
Nguyªn nh©n sai lÇm:
1 3
Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x = 1 ; nªn kh«ng thÓ
2 2
¸p dông quy t¾c t×m GTLN, GTNN trªn mét ®o¹n
10/22/2013
Ghi nhớ:
1) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Gi° sö h¯m sè f x²c ®Þnh trªn tËp hîp D,(D ).
a ) NÕu tån t³i mét ®iÓm x 0 D sao cho
f(x)
f(x
mäim)
x làDgiá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất)
2) Muốn chứng
minh
số0 )Mvíi
(hoặc
th× số
sè fMtrên
= f(x
®îc
trÞ lín
nhÊt2bước:
cña h¯m sè f trªn D
của hàm
tập0 )hợp
D gäi
, ta l¯
cầngi¸
chứng
minh
KÝ
f (f(x)
x). m) víi mäi x D.
b1)hiÖu:
f(x) M
=
M max
(hoÆc
xD
x 0tån
D:
= M x(hoÆc
f(x 0 ) cho
= m ).
bb2)
) NÕu
t³if(x
mét
0 ) ®iÓm
0 D sao
f(x) f(x 0 ) víi mäi x D
th× sè m = f(x 0 ) ®îc gäi l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè f trªn D
3) Sử KÝ
dụng
đạomhàm
vàof bài
hiÖu:
= min
(x).toán tìm GTLN, GTNN :
xD
* Lập bảng biến thiên.
* Dùng quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22.
10/22/2013
x
a
b
x
a
b
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], có
f’ đạo hàm trên-khoảng (a; b), có thể
f’ trừ một
sốf(a)
hữu hạn điểm. Nêu cách tìm giá trị lớn
f nhất và nhỏ nhất của hàm số trênf đoạn [a; b]
f(b)
x
f’
x1
a
-
0
0
-
0
+
f(b)
f(x 2 )
f(x1 )
b
x4
f(x3 )
f
10/22/2013
x3
+
f(a)
f(b)
f(a)
x2
+
+
f(x 4 )
Bài 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
x2
y=
trªn ®o³n
x 1
Hướng dẫn giải:
1 3
2 ; 2
2x(x-1)-x2 x 2 2x
1 3
2
Cã: y' =
.
§Æt
g(x)
=
x
2x
g(x)
<
0
,
x
; .
2
2
(x 1)
(x 1)
2 2
B°ng biÕn thiªn:
3
x 1
1
2
y’
y
2
-
1
2
9
2
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đã cho .
10/22/2013
Nhóm 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
a) f(x) x 2 2x 5 trªn ®o³n -2; 3 .
Bài giải
10/22/2013
Nhóm 2
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
x3
b) f(x) =
2x 2 3x 4 trªn ®o³n -4; 0
3
Bài giải
10/22/2013
Nhóm 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
c) f(x) = x +
1
trªn kho°ng (1; +).
x-1
Bài giải
10/22/2013
Cảm ơn các thầy cô giáo đã
chú ý theo dõi!
Chúc các em học tập tốt!
10/22/2013
- Xem thêm -